Universidade Federal de Alagoas
Centro de Tecnologia
Estatística
Aula 11
Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne
Santos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues
Aula 11

Regra da Multiplicação

Probabilidade Condicional

Independência de Eventos
Propriedades Básicas
Regra da Multiplicação
Estamos interessados na probabilidade de o evento A
ocontecer em uma primeira prova e o evento B ocorrer em
uma segunda prova
Palavra – chave  e
Notação
P(A e B ) = P(evento A ocorrer na primeira prova e evento B
ocorrer na segunda prova)
Propriedades Básicas
Regra da Multiplicação
Exemplo: Supor que em um teste temos duas questões: a 1ª é
verdadeiro ou falso e a 2ª possui 5 alternativas (a, b, c, d, e).
Qual a probabilidade de que, se uma pessoa responde
aleatoriamente as ambas as questões, a 1ª resposta esteja certa
e a 2ª resposta esteja certa?
Vamos supor que as respostas corretas sejam V e c
Queremos P(V e c)
Propriedades Básicas
Regra da Multiplicação
1ª
V
Espaço
amostral
F
2
x
2ª
Resultados possíveis
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
Va
Vb
Vc
Vd
Ve
Fa
Fb
Fc
Fd
Fe
5
=
10
P(ambas
corretas)
P(V e c) 

1
10
1
10
 0,1
 0,1
Propriedades Básicas
Regra da Multiplicação
P(V)
Se vocês prestaram a atenção
1
1 1
P(V e c) 
 0,1  
10
2 5
P(V e C) = P(V) . P(c)
P(c)
Este problema foi resolvido com o auxílio de um diagrama de
árvore porque o no de resultados possíveis não foi muito grande
Acertar a 2ª questão depende de ter acertado a 1ª ?
Propriedades Básicas
Regra da Multiplicação
Pelo menos 1 ...
Ache a probabilidade de que, entre várias provas, pelo menos
uma forneça um resultado especificado
Pelo menos um é equivalente a um ou mais
O complementar de se obter pelo menos um
de um item particular é não se obter qualquer
item daquele tipo
Propriedades Básicas
Regra da Multiplicação
Pelo menos 1 ...
Exemplo: Ache a probabilidade de uma casal ter, pelo menos, 1
menina entre 3 crianças. Suponha que meninos e meninas
sejam igualmente prováveis e que o sexo de uma criança seja
independente do sexo de qualquer outro irmão ou irmã
Seja A = pelo menos 1 das 3 crianças é menina
Evento complementar:
A = não obter pelo menos 1 menina em 3
crianças = todas as 3 crianças são meninos =
menino, menino, menino
P( A ) 
1 1 1
1
  
2 2 2 8
P(A)  1  P( A )  1 -
1
8

7
8
menino-menino-menino
menino-menino-menina
menino-menina-menino
menino-menina-menina
menina-menino-menino
menina-menino-menina
menina-menina-menino
menina-menina-menina
Propriedades Básicas
Regra da Multiplicação
Pelo menos 1 ...
Para achar a probabilidade de pelo menos um de
alguma coisa, calcule a probabilidade de nenhum,
então subtraia o resultado de 1
P(pelo menos um ) = 1 - P(nenhum)
Probabilidade Condicional

Como será que a probabilidade de um evento muda
após sabermos que um outro evento ocorreu? Isso nos
leva à idéia de probabilidade condicional

A idéia de probabilidade condicional está intimamente
relacionada ao fato da ocorrência de um evento afetar
ou não a probabilidade de ocorrência de outro evento

Uma probabilidade condicional nada mais é do que
uma probabilidade calculada não mais a partir do
espaço amostral inteiro E, e sim a partir de um
subconjunto de E
Probabilidade Condicional
Motivação

Suponha uma população com N indivíduos

Suponha dois eventos:
A: o indivíduo é do sexo feminino
B: o indivíduo é daltônico

