Teoria Matemática das Eleições: Geometria e
Paradoxos
Métodos finitos em Matemática, disciplina do
Mestrado em Ensino da Matemática do
Departamento de Matemática Pura da
Faculdade de Ciências da Universidade do Porto
1
Haverá alguma dificuldade em
VOTAR?
O que pode correr mal quando
votamos?
2
Gaius Plinius Caecilius Secundus,
Plínio o Jovem (61 ou 62 - 113)
3
“Uma moção foi colocada perante o Senado sobre
os escravos libertos do consul Afranius Dexter que
foi encontrado morto, ou pelas suas próprias mãos,
ou pela mão dos seus escravos, morto num acto
criminoso, ou em obediência aos seus desejos.”
“Uma pessoa (…) pensou que, depois do
inquérito, deviam ser perdoados. Uma segunda
pessoa pensou que deviam ser desterrados para
uma ilha, uma terceira pessoa que deviam ser
executados. A diversidade das propostas significa
que tinham de ser votadas individualmente.”
4
Suponhamos que a proporção das preferências era:
Perdão - 40%
Desterro - 35%
Execução - 25%
E se a votação fosse apenas entre Perdão e Desterro?
Ou apenas entre Perdão e Execução?
Ou apenas entre Desterro e Execução?
Ou com a agenda: Desterro/Execução/Perdão?
5
Paradoxos
O matemático francês Jean-Charles Borda (1733-1799) foi o
primeiro a estudar sistematicamente o problema. O que
descobriu surpreendeu os seus contemporâneos. Olhando para o
sistema eleitoral como um método de agregar opiniões para
encontrar uma escolha colectiva, notou que métodos diferentes
conduzem a resultados diferentes. O paradoxo de Borda, como
veio a ser conhecido, foi muito discutido na época, sem se
encontrar uma solução satisfatória.
6
O sistema usado nas democracias baseia-se no chamado voto
plural, que é mais conhecido pela sigla “Um homem um voto”.
Borda apresentou o problema à Academia Real Francesa em 16
de Junho de 1770. Colocou um exemplo em que 21 votantes
escolhiam entre 3 candidatos. Considerou as preferências
relativas de cada votante, isto é a forma como cada eleitor
hierarquizava os candidatos. O que reparou foi que era
possível eleger um candidato que a maioria dos eleitores
colocava em último lugar. Bastava para isso que os votos dos
outros dois estivessem suficientemente divididos.
Analisemos o exemplo apresentado por Borda.
Onde X Y significa que X é preferido a Y.
7
Consideremos a seguinte tabela com as preferências dos 21
eleitores de Borda:
Votos
Preferência
7
A
A
B
B
C
C
C
B
A
6
C
B
A
1
7
Apenas uma pessoa coloca o candidato A
em primeiro lugar, seguido do B e,
depois, do C. Na segunda linha vemos
que há 7 votantes que preferem o
candidato A, que põem em segundo lugar
o candidato C e em terceiro o B.
Neste exemplo, o candidato mais votado segundo o sistema plural (um
homem um voto) é A, com 8 votos a favor, contra 7 em B e 6 em C.
No entanto, esse é o candidato mais detestado pela maioria do
eleitorado, uma vez que 13 votantes em 21 o colocam em último lugar!
8
Sistemas de votação
Voto plural
A ordenação das alternativas é feita contando, para cada uma, o
número de boletins de voto em que esta ficou colocada em primeiro
lugar. As alternativas são ordenadas por ordem crescente do
correspondente número de votos obtidos.
Sistema Sequencial aos Pares com Agenda
Depois de acordada uma ordenação preliminar das alternativas, a
que se chama uma agenda consideram-se os resultados de eleições
de pares de alternativas, pela ordem dada na agenda, eliminando as
derrotadas da agenda e prosseguindo até a agenda conter apenas um
elemento. As alternativas são finalmente ordenadas por ordem
inversa de eliminação da agenda.
