Exame de Fı́sica do Estado Sólido
21 de Julho de 2003
Só é permitida uma folha para consulta. Duração do exame: 3h.
h̄ = 1.054 × 10−34 Js
me = 9.11 × 10−31 kg
|e| = 1.602 × 10−19 C
kB = 1.38 × 10−23 J/K
mp = 1.67 × 10−27 kg
1. A figura mostra o esquema da célula primitiva de um cristal de NiAs. É um cristal
hexagonal com átomos de Ni nos vértices do cubo e no meio das arestas laterais. Os
átomos de As estão na vertcal do centro dos triângulos da base (como na estrutura
hcp), um a 1/4 da altura num triângulo e outro a 3/4 da altura no outro triângulo. As
constantes de rede são a = 3.602 Å, e c = 5.009 Å.
a) Qual é a rede e qual é a base deste cristal. Indique três vectores que geram as
translacções da rede, e os vectores que dão a posição dos átomos da base. (1 ponto)
b) Quantos primeiros vizinhos (e de que tipo) têm o Ni e o As, e a que distância estão?
(1 ponto)
c) Quantos segundos vizinhos (e de que tipo) têm o Ni e o As, e a que distância estão?
(1 ponto)
d) Num modelo de esferas rı́gidas em que os átomos de Ni se tocam na direcção
hexagonal (c) qual é o raio das esferas de As? Qual é o factor de empilhamento da
estrutura? (1 ponto)
2. O semi-metal ı́ndio tem uma estrutura que é caracterizada por uma rede tetragonal
centrada com apenas um átomo por ponto da rede primitiva. As constantes de rede
são a = b = 3.25 Å, e c = 4.95 Å. O cristal vai ser analisado num microscópio electrónico
(em modo difracção) com uma energia do feixe de electrões de 250 keV.
a) Qual é o comprimento de onda associado aos electrões (comece por calcular o valor
de Ek /mc2 )? (1/2 ponto)
b) Se analisarmos uma amostra pulverizada de ı́ndio, quais são os quatro menores
ângulos de difração (2θ, não nulos) que podem ser observados. (2.5 pontos)
c) Um monocristal fino de ı́ndio é inserido inicialmente no microscópio de modo a
que o eixo c seja paralelo ao feixe incidente de electrões. Diga o que vai observar
num ecrã fluorescente situado a 1 m da amostra. (Use o facto de as amostras de
microscopia electrónica serem muito finas) (1 ponto)
3. Cristais como a grafite são caracterizados por terem planos com átoms fortemente
ligados entre si, enquanto que as ligações entre planos são fracas. Como a escala de
p
frequências de vibração é dada por K/M , onde M é a massa dos átomos e K é a
constante de força tı́pica, vamos ter duas escalas de vibração, uma associada à constante
de força dentro do plano Kpara e outra à constante de força entre planos Kperp ¿ Kpara
a) Mostre que num mundo a duas dimensões, o calor especı́fico de um isolante a baixa
temperatura é proporcional ao quadrado da temperatura. (1 ponto)
b) Qual é o calor especı́fico para um cristal quase bidimensional quando a temperatura
p
T ¿ h̄ Kperp /M /kB ? (1 ponto)
4. Responda às seguintes perguntas sobre o metal alcalino sódio, usando como ponto
de partida a teoria dos electrões livres. O sódio é um cristal bcc com constante de rede
a = 4.225 Å. Os metais alcalinos têm um electrão de valência.
a) Qual é a energia de Fermi? (1 ponto)
b) Qual é o valor esperado do coeficiente de Hall RH ? (1 ponto)
c) Qual é o valor esperado da contribuição dos electrões de valência para o calor
especı́fico do sódio à temperatura ambiente? (1 ponto)
d) Se a resistividade do sódio for ρ = 4.75 × 10−8 Ωm, à temperatura ambiente qual
é o livre percurso médio dos electrões? (1 ponto)
5. Considere electrões num cristal cúbico com um potencial
V (x, y, z) = −U cos(
2π
2π
2π
x) − U cos( y) − U cos( z).
a
a
a
Use a teoria de perturbações dos electrões livres para responder às seguintes perguntas.
a) Qual é o valor do primeiro hiato (gap) para ~k = 2π
a (0.1, 0.2, 0.5)? (1 ponto)
b) Qual é a dimensão da matriz que seria necessário diagonalizar para obter os estados
de menor energia para ~k = 2π
a (−0.5, 0.2, 0.5)? Justifique a resposta. (1 ponto)
c) Escreva a matriz que seria necessário diagonalizar para obter os estados perturbados
de ψ(~r) = exp(i~k · ~r) com ~k = 2π
a (0.0, 0.0, 0.999). (1 ponto)
6. Responda sucintamente (em 3 ou 4 linhas, eventualmente com um diagrama) às
seguintes alı́neas.
a) Explique a origem fı́sica da dependência linear na temperatura do calor especı́fico
do gás de electrões livres (a baixas temperaturas). (1 ponto)
b) Explique porque em muitos casos se pode substituir o potencial quı́mico de um
metal pelo valor da sua energia de Fermi. (1 ponto)
c) Sendo, segundo a teoria de bandas, um isolante um material em que um número
inteiro de bandas se encontra ocupado, e sendo o número de electrões de valência
da ordem de 1023 para uma amostra de 1 cm3 , explique porque é que não é acidental encontrar cristais isolantes onde o número de electrões de valência ocupam
exactamente um número inteiro de bandas. (1 ponto)