Universidade Bandeirantes de São Paulo – Unibam.
otas de Aulas de Matemática – 1º AS e 1º PD
Profº Ms.Lourival Pereira Martins / Carlos Roberto da Silva
Produto Cartesiano
Produto Cartesiano: Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chamamos de produto
cartesiano de A por B, que indicamos A X B, ao conjunto de pares (x, y) tais que:
AXB = {(x, y) | x∈ A e y∈ B},
Por definição o valor x do par (x, y) pertence ao primeiro conjunto, conjunto A e y ao
segundo conjunto, conjunto B logo o par (x, y) é denominado par ordenado.
Obs.: Para saber quantos elementos existem neste conjunto, basta multiplicar a
quantidade de elementos do conjunto A pela quantidade de elementos do conjunto B.
Exemplo1: Dados os conjuntos A = {5,6} e B = {2,3,4}, determinar AXB;
a)Na representação ou forma tabular:
AXB = {(5,2), (5,3), (5,4), (6,2), (6,3), (6,4)}
b) Na representação ou forma gráfica:
1
Exemplo2: Dados os conjuntos A = {5,6} e B = {2,3,4}, determinar BXA;
a)Na representação ou forma tabular:
AXB = {(2,5), (2,6), (3,5), (3,6), (4,5), (4,5)}
b) Na representação ou forma gráfica:
Exercícios:
1. Dados os conjuntos M = {1,3,5} e N = {2,4}, determinar o produto cartesiano M X N
e N X M nas representações tabular e gráfica
2. Considerando os conjuntos A = {x∈ | −2 ≤ x ≤1}e B = {3,4}, determinar A X B e
BXA nas representações ou formas tabular e gráfica.
3. Determinar o produto cartesiano dos conjuntos abaixo, na forma gráfica.
a. [2,5] X {1}
b. {3,4} X [-1,3]
c. [1,3] X [2,5]
d. ]-2,1] X [3,5[
4. Dados os conjuntos E = {x∈ IN | x ≤ 2}, F = {4,5} e G = {-1,0}, determine a forma
tabular dos produtos:
a. E X F
b. F X E
2
c. F X G
d. E X G
5. Sendo C = {x∈ IN | 2 ≤ x ≤ 4}e D = {y ∈ | −1≤ y < 3}, determine a forma gráfica
dos produtos:
a. C X D
b. D X C
6. Sendo C = {x∈ IN | 2 ≤ x ≤ 4}e D = {y ∈ IR | −1≤ y < 3}, determine a forma gráfica
dos produtos:
a. C X D
b. D X C
7. Sendo C = {x∈ IR | 2 ≤ x ≤ 4}e D = {y ∈ IR | −1≤ y < 3}, determine a forma gráfica
dos produtos:
a. C X D
b. D X C
8. Se A = {1,2}U{x∈ IN | 2 < x < 3} e B ={x∈ IR |1≤ x ≤ 2}desenhe o gráfico de A X B
.
Relação Binária
Dados dois conjuntos, A e B, não vazios, chamamos de relação binária (R) de A em
B qualquer subconjunto do produto cartesiano A X B, ou seja, R ⊆ AXB .
• O conjunto A é chamado de domínio, isto é, origem ou conjunto de partida de R.
• O conjunto B é chamado de contradomínio, isto é, destino ou conjunto de
chegada de R.
• Os elementos de A são chamados de x e os elementos de B são chamados de y.
• O conjunto formado por todos os y pertencentes à relação chamamos de imagem.
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {4,5,6}, efetuando o produto cartesiano A X B,
temos:
A X B = {(1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6)}
Vamos considerar uma relação binária do produto cartesiano A X B, em que, o y é o
dobro de x. Na linguagem simbólica: xRy↔ R = {(x, y)∈ AXB | y = 2x}.
Logo R = {(2,4), (3,6)}
3
A
B
1
4
2
5
3
6
Domínio: D (R) = {1,2,3}
Contradomínio: CD (R) = (4,5,6}
Imagem: Im (R) = {4,6}
Exercícios:
1. Dados os conjuntos A = {-1,0,1,2} e B = {0,1,2,3,4,5} e a relação R = {(x, y) ∈AXB /
y = x +1}, determinar:
a. os pares ordenados da relação R
b. o conjunto domínio e o conjunto imagem;
c. o diagrama de flechas;
d. o gráfico cartesiano.
