Parte I
Formulação Integral
das Equações de Transporte
IM250 Prof. Eugênio Rosa
As Leis Físicas e o Conceito de Sistema
• “As leis da natureza não foram inventadas pelo homem, mas sim
forçadas sobre ele pelo próprio mundo natural. São a expressão de
uma ordem racional do mundo“; Max Planck
• As leis físicas foram desenvolvidas para sistemas: um conjunto
de partículas (massa) com identidade fixa.
• Não há fluxo de massa na fronteira de um sistema, mas pode
haver forças (pressão, tensão) e energia na forma de calor ou
trabalho cruzando sua fronteira.
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Propriedades de Sistemas
• Um sistema pode ser caracterizado pela sua
Massa, Quantidade de Movimento Linear,
Energia, Entropia, entre outros parâmetros.
Variação da Massa de um sistema é,
por definição, nula:
Variação da Quant. de Movimento de
um sistema - 2a lei de Newton
DM
0
Dt sis


D MV
  Fext
Dt sis


Variação da Energia de um sistema - 1a
Lei da Termodinâmica
DE
 W

Q
Dt sis
Variação da Entropia de um sistema 2a Lei da Termodinâmica

DS 
Q
  PS
Dt sis T
Sinal Q & W: Q>0 se entra no sistema, W>0 se sai do sistema.
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Forma Genérica
• Se considerarmos B uma propriedade extensiva de
um sistema, sua variação pode ser expressa
genericamente por:
DB
S
Dt sis
• Onde S representa um termo fonte adequado para
o fenômeno que B representa: massa, quantidade
de movimento, energia etc.
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Propriedade Não-Uniformes
• A propriedade genérica B (massa, q. movimento,
energia etc) do sistema, em geral, não é uniforme
no espaço.
• Ela pode ser convenientemente avaliada
definindo-se uma propriedade intensiva b como:
 B 
b  lim 

m0 m 
• De tal forma que a taxa de variação de B no
sistema pode ser determinada por:

D
   b  d  S

Dt sis

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Propriedades de Sistemas
• As equações que descrevem as variações das
propriedades nos sistemas são postulados ou
leis da física.
• Para constituirmos estas equações devemos
especificar a natureza do termos fonte.
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Equação da Massa para um Sistema
• A equação da Massa é obtida fazendo-se b =1,

D


d

0



Dt sis

• Note que não há termo fonte de massa,
pressupõe-se na ausência de efeitos nucleares.
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Equação da Q. Movimento para um Sistema
• A equação da Q. Movimento é obtida fazendo-se
b = V,

D   
  Vd   T ndA   gd
Dt sis

 A


 Fext
• As forças externas são dividas em forças que
agem na fronteira do sistema, Tensões T
(natureza tensorial), e forças de campo que agem
no volume do sistema .
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Equação da Energia para um Sistema
• A equação da Energia é obtida fazendo-se b =e,
onde ‘e’ ainda não especificada neste estágio,




   

D 


  e d     q k  ndA    n  T V dA   q  d
Dt sis
A
A


 


 


Q


W
• Q e W só existem na fronteira do sistema, o calor
é exclusivamente devido a condução térmica e o
trabalho é aquele realizado pelas tensões que
atuam na fronteira.
• O último termo refere-se a geração volumétrica de
energia no interior do volume (reação química,
dissipação efeito joule, etc)
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2a Lei para um Sistema
• A 2a Lei é obtida fazendo-se b = s,


