Parte II
Formulação Integral
das Equações de Transporte
- Exercícios e Eq. da Energia
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Eq. da Massa


r r
dM
d
  d  Ò
 n  Vr dA  0

dt sys dt V.C.
S.C
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Eq. da Q. Movimento
• As velocidades são medidas do referencial (xyz),


r
r
r
r
r r r
r
d
Vxyzd  Ò
 n  Vr Vxyz dA  FCAMPO  FSUP  FMEC   a reld


dt V.C.
S.C.
V.C.
r
r
 FCAMPO 

gd
; atua em todo o V.C.


V.C.

r
r
r
 n  p  dA  Ò
 n    dA; atua somente na S.C.
 FSUP   Ò


S.C.
S.C.

r
 F
 um eixo ou barra cruza a S.C.

 MEC
• onde a aceleração relativa, arel é,
r
r
2
r
r r
r r r
d R d r
a rel 

 r  2 Vxyz     r 
2
dt
dt
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Arrasto Total numa Placa Plana
Seção a-b aproxima-se um perfil uniforme com velocidade Uo
Seção c-d devido à viscosidade há um déficit de velocidade, U1
Seção b-c há um fluxo de massa cruzando b-c devido a desaceleração do fluido
Seção a-d depende da escolha da S.C. pode haver atrito tauW ou o Arrasto D.
Resposta:
D= IM250 Prof. Eugênio Rosa
ò r U (U
1
0
- U1 )wdy; onde w é a largura da placa
Superfície de Controle Deformável
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Ex. 4. 191 – Determine a freqüência natural de oscilação
de um tubo em U. Despreze o atrito. FILME
g
Considere:
h+
h-
• S.C. deformável c/ interface: vr=vf -vb= 0
• Tubo c/ seção transversal A constante
• Vel. líquido = taxa var. nível, V = dh/dt
z
Ref.
L
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Ex. 4. 191 – Continuação
ho – nível de equilíbrio
fronteira
deformável
g
z1 – segue interface SC-A
n
z1
z2
V1 = dz1/dt
Vol1 = (z1 + ho).A
n
z2 – segue interface SC-B
S.C.-A
V
ho
V
fronteira
deformável
S.C.-B
z
V2 = dz2/dt
Vol2 = (z2 + ho).A
z1 = - z2
desnível = z1 - z2
x
L
S.C.-C
fronteiras
fixas
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fronteira
deformável
Patm
z1
trecho
horizontal
z2
PA
V
g
z
x
S.C.-B
S.C.-A
Patm
L
S.C.-C
ho
V
PA
PB
fronteira
fixa
fronteira
fixa
 g 

d z
1
    
z
2
L
dt
h
1



2h

0 
 0 
2
Re sp. :
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PB
 h  t   h   Cos  t 

h t  
1  g 
1
f n  2   h   1  L
2h 0 
 0 

Referencial Não Inercial
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O carro com massa inicial M0 parte do repouso propelido pelo jato horizontal
(Vj, Aj e ) que sai de seu reservatório com velocidade constante. A pista é
horizontal e não há atrito nas rodas nem resistência do ar ao movimento.
Determine a velocidade e a aceleração do carro em função do tempo.
Obs.: Vj é a velocidade
do jato para um
observador que se move
com o carro
Ref N.I.
Vj
Aj

Z
M0
U
Ref. I. X
Resposta:
mVj = (M0 - mt).dU/dt
U/Vj = Ln[1-t*] onde t* =t/ e  = (M0/m)
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Um carro com massa inicial M0 é feito por um tubo de área A com um comprimento
horizontal L e um vertical h0. Na sua extremidade tem uma válvula de abertura rápida e a
água está armazenada numa altura h0.
A) determine a equação para movimento do carro ao abrir a válvula.
B) faça uma análise do movimento considerando que após os instantes iniciais de
abertura da válvula o nível de água varia linearmente com o tempo (observação
experimental)
S.C. se move
junto com o
carro
h(t)
h0
L
V
Ref N.I.
Move com
Vcarro
Z
Ref. I. X
Resposta:
A) -ALd2h/dt2 + A(dh/dt)^2 = -MdU/dt
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O carro de massa M parte do repouso propelido pelo jato (Vj, Aj e
). O jato atinge o carro e é defletido num ângulo de 180o.
Determine a velocidade e a aceleração em função do tempo.
2
Ref N.I. -> U
U
Z
Vj
Aj

