SOLUÇÕES EXATAS 2D
DA EQ. DE NAVIER-STOKES
1. 1o Problema de Stokes
2. Escoamento na vizinhança de um ponto de
estagnação (Hiemenz 1911)
3. Canal Convergente ou Divergente (Jeffery &
Hamel )
Stokes 1st Problem
• Mecanismo de transporte: difusão de quantidade de
movimento.
• O transporte é proporcional ao gradiente da propriedade
transportada.
J
d
dn
• Placa plana colocada em movimento num meio semi-infinito.
filme 200cs
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Formulação
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Propriedades Função Erro
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Efeito da Viscosidade
• Para problema puramente difusivos, foi visto que quanto maior
for a difusividade mais rapidamente o domínio sente o
movimento da parede, veja expressão para a altura de
penetração (1% de velocidade da fronteira)
  t
• Observe este efeito quando a parede externa do cilindro começa a girar (a)
fluido 100 cP e (b) 10000 cP
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Reversibilidade 1º Prob. Stokes
• Um fluido viscoso preenche o cilindro.
• Sua parede é posta a girar, após alguns instantes
ela para e inverte a rotação.
• Observe o que acontece com o marcador do
fluido: ele retorna para mesma posição. Porque?
Filme reverso
• O escoamento é reversível pq o fluido não possui
termo convectivo (não-linear). Na ausência deste
termo a equação permanece linear e portanto o
esc. é reversível.
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Transporte por Difusão
• Quantidade de movimento, vorticidade, temperatura, concentração (escalares
em geral , , h, s etc) são variáveis que são transportadas por difusão.
• Note que as equações de transporte são similares!
• A Difusão turbulenta é muitas vezes maior que a laminar. De fato o movimento
aleatório dos vórtices transporta de forma eficaz as propriedades
difusão laminar x turbulenta
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Competição Difusão x Convecção
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Competição Difusão x Convecção
Hiemenz Problem (1911)
• Escoamento viscoso próximo a um ponto de estagnação 2D.
• Mecanismo de transporte: difusão e convecção de quantidade de
movimento
K. Hiemenz , Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen Flüssigkeitsstrom
eingetauchten geraden Kreiszylinder. Göttingen Dingl. Polytech. J. 326 (1911).
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Hiemenz Problem
• Procura-se solução em termos de , satisfaz massa, uma eq. a menos!
• Região efeitos viscosos ausentes:
  kxy


 u  kx e v = -ky
z  0


  kxf  y 
• Região efeitos viscosos presentes: o não
deslizamento muda dependência de (u,v) em y u  kxf ' e v = -ky
mas não é evidente que ele altere a dependência   u  v  kxf "
z
y x
de (u,v) em x
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Schilichting, 7th ed
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Figure 8.1 – Flow past a circular cylinder at Re = 0.16. The flow is from
left to right. It resembles superficially the pattern of potential flow. The
flow of water is shown by aluminum dust. (Courtesy of The Parabolic
Press, Stanford, California. Reprinted with permission.)
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Jeffery Hamel Flow (2D)
• Escoamento desenvolvido num canal convergente / divergente
formado por duas placas paralelas inclinadas entre si.
• Linhas de corrente são retas que passam pela origem, em coordenadas
cilindrico-polar (r, ):
– u = 0 (desenvolvido) & rur = F()
George Barker Jeffery (9 May 1891 – 27 April 1957) was a leading mathematical physicist in the early
twentieth century.
Georg Karl Wilhelm Hamel (12 September 1877 – 4 October 1954) was a German mathematician with
interests
mechanics,
the foundations of mathematics and function theory.
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Eugênio
Rosa
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=
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Perfil de Velocidade (10º)
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Comentários da Solução
• O perfil de velocidades para um canal
convergente ou divergente diferem entre sí.
• Para o canal convergente a medida que Re
aumenta o perfil tende a ficar cada vez mais
uniforme em toda a extensão do canal;
• Para o canal divergente o perfil depende de Re e
pode apresentar valores negativos! Isto é,
recirculação.
• Para haver recirculação é necessário que o
escoamento tenha separado (um estágio
anterior). O modelo mostra que separação ocorre
com o aumento do ângulo e a diminuição de Re
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