Teoria Matemática das Eleições:
Geometria e Paradoxos
Escola Secundária de Valongo
1 de Abril de 2004
Rosa Celeste Oliveira
Joaquim António Pinto
1
Haverá alguma dificuldade em
VOTAR?
O que pode correr mal quando
votamos?
2
Gaius Plinius Caecilius
Secundus,
Plínio o Jovem (61 ou 62 - 113)
3
Suponhamos que a proporção das preferências era:
Perdão - 40%
Desterro - 35%
Execução - 25%
E se a votação fosse apenas entre Perdão e Desterro?
Ou apenas entre Perdão e Execução?
Ou apenas entre Desterro e Execução?
Ou com a agenda: Desterro/Execução/Perdão?
4
Paradoxos
O matemático francês Jean-Charles Borda (1733-1799) foi o
primeiro a estudar sistematicamente o problema.
O que descobriu surpreendeu os seus contemporâneos.
Olhando para o sistema eleitoral como um método de agregar
opiniões para encontrar uma escolha colectiva, notou que
métodos diferentes conduzem a resultados diferentes. O
paradoxo de Borda, como veio a ser conhecido, foi muito
discutido na época, sem se encontrar uma solução satisfatória.
5
Problemas
Analisemos um exemplo em onde quinze pessoas
seleccionam a sua bebida preferida entre L (leite), C (cerveja),
e V (vinho). As preferências dos eleitores são dadas pela
tabela:
Votos
6
5
4
Preferência
L V
C V
V C
C
L
L
Então o resultado da maioria
(onde cada pessoa vota na
sua bebida favorita) é:
L
C
V
Aparentemente, o leite é a bebida escolhida!
Será mesmo o leite a bebida preferida dos votantes?
6
Se é, seria de esperar que os votantes preferissem o leite à
cerveja. Mas como mostra a tabela seguinte, estes votantes
preferem realmente a cerveja ao leite.
Votos
6
5
4
Preferência
L V C
B
V
V
B
Leite
Cerveja
6
0
L
C
0
5
0
4
Total
6
9
Do mesmo modo, 9 votantes preferem o vinho ao leite e 10
preferem o vinho à cerveja. Isto cria uma contradição e uma
potencial controvérsia entre os votantes, porque estas
comparações entre pares sugerem que os eleitores preferem
realmente o V C L , o resultado oposto ao da maioria.
O que correu mal?
7
O sistema usado nas democracias baseia-se no chamado
voto plural, que é mais conhecido pela sigla “Um homem um
voto”.
Borda apresentou o problema à Academia Real Francesa em
16 de Junho de 1770.
Expôs um exemplo no qual 21 votantes escolhiam entre 3
candidatos, onde considerou as preferências relativas de
cada votante, isto é a forma como cada eleitor hierarquizava
os candidatos e reparou que era possível eleger um
candidato que a maioria dos eleitores colocava em último
lugar. Bastava para isso que os votos dos outros dois
estivessem suficientemente divididos.
Analisemos um exemplo semelhante
ao apresentado por Borda:
8
Sistemas de votação
Voto plural
A ordenação das alternativas é feita contando, para cada
uma, o número de boletins de voto em que esta ficou
colocada em primeiro lugar. As alternativas são ordenadas
por ordem crescente do correspondente número de votos
obtidos.
Sistema Sequencial aos Pares com Agenda
Depois de acordada uma ordenação preliminar das
alternativas, a que se chama uma agenda consideram-se os
resultados de eleições de pares de alternativas, pela ordem
dada na agenda, eliminando as derrotadas da agenda e
prosseguindo até a agenda conter apenas um elemento. As
alternativas são finalmente ordenadas por ordem inversa de
eliminação da agenda.
9
Sistemas de votação
Sistema de Hare (1861)
Elimina(m)-se, em eleições sucessivas,
a(s) alternativa(s) com o menor número
de primeiros lugares, sendo as alternativas
ordenadas por ordem
inversa de
eliminação.
