Resumo de Aula:
Movimento Retilíneo Uniforme.
1- Movimento uniforme.
(i) Introdução
O movimento mais simples que podemos estudar é o de uma partícula que se move com
velocidade constante em uma linha reta. Neste caso a velocidade média do corpo é igual à sua
velocidade instantânea e o movimento é chamado de movimento retilíneo uniforme (MRU)
v= constante ≠ 0
Apesar deste movimento ser uma abstração há pelo menos dois bons motivos para seu
estudo:
• Serve de modelo de estudo para o entendimento de movimentos mais complexos. A
experiência que adquirirmos nos será útil mais adiante.
• Há movimentos que podem ser tratados como se fossem MRU, mesmo que a
velocidade esteja mudando e que o corpo não esteja em linha reta. Um exemplo seria o
metro, pois apesar das constantes paradas e mudanças de direção, podemos aproximar seu
movimento por um MRU. Esta aproximação é boa o suficiente para, por exemplo, estimar o
tempo de uma viagem.
Na realidade há um terceiro motivo para estudarmos o MRU. Mas este está relacionado
com o estudo das Leis de Newton, que serão vistas nas aulas de dinâmica.
(ii) Função da posição em relação ao tempo:
Neste momento teremos o primeiro contato em física com uma noção muito poderosa: a
noção de função. Uma função é uma maneira matemática de expressarmos a dependência entre
duas (ou mais) grandezas. Se tentarmos informar a alguém a posição de um carro se
movimentando em uma rodovia, por exemplo, temos que informar não só a posição como
também em que momento o carro estava lá. A posição e o tempo estão relacionados.
Apesar de sabermos que existe uma relação não sabemos que tipo de relação é esta, mas
podemos dizer que ela dependerá da natureza do movimento. No caso do movimento uniforme
esta relação é representada por uma expressão matemática simples, mas em vez de
simplesmente aprender qual é esta relação, e partir para os exemplos, vamos construí-la a partir
do próprio movimento e tentar ver que a expressão matemática é uma conseqüência do
movimento, e não ao contrário.
Para isso vamos considerar a seguinte situação:
Uma bicicleta se move ao longo de uma pista de ciclismo. Como o tamanho da bicicleta
é muito menor que o resto do problema vamos considerá-la um ponto material. Esta bicicleta se
move com velocidade constante de 10 m/s em relação à um certo referencial ligado à pista, e no
momento que começamos a estudar o problema esta se encontrava a 20 m do inicio da pista
(figura 1)
.
Figura 1: Movimento de um móvel (bicicleta) em uma
trajetória retilínea
Se aceitarmos que ela se move com velocidade constante, poderemos determinar sua
posição em cada instante seqüente de maneira muito simples. Vamos inicialmente adotar uma
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convenção: em vez de usarmos um relógio para marcarmos o tempo vamos usar um cronômetro,
desta forma o problema se torna mais simples.
Pois bem, como podemos determinar a posição da bicicleta nos instantes subseqüentes?
De maneira bem fácil, basta lembrarmos que estar a 10m/s significa que a cada segundo que
passa o móvel anda 10m.
Após passar 1 segundo a bicicleta terá andado 10 m,
como inicialmente ela já estava na posição 20 m, então ela
estará na posição 30 m. Com a mesma linha de raciocínio
podemos determinar onde ela estará no instante 2 s, pois em
dois segundos ela andará 20 m, com os 20 m originais
teremos 40 m. E assim vai, no instante 3 s ela terá andado
30 m, com os 20 m iniciais teremos 50 m, no instante 4 s ela
estará na posição 60 m (40 m que ela andou mais os 20 m
originais). Podemos organizar melhor estes números com uma
tabela
Na primeira coluna da tabela 1 estão relacionados os
instantes de tempo, e na segunda o cálculo da posição além de
seu valor.
Tabela 1
Instante (s) Posição final (m)
0
20 + 10.0 = 20
1
20 + 10.1 = 30
2
20 + 10.2 = 40
3
20 + 10.3 = 50
4
20 + 10.4 = 60
5
20 + 10.5 = 70
6
20 + 10.6 = 80
7
20 + 10.7 = 90
Podemos ver na tabela que em todas as operações só
há dois itens que variam: o tempo e a posição final. Não
temos nenhum controle sobre o tempo, ele passa independentemente de nossa vontade, neste
problema ele é a variável independente (ou simplesmente variável).
A outra grandeza que varia é a posição final, mas há algo de peculiar nesta variação, ela
está diretamente relacionada com a passagem do tempo. Neste caso dizemos que a posição
depende do tempo, ou, como é mais usual, a posição é função do tempo.