D 
 qk  
 q 
  ndA   
  d  Ps
  sd    
Dt sis
A T 
 T 

• O primeiro e segundo termo referem-se a
produção ou destruição de s devido a
transferência de calor na fronteira e devido a
geração de energia internamente ao volume.
• O último termo refere-se a produção de entropia
devido as irreversibilidades do sistema, Ps 0.
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Equações de Transporte ou Conservação?
• Os livros textos freqüentemente denominam a taxa
de variação das propriedades dos sistemas por
Equações de Transporte ou Equações de
Conservação.
• A primeira denominação sub-entende como uma
propriedade específica é transportada (convecção
e difusão) pelo campo.
• O termo conservação é igualmente aplicado
porque o lado direito da equação deve ser igual ao
seu lado esquerdo, isto é, o transporte deve ser
igual ao termos fonte associados a produção ou
destruição da propriedade!
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Aplicação do Conceito de Sistema
• Os postulados físicos para sistemas são
aplicados com sucesso para partículas e corpos
rígidos.
• No entanto encontra-se dificuldade para aplicálos em corpos que se deformam continuamente
(FLUIDOS)!
• Veja se você conseguiria identificar, em qualquer
instante de tempo, todas as partículas de fluido
que compõe o sistema ao entrar em um reator
com agitação, transferência de calor e trabalho:
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Q W
m1
m1
sistema
Q W
m1
Instante: t0
m1
sistema
Instante: t0+t
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Sistema x Volume de Controle
• Para corpos que se deformam
continuamente( gases e líquidos) é
difícil realizar uma análise
seguindo-se o sistema!
• É muito mais simples se ater a
uma região no espaço (Volume de
Controle) onde massa pode cruzar
sua fronteira.
• O Teorema de Transporte de
Reynolds (TTR) permite que se
faça uma análise de um Sistema a
partir do conceito de Volume de
Controle!
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O Volume de Controle
• O Volume de Controle V.C. é uma região do espaço onde se deseja
realizar a análise.
• A sua fronteira com o meio externa é delimitada pela Superfície de
Controle, S.C.: massa, força e energia podem cruzar a S.C.
• O Volume de Controle pode ser estacionário ou móvel no espaço;
fronteiras fixas ou deformáveis ou qualquer outra combinação;
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Teorema de Transporte de Reynolds
• Ele descreve a variação da propriedade do
sistema em termos de propriedades medidas
no Volume de Controle.


 
D
d
  b d 
 b dV   b  n  Vr dA
Dt sis
dt VC
SC
onde Vr é a velocidade relativa do fluido em
relação a fronteira, Vr = Vf - Vb
• A variação da propriedade B do sistema é
igual a variação de B no V.C. mais o fluxo
líquido de B que cruza a S.C.
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Demonstração do
Teorema de Transporte
de Reynolds
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Teorema de Transporte de Reynolds
• No instante t0 a superfície de controle é
coincidente com a fronteira do sistema.
control
volume
system
III
I
( t0 )
II
(t0 + dt)
• No instante t0+dt o sistema ‘deixa’ parcialmente o V.C. A
região III está fora do V.C.; a região II ainda está dentro do
V.C.; e a região I é preenchida por outro sistema.
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Teorema de Transporte de Reynolds
A taxa de variação do sistema é escrita em função de
propriedades do V.C.
 dt
Lim  B tIII
 B tII dt  B t
dB

dt sys dt  0 
dt




 dt
Lim  B tI  dt  B tII dt  B t B tIII
B tI  dt



dt  0 
dt
dt
dt
sistema
volume
controle
III
I
( t0 )
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(t0 + dt)




Identificação do
sistema e do VC no
instante (t0 + dt) .
II
• Sistema = (II)+(III)
• V. C. = (I)+ (II)
Sistema com Propriedades Não-Uniformes
• Com freqüência ocorre que as propriedades de uma
variável não são uniformes em toda extensão
espacial do sistema.
• Neste caso, para representar adequadamente a
massa ou qualquer outra propriedade do sistema
devemos somar sua contribuição em toda extensão:
M   dV
vol
• Onde
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&
B   bdV
vol
 B 
b  lim 

m0 m 
Teorema de Transporte de Reynolds
O primeiro termo representa a taxa de variação de B no V.C.
Lim  B tI  dt  B tII dt  B t
dt  0 
dt
system
control
volume
III
I
( t0 )
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 d

b dV

 dt vol

(t0 + dt)
II
Teorema de Transporte de Reynolds
Os 2o e 3o termos representam os fluxos de B para for a e para dentro do V.C.
 
