GABARITO – GE3 MOVIMETO ODULATÓRIO
3.10) Problemas
3.10.1) Em um sistema esférico, a equação tridimensional da onda é dada por
(1/r2) [∂/∂r (r2 ∂y/∂r)] = (1/v2) [∂2y/∂t2]
Mostre que a função de onda y(r,t) = (A/r) sen (kr - ωt) é solução da equação de onda
tridimensional. A idéia é apenas aplicar as derivadas de ambos os lados da equação de onda. E
isto você sabe muito bem fazer, não é ? Comece por:
∂y/∂r
Depois
= ∂/∂r [(A/r) sen (kr - ωt)]
r2 ∂y/∂r
=
∂/∂r (r2 ∂y/∂r)] =
(1/r2) [∂/∂r (r2 ∂y/∂r)] =
Faça o mesmo para o lado direito da equação de onda. Comece derivando duas vezes
[∂2y/∂t2] = ∂2/∂t2 [(A/r) sen (kr - ωt)]
Depois
(1/v2) [∂2y/∂t2] =
Como poderá ver, os resultados das operações tanto do lado direito quanto do lado esquerdo
serão os mesmos.
3.10.2) Temos que
a) f = v/λ = 8,00/320 = 25Hz
T = 1/f = 1/25 = 0,040s
k = 2π/λ = 6,28/0,320 = 19,6
b) ω = 2π/T = 6,28/0,040 = 157
y = ym sen(kx + ωt + Ф)
=
y = 0,070 sen(19,6x + 157t) com Ф igual a 0.
c) y(0,360 . 0,250) = 0,070 sen[19,6(0,360) + 157(0,250)] = 0,0510m
d) Calcule o tempo que a partícula leva para ir da posição entre y(0,360; 0,250) para y(x,t)=0.
Criterio: 25% para cada letra.
1
3.10.3) Quaisquer dois pontos consecutivos oscilando na mesma fase estão separados pelo
comprimento de onda λ. Se a diferença de fase for 180º teremos uma diferença de caminho de
λ/2. De modo genérico temos que
∆L = [ λ/ (2π)] * ∆φ (eq.1)
∆φ = [(2π) / λ] ∗ ∆L (eq.2)
a) Se os pontos tem diferença de fase de 55 graus, podemos calcular a diferença de caminho
usando a eq. 1, dada acima. O comprimento de onda é dado por λ = v/f. O tempo será
então t = ∆L / v, onde v é a velocidade da onda.
b) Nesse item a situação é o inverso. Se você tem o tempo entre dois deslocamentos de um
mesmo ponto então tem a distância entre eles dada por ∆L = v∆t. Com a eq. 2 calcule
então a diferença de fase.
3.10.4) Veja que:
λ = v/f = 326/548 = 0,595m
k = 2π/λ = 6,28/0,595 = 10,5
ω = 2π/T = 6,28/548 = 0,0114rad/s
y = 0,0112 sen910,5x = 0,0114t)
Criterio: 100% pela equação.
3.10.5) Mostre que a velocidade de uma onda transversal na corda é uma função de y, a
distância da extremidade inferior, e é dada por v = (gy)1/2.
a) A velocidade pode ser calculada por v = (F/µ)1/2 , lembrando-se que a densidade linear de
massa vai mudando à medida que o pulso propaga através da corda. Num dado instante o
pedaço de corda tem massa dm e tamanho y. Desse modo
µ = dm/y
e o peso desse pequeno pedaço de corda é dado por:
F = g dm = g µ y
Portanto, v = (µgy /µ)1/2 = (gy)1/2
b) O tempo gasto para o pulso percorrer a corda tem de ser obtido por integração. Note que a
velocidade do pulso NÃO É CONSTANTE!!!! Então,
v = dy/dt
tal que dt = dy/v
2
Portanto,
∫dt = ∫ 1/ (gy)1/2 dy
∫dt = (g)-1/2 * ∫ (y)-1/2 dy
t = 2(y/g)1/2
Integrando de 0 a L, o comprimento da corda, e de 0 a T, teremos o tempo de percurso. Ou
seja:
T = 2(L/g)1/2
3.10.6)
a) v = (F/ µ)1/2 = [1,50(9,8)/0,0550] ½ = 16,3m/s
b) λ = v/f = 16,3/120 = 0,136m
c) v = (F/ µ)1/2 = [3,00(9,8)/0,0550] ½ = 23,1m/s
λ = v/f = 23,1/120 = 0,192m
Criterio: 30% para a letra a.
30% para a letra b.
40% para a letra c.
3.10.7) Divida por dois o tempo levado desde a emissão do som até a percepção do eco, e
depois multiplique por 340m/s.
Criterio: 100% pela explicação.
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