Instituto de Fı́sica
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Cap. 1 - Vetores
Prof. Elvis Soares - Fı́sica I
2014.1
Vetores são descrições matemáticas de quantidades que possuem intensidade, direção e sentido.
A intensidade de um vetor ou também chamado de módulo é um número não-negativo, às vezes
acompanhado de sua unidade fı́sica.
1
Descrição em Termos de Coordenadas
Podemos especificar a posição de um ponto no espaço tridimensional através de 3 números que
chamamos de coordenadas:
z
z′
z(t)
P (x, y, z)
O
P = (x(t), y(t), z(t))
x(t)
x
(1)
y′
y(t)
y
x′
O sistema de coordenadas é um acessório e, de fato, o mesmo movimento pode ser descrito com
eixos de orientação diferentes.
P = (x′ (t), y ′ (t), z ′ (t))
(2)
Podemos descrever o movimento intrinsicamente através de vetores, pois para caracterizar o
movimento de uma partı́cula em sua trajetória, precisamos conhecer a magnitude (distância à
origem), bem como a direção e sentido do deslocamento.
1
3 ADIÇÃO DE VETORES
2
Vetores
“A formulação de uma lei fı́sica em termos de vetores é independente da escolha dos eixos coordenados.”
⃗ O vetor que tem a mesma direção e o mesmo módulo que A,
⃗ porém sentido
Seja um vetor A.
oposto, é chamado de vetor oposto.
⃗
A
⃗
−A
⃗ é a sua magnitude e denotado por
O módulo do vetor A
⃗ = |A|
⃗
A
3
(3)
Adição de Vetores
⃗ e B.
⃗ Tomemos a origem de B
⃗ na extremidade de A:
⃗
Dados dois vetores A
⃗
B
⃗
B
⃗
A
⃗
A
⃗+B
⃗ como sendo o vetor representado pela seta que une a origem do vetor A
⃗
Definimos a soma A
⃗
com a extremidade do vetor B.
⃗+B
⃗
A
⃗
B
⃗
A
Algumas propriedades:
2
4 MULTIPLICAÇÃO DE UM ESCALAR POR VETORES
1. comutatividade
⃗+B
⃗ =B
⃗ +A
⃗
A
2. associatividade
⃗ + B)
⃗ +C
⃗ =A
⃗ + (B
⃗ + C)
⃗
(A
3. vetor nulo
⃗ + ⃗0 = A
⃗
A
4. vetor oposto
⃗ + (−A)
⃗ = ⃗0
A
Além disso
⃗−B
⃗ =A
⃗ + (−B)
⃗
A
4
Multiplicação de um Escalar por Vetores
⃗ um vetor. Podemos associar um novo vetor, simbolizado por λA,
⃗ que:
Seja λ um número real e A
⃗ = 0, temos λA
⃗ como sendo o vetor nulo.
• Se λ = 0 ou A
⃗ é o vetor com a mesma direção de A,
⃗ com módulo igual a |λA|
⃗ = |λ||A|,
⃗
• Nos outros casos, λA
⃗ se λ > 0, mas sentido oposto se λ < 0.
e com o mesmo sentido de A
3
5 COMPONENTES DE UM VETORES
⃗ e B,
⃗ temos:
Para quaisquer λ e µ ∈ R, e quaisquer vetores A
⃗ = (λµ)A
⃗
λ(µA)
⃗ = λA
⃗ + µA
⃗
(λ + µ)A
⃗ + B)
⃗ = λA
⃗ + λB
⃗
λ(A
⃗ é diferente de nulo, seu módulo |A|
⃗ tem um inverso
Além disso, se o vetor A
1
. E multiplicando-se
⃗
|A|
⃗ por esse número, tem-se um vetor unitário:
o vetor A
 ≡
1 ⃗
A
⃗
|A|
(4)
onde um vetor unitário é um vetor cujo módulo é igual a 1, ou seja, |⃗u| = 1.