2. Dados os conjuntos M = {-3, -2,-1,0,1} e N = {1,2,3,5,6} e a relação
R = {(x, y) ∈ MXN | y = x2 +1}, determinar:
a. os pares ordenados da relação R;
b. o conjunto domínio e o conjunto imagem;
c. o diagrama de flechas;
d. o gráfico cartesiano.
3. Determine os elementos de cada uma das relações abaixo e faça o respectivo
diagrama de flechas.
a. A = {−2,−1,0,1,2}, B = {−1,0,1,2,3,4,5} e R = {(x, y)∈ AXB | y = x + 2}
b. M ={−2,−1,0,1, 2,3}, ={−1,0, 2,3,5} e R = {(x, y)∈MX | y = x2 −1}
4
c. I = {−2,−1,0,1, 2,3}, J = {−1,0,1, 2, 4,6} e R = {(x, y) ∈ I X J | y = x2}
x − 1

4. Considerando a relação R = ( x, y ) ∈ E X F / y =
 e os conjuntos
2 

E = {−3,−1,1,3,5}e F = {−2,−1,0,1,3,5}, determine os pares ordenados da relação.
5. Dados os conjuntos O = {0, 2, 4, 6, 8} e P = {1, 5, 9, 13, 15, 18} e a relação
R = {(x, y) ∈ O X P | y = 2x +1} , determine o conjunto domínio e o conjunto imagem da
relação.
6. Dados os conjuntos A = { -2, -1, 0, 1 ,2} e B = { 0, 1, 2, 3, 4}, determine cada uma
das ralações seguintes identificando os respectivos domínio e conjunto Imagem.
a) R1 = { (x,y) ∈ AXB/ y = x2}
b) R2 = { (x,y) ∈ AXB/ y = x + 1}
c) R3 = { (x,y) ∈ AXB/ y > x + 1}
d) R3 = { (x,y) ∈ AXB/ y = x2 - 1}
Relação Inversa
Seja R uma relação de A em B. A relação inversa de R, denotada por R-1, é definida
de B em A por: R−1 = {( y, x) ∈ B X A | ∀ (x, y)∈R}.
Exemplo1: Sejam A = {a,b,c} e B = {d,e,f} e R uma relação em AXB, definida por:
R = {(a,d), (a,e),(a,f), (b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f)}
Então:
R-1 = {(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)}
Exemplo2: Considerando a relação R = {(x, y) ∈ AXB | 3 x - 2y = 8}, determine a
relação R-1.
Como vimos se R tem seu par ordenado (x,y) definido em AXB, então basta
considerar a o produto BXA trocando, na lei que define a relação, o x pelo y e o y
pelo x logo
Se R = {(x, y) ∈ AXB | 3 x - 2y = 8} então R-1 = {(x, y) ∈ BXA | 3 y – 2x = 8}
5
Exercícios:
1. Dados os conjuntos A = {a,b,c} e B = {1,2,3,4} e a relação R em AXB, qual é a
relação inversa R-1?
2. Considerando os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4, 5} e B = { 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10} e a
relação R = {(x, y) ∈ AXB | 2x - y = 0 determine R-1 }.
3. Sejam os conjuntos A = {a,b,c,d,e} e B = {2,4,6,8,10} e a relação R, dado no
diagrama abaixo. Descreva a relação R e a sua inversa R-1.