“O SISTEMA de eleição presidencial francês produziu
este ano a situação insólita de que a maioria dos
franceses possa não se rever neste acto eleitoral.
O resultado da lotaria da primeira volta…
Este sistema é usado na Irlanda para as eleições
presidenciais desde 1938, e apresento de seguida os
resultados oficiais da eleição de 1990, para o leitor
poder ver como funciona na prática. Neste caso, Mary
Robinson ganhou a Brian Lenihanl na segunda
contagem, porque a maioria dos eleitores que
colocaram Austin Currie em primeiro lugar a tinham
colocado em segundo.”
Expresso, suplemento Economia
Sábado, 11 de Maio de 2002
10
Sistemas de votação
Contagem de Borda
Atribui-se a cada posição do boletim
de voto, um número de pontos: 0 para
a última, 1 para a penúltima, …, n-1
para a primeira. Os pontos “ganhos”
por cada alternativa são totalizadas e
as alternativas são ordenadas por
ordem crescente de pontos obtidos.
11
Sistemas de votação
Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat
Marquês de Condorcet (1743-1794)
Método de Condorcet
Os resultados são decididos
estritamente nos termos de uma
comparação entre pares de
candidatos.
O vencedor de Condorcet é o
candidato que vence todos os
candidatos restantes em eleições
um contra um.
12
Sistema de votação (im)perfeito…
Consideremos, novamente, o perfil envolvendo 15 eleitores e 3
alternativas.
Procuremos as ordenações finais,
para este perfil, usando cada um
dos sistemas eleitorais acima
Votos Preferência
descritos.
6
5
4
L V
C V
V C
C
L
L
Contagem de Borda
L
V
C
6  2  5  0  4  0  12
6 1  5 1  4  2  19
6  0  5  2  4 1  14
Plural
Hare
S. S. P. A.
LVC
S. S. P. A.
VCL
Borda
Condorcet
L
C
V
L
V
V
C
L
C
V
C
C
V
V
L
C
L
L
13
Conclusão…
O resultado de uma eleição pode depender bastante do
sistema eleitoral usado!
Desafio
Arranjar um processo, método ou algoritmo, um sistema
eleitoral ou de votação, que decida, a partir do conjunto
das listas de preferência, a que se chama o perfil eleitoral,
uma ordenação das alternativas que reflicta o melhor
possível as preferências dos eleitores.
14
Condições…
Numa primeira análise, as seguintes condições parecem ser
imprescindíveis para que um sistema de votação democrático
traduza as preferências dos eleitores:
Condição de Pareto (ou de unanimidade):
Se a alternativa X ficou colocada acima da alternativa Y em
todos os boletins de voto então na lista final deve ter-se X Y .
Critério do Vencedor de Condorcet (CVC):
Se existir um vencedor de Condorcet, este deve ser o vencedor da
eleição.
15
Condições…
Monotonia:
Se de uma eleição para outra, envolvendo os mesmos eleitores e
os mesmos candidatos, a posição de um dos candidatos for
alterada, num ou mais boletins de voto, mas sempre a favor desse
candidato, então a sua posição na ordenação final não deve ser
inferior à posição em que ficou colocado na primeira eleição.
Independência das Alternativas Irrelevantes (IAI):
Se em duas eleições distintas, envolvendo os mesmos eleitores e
os mesmos candidatos, a ordem relativa de dois dos candidatos
não foi alterada em nenhum boletim de voto, então a ordem
relativa desses mesmos candidatos no resultado final deve ser a
mesma.
16
Condições…
Simetrias:
Igualdade (ou Anonimato):
Permutar as listas de preferência, sem as alterar, não deve ter
nenhum efeito no resultado da eleição.
Neutralidade:
Se todos os eleitores cometerem o erro de trocar as
alternativas X e Y, então basta trocar X com Y no resultado
final para corrigir o erro.
17
Questão:
Será que algum dos métodos satisfaz estas condições?
Kenneth Arrow
Em 1951, (prémio Nobel da Economia em 1972) provou o
seguinte resultado:
Teorema:
Não existe nenhum sistema de votação que
satisfaça simultaneamente as condições de
Pareto, IAI e igualdade!