9
Sistemas de votação
Sistema de Hare
Elimina(m)-se, em eleições sucessivas, a(s)
alternativa(s) com o menor número de
primeiros lugares, sendo as alternativas
ordenadas por ordem inversa de eliminação.
O SISTEMA de eleição presidencial francês produziu
este ano a situação insólita de que a maioria dos
franceses possa não se rever neste acto eleitoral.
O resultado da lotaria da primeira volta…
Este sistema é usado na Irlanda para as eleições
presidenciais desde 1938, e apresento de seguida os
resultados oficiais da eleição de 1990, para o leitor poder
ver como funciona na prática. Neste caso, Mary
Robinson ganhou a Brian Lenihanl na segunda contagem,
porque a maioria dos eleitores que colocaram Austin
Currie em primeiro lugar a tinham colocado em segundo.
Expresso, suplemento Economia
Sábado, 11 de Maio de 200210
Sistemas de votação
Contagem de Borda
Atribui-se a cada posição do boletim de
voto, um número de pontos: 0 para a
última, 1 para a penúltima, …, n-1 para a
primeira. Os pontos “ganhos” por cada
alternativa são totalizadas e as alternativas
são ordenadas por ordem crescente de
pontos obtidos.
11
Problemas
Analisemos um exemplo em onde quinze pessoas seleccionam
a sua bebida preferida entre L (leite), C (cerveja), e V (vinho).
As preferências dos eleitores são dadas pela tabela:
Votos
6
5
4
Preferência
L V
C V
V C
C
L
L
Então o resultado da maioria
(onde cada pessoa vota na sua
bebida favorita) é:
L
C
V
Aparentemente, o leite é a bebida escolhida!
Será mesmo o leite a bebida preferida dos votantes?
12
Se é, seria de esperar que os votantes preferissem o leite à cerveja.
Mas como mostra a tabela seguinte, estes votantes preferem
realmente a cerveja ao leite.
Votos
6
5
4
Preferência
L V C
B
V
V
B
Leite
Cerveja
6
0
L
C
0
5
0
4
Total
6
9
Do mesmo modo, 9 votantes preferem o vinho ao leite e 10 preferem o vinho
à cerveja. Isto cria uma contradição e uma potencial controvérsia entre os
votantes, porque estas comparações entre pares sugerem que os eleitores
preferem realmente o V C L , o resultado oposto ao da maioria.
O que correu mal?
13
Modernamente chama-se a isso a eleição de um
perdedor de Condorcet, isto é, de um candidato que
perde em comparações bilaterais com todos os outros.
Aqui, o leite é preterido em relação à cerveja se apenas
estas duas hipóteses se colocassem, era preterido de novo
se só se colocasse a hipótese de escolha entre leite e
vinho, mas era preferido se todas as hipóteses fossem
colocadas em simultâneo.
No exemplo de Borda, o candidato A perdia as eleições
se apenas as disputasse com o candidato B, perdê-las-ia
de novo se apenas se defrontasse com o candidato C,
mas ganhá-las-ia se fosse às urnas contra os dois em
simultâneo.
14
Sistemas de votação
Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat
Marquês de Condorcet (1743-1794)
Método de Condorcet
Os resultados são decididos estritamente
nos termos de uma comparação entre
pares de candidatos.
O vencedor de Condorcet é o candidato
que vence todos os candidatos restantes
em eleições um contra um.
15
Sistema de votação (im)perfeito…
Consideremos, novamente, o perfil envolvendo 15 eleitores e 3 alternativas.
Votos
6
5
4
Procuremos as ordenações finais, para
este perfil, usando cada um dos
sistemas eleitorais acima descritos.
Preferência
L V
C V
V C
C
L
L
Contagem de Borda
L
V
C
6  2  5  0  4  0  12
6  0  5  2  4 1  14
6 1  5 1  4  2  19
Plural
Hare
S. S. P. A.
LVC
S. S. P. A.
VCL
Borda
Condorcet
L
C
V
L
V
V
C
L
C
V
C
C
V
V
L
C
L
L
16
Conclusão…
O resultado de uma eleição pode depender bastante do
sistema eleitoral usado!
