Geometria Espacial 01
Prof. Valdir
I. POLIEDROS
1. DEFINIÇÃO
São sólidos geométricos com faces planas e poligonais.
Exemplo: figura ao lado
Cubo: 8 vértices triédricos
F=8
n = 3 arestas por vértice
2. Relação de Euler
Assim:
V+F=A+2
Sendo:
V: número de vértices
F: número de faces
A: número de arestas
Exemplo: Na figura a seguir, observe a relação:
A=
V ×m 8 × 3
=
= 12 arestas.
2
2
Generalizando, teremos:
A=
V1 × m1 + V2 × m2 + V3 × m3 L
2
Sendo:
V1, V2, V3, ... número de vértices de cada tipo
m1, m2, m3, ... número de vértice por face
A: número de arestas
V = 10
F= 7
A = 15
Exemplo: Seja o poliedro que possui:
1 vértice pentaédrico
5 vértices tetraédricos
5 vértices triédricos
Assim: 10 + 7 = 15 + 2
2. Número de faces e de arestas por face
A=
F×n
2
Sendo:
n: número de arestas por face
F: número de faces
A: número de arestas
Exemplo: figura ao lado
Cubo: 6 faces quadradas
F=6
n = 4 arestas por face
Assim
A=
4. Soma dos ângulos internos das faces
S = (V – 2).360°
Sendo:
V: número de vértices do poliedro
S: Soma dos ângulos internos de todas as faces
F×n 6 × 4
A=
=
= 12 arestas
2
2
Generalizando, teremos:
A=
1×5+ 5× 4 + 5×3
= 20 arestas
2
Exemplo: Calcule a soma dos ângulos das faces do poliedro da figura.
F1 × n1 + F2 × n2 + F3 × n3 L
2
Sendo:
F1, F2, F3, ... número de faces de cada tipo
n1, n2, n3, ... número de arestas por face
A: número de arestas
Resolução:
Exemplo: Seja o poliedro que possui:
5 faces quadrangulares
2 faces pentagonais
S = (V – 2).360° = (10 – 2).360° = 8.360° = 2.880°
Assim:
5. Poliedros de Platão
São poliedros que satisfazem as duas condições a seguir:
A=
5 × 4 + 2 × 5 30
=
= 15 arestas
2
2
3. Número de vértices e de arestas por vértice
V ×m
A=
2
Sendo:
m: número de arestas por vértice
F: número de faces
A: número de arestas
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1) Faces do mesmo tipo
2) Vértices do mesmo tipo
São cinco os tipos de Poliedros de Platão:
•
•
•
•
•
T – Tetraedro
H – Hexaedro
O – Octaedro
D – Dodecaedro
I – Icosaedro
- 4 faces triangulares
- 6 faces quadrangulares
- 8 faces triangulares
- 12 faces pentagonais
- 20 faces triangulares
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1º) Tetraedro de Platão – 4 faces triangulares
6. A bola de futebol
2º) Hexaedro de Platão – 6 faces quadrangulares
3°) Octaedro de Platão – 8 faces triangulares
A bola de futebol é obtida a partir da secção de pirâmides
pentagonais nos vértices de um icosaedro regular. Como o icosaedro
possui 12 vértices, então, após seccionar uma pirâmide em cada
vértice, teremos 12 faces pentagonais. Observando que cada face
triangular do icosaedro se tornou um hexágono após a secção, então
teremos 20 faces hexagonais. Assim, o total de arestas da bola de
futebol será:
A=
4º) Dodecaedro de Platão – 12 faces pentagonais
12 × 5 + 20 × 6
= 90 arestas
2
Assim, o número de vértice será:
V = A + 2 – F ⇒ V = 60 vértices
7. Cálculo do número de diagonais de um poliedro
C V,2 = A + dfaces + dpoliedro
5º) Icosaedro de Platão – 20 faces triangulares
Sendo:
CV,2 = número de segmentos ligando todos os vértices
A = segmentos que são arestas
dfaces = segmentos que são diagonais das faces
dpoliedro = segmentos que são diagonais do poliedro
Exemplo: Calcule o número de diagonais do dodecaedro de Platão:
Obs.: Poliedros Regulares
São poliedros de Platão cujas faces são polígonos regulares.
Resolução:
Como o dodecaedro de Platão tem 12 faces pentagonais, então:
F × n 12 × 5
=
= 30 arestas
2
2
• V + F = A + 2 ⇒ V = 20 vértices
• CV,2 = A + dfaces + dpoliedro ⇒ C20,2 = 30 + 12×5 + dpoliedro
• A=
Assim, o número de diagonais do dodecaedro de Platão é igual a 100.
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