Ideia da demonstração:
As condições de Pareto e a da Independência
de Alternativas Irrelevantes conduzem a uma
ditadura!!!
18
Exemplos…
O Sistema Sequential aos Pares com Agenda não satisfaz a
condição de Pareto!
Considere-se o seguinte perfil:
4
4
4
A
C
B
B
A
D
D
B
C
C
D
A
Com agenda: ABCD.
Tem-se: ABCD
ACD
CD
D
D
C
A
B
D é o vencedor apesar de todos os eleitores preferirem B a D !
19
Exemplos…
O Sistema de Hare não satisfaz a condição de Monotonia!
Considere-se o seguinte par de eleições, em que na
segunda delas 3 dos eleitores alteram os seus boletins de
A B C , uma mudança
voto de B A C
para
favorável a A, enquanto os outros eleitores não alteram as
suas listas de preferências
1ª Eleição
2ª Eleição
12
9
7
3
15
9
7
A
C
B
B
A
C
B
B
A
C
A
B
A
C
C
B
A
C
C
B
A
20
Exemplos…
1ª Eleição
2ª Eleição
12
9
7
3
15
9
7
A
C
B
B
A
C
B
B
A
C
A
B
A
C
C
B
A
C
C
B
A
1ª Volta
1ª Volta
A: 12
A: 15
B: 10
B: 7
C: 9
C: 9
12
9
7
3
15
9
7
A
A
B
B
A
C
C
B
B
A
A
C
A
A
2ª Volta
2ª Volta
A: 21
A: 15
B: 10
B: 16
O candidato A, que
ganhou a primeira
eleição, perde a
segunda quando só
houve alterações a
seu favor !
21
Exemplos…
A contagem de Borda não satisfaz IAI!
Considere-se o seguinte par de eleições, em que alguns dos
eleitores (4) mudam a sua lista de preferências, mas ninguém
altera a posição relativa de A versus B.
1ª Eleição
2ª Eleição
7
4
7
4
A
C
A
B
B
B
B
C
C
A
C
A
Resultados:
Vê-se assim que a posição
relativa de A e B é alterada
de uma eleição para a
outra.
A
A: 14
A: 14
B: 11
B: 15
C: 8
C: 4
B
C
B
A
C
22
Sistema de votação (im)perfeito II
Sistemas/Condições
Pareto
CVC
Mono
IAI
Plural
Sim
Não
Sim
Não
Borda
Sim
Não
Sim
Não
Hare
Sim
Não
Não
Não
Seq. Pares c/ agenda
Não
Não
Sim
Não
23
Crítica ao Critério de Condorcet… (Saari)
Saari dá um exemplo semelhante ao que se segue, mostrando
que o vencedor de Condorcet não é invariante para a “adição de
empates”.
31
22
10
10
10
A
B
A
B
C
B
A
C
A
C
C
B
C
Aéo
vencedor de
Condorcet
(58.5%)
+
31
32
10
10
A
B
A
C
B
B
A
C
B
A
C
C
B
A
Perfil
empatado

B é o vencedor
de Condorcet
(50.6%)
Isto mostra que a condição CVC não é tão
indiscutivelmente razoável quanto possa parecer numa
primeira análise...
24
Teorema de Saari
Suponhamos que a condição IAI do Teorema de Arrow é
modificada para que o procedimento dependa não só da forma
como cada eleitor ordena cada par de candidatos, mas também
da informação que verifica que cada eleitor tem preferências
transitivas – em particular, também usa o número de candidatos
que cada eleitor ordena entre os dois candidatos específicos.
A Contagem de Borda satisfaz esta forma modificada de IAI e as
outras condições de Arrow.
Mais nenhum método posicional satisfaz essas condições.
25
Contra-exemplo…
Consideremos o seguinte
perfil:
Votos
3
2
2
Quando apenas os três candidatos
{A, B, C} são considerados, o
resultado de Borda é C B A.