 
 dt    b  n  Vr dA dt    b  n  Vr dA 
t

d
t
t

d
t



Li m  B III
Li m 
BI
III
I








dt  0  d t
dt  dt  0 
dt
dt





   b  n  Vr dA






C.S .
Vr
system
control
volume
III
I
( t0 )
II
Vr
(t0 + dt)
n
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Leaving
n C.V.
n.Vr >0
Entering
C.V.
n.Vr <0
Teorema de Transporte de Reynolds
• Taxa de variação do sistema escrita em termos de
propriedades do Volume de Controle,


 
dB
d

 b dV   b  n  Vr dA
dt sys dt C.V .
C.S .
• A variação de B no sistema é igual a variação de B no
V.C. mais o fluxo líquido de B que cruza a S.C.
• A derivada ‘lagrangeana’ do sistema é determinida
para uma região no espaço por meio do TTR.
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Forma Integral das Equações de Transporte
• O TTR permite escrever as Equações de Transporte
a partir do conceito de Volume de Controle:


 
d
 b d   b  n  Vr dA   J  dA   f  d
dt VC
SC
SC
VC


Source S
b
B/M
Source
Massa
1
0
Movimento
V

T

ndA


g

 d
SC
1a Lei
e
V C

 

  q k  ndA   n  T V dA   q   d

SC
2a
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Lei
s
SC

VC

 q k  
 q  
  
  ndA   
  d  Ps
T
T




SC
VC
J e f são fontes genéricos associados a SC e ao VC
Conservação da Massa


 
d
 b d   b  n  Vr dA   J  dA   f  d
dt VC
SC
SC
VC


Source S
A Eq. da conservação da massa é obtida fazendo-se
B = M, b = 1. Não há fontes de superfície ou de volume;
DM/Dt = 0 por definição de sistema!



d
 d    Vr  n dA  0
dt V .C.
S .C .
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Ex. – Escoamento de água (incompressível) com velocidade uniforme nas
seções. Determine a vazão mássica em (3). São conhecidas as áreas em (1), (2)
e (3) e as velocidades nas seções (1) e (2) são, respectivamente: U1 e
U2+cos(wt).
Fluido incompressível,  =
constante e fronteira não
deformável, então o termo
de acumulação é nulo;
O balanço de massa fica
sendo os fluxos que entram
e saem do VC:
 0
   V1  A1     V2  A2  M
3
Comentário: não importa se as velocidades são transientes, não há termo
de acumulação, a vazão instantânea que entra é igual àquela que sai!
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Ex. – Água escoa em regime permanente através de uma placa porosa, avalie
a vazão da massa na seção bc se o perfil de velocidades na seção cd é:
u
y
y
 3   2 
U
d
d
m=?
•
•
1, 5
Trace uma superfície de
controle
Aplique o balanço de
massa para R.P.



   Vr  n dA  0
•
S .C .
Calcule os fluxos em cada face da S.C.:
d
d
L
0
0
0
 bc  0
    U w  dy      uy w  dy      Vw  dx  m

7
V
L 
U dw  1 


  mbc  0
10 U d w 

• Note que mbc>0, portanto o fluxo de massa cruza
 bc  1,42kg/ s
m
a S.C. para fora!
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Ex. – Um tanque de volume fixo contém salmoura, com densidade inicial i.
Água pura (dens. A) entra no tanque e mistura-se perfeitamente com a
salmoura. Determine uma expressão para a taxa de variação da densidade da
salmoura m com o tempo.
• Trace uma S.C.
• Crie um referencial
• Balanço de massa: como há uma
mistura ‘perfeita’, a densidade média no
volume é igual àquela da saída, m
então:
y
x