Desafio
Arranjar um processo, método ou algoritmo, um sistema
eleitoral ou de votação, que decida, a partir do conjunto das
listas de preferência, a que se chama o perfil eleitoral, uma
ordenação das alternativas que reflicta o melhor possível as
preferências dos eleitores
17
Condições…
Numa primeira análise, as seguintes condições parecem ser imprescindíveis para
que um sistema de votação democrático traduza as preferências dos eleitores:
Condição de Pareto (ou de unanimidade):
Se a alternativa X ficou colocada acima da alternativa Y em todos os boletins
de voto então na lista final deve ter-se X Y .
Critério do Vencedor de Condorcet (CVC):
Se existir um vencedor de Condorcet, este deve ser o vencedor da eleição.
Monotonia:
Se de uma eleição para outra, envolvendo os mesmos eleitores e os mesmos
candidatos, a posição de um dos candidatos for alterada, em um ou mais boletins
de voto, mas sempre a favor desse candidato, então a sua posição na ordenação
final não deve ser inferior à posição em que ficou colocado na primeira eleição.
18
Condições…
Independência das Alternativas Irrelevantes (IAI):
Se em duas eleições distintas, envolvendo os mesmos eleitores e os mesmos
candidatos, a ordem relativa de dois dos candidatos não foi alterada em nenhum
boletim de voto, então a ordem relativa desses mesmos candidatos no resultado
final deve ser a mesma.
Simetrias:
Igualdade (ou Anonimato):
Permutar as listas de preferência, sem as alterar, não deve ter nenhum efeito
no resultado da eleição.
Neutralidade:
Se todos os eleitores cometerem o erro de trocar as alternativas X e Y, então
basta trocar X com Y no resultado final para corrigir o erro.
19
Questão:
Será que algum dos métodos satisfaz estas condições?
Kenneth Arrow
Em 1951, (prémio Nobel da Economia em 1972) provou o seguinte resultado:
Teorema:
Não existe nenhum sistema de votação que satisfaça
simultaneamente as condições de Pareto, IAI e igualdade!
Ideia da demonstração:
As condições de Pareto e a da Independência de
Alternativas Irrelevantes conduzem a uma ditadura!!!
20
Exemplos…
O Sistema Sequential aos Pares com Agenda não satisfaz a condição de
Pareto!
Considere-se o seguinte perfil:
4
4
4
A
C
B
B
A
D
D
B
C
C
D
A
Com agenda: ABCD.
Tem-se: ABCD
ACD
CD
D
D
C
A
B
D é o vencedor apesar de todos os eleitores preferirem B a D !
21
Exemplos…
O Sistema de Hare não satisfaz a condição de Monotonia!
Considere-se o seguinte par de eleições, em que na segunda delas 3 dos
eleitores alteram os seus boletins de voto de B A C para A B C ,
uma mudança favorável a A, enquanto os outros eleitores não alteram as
suas listas de preferências
1ª Eleição
2ª Eleição
12
9
7
3
15
9
7
A
C
B
B
A
C
B
B
A
C
A
B
A
C
C
B
A
C
C
B
A
22
Exemplos…
1ª Eleição
2ª Eleição
12
9
7
3
15
9
7
A
C
B
B
A
C
B
B
A
C
A
B
A
C
C
B
A
C
C
B
A
1ª Volta
1ª Volta
A: 12
A: 15
B: 10
B: 7
C: 9
C: 9
12
9
7
3
15
9
7
A
A
B
B
A
C
C
B
B
A
A
C
A
A
2ª Volta
2ª Volta
A: 21
A: 15
O candidato A, que
ganhou a primeira
eleição, perde a segunda
quando só houve
alterações a seu favor !