Preferência
C
B
A
B
A
X
A
X
C
X
C
V
No entanto, quando consideramos
os quatro candidatos o resultado
da contagem de Borda passa a ser
A
B
C
X.
X não é a primeira preferência de nenhum eleitor. Mas, a sua
intromissão na eleição inverte a posição de A e C, o último
classificado e o primeiro classificado na primeira contagem de
Borda…
Como dar a volta a este paradoxo?
Porque é que a contagem de Borda permite que um candidato
26
mais fraco “deite por terra” o candidato forte?
Geometria, Eleições e Paradoxos
Segundo Saari a contagem de Borda é a melhor (casos como o
anterior raramente acontecem).
Analisemos melhor esta contagem para o caso de termos três
candidatos, estudar casos com mais de três candidatos é uma
generalização simples deste caso.
Os métodos que atribuem um número de pontos ao primeiro, ao
segundo, e ao terceiro candidato ordenados pela ordem de
preferência do eleitor, são chamados métodos eleitorais
posicionais.
Será que outros pesos, tais como (6; 5; 0) ou (4; 1; 0), em vez da
escolha de Borda de (2; 1; 0) não poderão traduzir melhor a
vontade dos eleitores em certos casos?
27
Matemática
Quando normalizados para atribuir um único ponto ao candidato
mais preferido de um eleitor, o ponto atribuído define um vector de
voto:
Wp  1, p, 0 , 0  p  1
Por exemplo, os formulários normalizados de (6; 5; 0) e a
contagem de Borda são, respectivamente,
 5 
 1 
W5  1, , 0  e W1  1, , 0 
 6 
 2 
6
2
O sistema plural “um Homem um voto” é representado pelo vector:
W0  1, 0, 0
Qual o sistema representado pelo o vector W1  1,1, 0 ?
Este vector representa o método antiplural, pois um eleitor vota
contra o seu candidato menos preferido!
28
Matemática
A normalização do Wp torna claro que há uma continuidade de
métodos de registo onde cada um é caracterizado pelo peso (o
valor de p ) colocado no candidato segundo posicionado de um
eleitor.
Defrontado com todas estas possibilidades, era natural que os
colegas matemáticos de Borda, tais como Laplace, Condorcet, e
outros, questionassem qual o método Wp que era óptimo no
sentido de que os seus resultados melhor reflectissem as opiniões
os eleitores.
O debate que começaram continua hoje!
Marie-Jean-Antoine-Nicolas de Caritat Condorcet, matemático
francês, filósofo, e político, acrescentou à controvérsia em 1780, o
seu método, que produzia o chamado “vencedor de Condorcet”.
Este vencedor estava aceite como escolha universal. Mas tem
29
problemas!!!
Matemática
Para ilustrar as dificuldades vejamos um exemplo:
Uma escola pretende comprar um livro de um lote de três
possíveis {A, B, C}.
Os 15 membros do Conselho Pedagógico têm que decidir…
Uma maneira natural para seleccionar o livro é por eliminação,
onde após ter comparado duas escolhas, {A, B}, o vencedor é
comparado com a escolha restante, C.
Suponha-se que as opiniões do conselho Pedagógico são:
Votos
5
5
5
Preferência
A
B
C
B
C
A
C
A
B
30
Matemática
Contemos os votos:
Votos
5
5
5
Preferência
A B C
B
C
C
A
A
B
Total
A
5
0
5
10
B
0
5
0
5
A
5
0
0
5
C
0
5
5
10
Em ambas as eleições o vencedor vence com dois terços dos
votos, portanto parece seguro dizer que o resultado da votação do
Conselho Pedagógico é: C A B.
31
Matemática
Embora o resultado pareça ser inquestionável, vamos questionálo. Nós já sabemos que C vence A e A vence B, assim só falta
determinar se C vence B. Podemos não esperar surpresas, mas…
Votos
5
5
5
Preferência
A B C
B
C
C
A
A
B
Total
B
5
5
5
10
C
0
0
5
5
… na verdade encontramos uma: B vence C pelos mesmos dois
terços dos votos.