4. Seja a relação R = {(x, y) ∈ AXB | 2x + y = 8}. Determine a relação inversa R-1.
5. Seja a relação R = {(x, y)∈AXB | 2x - 4y = 8}. Determine a relação inversa R-1.
6. Dados os conjuntos A = { -2, -1, 0, 1 ,2} e B = { 0, 1, 2, 3, 4}, determine as
ralações inversas de cada uma das seguintes relações indicadas abaixo
a) R1 = { (x,y) ∈ AXB/ y = x2}
b) R2 = { (x,y) ∈ AXB/ y = x + 1}
c) R3 = { (x,y) ∈ AXB/ y > x + 1}
d) R3 = { (x,y) ∈ AXB/ y = x2 - 1}
Matriz de uma relação
Sejam A e B dois conjuntos finitos. A representação R : A→ B como matriz é:
a) o número de linhas é n (número de elementos do domínio)
b) o número de colunas é m (número de elementos do contra domínio)
c) a matriz resultante possui m x n células
d) cada uma da m x n células possuem valor lógico associado
e) se (x,y) ∈ R, então a posição determinada pela linha i e pela coluna j da matriz
contém valor verdadeiro (1); caso contrário, seu valor será falso (0).
6
Exemplo: Dado os conjuntos A = {a}, B = {a,b} e C = {0,1,2}, temos que:
a) R = {(x, y)∈B→ B | x = y}
=
a
b
a
1
0
b
0
1
b) R = {(x, y)∈C →C | x < y}
<
0
1
2
0
0
1
1
1
0
0
1
2
0
0
0
c) R = A X B
AXB
a
b
a
1
1
Exercícios:
1. Sejam A = {1,2,3} e B = {a,b,c} e R a seguinte relação de A em B:
R = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,c),(3,c)}
a) Determine a matriz da relação
b) Desenhe o diagrama de flechas de R
c) Ache a relação inversa de R.
2. São dados A = {1,3,5,7} e B = {w,x,y,z}. Seja R a seguinte relação de A em B:
R = {(1,x), (1,z), (7,w), (3,w)}.
a) Determine a matriz da relação.
b) Desenhe o diagrama de flechas de R.
c) Ache a relação inversa de R.
d) Determine o domínio e a imagem de R.
3. Sejam A = {1,2,3,4}, B = {0,2,4,6,8} e a relação R = {(x, y) ∈ AXB | y = 2x},
determine a matriz desta relação.
4. Dados os conjuntos A= { 0, 1, 2} e B= { 0, 1, 2, 4} e a relação R ={(x, y) ∈AXB |
y=x2-1 } determine a Matriz dessa relação
7
5. Dados os conjuntos A= { 0, 1, 2} e B= { 0, 1, 2, 4} e a relação R ={(x, y) ∈AXB | y≥x
} determine a Matriz dessa relação
6. Dados os conjuntos A= { 0, 1, 2} e B= { 0, 1, 2, 4} e a relação R ={(x, y) ∈AXB | y
é múltiplo x } determine a Matriz dessa relação
7. Dados os conjuntos A= { 0, 1, 2} e B= { 1, 2, 4} e a relação R ={(x, y) ∈BXA | y é
divide x } determine a Matriz dessa relação
8. Dado o conjunto A= { 1, 2, 3, 6} e a relação R ={(x, y) ∈ AXA | y é divide x }
determine a Matriz dessa relação
Propriedades das Relações
No estudo das relações sobre um conjunto A, com A finito e tendo “poucos”
elementos, é útil a representação através do esquema de flechas. Representamos o
conjunto A com seus elementos e indicamos cada par (x,y) da relação através de
uma flecha com origem x e extremidade y. Se (x, x) está na relação, usa-se um laço
envolvendo a, conforme o exemplo:
Exemplo: O esquema abaixo representa a relação:
R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,c),(c,b)} sobre A = {a,b,c}
A
b
a
c
Propriedade Reflexiva
Uma relação R é reflexiva se todo elemento de A está relacionado consigo mesmo,
ou seja, para todo x∈ A: (x, x)∈R → x∈ A: xRx .
Exemplo: Uma relação reflexiva em A = {a,b,c}, é dada por:
R = {(a,a), (b,b), (c,c), (a,c)}
8
Representando no diagrama temos:
A
b
a
Observe que no diagrama de cada
ponto temos um laço que o envolve
c
Contra-exemplo: A relação R = {(a,a),(b,b),(a,b),(a,c)} sobre A = {a,b,c} não é
reflexiva pois c não se relaciona com c.
b
a
Observe, no diagrama, que em um dos
ponto não temos um laço que o envolve.
c
A
Propriedade Simétrica
Uma relação R é simétrica se o fato que x está relacionado com y, implicar
necessariamente que y está relacionado com x, ou seja: quaisquer que sejam
x∈ A ˄ y∈ A tal que (x, y)∈R → ( y, x)∈R
Exemplo: Uma relação simétrica em A = {a,b,c}, é dada por:
R = {(a,a), (a,b), (c,c), (b,a)}
A
a
b
Observe, no diagrama, que a única
seta aponta para os dois sentidos.
c
9
Contra-exemplo: A relação R = {(a,a),(b,b),(a,c)} sobre A = {a,b,c} não é simétrica
pois a se relaciona com c mas c não se relaciona com a.