B: 10
B: 16
23
Exemplos…
A contagem de Borda não satisfaz IAI!
Considere-se o seguinte par de eleições, em que alguns dos eleitores (4)
mudam a sua lista de preferências, mas ninguém altera a posição relativa de
A versus B.
1ª Eleição
2ª Eleição
7
4
7
4
A
C
A
B
B
B
B
C
C
A
C
A
Resultados:
Vê-se assim que a posição
relativa de A e B é alterada de
uma eleição para a outra.
A
A: 14
A: 14
B: 11
B: 15
C: 8
C: 4
B
C
B
A
C
24
Sistema de votação (im)perfeito II
Sistemas/Condições
Pareto
CVC
Mono
IAI
Plural
Sim
Não
Sim
Não
Borda
Sim
Não
Sim
Não
Hare
Sim
Não
Não
Não
Seq. Pares c/ agenda
Não
Não
Sim
Não
25
IAI não é realista…
Teorema:
Quando o número de candidatos (ou alternativas) é igual ou superior a 3,
qualquer sistema que satisfaça as condições IAI e Pareto é um sistema
que não admite empates.
Demonstração:
Suponhamos que tal não acontecia, ou seja que existia um perfil para o qual há duas
alternativas, X e Y, que resultam empatadas:
...
...
X
...
...
Y
...
...
Y
X
...
...
...

X=Y
Na figura acima, a parte esquerda representa o perfil da eleição, ou seja o conjunto de
todos os boletins de voto, havendo alguns onde a alternativa X está acima de Y e outros
onde o contrário acontece, mas admite-se que uma dessas possibilidades não ocorra.
26
Seja Z uma terceira alternativa qualquer (cuja existencia é garantida por uma das
hipóteses feitas). Uma vez que o sistema satisfaz IAI e a condição de Pareto, resulta que
se, numa nova eleição, os eleitores com X > Y colocassem Z entre X e Y, enquanto que
aqueles com X < Y colocassem Z acima de Y, ter-se-ia:
...
...
...
X
Z
...
...
Z
...
Y
...
...
Y
X
...
...
...

X=Y,Z>Y
e portanto Z > X
27
Agora, se todos os eleitores trocarem Y com Z, o que não altera as posições relativas de
X vs. Y e de X vs. Z...
...
...
...
X
Y
...
...
Y
...
Z
...
...
Z
X
...
...
...
 Z > X , X=Y
e portanto Z > Y…
o que contradiz a hipótese de o sistema verificar a condição de Pareto.
28
O Critério de Condorcet não é inquestionável...
Saari, dá um exemplo semelhante ao que se segue, mostrando que o vencedor
de Condorcet não é invariante para a “adição de empates”.
31
22
10
10
10
A
B
A
B
C
B
A
C
A
C
C
B
C
A é o vencedor
de Condorcet
(58.5%)
+
Perfil
empatado
31
32
10
10
A
B
A
C
B
B
A
C
B
A
C
C
B
A

B é o vencedor de
Condorcet (50.6%)
Isto mostra que a condição CVC não é tão indiscutivelmente
razoável quanto possa parecer numa primeira análise...
29
Geometria, Eleições e Paradoxos
Do breve estudo que realizamos a contagem de Borda parece ser a ideal.
Questionemo-nos sobre esta contagem para o caso de termos três
candidatos; estudar casos com mais de três candidatos é uma generalização
deste caso.
Mas o que acontece em geral? Há exemplos das disposições de
preferências dos eleitores, chamados perfis, para os quais a contagem de
Borda é fraca?
Porque não usar outros pesos, tais como (6; 5; 0) ou (4; 1; 0), em vez da
escolha de Borda de (2; 1; 0)?
Registando os métodos que atribuem um número de pontos ao primeiro, ao
segundo, e ao terceiro candidato ordenados pela ordem de preferência do
eleitor, são chamados métodos eleitorais posicionais.
