Geometria Plana 04
Prof. Valdir
pré-vestibular e ensino médio
QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS
1. Definição
É o polígono que possui quatro lados. Para o nosso estudo, vamos
considerar apenas os quadriláteros convexos.
2.1.3. Quadrado
É o paralelogramo que tem os quatro lados e os quatro ângulos
congruentes entre si. Então o quadrado é um losango e um
retângulo ao mesmo tempo.
A
A e1
i1
D
AB = BC = CD = DA
D
e4
i4
AC = BD
e2 i
2
B
AC ⊥ BD
i3
e3
B
C
C
Sendo:
• A, B, C, D – vértices do quadrilátero;
• i1, i2, i3, i4 – ângulos internos;
• e1, e2, e3, e4 – ângulos externos;
• AB, BC, CD, DE – lados do quadrilátero;
• AC, BD – diagonais do quadrilátero.
2.2. Trapézio
É o quadrilátero que tem dois lados paralelos entre si. Vamos
considerar os trapézios que tem apenas dois lados paralelos entre si,
os quais são denominados de bases.
2. Tipos de quadriláteros
Escaleno
2.2.1. Tipos de trapézios:
B
A
2.1. Paralelogramo
É o quadrilátero cujos lados opostos são paralelos.
AB // CD e AD ≠ BC
B
A
D
C
M
Isósceles
D
A
B
C
AB // CD e AD = BC
Propriedades:
• Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes;
• Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes;
• As diagonais de um paralelogramo cortam-se no ponto médio ⇒
AM = MC e BM = MD.
• Os triângulos AMB e CMD são congruentes assim como os
triângulos AMD e BMC.
Retângulo
AB // CD e AD ⊥ CD
C
B
AC = BD
B
A
2.1.1. Retângulo
É o paralelogramo que tem os quatro ângulos retos.
Conseqüentemente suas diagonais têm a mesma medida.
A
C
D
D
2.2.2. Base média
É o segmento de reta que liga os pontos médios dos lados não
paralelos.
B
A
C
D
M
2.1.2. Losango
É o paralelogramo que tem os quatro lados congruentes entre si.
Conseqüentemente as diagonais são perpendiculares entre si e são
bissetrizes dos ângulos internos.
MN =
N
AB + CD
2
C
D
MN – base média do trapézio;
M e N – pontos médios dos lados AB e BC.
B
A
C
2.2.3. Base de euler (mediana de Euler)
É o segmento de reta que liga os pontos médios das diagonais do
trapézio.
A
B
CD - AB
EF =
2
N
M
AB = BC = CD = DA
D
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E
D
F
C
1
Exercícios resolvidos:
01. Na figura ABCD é um trapézio, MN é a base média, AB = 12 cm,
CD = 20 cm, BD e AC interceptam MN nos pontos E e F. Determine
MN e EF.
A
Como P e Q são pontos médios de CD e AD, então QP // AC e AC =
2.PQ. Assim, QP // MN e QP = MN.
Analogamente, NP // BD // MQ e BD = 2.MQ, BD = 2. NP. Assim, PN //
MQ e NP = MQ.
B
Dessa forma, como MN // PQ e NP//MQ, teremos que o quadrilátero
MNPQ é um paralelogramo.
N
M
E
Quanto ao perímetro, teremos:
(MQ + NP) + (PQ + MN) = BD + AC.
F
D
C
Resolução:
AB + CD
12 + 20
MN =
⇒ MN =
⇒ MN = 16 cm
2
2
CD - AB
20 - 12
EF =
⇒ EF =
⇒ EF = 4 cm
2
2
Resposta: MN = 16 cm e EF = 4 cm
ÁREA DE FIGURAS PLANAS
1. Paralelogramo
02. No trapézio escaleno da figura a diagonal AC mede 9m. Calcule as
medidas dos segmentos partes desta diagonal, determinados pelo
ponto de intersecção com a outra diagonal.
8m
D
A = b.h
h
b
C
2. Retângulo
A
B
10 m
h
A = b.h
Resolução:
8m
D
C
b
x
E
3. Quadrado
9-x
A
10 m
B
A=a
a
Como AB // CD, teremos que ∆ABE ∼ ∆DCE. Assim,
x
8
=
⇒ x = 4 cm
9 - x 10
2
a
Resposta: EC = 4 cm; AE = 5 cm
4. Losango
03. ABCD é um quadrilátero plano qualquer e M, N, P e Q são pontos
médios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente. Mostre que o
quadrilátero MNPQ é um paralelogramo cujo perímetro é igual a
soma dos comprimentos das diagonais do quadrilátero ABCD.
d
D×d
2
Dxd
Resolução:
Seja o quadrilátero ABCD, da figura a seguir.
B
A=
D
N
C
5. Trapézio
M
P
b
A
Q
D
Como M e N são pontos médios de AB e BC, respectivamente, então
MN // AC. Assim, os triângulo ABC e MNB são semelhantes de razão
2. Ou seja:
A=
h
(a + b).h
2
a
BC = 2.BN , AB = 2.BM, então AC = 2. MN.