A
Observe, no diagrama, que a única
b
a
seta aponta apenas em um sentido.
c
Propriedade Transitiva
Uma relação R é transitiva, se x está relacionado com y e y está relacionado com z,
implicar que x deve estar relacionado com z, ou seja: quaisquer que sejam
x∈ A, y∈ A ˄ z∈ A, se (x, y)∈R ˄ ( y, z)∈R → (x, z)∈R .
Exemplo: Uma relação transitiva em A = {a,b,c}, é dada por:
R = {(a,a), (a,c), (c,b), (a,b)}
A
b
a
Observe que para cada par de flechas
Consecutivas, existe uma flecha cuja origem
está na origem da primeira e a extremidade
esta na extremidade da segunda.
c
Dizemos que as flechas são consecutivas quando a ponta de uma chega ao mesmo
ponto que parte a origem da outra.
Contra-exemplo: A relação R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,c)} sobre A = {a,b,c} não é
transitiva pois aRb e bRc mas a não se relaciona com c.
A
Observe que as flechas que ligam ab e bc são
Consecutivas e não, existe uma flecha cuja
b
a
origem esteja em e extremidade em c.
c
10
Propriedade Anti-simétrica
Uma relação R é anti-simétrica se qualquer que seja x e y, elementos distintos do
conjunto A, então x não tem relação com y ou (exclusivo) y não tem relação com x, o
que significa que o par de elementos distintos (x,y) do conjunto A poderá estar na
relação desde que o par (y,x) não esteja. Ou seja qualquer que seja
x ˄ y ∈ A se ( x, y ) ∈ R e ( y , x ) ∈ R → x = y
Exemplo: Uma relação anti-simétrica em A = {a,b,c}, é dada por:
R = {(a,a), (b,b), (c,b), (a,b)}
b
a
Observe que todas as flechas apontam
em um único sentido.
c
A
Contra-exemplo: A relação R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)} sobre A = {a,b,c} não é antisimétrica pois sendo a ≠ b, aRb e bRa.
b
a
Observação na relaçãoAnti-simétrica
não há flechas de duas pontas.
c
A
Exercícios
1. Seja R a relação em A = {1,2,3,4,5} tal que: xRy ↔ {x - y é múltiplo de 2}.
Enumerar os elementos de R. Que propriedades R apresenta?
2. Enumerar os elementos das seguintes relações em A = {a,b,c,d}. Que
propriedades R1 e R2 apresentam?
R1
R2
A
A
b
a
c
d
b
a
c
d
11
R3
R4
A
b
a
c
b
d
a
A
c
d
3. Seja A = {1,2,3}. Considerem-se as seguintes relações em A:
R1 = {(1,2);(1,1);(2,2);(2,1);(3,3)}
R2 = {(1,1);(2,2);(3,3);(1,2);(2,3)}
R3 = {(1,1);(2,2);(1,2);(2,3);(3,1)}
R4 = A X A
Quais são reflexivas? Simétricas? Transitivas? Anti-simétricas?
4. Dados os conjuntos A= { 0, 1, 2} e B= { 0, 1, 2, 4} e a relação R ={(x, y) ∈AXB |
yx } verifique se a relação é: reflexivas? Simétricas? Transitivas? Anti-simétricas?a
5. Dados os conjuntos A= { 0, 1, 2} e B= { 0, 1, 2, 4} e a relação R ={(x, y) ∈AXB | y
é múltiplo x } verifique se a relação é: reflexivas? Simétricas? Transitivas? Antisimétricas?