32
Matemática
Este perfil define os resultados eleitorais cíclicos,
C
A B, B C, C
A
A
B
Representando por um
grafo esta eleição vemos
que não existe nem
vencedor nem perdedor
de Condorcet!
Portanto, seja qual for o candidato votado em último (nesta eleição
por agenda aos pares), vence decididamente. Em particular, não
há nenhum vencedor ou perdedor de Condorcet.
Condorcet compreendeu que os ciclos poderiam acontecer em
caso de votação entre pares; ele estudou este comportamento
introduzindo o exemplo anterior. Tal exemplo é conhecido agora
como um perfil de Condorcet.
Os ciclos não permitem seleccionar um candidato “óptimo”!!! 33
Complexidade e Geometria
Qual o melhor método?
Os estudos no campo da Teoria Matemática das eleições foram
retardados pela complexidade do cálculo combinatório
envolvido!
Uma maneira tradicional para comparar procedimentos é construir
perfis que mostrem como um método tem uma falha provocada
por outro.
Mas para construir exemplos, necessitamos determinar quantos
eleitores devemos ter de cada tipo de modo que os resultados
provenientes da eleição exprimam o fenómeno desejado.
34
Complexidade e Geometria
Questões:
Qual é o número mínimo de eleitores necessários para criar
particularidades interessantes em eleições?
Podem os vencedores de Borda e de Condorcet ser diferentes?
Existe alguma explicação para que os resultados de uma eleição
mudem com o uso de diferentes vectores Wp?
Há perfis dos eleitores onde cada candidato é o “vencedor” para
um Wp apropriado?
Os exemplos que os suportam são frequentes ou raros?
Podemos caracterizar todos os exemplos possíveis?
35
Complexidade e Geometria
Procurando respostas…
Recentemente, o progresso no estudo da matemática das eleições
foi sendo feito com base na procura de respostas para as
questões anteriores substituindo o método combinatório tradicional
por uma perspectiva geométrica.
Nesta apresentação tentaremos mostrar como a geometria reduz
assuntos anteriormente complicados a formas mais simples para
assim poderem ser apresentados aos estudantes que as podem
representar graficamente com equações algébricas elementares.
36
Complexidade e Geometria
Donald Saari:
Matemático da Universidade de Califórnia em
Irvine, tem-se dedicado a estudar os problemas
eleitorais.
Mostrou, usando a geometria, que pequenas
mudanças em qualquer sistema eleitoral podem
trazer grandes alterações nos resultados das
eleições.
Saari é um dos matemáticos e especialistas de
ciência política que se têm dedicado a estudar os
problemas da chamada escolha pública, uma
área que sofreu um grande desenvolvimento na
segunda metade do século XX.
37
Geometria (Donald Saari)
Tipos de Eleitores
O “tipo” de eleitor é definido pela forma como os candidatos
{A, B, C} são ordenados.
Por conveniência denotem-se os tipos pelos números 1, 2, 3, 4, 5
e 6.
Estes tipos estão reflectidos na
geometria do triângulo equilátero,
Tipo
Preferência
onde cada candidato está
A B C
1
identificado como um vértice.
2
A
3
C
A
B
4
C
B
A
5
B
B
C
A
A
C
6
C
B
C
3
4
2
5
1
A
6
B
38
39
Geometria – Exemplos de Condorcet
Dos seis tipos de preferências que referimos para três candidatos
vamos apenas estudar três tipos. Das vinte hipóteses que temos
para escolher três tipos, a nossa escolha recai sobre os tipos que
geram o perfil de Condorcet.
O perfil de Condorcet é gerado pelos tipos: 1, 3 e 5.
Estes três tipos de perfis geram uma configuração simétrica – em
moinho de vento – no triângulo considerado.
40
Geometria – Exemplos de Condorcet
Consideremos n eleitores. Para cada j, seja nj o número de
eleitores do tipo j, o número total de eleitores é então n1+n3+n5 = n.