d
   d     Vr  n dA  0
dt V .C.
S .C .
• Como vol. const., então a vazão
dm   
  A  Q   m  Q   0 volumétrica na entrada e saída são
dt
iguais a Q
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Ex. – continuação
• Separando os termos vamos ter:
dm
Q
  dt
m   A  
y
• Integrando,
m   A   e  Q t
 i   A 
x
• Onde i é a concentração inicial.
• Reconhecendo que V/Q é a constante de tempo, t, a razão das
densidades pode ser então representada por:
m   A   e tt
i   A 
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Ex. – continuação
• Qual é a relação entre a densidade da
salmoura e a concentração
volumétrica do sal?
y
x
• Reconhecendo que as
densidades do sal e da água
pura são: s e A, então a
densidade da mistura é:
m  S  C  A  1  C
• Onde C é a concentração volumétrica do sal, isto é, a razão
entre o volume que ele ocupa e o volume da mistura,
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sal
C
sal  agua
Fronteira Deformável
x
Fronteira Fixa
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Ex. – Um acumulador hidráulico reduz os pulsos de pressão acumulando ou
descarregando óleo no seu interior. Considerando que a vazão instantânea de
óleo que entra é Q e que a velocidade instantânea de saída é V numa área A,
determine a taxa a qual o acumulador ganha ou perde óleo.
Fronteira
deformável
• Trace uma superfície de controle
ar
• Crie um referencial
• Aplique o balanço de massa
y
Q
x
Fronteira
fixa
Ou,
V,
A

  d dt     Q    V  A  0
A taxa de acumulação é:
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

d
   d     Vr  n dA  0
dt V .C.
S .C .
d
 Q VA
dt
Exemplo– Um pistão de área Ap desliza num cilindro com velocidade Vb. Na
extremidade oposta do cilindro há uma abertura de área A. Determine a
velocidade de saída do jato. Considere o fluido incompressível.
• Trace uma superfície de controle
Fronteira
deformável
Vb
y
• Crie um referencial
Vs
• Aplique o balanço de massa:
h(t)
x
Fronteira
fixa
• Calcule as integrais:

d A P  h 

   VS  A  0
dt
• Reconhecendo que ´-dh/dt = Vb, então:
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

d
   d     Vr  n dA  0
dt V .C.
S .C .
- r ×Vb ×AP + r ×VS ×A = 0
Patm
T0
Problema Desafio – Inicialmente o raio interno de
um balão elástico é Ri e ar no seu interior está a
pressão e temperatura Pi e T0.
Ele começa a ser enchido por um fluxo
de ar com velocidade V1 e densidade 1 pela
seção (1) de área A1. A pressão externa ao balão
é atmosférica, Patm. Considere o ar como um gás
perfeito e o processo de enchimento se dá a
temperatura constante T0.
Determine a taxa de variação da
densidade do ar no balão b e R com o fluxo de
ar na entrada. Utilize a equação de LaplaceYoung para determinar a diferença de pressão
V1
em função do raio durante o processo de
A1
enchimento.
1
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Ri
Pi
Patm
b
R
P
T0
Teorema de Leibniz
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• Pode ocorrer uma função f(t) definida pela integral:
B t 
ft    f x, t dx
A t 
• Qual seria a derivada da função f(t) em relação a t?
• A derivada de f(t) é definida pelo teorema de Leibniz:
B t  f x, t 
dft   Bt 
dB
dA

dx  f B, t  
 f A, t  
 f x, t dx  
dt
t A t 
t
dt
dt
A t 
• Note que se os limites de integração forem fixos no tempo então
B t  f x, t 
dft   B t 

dx
 f x, t dx  
dt
t A t 
t
A t 
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Representação Gráfica
f
dt
t
f
f(x,t+dt)
3
5
4
f(x,t)
2
dB
dt
dt
1
6
f(A)
7
f(B)
dA
dt
dt
9
8
A(t) A(t+dt)
10
B(t) B(t+dt)
 f x, t  
dt dx  áre a1,2,3,4
 
t
A t  

B t 
x
dB
f B, t  
dt  áre a4,5,9,10
dt
dA
f A , t  
dt  áre a1,6,7,8
dt
Agrupando os termos e fazendo dt->0, tem-se:
 B t 
 f x, t dx 
t A t 
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dB
dA
f x, t 





f
B
,
t


f
A
,
t

dx

dt
dt
t
A t 
B t 
Extensão para Volumes
do Teorema de Leibniz

dft  
f x, t 
dB
dA


d  f B, t  
 f A, t  
 f x, t dx  
dt
t A t 
t
dt
dt
A t 
B t 
B t 
• Onde A(t) e B(t) são volumes deformáveis cuja forma
depende do tempo t.
• df/dt depende da taxa de variação do volume (ou
vazão volumétrica) nas fronteiras!
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Como eu aplico o T. Leibnitz em Mec Flu?