Os outros dois valores que aparecem nas expressões são: a velocidade da bicicleta
(10 m/s) e a posição inicial (20 m). Esses dois valores são constantes e representam as
condições iniciais do problema. Se você tentar imaginar qualquer outro problema de movimento
uniforme você verá a única coisa que pode fazer é mudar a posição inicial e a velocidade do
móvel, não há mais nada a ser alterado, toda a linha de raciocínio aplicada no exemplo anterior
continuaria valida.
Vimos que as posições são representadas pela letra “s”, a velocidade por “v” e o tempo
por “t”, lembrando que a posição inicial leva o sub-índice zero, podemos sintetizar toda esta
linha de raciocínio por uma expressão matemática simples:
s = s0 + vt
Essa é a função da posição em relação ao tempo. Ela se aplica a qualquer problema de
movimento uniforme e a obtivemos a partir do estudo de um problema. Em geral encontrar
funções que descrevem fenômenos físicos não é tão simples assim. Algumas vezes encontrar as
relações matemáticas pode ser um caso de tentativa e erro, outras vezes pode ser sorte, outras
vezes uma lei é uma conseqüência matemática de uma outra.
Mais adiante estudaremos os movimentos acelerados, e encontraremos varias funções,
umas fáceis de se obter como esta, outras serão frutos de conseqüências matemáticas. Ao nos
depararmos com estas expressões, e como elas são obtidas, estaremos estabelecendo qual é a
relação entre matemática e física. Em geral estaremos mais interessados em saber como a física
se serve da matemática como linguagem de expressão, e como há toda uma maneira matemática
de se pensar.
(iii) Análise gráfica
Uma outra maneira de se analisar um problema de física é construir um gráfico que o
represente. A partir do estudo do gráfico podemos obter muitas informações a respeito do
fenômeno.
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Novamente o MU, por sua simplicidade, nos fornece um bom exemplo de construção de
gráficos. Tomemos novamente os dados da Tabela 1. Em uma coluna temos o tempo em
segundos e na outra a posição em metros. Nosso gráfico mostrará a relação entre estas duas
variáveis.
A construção do gráfico está mostrada na Figura 2. Inicialmente desenhamos o eixo
horizontal e o eixo vertical, indicando a escala utilizada e as unidades de medida (Figura 2-a). O
próximo passo é marcar os pontos referentes aos pares tempo-posição da Tabela 1, este processo
é comumente chamado de “plotar” (do inglês plot) o gráfico (Figura 2-b). Por ultimo devemos
desenhar uma curva por estes pontos, neste caso em particular esta curva será uma reta crescente
(Figura 2-c)
Figura 2: (a) construção dos eixos e da escala; (b)
plotagem dos pontos; (c) construção da reta (curva) que os
une
O gráfico obtido na Figura 2-c contém todas as informações a respeito do movimento
estudado. Podemos observar que a medida que o tempo passa o valor de s aumenta, o que
significa que o movimento é progressivo. O ponto onde a reta cruza o eixo s indica a posição
inicial do corpo (o ponto de cruzamento corresponde ao instante t=0). E por fim podemos obter
a velocidade do movimento extraindo os dados para o cálculo diretamente dos pontos do
gráfico. Observe a Figura 3:
Pelo gráfico temos que:
∆s = 70m - 20m = 50m
∆t = 5s - 0s = 5s
Da definição de velocidade média:
m
∆s 50m
=
= 10
vm =
s
∆t
5s
Figura 3: obtenção de dados
a respeito do movimento.
A velocidade do corpo está diretamente relacionada com a inclinação da reta: quanto
mais inclinada maior a velocidade do corpo. Por esta razão dizemos que a velocidade é igual à
inclinação da reta, ou em um linguajar mais matemático, é igual ao coeficiente angular da reta.
Isto significa que, para dois gráficos feitos na mesma escala, quem tiver mais inclinação tem
velocidade maior.
Além do gráfico da posição em função do tempo podemos também fazer o gráfico da
velocidade em função do tempo. Como a velocidade é constante o gráfico resultante será muito
simples. Sua construção está mostrada na figura 4.
O exemplo utilizado nesta aula trata de um movimento progressivo, porém é possível
tratar também de movimentos retrógrados. Neste caso o gráfico da posição será uma reta
decrescente, e o da velocidade será uma reta desenhada abaixo do eixo t.
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Figura 4: (a) construção dos eixos e da escala; (b)
plotagem dos pontos; (c) construção da reta (curva) que os
une.
Finalizando teremos os seguintes perfis de gráficos caso a velocidade do movimento
seja positiva ou negativa.
Figura 5: Gráficos do Movimento Uniforme no caso de
um movimento progressivo (a) espaço em função do
tempo; (b) velocidade em função do tempo.
Figura 6: Gráficos do Movimento Uniforme no caso de
um movimento retrógrado (a) espaço em função do
tempo; (b) velocidade em função do tempo.
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