Pode-se definir as probabilidades
P(A) = Nf / N
P(B) = Nd / N

Poderíamos estar interessados em saber a probabilidade de
ser daltônico dentro da população feminina
ou seja: P(B|A) = Ndf / Nf
dividindo os dois lados por N:
P(B | A) 
P(A  B)
P(A)
Probabilidade Condicional
Motivação
E
A
A∩ B
Espaço amostral E
B
A
A∩ B
Na probabilidade condicional, A
faz o papel do espaço amostral
B
P(B | A) 
P(A  B)
P(A)
Probabilidade Condicional
Exemplo da genética
Se 2 ervilhas são escolhidas aleatoriamente sem reposição ...
Qual a Prob.
de que a 1ª
tenha vagem
verde e 2ª
amarela?
Probabilidade Condicional
Exemplo da genética
1ª seleção: P(vagem
2ª seleção: P(vagem
P(1
a
verde) 
amarela)
a
8
14
Há 14 ervilhas, 8 das
quais têm vagem verde
6 Restam 13 ervilhas, 6

das quais têm vagem
13
amarela
com vagem verde e 2 com vagem amarela)

8

6
14 13
 0,264
Probabilidade Condicional
O ponto chave é que temos que ajustar a
probabilidade do 2º evento para refletir o resultado
do 1º evento
A probabilidade para o 2º evento B tem que levar em
conta o fato de que o 1º evento A já ocorreu
Notação
P(A e B) = P(A) . P(B|A)
P (B | A)  lê-se “P de B dado A”
Probabilidade Condicional
Ao calcular a probabilidade de ocorrência do
evento A em uma prova e do evento B na prova
seguinte, multiplique a probabilidade do evento A
pela a probabilidade do evento B, mas certifiquese de que a probabilidade do evento B leva em
conta a ocorrência prévia do evento A
Formal
P(A  B) = P(A) . P(B|A)
Probabilidade Condicional
Definição
Dados dois eventos A e B, com P(A) > 0, chama-se P(B | A)
a probabilidade condicional de B dado A (ou probabilidade
de B condicionada a A) definida pela expressão
P(B | A) 
Analogamente:
P(A | B) 
P(A  B)
P(A)
P(A  B)
P(B)
(com P(B) > 0)
Probabilidade Condicional
Se A e B são disjuntos:
A
Se B
A:
B
P(B | A)  0
A
P(A  B)  P(B)
B
P(B | A) 
Se A
Caso geral:
P(B)
B
P(A)
A
B:
P(A  B)  P(A)
P(B | A)  1
B
A
P(B | A) 
P(A  B)
P(A)
Probabilidade Condicional
Uma vez que:
P(A | B) 
P( A  B)
P(B)
e
P ( B | A) 
P( A  B)
P ( A)
Temos:
P ( A  B )  P ( B ). P ( A | B )
e
P ( A  B )  P ( A ). P ( B | A )
Logo:
P ( A  B )  P ( B ). P ( A | B )  P ( A ). P ( B | A )
Probabilidade Condicional
P ( A  B )  P ( B ). P ( A | B )  P ( A ). P ( B | A )
Esse resultado é também conhecido como Teorema da
Multiplicação
Este teorema nos permite escrever uma probabilidade
condicional em termos da probabilidade condicional
“inversa”, o que é útil quando uma delas for difícil de
calcular
Em particular:
P( A | B) 
P ( A ). P ( B | A )
P(B)
Probabilidade Condicional
Exemplo 1
Um grupo de pessoas inclui 40 com diploma de curso superior,
20 microempresários e 10 que são, ao mesmo tempo, portadores de
diploma do curso superior e microempresários.
Calcule a probabilidade de alguém ser microempresário sabendo que
ele tem diploma de curso superior.
Sejam os eventos:
A = { pessoa tem diploma de curso superior }
B = { pessoa é um microempresário }
Probabilidade Condicional
Exemplo 1
Seleciona-se uma das 50 pessoas aleatoriamente.
Então:
P( A ) = 40/50 , P( B ) = 20/50 e P( A ∩ B ) = 10/50
Considere o seguinte evento: a pessoa é microempresária e sabe-se
que ela tem diploma de curso superior
A probabilidade deste evento é diferente da probabilidade da pessoa ser
microempresária, visto que agora o espaço amostral não consiste mais
nas 50 pessoas originais, mas apenas naquelas que possuem diploma
de curso superior
Probabilidade Condicional
Exemplo 1
A probabilidade condicional de que uma pessoa
seja microempresária sabendo-se que ela tem
diploma de curso superior é dada por:
10
P(A  B)
10
50
P ( B | A) 