 b   
d 
 b    d  
 b    Vb  n dA
t   t 
t
 t 
Fronteira


Deformável
•
•
onde Vb é a velocidade da fronteira.
A derivada da integral do volume deformável é igual:
1. A integral da derivada da propriedade no V.C.
2. Mais um termo de fluxo associado com a
deformação da fronteira.
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Como fica o T.T. Reynolds?


dB
 b   
 
d   b    Vb  n dA   b    Vr  n dA
dt SISTEMA  t  t
Fronteira
S .C .
Deformável

 
Taxa Variação B no V.C.
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 
Ex. revisitado
Fronteira
deformável
ar
Vb
• A velocidade da fronteira pode
ser determinada a partir do
balanço de massa:
y
Q
x
Fronteira
fixa
V,
A


  
0 
d 
   Vb  n dA     Vr  n dA
 t  t
S .C .


 Fronteira
Deformável

VA  Q
0

Vb A
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


Exemplo revisitado
Fronteira
deformável
Vb
Vs
h(t)
• A velocidade da fronteira pode
ser determinada a partir do
balanço de massa:
Fronteira
fixa


  
0 
d 
   Vb  n dA     Vr  n dA
 t  t
S .C .


 Fronteira
Deformável

Vs A
0

Vb A P
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


Conservação da Quantidade de Movimento
2ª Lei de Newton
D
Vd   Fext

Dt sist
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O que é um Ref. Não-Inercial?
• Um referencial é inercial se ele não tiver aceleração
em relação a um referencial ‘estacionário’.
• Um referencial NI é aquele que pode apresentar
aceleração linear, angular, centrífuga ou de coriolis
em relação a um referencial ‘estacionário’
• Exemplos de referencial NI e I:
• 1. ref. seguindo VC que acelera em relação ref.
estacionário
• 2. ref. seguindo VC que descreve um arco de curva
• 3. ref. Seguindo VC que se desloca com velocidade
constante em relação a um ref. Estacionário , este é
Inercial!
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A 2a Lei de Newton
• A variação de quantidade de movimento de um
sistema é igual a somatória das forças externas desde
que o referencial seja Inercial.
 

d mV sistema
dt

  F ext
XYZ
• Para referenciais NI é necessário relacionar a
aceleração do referencial NI (xyz) a um referencial
estacionário (XYZ).
 

d mV sistema
dt
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

  F ext  m  a xyz

xyz

Posição Relativa
• O problema fundamental é estabelecer a aceleração
relativa do referencial NI a um estacionário.
sistema
Y
P
z
r
w y
R
x
X
Z
• O ref (xyz) gira com w e é localizado pelo vetor posição
R.
• A posição do sistema PXYZ = R + r
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Movimento Relativo
• A velocidade observada no ref (XYZ) é dada pela
velocidade de translação de (xyz) (dR/dt = Vrf) mais a
velocidade de translação e rotação do sistema em
relação ao ref (xyz) (Vxyz e wxr)
sistema
Y
P
z
r
w y
R
x
X
Z
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


dP dR d r  

  w r
dt
dt dt



 
VXYZ  Vrf  Vxyz  w  r
Aceleração Inercial x Não-Inercial
 A aceleração do ref. (XYZ) é obtida derivando-se as
velocidades relativas .
r
dVXYZ
dt
Aceleração
Inercial

r
dVxyz
dt

Aceleração linear
medida no ref (xyz)
r
r
r r
a XYZ  a xyz  w  Vxyz
Aceleração
retilínea no (xyz)
r
r
a XYZ  a xyz
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r
dVrf
dt

r r
d  wxr 
dt
Aceleração de
rotação ref (xyz)
Acel.
retilínea do ref
(xyz) r
r
 a rf
Aceleração
Coriolis
r r
r
 2w Vxyz  a rf