1
M
S.C.
X
1. S.C. não deformável, Vb =0, mas S.C. desloca com velocidade U(t);
2. A vel. relativa da fronteira e a vel. medida do ref. N.I. são iguais: Vr = Vxyz
Resposta:
-2(Vj – U)2.Aj = -M.dU/dt
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U/Vj = t*/(1+t*) onde t* =t/ e  = (M/2)/( AjVj)
Efeitos de Superfície Livre na Quantidade de
Movimento
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• Calcule a força de reação, R, por unidade de largura em uma
comporta. O escoamento de água a montante da comporta possui
velocidade uniforme U1 e uma lâmina d’água com altura h1. A
jusante da comporta a velocidade da água é U2 e altura da água é
h2. A superfície livre da água está em contato com a atmosfera, que
está a pressão Po. Indique claramente na figura sua escolha da
superfície de controle. Expresse a velocidade U1 em função das
demais variáveis. Despreze a força de atrito na análise.
• Dica: não se esqueça de contabilizar a distribuição de pressão
hidrostática que atua da superfície livre até ao fundo do canal.
Po
g
R
Z
U1
h1
h2
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U2
X
g
Po
R
Z
U1
h1
h2
U2
 m  U 2 h 2  U1h1 -------------------------------------------------- massa

 2
h12
h 22
2
--------------------- q. movimento
U 2 h 2  U1 h1  R  g  g

2
2

  h2
h 22 
1
R   U 2 U 2 h 2  U1 U1 h1    g  g  ------- rearranjo q. mov + massa

 
2
2 
m

m

h12   h 2  
R  m  U 2  U1   g 1     --------------------- rearranjo q. mov
2   h1  


2
  h 2 
h12   h 2  
R  mU 2 1      g 1     ------------------ rearranjo q. mov + massa
2   h1  
  h1  


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2
X
Equação da Energia: 1ª Lei da
Termodinâmica
Manuscrito da 1ª Lei Forma integral
no link: 1ª Lei
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 Q e W são, respectivamente, o calor e o trabalho que cruzam a S.C..
 Lembre-se que Q e W são fenômenos de fronteira. Ao cruzarem a
energia é transformada em energia interna, potencial ou cinética no
sistema!
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Convenção dos sinais de Q e W
e definição de trabalho
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O Calor: lei de Fourier
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O Trabalho na Fronteira
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Ti,j dAj
VI é a
velocidade
absoluta do
fluido na
fronteira medida
de um ref.
Inercial.
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Partição do Termo de Trabalho
Partição do Termo de Trabalho
Trabalho de eixo representa
todas as outras formas de
trabalho a exceção do trabalho
de fluxo e das tensões
‘viscosas’
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Eq. Energia: Referencial Inercial
e Estacionário
Trabalho de fluxo
Trabalho recebido (entra) ou
realizado (sai) pelo quando
um volume de fluido (entra ou
sai) do sistema.
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Eq. Energia: Referencial
Não- Estacionário
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Termos de Trabalho devido ao
Referencial Não- Estacionário
Eq. da Energia
2
r r


d
V
I
& W
& onde e 
ˆ

ed



e
n

V
dA

Q

gz

u
r
 2

Ò

dt 


V.C.
S.C44444444444443
1444444444444
42


dE dt sys
Expressando em termos das componentes de ‘e’, utilizando a lei
de Fourier e decompondo os termos de trabalho chega-se a:


2
V

 VI
d
p r r

 gz  uˆ  d    
 gz  uˆ   n  Vr dA 

dt V.C.  2
2

S.C. 
{ 
h


r
r
r

r
r 
r
dR r r  
&
eixo
S.C. k  n  T dA  S.C. p n   Vb  dt    r dA  S.C.  n     VI dA  W
{

 43 14444442 4444443 trabalho mecânico,
14444442 4444443 1444444444444
42 444444444444
elétrico, químico etc

2
I
calor cruza S.C. (J s)
trabalho pressao (força normal) que cruza a S.C.
devido as velocidades de fronteira, translacao
e rotacao do referencial (J s)

trabalho visc. cruza S.C. (J s)
cruza a S.C. (J s)
Nota: um engano comum para quem está iniciando no assunto é confundir a definição
de Vr para um referencial não inercial. Ela não muda pois ela é uma velocidade
relativa dada pela diferença entre as velocidades do fluido e da fronteira, isto é,
VIM250
Vb. Ela
é invariante em relação ao referencial.
r = V
f -Eugênio
Prof.
Rosa
Forma simplificada Eq. Energia: fronteira fixa Vb =0 e ref. inercial dR/dt==0


2
V

 VI
d
p r r
&

 gz  uˆ  d    
 gz  uˆ   n  Vr dA  Q& W  W
eixo

dt V.C.  2
2


S.C. 
{ 
h



2
I

S.C.
Um tanque grande contendo
um fluido incompressível tem
a válvula aberta para
atmosfera em t = 0.
ho ~ const.
Z
U(t)
Ref. I. X
Considere:
(i) altura de líquido h0 constante
(ii) velocidade no interior do tanque é
desprezível e
(iii) escoamento se dá sem atrito.
Modele o escoamento no trecho
IM250 Prof. Eugêniodo
Rosatubo.
horizontal
dU U 2
Resposta : L

 gh o  0
dt
2
 2gh o 
U  t   2gh o  Tanh 
t
 2L



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Forma simplificada Eq. Energia: fronteira fixa Vb =0 e ref. inercial dR/dt==0