30
Matemática
Quando normalizados para atribuir um único ponto ao candidato mais
preferido de um eleitor, o ponto atribuído define um vector de voto:
Wp  1, p, 0 , 0  p  1
Por exemplo, os formulários normalizados de (6; 5; 0) e a contagem de
Borda são, respectivamente,
 5 
 1 
W5  1, , 0  e W1  1, , 0 
6
 6

2
 2

O sistema plural “um Homem um voto” é representado pelo vector:
W0  1, 0, 0
Qual o sistema representado representa o vector W1  1,1, 0 ?
Este vector representa o método antiplural, pois um eleitor vota contra o
seu candidato menos preferido!
31
Matemática
A normalização do Wp torna claro que há uma continuidade de métodos
de registo onde cada um é caracterizado pelo peso (o valor de p )
colocado no candidato segundo posicionado de um eleitor.
Defrontado com todas estas possibilidades, era natural que os colegas
matemáticos de Borda, tais como Laplace, Condorcet, e outros,
questionassem qual o método Wp que era óptimo no sentido de que os
seus resultados melhor reflectissem as opiniões os eleitores.
O debate que começaram continua hoje!
Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat Condorcet, matemático francês,
filósofo, e político, acrescentou à controvérsia em 1780, o seu método,
que produzia o chamado “vencedor de Condorcet”. Este vencedor estava
aceite como escolha universal. Mas tem problemas!!!
32
Matemática
Para ilustrar as dificuldades vejamos um exemplo:
Uma escola pretende comprar um livro de um lote de três possíveis {A,
B, C}.
Os 15 membros do Conselho Pedagógico têm que decidir…
Uma maneira natural para seleccionar o livro é por eliminação, onde após
ter comparado duas escolhas, {A, B}, o vencedor é comparado com a
escolha restante, C.
Suponha-se que as opiniões do conselho Pedagógico são:
Votos
5
5
5
Preferência
A
B
C
B
C
A
C
A
B
33
Matemática
Contemos os votos:
Votos
5
5
5
Preferência
A B C
B
C
C
A
A
B
Total
A
5
0
5
10
B
0
5
0
5
A
5
0
0
5
C
0
5
5
10
Em ambas as eleições o vencedor vence com dois terços dos votos,
portanto parece seguro dizer que o resultado da votação do Conselho
Pedagógico é: C A B.
34
Matemática
Embora o resultado pareça ser inquestionável, vamos questioná-lo. Nós
sabemos já que C vence A e A vence B, assim só falta determinar se C
vence B. Podemos não esperar surpresas, mas…
Votos
5
5
5
Preferência
A B C
B
C
C
A
A
B
Total
B
5
5
5
10
C
0
0
5
5
… na verdade encontramos uma: B bate C pelos mesmos dois terços dos
votos.
35
Matemática
Ou seja noutras palavras, este perfil define os resultados eleitorais
C
cíclicos,
A
B, B
C, C
A
A
B
Representando por um grafo
esta eleição vemos que não
existe nem vencedor nem
perdedor de condorcet!
Portanto, seja qual for o candidato votado em último (nesta eleição
por agenda aos pares), vence decididamente. Em particular, não há
nenhum vencedor ou perdedor de Condorcet.
Condorcet compreendeu que os ciclos poderiam acontecer em caso
de votação entre pares; ele demonstrou este comportamento
introduzindo o exemplo anterior. Tal exemplo é conhecido agora
como um perfil de Condorcet.
Os ciclos não permitem seleccionar um candidato “óptimo”!!!
36
Complexidade e Geometria
Qual o melhor método?
Os estudos no campo da Teoria Matemática das eleições fora
retardados pela complexidade do cálculo combinatório envolvido!
Uma maneira tradicional para comparar procedimentos é construir
perfis que mostrem como um método tem uma falha provocada por
outro.