6. Dados os conjuntos A= { 0, 1, 2} e B= { 1, 2, 4} e a relação R ={(x, y) ∈BXA | y é
divide x } verifique se a relação é: reflexivas? Simétricas? Transitivas? Antisimétricas?
7. Dado o conjunto A= { 1, 2, 3, 6} e a relação R ={(x, y) ∈ AXA | y é divide x }
verifique se a relação é: reflexivas? Simétricas? Transitivas? Anti-simétricas?
8. Teste cada relação binária no conjunto dado S para ver se é reflexiva, simétrrica
anti-simétrica ou transitiva.
a. S= IN; x R y ↔ x + y é par
b. S = Z+; x R y ↔ x divide y
c. S= IN; x R y ↔ x = y2
d. S = { 0, 1 }; x R y ↔ x = y2
e. S = { x / x mora em São Paulo }; x R y ↔x é mais velho que y.
12
f. S = { x / x é aluno de sua sala}; x R y ↔ x senta-se na mesma fileira que y.
Relação de Equivalência
Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de equivalência
sobre A se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva.
Ordem Parcial
Uma relação binária em um conjunto A que seja reflexiva, anti-simétrica e
transitiva é chamada de uma ordem parcial em A. representamos esse conjunto
parcialmente ordenado por ( A, ≤ )
Exemplo: Considere a relação R: “x divide y” em A = {1,2,3,6,12,18}
R={(1,1),(1,2),(1,3),(1,6),(1,12),(1,18),(2,2),(2,6),(2,12),(2,18),(3,3),(3,6),(3,12),(3,18)
,(6,6),(6,12), (6,18) ,(12,12),(18,18)}
Podemos verificar que R é reflexiva, pois todo elemento se relaciona com ele
mesmo. É anti-simétrica, pois para todo (x,y) não existe (y,x) e é transitiva pois temos
por exemplo, (3,6), (6,12) e (3,12). Logo a relação é uma relação de ordem parcial
Ordem Total
Uma ordem parcial onde todo elemento do conjunto está relacionado a todos os
outros elementos é chamada de ordem total ou cadeia.
Exemplo
Em A= {a,b,c} a relação R= {(a,a), (a,b),(a,c), (b,b),(b,c), (c,c)} é totalmente ordenada,
pois é reflexiva, anti-simétrica e transitiva e todos os elementos estão relacionados.
Diagrama de Hasse
Sendo (A≤ ), um conjunto parcialmente ordenado temos que:
Se x ≤ y, então ou x= y ou x ≠ y.
Se x ≤ y e x ≠ y, escrevemos x< y e dizemos que x é predecessor de y, ou que y é
um sucessor de x.
13
Um elemento y pode ter muitos predecessores mas se x < y e não existe nenhum z
com x < z < y, então x é predecessor imediato de y.
Se A for finito, podemos representar visualmente um conjunto parcialmente ordenado
por um diagrama de Hasse. Cada elemento de A é representado por um ponto,
denominado nó ou vértice do diagrama. Se x é um predecessor imediato de y, o nó
que representa y é colocado acima do nó que representa x e os dois nós são
conectados por um segmento de reta.
Exemplos:
1) Considerando a relação R: “x divide y” em A = {1,2,3,6,12,18}, logo
R={(1,1),(1,2),(1,3),(1,6),(1,12),(1,18),(2,2),(2,6),(2,12),(2,18),(3,3),(3,6),(3,12),
(3,18) ,(6,6),(6,12), (6,18) ,(12,12),(18,18)} podemos construir o seguinte
diagrama de Hasse:
12
18
6
2
Observe que
3
1
- o elemento 1 é predecessor de todos os demais elementos e é predecessor
imediato de 2 e 3.
- Os elementos 2 e 3 são predecessores de 6, 12 e 18 e predecessor imediato de 6.
2) Considerando a relação R: x ≤ y em A= { 1, 2, 3} temos que
R = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2,2), (2, 3), (3, 3)} cujo diagrama de Hasse será:
3
2
1
Observe que:
14
O elemento 1 é o predecessor imediato de 2 e predecessor de 3.
O elemento 2 é predecessor imediato do elemento 3
Essa relação representa uma ordem total, pois todos os elementos se relacionam
com todos os elementos.