r
r r
dw r r
 r  w Vxyz  wxr
dt
Aceleração
angular (xyz)
r
dw r

r
dt


Aceleração
centrífuga
r
r r
w  w r 
Aceleração Inercial x Não-Inercial
•
A aceleração Inercial é composta por duas parcelas:
– (1) axyz : acel. do sistema medida do referencial N.I.,
– (2) arel: termo de aceleração relativa,
r
r
r
aXYZ  a xyz  arel
 O termo (1) é simplesmente a aceleração medida do
referencial N.I. Se o referencial estiver com velocidade
linear constante então aXYZ = axyz e arel = 0
 O termo (2) compõe com a axyz a aceleração inercial! Ele
tem 4 parcelas : (i) aceleração linear e (ii) aceleração
devido a rotação do referencial:
r
r
2
r
r r
r r
d R dw r r
a rel 

 r  w  w r   2w Vxyz
2
dt
dt
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Como fica a Eq. da Massa?
• Nada muda!


r r
dM
d
  d  Ò
 n  Vr dA  0

dt sys dt V.C.
S.C
• Lembre-se porém que pode ser mais simples de
realizar a análise a partir do referencial inercial móvel
(xyz).
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Como fica a Eq. da Q. Movimento?
• As velocidades são medidas do referencial (xyz),


r
r
r
r
r r r
r
d
Vxyzd  Ò
 n  Vr Vxyz dA  FCAMPO  FSUP  FMEC   a reld


dt V.C.
S.C.
V.C.
• onde a aceleração relativa, arel é,
r
r
2
r
r r
r r r
d R dw r
a rel 

 r  2w Vxyz  w  w r 
2
dt
dt
r
r
FCAMPO   gd; atua em todo o V.C.
V.C.
r
r
r
FSUP   Ò
  n  p  dA  Ò
  n  t  dA; atua somente na S.C.
S.C.
S.C.
r
FMEC  um eixo ou barra cruza a S.C.
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Casos Especiais de arel
 1. Sistemas Não-Inerciais caso Geral:
r
r
r
r
r r
r r
dw r
a rel  a rf 
 r  w   w  r   2w  Vxyz
dt
• 2. Sistemas Não-Inerciais com deslocamento linear
apenas (w = 0):
r
r
2
2
a rel  a rf  d R dt
 3. Sistemas Não-Inerciais com rotação constante apenas:
r
r r
a rel  2w Vxyz
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
r
r r
w  w r 
Alguns devaneios sobre
os efeitos do termo de
aceleração de Coriolis…
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A aceleração de Coriolis
• Enquanto que os termos de aceleração retilínea,
rotação e centrífugo são relativamente familiares, o
mesmo não é verdade para o termo de Coriolis!
• O termo de Coriolis faz surgir uma força
perpendicular ao plano definido pelos vetores
velocidade e rotação

2w

V
..
Filme 1
.
.
 
 2w  V

2w
Filme 2
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 
 2w  V

V
 
A aceleração de Coriolis  2w  V
• Um jato de líquido num vaso cilíndrico sem e com
rotação descreverá trajetórias diferentes devido ao

termo de Coriolis

2w
V
Vista lateral tanque
 
 2w  V
r
w

V
Sem rotação: trajetória retilínea
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Com rotação: trajetória curva
Ñão deixe de assistir Rotating Flows
Porque os furacões no hemisfério N giram no
sentido anti-horário e no S no sentido horário?
• Ciclone em Sta.
Catarina, 2004
• Sentido: horário
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• Ciclone Fran, golfo do
México, 1996
• Sentido: anti- horário
Estrutura do Furacão (Hurricane)
• Próximo ao solo, devido a rotação das massas, é criado uma
região de baixa pressão que faz com que o ar seja succionado
em direção ao ‘olho’
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Hemisfério Norte
w, N
Vista lateral

2w
w

V
Vxyz
Vel. radial na representação
aponta para fora, já incorpora o
sinal negativo da fórmula!