Mas para construir exemplos, necessitamos determinar quantos
eleitores devemos ter de cada tipo de modo que os resultados
resultantes da eleição exprimam o fenómeno desejado.
37
Complexidade e Geometria
Questões:
Podem os vencedores de Borda e de Condorcet ser diferentes?
Existe alguma explicação para que os resultados de uma eleição
mudem com o uso de diferentes vectores Wp?
Há perfis dos eleitores onde cada candidato é o “vencedor” para um
Wp apropriado?
Os exemplos que os suportam são fracos ou fortes?
Podemos caracterizar todos os exemplos possíveis?
Qual é o número mínimo de eleitores necessários para criar cada
particularidades interessantes em eleições?
38
Complexidade e Geometria
Procurando respostas…
Recentemente, o progresso no estudo da matemática das eleições foi sendo feito
com base na procura de respostas para as questões anteriores substituindo o
método combinatório tradicional por uma perspectiva geométrica.
Nesta apresentação tentaremos mostrar como a geometria reduz assuntos
anteriormente complicados a formas mais simples para assim poderem ser
apresentados aos estudantes que as podem representar graficamente com
equações algébricas elementares.
Donald Saari, um matemático da Universidade de Califórnia em Irvine que se
tem dedicado a estudar os problemas eleitorais, mostrou, usando a geometria, que
pequenas mudanças em qualquer sistema eleitoral podem trazer grandes
alterações nos resultados das eleições. Saari é um dos matemáticos e especialistas
de ciência política que se têm dedicado a estudar os problemas da chamada
escolha pública, uma área que sofreu um grande desenvolvimento na segunda
metade do século XX.
39
Geometria (Donald Saari)
Tipos de Eleitores
O “tipo” de eleitor é definido pela forma como os candidatos {A, B, C}
são ordenados. Por conveniência denotem-se os tipos pelos números de 1,
2, 3, 4, 5 e 6.
Estes tipos estão reflectidos na
geometria do triângulo equilátero,
onde cada candidato está
Tipo
Preferência
identificado como um vértice.
A B C
1
2
A
C
B
3
C
A
B
4
C
B
A
5
B
B
C
A
A
C
6
C
3
4
2
5
1
A
6
B
40
41
Geometria – Exemplos de Condorcet
Dos seis tipos de preferências que referimos para três candidatos vamos
estudar só três tipos. Das vinte hipóteses que temos de escolher três tipos,
a nossa escolha recai sobre os tipos que geram o perfil de Condorcet.
O perfil de Condorcet é gerado pelos tipos: 1, 3 e 5.
Estes três tipos de perfis geram uma configuração simétrica – em moinho
de vento – no triângulo considerado.
42
Geometria – Exemplos de Condorcet
Consideremos n eleitores. Sejam nj o número de eleitores do tipo j, o
número de eleitores é então n1+n2+n3 = n.
Em vez de trabalharmos com inteiros, dividimos por n de modo que:
x
n
n
n1
, y 5 e z 3
n
n
n
representam as fracções de todos os eleitores que são de cada tipo.
A restrição x+y+z = 1, ou z = 1– (x+y), permite-nos representar todos os
perfis possíveis como pontos – racionais – do triângulo:
T1   x, y  | x, y  0, x  y  1
Para um ponto (x, y) T1, a fracção de todos os eleitores com preferências
do tipo 1 e 5 são dadas, respectivamente, pelos valores de x e de y; a
fracção de todos os eleitores do tipo3 é 1– x– y.