Exercícios
1 . Dado o conjunto A= { 1, 2, 3, 6} e a relação R ={(x, y) ∈ AXA | y é divide x }
Verifique se a relação é parcialmente ordenada e em caso afirmativo construa o
diagrama de Hasse.
2. Dado o conjunto A= { 1, 2, 3, 4} e a relação R ={(x, y) ∈ AXA | y ≤ x } Verifique
se a relação é parcialmente ordenada e em caso afirmativo construa o diagrama de
Hasse.
3. Dado o conjunto A= { 1, 2, 4, 6} e a relação R ={(x, y) ∈ AXA | y ≥ x } Verifique
se a relação é parcialmente ordenada e em caso afirmativo construa o diagrama de
Hasse.
4. Construa o diagrama de Hasse dada as relações:
a. Todos os divisores naturais de 36
b. S = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} onde a relação xRy↔ x divide y
5. Construa o diagrama de Hasse dos subconjuntos abaixo, cuja relação é xRy↔ x
divide y e classifique em ordem total ou parcial
a. {2, 6, 12, 24}
b. {1,3,15,5}
c. {15,30,5}
6. Para cada um dos diagramas de Hasse na figura abaixo, liste os pares ordenados
5
que pertencem à relação de ordem correspondente.
a)
c)
b)
5
d
3
e
4
f
4
2
1
2
a
b
c
3
1
15
ORDENAÇÃO TOPOLÓGICA e PERT
A relação de ordem não é necessariamente usada em conjuntos numéricos. Ela
pode ser aplicada a outros tipos de conjuntos cuja ordenação seqüencial pode ser
possível .
Seja um conjunto S e R uma relação de ordem parcial em S. Sendo R uma relação
de ordem parcial em S, temos que alguns elementos de S são predecessores de
outros, logo se x e y são dois elementos de S, com x≤y,e x≠y, então, x é
predecessor de y, x<y.
Considerando S um conjunto de tarefas a serem executadas podemos associar a
idéia de x como predecessor de y como “a tarefa x deve ser executada antes da
tarefa y” . Dessa forma, ordens parciais e diagramas de Hasse são maneiras naturais
de se representar problemas na ordenação de tarefas.
Exemplo 1. Ernesto e seus irmão tem uma marcenaria no Rio de Janeiro que
fabrica cadeiras de balanço com assentos estofados. O processo pode ser dividido
em uma série de tarefas, algumas delas tendo outras como pré-requisito. A tabela
abaixo mostra as tarefas necessárias para se produzir uma cadeira de balanço, os
pré-requisitos e o número de horas necessárias para se concluir cada tarefa.
Tarefa
Pré-requisitos
Horas para conclusão
nenhum
3,0
2. Talho da peça curva que balança
1
4,0
3. Talho da parte de madeira do assento
1
6,0
4. Talho do encosto
1
7,0
5. Talho dos braços
1
3,0
6. Seleção do tecido
nenhum
1,0
6
2,0
1. Seleção da madeira
7. Costura da almofada
8. Junção do encosto e da parte de madeira
do assento
9. Colocação dos braços
3;4
2,0
5;8
2,0
10. Colocação da peça curva que balança
2;8
3,0
11. Aplicação de verniz
9;10
5,0
12. Colocação da almofada
7;11
0,5
16
Podemos definir uma relação de ordem parcial no conjunto das tarefas por:
x ≤ y ↔ tarefa x = tarefa y ou tarefa x é pré-requisito para tarefa y
Podemos verificar que essa relação é reflexiva, anti-simétrica e transitiva. Além
disso, x < y ↔ a tarefa x é pré-requisito para a tarefa y.
No diagrama de Hasse para essa ordem parcial os nós são tarefas; adicionaremos a
cada nó a informação sobre o tempo necessário para a conclusão da tarefa. Além
disso, orientando o diagrama da esquerda para a direita, em vez de baixo para cima,
teremos que se x< y, então x está à esquerda de y, em vez de embaixo. Tais
diagramas são chamados de PERT ( Program Evaluation and Review Technique) , e
são úteis para projetos complexos que possam ser divididos em tarefas
complementares. Na figura abaixo vemos o diagrama PERT para a produção de
cadeiras de balanço, onde ao invés do nome de cada tarefa colocamos o número,
associando-os aos nós e setas apontando para as tarefas a partir de seu (s) prérequisito (s). Os números entre parênteses indicam o tempo necessário para
completar cada tarefa.