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2
6. Área de um quadrilátero qualquer.
Como a área é dada por A =
B
função de a, b e c.
Aplicando Pitágora nos triângulo ABD e BCD, teremos:
C
α
A=
A
AC . BD . sen α
2
∆ABD: c = n + h
(1)
2
2
2
∆CBD: b = (a - n) + h (2)
2
Demonstração:
2
C
α
A
2
2
2
2
2
2
2
b – c = (a – n) – n ⇒ b – c = a – 2an ⇒
a2 - b2 + c2
2
2
2
2an = a – b + c ⇒ n =
(3)
2a
Substituindo (3) em (1), teremos:
B
E
2
De (1) e (2), vem que:
D
h1
a.h
, vamos determinar a altura h em
2
2
2
 a2 - b2 + c2 
 a2 - b2 + c2 
 + h2 ⇒ h2 = c2 - 
 ⇒
c2 = 




2a
2a
h2
2
 a2 - b2 + c2 
(a2 - b2 + c2 )
 ⇒ h = c2 h = c2 - 
⇒

2a
4a2

2
D
Fazendo h1 e h2 as alturas dos triângulos ABC e ACD,
respectivamente, então a área A do quadrilátero ABCD será:
AC.h1 AC.h2
A = Área(ACB) + Área(ACD) ⇒ A =
+
2
2
Como h1 = BE.senα e h2 = DE.senα, vem que:
AC.BE.senα AC.DE.senα
(BE + DE).AC.senα
A=
+
⇒ A=
⇒
2
2
2
BD.AC.senα
A=
(Provado)
2
2
4a2c2 - (a2 - b2 + c2 )
h=
4a2
2
⇒h =
2 2
2
2
2
1 4a c - (a - b + c )
a
4
Assim, a área A do triângulo será:
2
2 2
2
2
2
1 4a c - (a - b + c )
a.
4
A= a
⇒ A=
2
2
4a2c2 - (a2 - b2 + c2 )
⇒
16
A=
(2ac + a2 - b2 + c2 ).(2ac - a2 + b2 - c2 )
⇒
16
A=
((a2 + 2ac + c2 ) - b2 ).(b2 - (a2 - 2ac + c2 ))
⇒
16
A=
((a + c )2 - b2 ).(b2 - (a - c )2 )
⇒
16
A=
(a + c + b)(a + c - b).((b + a - c).(b - a + c)
⇒
16
A=
(a + c + b)(a + c + b - 2b).((b + a + c - 2c).(b + a + c - 2a)
⇒
16
A=
 a + c + b   a + c + b 2b   b + a + c 2c   b + a + c 2a 

-  . 
-  . 
- 
.
 2   2
2   2
2   2
2 
7. Triângulo
7.1. Dados a base e a altura
A=
h
b×h
2
Dxd
b
7.2. Dados os três lados (Fórmula de Heron)
A = p.(p - a).(p - b).(p - c)
a
b
a+b+c
= p (semiperímetro), teremos:
2
Fazendo
Sendo: p =
a+b+c
2
c
Demonstração:
Consideremos a figura:
A = p.(p - a).(p - b).(p - c) (Fórmula de Heron)
7.3. Dados dois lados a e b e o ângulo α formado por eles
B
a
h
b
c
α
h
A=
a.b.sen α
2
b
A
a-n
n
C
D
Obs.: b.senα = h ⇒ altura
a
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3
7.4. Triângulo eqüilátero de lado L
Demonstração:
C
2
L
A=
L
h
L 3
4
a
b
L
L 3
Obs.: altura ⇒ h =
2
A
7.4. Dados o semiperímetro e o raio do círculo inscrito
A = p.r
r
A=
a.b.c
4.R
R
θ
B
c
Pela lei dos senos, temos que, em qualquer triângulo inscrito em um
círculo, vale a relação:
a
a
= 2R ⇒
= senθ
senθ
2R
A área do triângulo ABC será:
a
b.c.
b.c.senθ
a.b.c
2R
A=
⇒ A=
⇒ A=
(provado)
2
2
4.R
p: semiperímetro do triângulo
Demonstração:
Ligando o centro O do círculo ao vértices A, B e C, o triângulo ABC fica
dividido em três triângulos AOB, BOC e COA de bases AB, BC e CA,
respectivamente, e alturas iguais ao raio do círculo, como mostra a
figura a seguir:
8. Círculo
A = π.R
C
2
R
r
r
O
8.1. Setor circular
r
A
B
Em graus:
Assim, a área do triângulo ABC será:
AB.r BC.r AC.r
(AB + BC + AC)
A=
+
+
⇒ A=
⋅r
2
2
2
2
(AB + BC + AC)
Fazendo
= p (semiperímetro), teremos:
2
A=
R
α.π.R2
360°
α
R
Em radianos:
A=
A = p.r
α.R2
2
8.2. Segmento circular
A
7.5. Dados os três lados e o raio do círculo circunscrito.
R
α
O
a
b
R
c
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A=
a.b.c
4.R
B
Asegm. = A setor – A ∆ ABO
R
Obs.: Substituindo a área do setor OAB e e a área do triângulo ABO,
podemos ter também:
α.R2 R.R.senα
R2 .(α - senα)
A segm. =
⇒ A segm. =
2
2
2
Sendo α em radianos.