Em vez de trabalharmos com inteiros, dividimos por n de modo
que:
n5
n3
n1
x
n
, y
n
e z
n
representem as fracções de todos os eleitores que são de cada
tipo.
A restrição x+y+z = 1, ou z = 1– (x+y), permite-nos representar
todos os perfis possíveis como pontos – racionais – do triângulo:
T1   x, y  | x, y  0, x  y  1 .
Para um ponto (x, y) T1, a fracção de todos os eleitores com
preferências do tipo 1 e 5 são dadas, respectivamente, pelos
valores de x e de y; a fracção de todos os eleitores do tipo3 é
41
dada por 1– x– y.
42
Resultados de eleições de um contra um…
Com a Geometria associar perfis com os seus possíveis resultados
reduz-se a representar graficamente equações.
Estudemos uma eleição {A, B}
Por simples análise do triângulo facilmente
se vê que só os eleitores do tipo 5 votam
em B; todos os outros eleitores estão do
lado de A da linha A~B.
A~B
5
Consequentemente B vence A se e
só se:
y  x  z  x  1  x  y   y 
1
2
1
y=
B
A
2
3
1
43
Resultados de eleições de um contra um…
A análise para os dois pares restantes é idêntica. Numa
eleição {A, C} somente os eleitores do tipo 1 preferem A a C e
assim A vence C se e
1
x

.
somente se
2
Do mesmo modo na
disputa {B,C} o candidato
C ganha se e somente se:
1
z 
2
1
 1  x  y  
2
1
 x y  
2
1
 y  x  .
2
B C
1
y  x 
2
A
C
1
x
2
5
A
B
1
y
2
3
1
44
O Triângulo T1
Como é fácil determinar os
resultados das votações entre
pares que ocorrem em cada
lado de cada linha tracejada do
triângulo T1, sabemos quais os
resultados das eleições que
estão associados a cada uma
das quatro regiões resultantes
dos perfis. Por exemplo, a
região do extremo direito, com
vértice T1(1, 0) está a baixo da
linha limite A B e acima da
linha limite B C assim estes
perfis definem o tipo 1, A B C.
B
C
A
C
5
A
B
3
1
45
O Triângulo T1
O nosso verdadeiro interesse está no triângulo pequeno que sobra
no centro, que identifica todos os perfis que causam resultados
cíclicos.
Para ilustrar como usar a geometria, suponha-se que queremos
determinar o número mínimo dos eleitores necessários para
construir exemplos para qualquer um dos resultados admitidos.
Para o fazermos, observe-se que n, o número total de eleitores, é
um denominador comum a x e y. A resposta envolve, então,
apenas a procura dos pontos (x, y) em cada região com o menor
denominador comum.
46
O Triângulo T1
Pontos (x, y) com denominador comum 2.
2
(0,
Como todos os pontos com
denominador comum 2 ou
são vértices de T1
ou
vértices do triângulo pequeno
que
causa
resultados
cíclicos, todos os exemplos
de dois eleitores ou têm
resultados unânimes, ou têm
resultados não transitivos
envolvendo
empates
de
votos.
2
)
1
1
(0,
2
)
0
(
2
(
0
,
2
2
1
,
2
)
1
)
(
2
2
, 0)
(
2
, 0)
47
O Triângulo T1
O ponto  1 , 0  em que x = 1, y = 0
2 
e z = 1, define o resultado:
A ~ C, B ~ C,
mesmo que A
B.
Podemos ver que bastam dois
eleitores para que resultados
estranhos possam acontecer
em eleições!!!
B~C
A
A~C
B.
1
(
2
, 0)
48
Três eleitores…
O Triângulo T1
1 1
O ponto  , ,
3 3
1
corresponde a termos um eleitor
de cada tipo!!!
x  1, y  1 e z  1
3
1
3
Argumentos idênticos aos apresentados mostram que os pontos
nas linhas limite necessitam de quatro eleitores.
Consequentemente, bastam-nos quatro eleitores, para criarmos
exemplos de todos os resultados entre pares de candidatos.