2
V

 VI
d
p r r
&

 gz  uˆ  d    
 gz  uˆ   n  Vr dA  Q& W  W
eixo

dt V.C.  2
2


S.C. 
{ 
h



2
I

Uma bomba retira água de um resevatório através de um tubo de aspiração de
150 mm de diâmetro. A extremidade do tubo de aspiração está 2 m abaixo da
superfície livre do reservatório. O manômetro no tubo de descarga (2m acima
da superfície do reservatório) indica 170 kPa. A velocidade média no tubo de
descarga é de 3 m/s. Se a eficiência da bomba for de 75% , determine a
potência necessária para acioná-la.
d1=150mm
d2=75mm
170kPa
V2=3m/s
Z
Z1=2 m
Ref. I. X
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weixo
Considerações:
1.D reserv. >> d tubulação
2.Vel. Reserv.  0
3. perdas por atrito desprezíveis
Bernoulli : um caso especial
• Regime permanente, d/dt = 0
• Uma entrada e uma saída
• Referencial estacionário,
WVNI = WPNI = 0
• Ausência de trabalho de eixo
• Fronteira não deformável, Vb = 0
Forma simplificada Eq. Energia: fronteira fixa Vb =0 e ref. inercial dR/dt==0


2
V

 VI
d
p r r
&

 gz  uˆ  d    
 gz  uˆ   n  Vr dA  Q& W  W
eixo

dt V.C.  2
2


S.C. 
{ 
h


2
I
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

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A igualdade é válida somente se o termo de
irreversibilidade for nulo, isto é, se não houver
transferência de calor nem atrito viscoso
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Bernoulli
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Um jato de água emerge de um orifício com área A0 e
possui uma velocidade V0. A componente horizontal do
jato permanece constante a medida que o jato é
defletido pela gravidade. Determine a velocidade
resultante do jato Ve, a distância h e a sua área
transversal Ae numa seção com 45º de inclinação.
Re sp.
2
e
2
0
V = 2V ,
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V02
h=
h
e
Ae =
2
A0
2
Um disco de massa M é solto de
uma altura H > h0 (alt. equilíbrio).
Determine h0.
Considere que:
(i) Jato de líquido com dens. 
(i) No bocal: (A, Vj) definidos.
(ii) O jato atinge o disco com V0
e é defletido radialmente ao
longo da direção X.
M
V0
h0

Vj
Re sp.
V0 ×m j = M ×g
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e
h=
1
Vj2 - V02 )
(
2g
• Veja exercícios resolvidos no link: Exercícios
Resolvidos de Q. Mov e 1ª Lei
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Eq. Energia x Q. Movimento
• Para escoamentos incompressíveis, sem
transferência de calor (adiabáticos) e em regime
permanente, a Equação da Energia e a Equação
de Quantidade de Movimento são Linearmente
dependentes.
• Consequência: pode-se usar tanto uma quanto
outra para resolver os problemas.
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Ex– O carro de massa M parte do repouso propelido pelo
jato (Vj, Aj e ). O jato atinge o carro e é defletido num
ângulo de 180o.
A) Determine a velocidade em função do tempo e a
aceleração.
S.C.
2
U
Z
Vj
Aj

1
M
X
S.C. não deformável, Vb =0, mas que se desloca com velocidade
U(t)
Resposta:
A) U/Vj = t*/(1+t*) onde t* =t/ e  = (M/2)/(AjVj)
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Velocidades Relativas x Absolutas
z
S.C.
x
2
U
Z
Vj
Aj

1
M
X
Velocidade de um referencial que se move com o carro:
r
Vr1 
 Vj  U  ˆi
e
r
Vr2    Vj  U  ˆi
Relação entre Vr e VI -> VI = Vr + U
Velocidades inerciais V1 e V2:
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r
V1   Vj  U   U  ˆi  Vjˆi e
r
V2     Vj  U   U  ˆi   2U  Vj  ˆi
  
VI2
VI2
VI2
d 
P 
P 
& W
&
& Q
 gz     u 
 gz     u 
 gz    m
  u 
shaft
dt  
2
2

2



  
2 
1 
Isotérmico (u=0), P = Patm sem transferência de calor e trabalho na S.C.:
d  VI2   VI2   VI2  
& 0
   
 
 m

dt  2   2  2  2 1 
d  VI2 
dU



MU
dt  2 
dt
Variação E.K. dentro do
V.C.:
Fluxo E.K. cruza
a S.C.
  2U  V
 V   V  
j

&

m


 


2
 2 2  2 1 

2
I
2
I
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Vj2 
   Vj  U  A j

2 

dU
2  Vj  U  A j  M
dt
2
Eq. Final

2