V
É a ação da aceleração de
Coriolis e a rotação do planeta
que produzem o sentido da
rotação.
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r r
2w V
 
 2w  V

2w
 
 2w  V

V
EXEMPLOS
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C.S.
Patm
Patm
d12
& V2  V1    P1  Patm  
m
 Fx
4
P1
Fx<0
(1)
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Patm
(2)
Veja no link: força de reação
de jato de água, causada por
um bocal, é capaz de levantar
um carro.
• Exemplo Determine a força de arrasto em uma placa plana
devido ao atrito viscoso. Considere regime permanente. A
velocidade em (a-b) é uniforme e vale Uo, a velocidade em
(c-d) é variável e descrita por u(y). A pressão é
atmosférica. Encontre uma expressão da força de arrasto
em função do perfil de velocidades. L é a largura da placa
S.C.
(b)
(c)
Uo
u(y)
y
x
(d)
(a)
d
Resp
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 D   u  U  u Ldy
0
d
Efeitos de Mudança de Direção na
Quantidade de Movimento
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• 4.58 – Água escoa em regime permanente através de um
cotovelo de 180o. Na entrada do cotovelo a pressão
manométrica é 96 kPa. Água é descarregada para a atmosfera.
Admita que as propriedades são uniformes nas seções de
entrada e saída, A1= 2600mm2, A2=650mm2 e V1=3,05 m/s.
Determine a componente horizontal da força necessária para
manter o cotovelo no lugar.
F
F  m  V1  V2   PA
1 1
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HOW IS LIFT GENERATED?
• Lift occurs when a moving flow of
fluid is turned by a solid object.
• When the flow is turned in one
direction it causes a change in the
momentum flux which, in turn,
requires an equal force in the
opposite direction (THE LIFT),
according to Newton's Third Law of
action and reaction.
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HOW IS LIFT GENERATED?
Momentum flux
face E
Momentum flux
face N
Momentum flux
face W
weight
Control
Surface
Momentum flux
face S
• If one draws a control surface C.S. encompassing a solid body
which by some means deflects the flow downward, there must
be a vertical net force acting on the C.S. accordingly to the
Newton’s Law:


r r
 Vy V  n dA 
CS
 pn dA   t
y
CS
ny
dA n  L
CS
• In equilibrium, the lift force is equal to the body weight: L = W!
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Efeitos de Sucção e Injeção na Quantidade
de Movimento
Animais com propulsão baseada na
sucção-injeção
Água viva (jellyfish)
filme
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Polvo (octopus)
filme
SUCÇÃO X INJEÇÃO (filme)
Diferenças
Área de
baixa
pressão
Área de
pressão
atmosf
Área Baixa Pressão: linhas de corrente radiais em sentido ao
centro.
Descarga de um Jato: linhas de corrente paralelas a pressão
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atmosférica.
Superfície de Controle Deformável
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Ex. 4. 191 – Determine a freqüência
natural de oscilação de um tubo e U.
Despreze o atrito. FILME
g
h+
hH
z
L
Considere:
•Uma S.C. se movendo com a
interface livre do líquido: vr=vf-vb=0
• Tubo com seção transversal
constante e igual a A
•Velocidade no tubo igual a taxa de
variação do nível, V = dh/dt
Resposta :


d2h
g
 h 

2
L
dt
 H 1  2H  
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h  t   h   Cos  wt 

h t  
1
g
 f n  2 H  L
2

Referencial Não Inercial
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O carro com massa inicial M0 parte do repouso propelido pelo jato horizontal
(Vj, Aj e ) que sai de seu reservatório a velocidade constante. A pista é
horizontal e não há atrito nas rodas nem resistência do ar ao movimento.
A) Determine a velocidade em função do tempo e a aceleração.
Obs.: Vj é a velocidade
do jato para um
observador que se move
com o carro
U
Vj
Aj