5
Componentes de um Vetores
Consideremos um sistema de coordenadas cartesiano e vetores unitários ao longo da direção de
cada eixo independentemente, denominados x̂, ŷ e ẑ, conforme a figura.
4
5 COMPONENTES DE UM VETORES


x̂ = (1, 0, 0)
ŷ = (0, 1, 0)


ẑ = (0, 0, 1)
⃗ usando unitários na forma
Podemos escrever um vetor A
⃗ =
A
=
=
=
(Ax , Ay , Az )
(Ax , 0, 0) + (0, Ay , 0) + (0, 0, Az )
Ax (1, 0, 0)+, Ay (0, 1, 0) + Az (0, 0, 1)
Ax x̂+, Ay ŷ + Az ẑ
Vamos demonstrar então que qualquer vetor pode ser escrito em termos de x̂, ŷ e ẑ, como descrito
acima.
Por construção, sabemos que:
⃗=A
⃗ xy + A
⃗z e A
⃗ xy = A
⃗x + A
⃗y
A
E assim, podemos escrever claramente
⃗=A
⃗x + A
⃗y + A
⃗z
A
E de fato, existem números Ax , Ay e Az , tal que
⃗ x = Ax x̂ , A
⃗ y = Ay ŷ e A
⃗ z = Az ẑ
A
⃗ pode ser escrito como
De tal forma que nosso vetor A
⃗ = Ax x̂ + Ay ŷ + Az ẑ
A
Algumas propriedades desse resultado são apresentadas a seguir.
5
(5)
6 PRODUTOS ENTRE VETORES
1. Um vetor é nulo se, e somente se, suas componentes são iguais a zero.
Ax x̂ + Ay ŷ + Az ẑ = ⃗0 ⇔ Ax = 0, Ay = 0 e Az = 0
2. Dois vetores são iguais se, e somente se, suas respectivas componentes forem iguais.
Ax x̂ + Ay ŷ + Az ẑ = Bx x̂ + By ŷ + Bz ẑ
do que obtemos
(Ax − Bx )x̂ + (Ay − By )ŷ + (Az − Bz )ẑ = ⃗0
e da propriedade (1), obtemos Ax − Bx = Ay − By = Az − Bz = 0, e então
⃗=B
⃗ ⇔ Ax = Bx , Ay = By e Az = Bz
A
3. Cada componente da soma de dois vetores é igual a soma das respectivas componentes dos
vetores.
⃗=B
⃗ +C
⃗ ⇔ Ax = Bx + Cx , Ay = By + Cy e Az = Bz + Cz
A
*Mostre!
4. Cada componente do produto de um escalar por um vetor é igual ao produto do escalar pela
respectiva componente do vetor.
⃗ = λB
⃗ ⇔ Ax = λBx , Ay = λBy e Az = λBz
A
*Mostre!
Todos os infinitos vetores do espaço tridimensional podem ser escritos a partir dos vetores unitários
de base x̂, ŷ e ẑ.
6
6.1
Produtos entre Vetores
Produto Escalar
⃗ eB
⃗ é definido como um número que é obtido pelo módulo de A
⃗ vezes
O produto escalar entre A
⃗
o módulo de B vezes o cosseno do ângulo entre eles, conforme figura. Assim, o produto escalar
resulta em um escalar.
⃗·B
⃗ ≡ AB cos θ
A
(6)
Vemos que nenhum sistema de coordenadas está envolvido na definição do produto escalar. Algumas propriedades do produto escalar são mostradas a seguir.
6
6.1 Produto Escalar
6 PRODUTOS ENTRE VETORES
1. comutatividade:
⃗·B
⃗ =B
⃗ ·A
⃗
A
2. módulo de um vetor:
⃗·A
⃗ = A2 cos 0 = A2 = |A|
⃗
A
3. ortogonalidade:
⃗⊥B
⃗ ⇔ A
⃗·B
⃗ =0
A
*Mostre!