43
44
Eleições um contra um…
45
46
47
48
Teoria Matemática das Eleições
49
Teoria Matemática das Eleições
Resultados de eleições entre pares
50
Teoria Matemática das Eleições
Resultados de eleições entre pares - Paradoxos
51
Teoria Matemática das Eleições
Resultados de eleições entre pares - Paradoxos
Suponhamos que só um eleitor numa população grande (n eleitores)
tem tipo 3:
52
Teoria Matemática das Eleições
Probabilidades - Paradoxos
Caso discreto:
53
Teoria Matemática das Eleições
Probabilidades - Paradoxos
Caso discreto:
54
Teoria Matemática das Eleições
Probabilidades - Paradoxos
Caso discreto:
55
Teoria Matemática das Eleições
Probabilidades - Paradoxos
Resultados Posicionais:
Os registos de
w para todos os candidatos são:
56
Teoria Matemática das Eleições
Probabilidades - Paradoxos
Resultados Posicionais:
Os resultados para todos os pares de candidatos são:
57
Teoria Matemática das Eleições
Paradoxos
Resultados Posicionais:
Apesar do método plural e da eleição um contra um identificarem o
mesmo candidato como sendo o melhor classificado e deste facto
parecer abonar a favor do método uninominal, não devemos esquecer
que o ranking de um perfil por unanimidade também assemelha-se
bastante importante, devendo assim esperar que os resultados da eleição
favoreçam os três tipos particulares representados no perfil.
58
Teoria Matemática das Eleições
“Nas questões matemáticas não se compreende a incerteza nem a
dúvida, assim como tão pouco se podem estabelecer distinções entre
verdades médias e verdades de grau superior.”
Hilbert
59
Lewis Carrol (1876)
• (as eleições) “são mais um jogo de habilidade
que um teste real aos desejos dos eleitores.”
• “na minha opinião é preferível que as eleições
sejam decididas de acordo com os desejos da
maioria do que os daqueles que têm mais
habilidade no jogo, por isso penso ser desejável
que todos devam saber as regras pelas quais
este jogo se pode ganhar.”
60
Referências Bibliográficas
ASSUNÇÃO, J. B.
2002
O Plebescito Francês. Caderno Economia do
Semanário Expresso de 11 de Maio de 2002
BUESCU, J.
2001
O Mistério do Bilhete de identidade e Outras
Histórias, crónicas as Fronteiras das Ciências.
Gradiva. Lisboa
CONDORCET, J.-M.
1785
Éssai sur l’application de l’analyse à la probabilité
des décisions rendues à la pluralité des voix. Paris
CONDORCET, J.-M.
1789
Sur la forme des élections. Paris
61
Referências Bibliográficas
CRATO, N.
2002
Paradoxos eleitorais. Revista do Semanário Expresso
do dia 13 de Fevereiro de 2002
GEANAKOPLOS, J
2001
Three Brief Proofs of ARROW’S IMPOSSIBILITY
THEOREM. Cowles Foundation Discussion Paper No.
1123RRR. Cowles Foundation For Research In
Economics. Yale University
MACHIAVELO, A.
2004
Sistemas de votação,
www.fc.up.pt\cmup\home\machia\SistemasVot.html
Página acedida em 18 de Janeiro de 2004
SAARI, D.
1991
A Fourth Grade Experience. CiteSeer (?)
62
Referências Bibliográficas
SAARI, D.
1995
SAARI, D.
1997
Basic Geometry of Voting. Springer-Verlag
Are Individual Rights Possible?. Mathematics
Magazine; Vol. 70, No. 2; 83-92 SAARI, D.
1997
The Symmetry and Complexity of Elections.
Complexity 2; 13-21
SAARI, D. & VALOGNES, F.
1998
Geometry, Voting, and Paradoxes. Mathematics
Magazine; Vol. 71, No. 4; 243-259
SAARI, D.
2001
ChaoticElections!A Mathematician Looks at
Voting. Americam Mathematical Society
63
Referências Bibliográficas
SAARI, D. & BARNEY, S.
2003
Consequences os Reversing Preferences.
Mathematical Intelligencer; Vol. 25, No. 4; 32-42
TAYLOR, A. D.
1995
Mathematics and Politics – Stategy, Voting, Power and
Proff. Springer-Verlag
TAYLOR, A. D.
2002
The manipulability of voting systems, to appear in
The American. Mathematical Monthly, 109 (April), 321337
64