40
P ( A)
40
Observações
50
O exemplo mostra que devemos olhar
P ( B | A )  0, 2 5
para as 10 pessoas na interseção
dentre as 40 pessoas com diploma de
curso superior
O nosso espaço amostral, ao calcular a probabilidade
condicional, restringe-se às 40 pessoas que têm curso
superior, e não mais às 50 pessoas do grupo original
Probabilidade Condicional
Exemplo 2
Em uma amostra de 100 funcionários de uma empresa:




35 são homens e fumantes,
28 são homens e não fumantes,
17 são mulheres e fumantes,
20 são mulheres e não fumantes.
Qual a probabilidade de um funcionário escolhido ao
acaso ser fumante, considerando que ele seja homem?
Probabilidade Condicional
Exemplo 2
Sejam os eventos:
A = { o funcionário é fumante }
B = { o funcionário é homem }
Probabilidade Condicional
Exemplo 2
Note que, quando definimos que o evento B correu (o funcionário é
homem), restringimos o espaço amostral à ocorrência do evento A
(o funcionário é fumante)
O novo universo passa a ser o próprio evento B
Probabilidade Condicional
Exemplo 2
Utilizando o número de elementos de cada conjunto:
P(A | B) = 35/63 = 0,556
Ou empregando a expressão da definição:
P(B) = 63/100 = 0.63
P(A ∩ B) = 35/100 = 0.35
P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0,35/0,63 = 0,556
Probabilidade Condicional
Exemplo 3
Ao serem lançados dois dados equilibrados sobre uma
mesa, calcule a probabilidade de a soma das duas faces ser
8, sabendo que ocorre face 3 no primeiro dado.
Sejam os eventos:
A = { a soma das duas faces é 8 }
B = { ocorre face 3 no primeiro dado }
Total de resultados possíveis no lançamento dos dois dados: 6 x 6 = 36
A = { (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2) }
B = { (3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (3;5), (3;6) }
P ( A  B )  1 / 36
P ( B )  6 / 36
(3;5)
P( A | B) 
P(A  B)

P(B)
P(A | B)  1/ 6
1 / 36
6 / 36
Independência de Eventos
Dois eventos A e B são independentes quando se verifica:
P ( A | B )  P ( A)
P( A | B) 
P( A  B)
e
P (B | A)  P (B )
 P ( A  B )  P ( A)  P ( B )
P(B)
Portanto, se A e B são
eventos independentes vale:
P ( A  B )  P ( A)  P ( B )
Independência de Eventos
Dois eventos são independentes se qualquer uma das
seguintes afirmações for verdadeira:
1)P(A│B) = P(A)
2)P(B│A) = P(B)
3)P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
Probabilidade Condicional
Exemplo 4
A tabela abaixo descreve a história de 84 amostras de ar,
com base na presença de duas moléculas raras. Faça A
denotar o evento que consiste em todas as amostras de ar
que contém a molécula 1 e B denotar o evento que consiste
em todas as amostras de ar que contém a molécula 2.
Calcule P(B) e P(B│A).
Molécula 2
Não
Sim
Molécula 1
Não
Sim
32
24
16
12
Probabilidade Condicional
Exemplo 4
Resposta:
P(B) = 28 / 84 = 0,333
P(A) = 36 / 84 = 0,428
P(B│A) = P(A ∩ B)/P(A) = (12/84) / (36/84) = 12/36 = 0,333
P(A ∩ B) = P(A) . P(B) = (36/84).(28/84) = 0,142
P(A ∩ B) = 12/84 = 0,142
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