M0
Resposta:
A) U/Vj = Ln[1/(1-t*)] onde t* =t/t e t = (M0/m)
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Exemplo I – Um carro com massa inicial M0
é feito por um tubo de área A com um
comprimento horizontal L e um vertical h0. Na sua extremidade tem uma válvula de
abertura rápida e a água está armazenada numa altura h0.
A) determine a equação para movimento do carro ao abrir a válvula.
B) faça uma análise do movimento considerando que após os instantes iniciais de
abertura da válvula o nível de água varia linearmente com o tempo (observação
experimental)
S.C. se movo
junto com o
carro
h(t)
h0
L
V
Ref N.I.
Move com
Vcarro
Resposta:
A) -ALd2h/dt2 + A(dh/dt)^2 = -MdU/dt
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• Demonstração dos termos não inerciais
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Relações entre velocidades
 A velocidade absoluta, ref (XYZ), é dada pela soma de:
1) velocidade de translação do ref. (xyz) -> dR/dt
2) velocidade de translação sistema em relação ao ref (xyz) -> dr/dt
3) velocidade de rotação do ref (xyz) -> wxr
sistema
Y
r’
z
r
w y
R
x
X
Z
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ur
r
r
dr` dR dr r r


 w r
dt
dt dt
O efeito de rotação do ref. NI (x,y,z)
 Considere que R não varia com o tempo, o ref. NI somente gira com w.
Neste caso especial, a vel. ref. FIXO e NI estão relacionadas por:
sistema
Y
r’ z
r
w y
R
Z
x
X
ur
r
dr`
dr

dt FIXO dt
NI
Note que r’ = R + r porém dr’/dt = dr/dt
uma vez que R é constante, logo:
r
dr
dt
FIXO
A relação descreve transformação do FIXO p/ NI para
qualquer vetor q arbitrário não somente o vetor r!
Por ex.: se q = w, então pode-se mostrar que a
aceleração angular é a mesma para os ref. FIXO e NI!
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r r
 w r
r
dr

dt
r r
 w r
NI
r
r
r r
dq
dq

 w q
dt FIXO dt NI
r
r
r r
dw
dw

 w
{w
dt FIXO dt NI
0
As relações entre velocidades
Velocidade ref. FIXO,-----------------------------------Velocidade translação do ref. NI---------------------Velocidade relativa aos eixos rotativos, ref. NI---Velocidade angular dos eixos rotativos------------Velocidade devido a rotação dos eixos-------------
r
r
r
r r
VXYZ  Vr  VRef  w r
Observe que Vr é a velocidade medida do ref. NI,
ela também é representada por Vxyz.
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ur
r
VXYZ  dr` dt
r
r
VRef  dR dt
r
r
Vr  dr dt
r
w
r r
w r
A 2ª lei de Newton
 F = ma é válida somente para um referencial FIXO:
r
dVXYZ
dt
FIXO
r
dV
 Re f
dt

FIXO
r
dVr
dt

FIXO
d r r
 w r FIXO
dt
r
r
r r
 A taxa de variação de um vetor entre
dq dt FIXO  dq dt NI  w q
referenciais é dada pela relação
r
dVXYZ
dt
FIXO
r
dV
 Re f
dt
r
 dV
 r
 dt
FIXO

2r
 r


r
r
r
r r
dw r r
 w Vr     r  w Vr  w r 

  dt
144442
4444
3
NI
 

 dr dt FIXO



r
r
r
r
r r
r r
d R
dw r
a XYZ  a xyz 

 r  w  w r   2w Vxyz
2
dt
dt
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Aceleração Inercial x Não-Inercial
•
A aceleração Inercial é composta por duas parcelas:
– (1) acel. linear do sistema medida do referencial N.I.
– (2) termo de aceleração relativa, arel:
r
r
r
aXYZ  a xyz  arel
 O termo (1) é simplesmente a aceleração medida do
referencial N.I. Se o referencial estiver com velocidade
linear constante então aXYZ = axyz
 O termo (2) compõe com a axyz a aceleração inercial! Ele
tem duas parcelas: (i) aceleração linear do referencial e
(ii) aceleração devido a rotação do referencial:
r
r
2
r
r r
r r
d R dw r r
a rel 

 r  w  w r   2w Vxyz
2
dt
dt
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