4
03. Um triângulo possui lados cujas medidas são 7 cm, 8 cm e 9 cm.
Calcule:
a) a área do triângulo.
b) a medida do raio da circunferência inscrita no triângulo.
c) a medida do raio da circunferência circunscrita no triângulo.
8.3. Coroa Circular
A = π(R – r )
2
r
2
Resolução:
a) Aplicando a fórmula de Heron, teremos:
R
A=
p.(p - a).(p - b).(p - c) ⇒
A=
12.(12 - 7).(12 - 8).(12 - 9) ⇒ A =
A = 12. 5 cm
12.5.4.3 ⇒
2
b) Raio da circunferência inscrita (r).
ATRIANGULO = p.r ⇒ 12. 5 = 12.r ⇒ r =
Exercicios resolvidos:
01. (FMTM) A figura mostra uma circunferência de centro O e raio
igual a 2 e um pentágono regular ABCDO, cujos vértices A e D
pertencem à circunferência. Calcule a área da região hachurada.
c) Raio da circunferência circunscrita (R).
ATRIÂNGULO =
C
D
B
5 cm
R=
21
5
a.b.c
7.8.9
⇒ 12. 5 =
⇒
4.R
4.R
⇒R=
21. 5
cm
5
α
A
O
04. (UFG-adaptado) Considere uma semicircunferência de diâmetro
AB = 6 cm e um triângulo APB, conforme a figura a seguir:
Resolução:
P
A soma dos ângulos internos do pentágono regular é dada por:
S = (5 – 2).360° = 540°
Então, a medida do ângulo do setor (α) é igual à medida do ângulo
interno do pentágono. Assim:
540°
⇒ α = 108°
α=
5
A área do setor será:
α.π.R2
108°.π.22
6.π
2
A=
⇒ A=
⇒ A=
cm
360°
360°
5
6.π
2
Resposta: A =
cm
5
02. Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1cm. Calcule a
A
área do triângulo BCE.
B
α
A
B
a) Expresse a área do triângulo em função do ângulo α apenas.
b) Determine o valor de α para que a área do triângulo seja máxima.
Resolução:
P
α
A
C
B
a) Sendo O o centro do semicírculo, ponto médio de AB, o segmento
PO é mediana relativa a hipotenusa AB do triângulo ABP. Sendo
assim, PO divide o triângulo APB em dois triângulos de mesma área.
Assim, teremos:
AABC = 2.AOBC ⇒ AABC =
F
2α
O
6.6.sen2α
⇒ A = 18.sen2α
2
b) Para que a área do triângulo ABC seja máxima, temos:
sen2α = 1 ⇒ 2α = 90º ⇒ α = 45°
E
D
Resolução:
A diagonal BE passa pelo centro do hexágono e tem comprimento
igual ao dobro da medida de seu lado. Como o triângulo EBC é
retângulo em C, teremos:
2
2
2
2
2
2
(EC) = (EB) – (BC) ⇒ (EC) = 2 – 1 ⇒ EC =
05. Na figura a seguir, as retas que contem os segmentos de reta PA e
PB são tangentes à circunferência de centro O e raio 6 cm. Sabe-se
que o ângulo APB mede 30°. Determine a área do segmento circular
determinado pela corda AB
3 cm
A
Assim, a área do triângulo EBC será:
O
A=
EC.BC
=
2
Resposta: A =
3.1
3
2
⇒A=
cm
2
2
3
2
cm
2
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P
B
5
Resolução:
A
6 cm
Sα O
P
30º
B
Da figura, temos que:
α + 30° + 90° + 90° = 360° ⇒ α = 150°
Assim, a área do segmento circular destacado será:
π.62.150o 6.6.sen150º
360o
2
2
A = 15π − 9 = 3(5π – 3) cm
A=
Resposta: 3.(5π
π – 3) cm .
2
06. Na figura a seguir tem-se um quadrado inscrito em outro
quadrado. Pode-se calcular a área do quadrado interno, subtraindose da área do quadrado externo as áreas dos 4 triângulos. Feito isso,
verifica-se se que A é uma função da medida x. Nessas condições,
Calcule o valor mínimo de A.
x
x
8–x
x
x
Resolução:
Calculando a área do quadrado interno, teremos:
2
A = 8.8 – 4x.(8 – x) /2⇒ A = 64 – 16x + 2x
∆ = 16 – 4.2.64 = 256 – 512 = -256
2
Amáx =
-Δ 256
=
= 32
4a
8
Resposta: 32
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6