⃗ e um vetor B
⃗ escritos em termos de componentes cartesianas, o produto escalar
Seja um vetor A
entre esses dois vetores pode ser escrito como
⃗·B
⃗ = (Ax x̂ + Ay ŷ + Az ẑ) · (Bx x̂ + By ŷ + Bz ẑ)
A
e como x̂ · ŷ = x̂ · ẑ = ŷ · ẑ = 0 e x̂ · x̂ = ŷ · ŷ = ẑ · ẑ = 1, então podemos escrever
⃗·B
⃗ = Ax Bx + Ay By + Az Bz
A
(7)
⃗ pode ser obtido
Que demonstra que em termos de componentes, o módulo de um vetor qualquer A
através de
A=
√
√
⃗·A
⃗ = Ax Ax + Ay Ay + Az Bz
A
Lei dos cossenos:
⃗ =A
⃗ − B,
⃗ e tomando o produto escalar de cada cada lado dessa expressão, teremos:
Seja C
⃗ ·C
⃗ = (A
⃗ − B)
⃗ · (A
⃗ − B)
⃗
C
ou
⃗·B
⃗
C 2 = A2 + B 2 − 2A
que é exatamente a relação trigonométrica famosa
C 2 = A2 + B 2 − 2AB cos θ
7
(8)
6.2 Produto Vetorial
6.2
6 PRODUTOS ENTRE VETORES
Produto Vetorial
⃗ e B
⃗ resulta em um novo vetor que é perpendicular ao
O produto vetorial entre dois vetores A
plano que inclui ambos os vetores, e com magnitude dada por AB| sen θ|.
⃗ =A
⃗×B
⃗ = ĈAB sen θ
C
(9)
onde o sentido de Ĉ é determinado por convenção pela regra da mão-direita. Além disso, algumas
propriedades do produto vetorial decorrem dessa convenção.
1. não-comutatividade:
⃗ ×A
⃗ = −A
⃗×B
⃗
B
2. vetor nulo:
⃗×A
⃗ = ⃗0
A
3. distributiva:
⃗ × (B
⃗ + C)
⃗ =A
⃗×B
⃗ +A
⃗×C
⃗
A
⃗eB
⃗ escritos em termos de componentes é calculado a partir
O produto vetorial entre dois vetores A
de
⃗×B
⃗ = (Ax x̂ + Ay ŷ + Az ẑ) × (Bx x̂ + By ŷ + Bz ẑ)
A
= (x̂ × ŷ)Ax By + (x̂ × ẑ)Ax Bz + (ŷ × x̂)Ay Bx
+(ŷ × ẑ)Ay Bz + (ẑ × x̂)Az Bx + (ẑ × ŷ)Az By
onde usamos que x̂ × x̂ = ŷ × ŷ = ẑ × ẑ = 0, e da regra da mão-direita sobre o sistema de
coordenadas podemos notar que x̂ × ŷ = ẑ, x̂ × ẑ = −ŷ e ŷ × ẑ = x̂. Note essa relação a partir do
sistema de coordenadas acima.
Vemos então que o produto vetorial pode ser escrito na seguinte forma em termos de componentes.
⃗×B
⃗ = (Ay Bz − Az By )x̂ + (Az Bx − Ax Bz )ŷ + (Ax By − Ay Bx )ẑ
A
8
(10)
6.2 Produto Vetorial
6 PRODUTOS ENTRE VETORES
Caso esteja mais familiarizado com determinantes, pode-se obter o produto vetorial a partir da
representação.
x̂ ŷ
ẑ
⃗
⃗
A × B = Ax Ay Az Bx By Bz (11)
Lei dos senos:
⃗ =A
⃗ + B,
⃗ e tomando o produto vetorial de cada cada
Consideremos o triângulo definido por C
⃗
lado dessa expressão por A, teremos:
⃗×C
⃗ =A
⃗×A
⃗+A
⃗×B
⃗
A
⃗×A
⃗ = 0, e os módulos de ambos
e como A
os lados devem ser iguais tal que:
AC sen γ = AB sen β
que é exatamente a relação trigonométrica conhecida como lei dos senos.
sen β
sen γ
=
B
C
9