49
O Triângulo T1
A geometria mostra que resultados estranhos são causados pelo
modo como os pontos racionais estão distribuídos dentro de uma
região, dependendo da paridade do menor denominador comum.
Ilustramos levantando uma outra questão: Podem os ciclos ocorrer
se somente um eleitor numa população grande tiver preferências do
tipo 3?
1
Com n eleitores, esta condição requer z  ,assim como o ponto (x, y)
n


deve satisfazer x  y  1  , e estar na região cíclica próximo de  ,  .
2 2
n
1
1 1


 n2 1
1 n2
,
ou
Se n for par, só podemos considerar os pontos 

 ,

 2n 2 
 2 2n 
que não são admissíveis porque são pontos da fronteira do triângulo
pequeno.
Assim, este comportamento particular ocorre se e somente se n for
n 1
ímpar e x  y 
.
50
2n
O Triângulo T1 e as Probabilidades
Há muita literatura na qual técnicas complicadas são usadas para
estimar as probabilidades de vários resultados de eleições. Com a
geometria, é relativamente fácil estimar a probabilidade de cada
resultado. Por exemplo, se cada ponto (isto é, cada perfil) em T1 for
igualmente provável, então as áreas comuns das quatro regiões
provam que cada resultado ocorre com probabilidade 1 .
4
Do mesmo modo, diga-se que a probabilidade de um perfil está
distribuída centralmente se a probabilidade do perfil (p1, p2, p3) é a
mesma que a do (p2, p1, p3) , o mesmo se afirmando para as outras
quatro permutações possíveis. Esta simetria sobre os tipos de
eleitores significa que com uma probabilidade de perfis centralmente
distribuída, todos os três resultados transitivos são igualmente
prováveis.
O valor
1
será o limite para o qual tende a probabilidade de cada
4
zona do triângulo à medida que o número de eleitores aumenta.
51
Resultados posicionais – Registos
A geometria também identifica todos os conflitos possíveis entre
os resultados de eleições um contra um, e de Wp.
Usando o triângulo da figura calculemos o registo Wp= (1, p, 0)
dos candidatos A, B e C de uma eleição.
Candidato A:
x  pz  0 y  x  p 1  x  y  
C
 x  p  px  py  1  p  x  py  p
Candidato B:
y  px  0 z  y  px
z
y
x
A
Candidato C:
B
z  py  0 x  1  x  y  py 
 1  x   p  1 y
52
53
Resultados posicionais – Equações
Determinemos que perfis definem os resultados relativos A B ou
B A.
Procuremos a equação da recta que define o empate A~B obtida dos
registos de A e de B.
1  p  x  py  p  y  px 
 1  2 p  x  py  y   p 
 1  2 p  x  1  p  y   p
1
1
e y
satisfazem esta equação para todos os
3
3
p-valores, todas as rectas passam por  1 , 1  , a que chamamos
3 3
Porque
x
ponto de rotação.
A recta de empate definida pelo parâmetro p é determinada pelo
ponto de rotação e por   p , 0  , a sua intersecções com o eixo ox.


 1 2 p 
54
Resultados posicionais – Equações
Os resultados para todos os pares de candidatos são:
Par
Equação
Pt de
Rotação
Pt do eixo
dos x
A~B
1 2 p x  1 p y   p
1 1
 , 
3 3
A~C
 2  p x  1 2 p  y  1 p
1 1
 , 
3 3
 p

,
0


 1 2 p 
 1 p 
, 0

 2 p 
B~C
1 p  x   2  p  y  1
1 1
 , 
3 3
 1

,
0


 1 p 
55
56
Lewis Carrol (1876)
• (as eleições) “são mais um jogo de habilidade que um teste
real aos desejos dos eleitores.”
•
“na minha opinião é preferível que as eleições sejam
decididas de acordo com os desejos da maioria do que os
daqueles que têm mais habilidade no jogo, por isso penso ser
desejável que todos devam saber as regras pelas quais este
jogo se pode ganhar.”
57
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