Um projeto representado por um diagrama PERT tem que começar com as tarefas
na extrema esquerda do diagrama e terminar com as tarefas na extrema direita.
O diagrama de PERT da relação representada na tabela acima é dado por:
2(4,0)
10(3,0)
3(6,0)
1(3,0)
8(2,0)
11(5,0)
4(7,0)
5(3,0)
9(2,0)
12(3,0)
6(1,0)
7(2,0)
CÁLCULO DO TEMPO NECESSÁRIO PARA COMPLETAR O PROJETO
É Observamos que algumas tarefas podem ser realizadas simultaneamente
enquanto que outras necessariamente depende da execução de um predecessor
para sua realização. Isto nos permite obter o tempo necessário para se realizar o
projeto. Para obter esse tempo basta seguir os nos somando o tempo necessário
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para realização de cada tarefa. Caso um nó tem diversos requisitos, usaremos o
valor da tarefa que apresente maior tempo necessário para que seja completado
cada requisito.
No exemplo, nosso exemplo a tarefa 4, que apresenta maior tempo de execução em
relação as tarefas 2, 3, e 5, limita a execução da tarefa 8 que por sua vez limita a
execução da tarefa 10. Logo a seqüência de tarefas para obter o tempo, mínimo,
para a realização do projeto será: 1, 4, 8,, 10, 11 e 12, com tempos estimados em
(3,0), (7,0), (2,0) (3,0) (5,0) e (0,5) que corresponde a um tempo total de 20,5 horas,
tempo mínimo necessário para a realização do projeto.Para simplificar, podemos
percorrer o diagrama na ordem inversa, selecionando em cada ponto com mais de
um pré-requisito, o nó que contribui com o valor máximo. No exemplo ficamos com a
seqüência 12,11,10,8,4,1. A soma dos tempos necessários para completar cada
tarefa dessa seqüência é 20,5. Essa seqüência de nós é chamada de caminho
crítico.
Exemplo 2. Considere o projeto de construção de uma casa de madeira, a partir da
tabela de tarefas dada abaixo.
Tarefa
1. Limpeza do terreno
2. Produção e colocação da fundação
3. Produção da estrutura
4. Colocação do telhado
5. Colocação das tábuas externas
6. Instalação do encanamento e da fiação
7. Colocação de janelas e portas
8. Instalação das paredes internas
9. Pintura do interior
Pré-requisitos
Nenhum
1
2
3
3
4, 5
3
6
7, 8
Dias para Conclusão
4
3
7
6
4
6
5
5
5
O diagrama de PERT será
4(6)
2(3)
3(7)
8(5)
9(5)
1(4)
6(6)
5(4)
7(5)
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Os nós do caminho crítico são: 9,8,6,4,3,2,1 e o tempo mínimo necessário para
completar o projeto é de 36 dias.
EXERCÍCIOS
1. Construa um diagrama PERT da tabela de tarefas a seguir, calculando o tempo
mínimo para completá-la e os nós do caminho crítico.
Tarefa
A.
B
C
D
E
F
G
H
Pré-requisitos
E
C,D
A
A
Nenhum
A,G
E
B,F
Tempo para a conclusão
3
5
2
6
2
4
4
1
2. Construa um diagrama PERT da tabela de tarefas a seguir, calculando o tempo
mínimo para completá-la e os nós do caminho crítico.
Tarefa
Pré-requisitos
Tempo para a conclusão
1
2
3
4
5
6
7
8
2
3
8
3
4, 7
5
3
Nenhum
4
2
5
2
2
1
3
5
3. Considere o projeto de elaboração de uma apostila para um novo curso. A tabela
abaixo mostra as atividades básicas do projeto, bem como tempo previsto de
duração e pré-requisitos.
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4. Observe o diagrama apresentado abaixo e elabore a tabela que o descreve.
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