Física Geral e
Experimental II
Prof. Manoel Júnior
Pasta 01 (C.A. Física)
Acadêmico(a):
OSCILAÇÕES
Capítulo 16
Um fenômeno é periódico quando se repete,
identicamente, em intervalos de tempo iguais. O período T é o
menor intervalo de tempo para uma repetição deste fenômeno.
Um oscilador harmônico efetua um movimento
periódico, cujo intervalo é T para cada repetição do fenômeno
realizado. Para este tipo de fenômeno alem de T é considerado
um outro tipo de grandeza que é a freqüência f, que é o número
de vezes que um movimento é repetido em um determinado
intervalo de tempo.
Sistema massa-mola
1 – Inicialmente a mola está em repouso sendo que a energia potencial do
corpo é zero e a cinética é máxima. Sua velocidade é máxima e sua
aceleração é zero.
2 – O corpo está com amplitude A, com energia potencial máxima e cinética
zero. Sua velocidade é zero e sua aceleração é mínima. ( Note que a
força está sendo dirigida para o sentido negativo.)
3 – O corpo está com sua amplitude em – A, com energia potencial máxima e
cinética zero. Sua velocidade é zero e sua aceleração é máxima. ( Note
que a força está sendo dirigida para o sentido positivo.)
4 – Para configurar o MHS (Movimento Harmônico Simples) o corpo retorna à
sua posição inicial com todas suas características.
Movimento Harmônico Simples
O movimento harmônico simples - MHS é movimento periódico, e portanto o
objeto passa novamente por uma dada posição depois de um período T . O
período é o inverso da freqüência f de oscilação:
Unidades do Sistema Internacional:
T: s (segundos)
f: s-1 = Hz (Hertz)
Um objeto que se desloca em MHS tem a sua posição
descrita pela equação:
XM ,W e  são constantes
Frequência Angular
Como o movimento é periódico, teremos que as posições se repetem depois de um
tempo igual ao período T , ou seja: x(t) = x(t + T)
e portanto:
logo:
x(t + T) = XM cos[w(t + T) + ϕ] => x(t) = xM cos[(wt + ϕ) + wT]
2
wT  2  w 
 w  2 f
T
Deslocamento
MHS - A velocidade:
MHS - A aceleração:
Combinando a equação da aceleração com a equação do
deslocamento, temos que:
MHS - A Lei da força
Considerando um sistema massa-mola que obedeça à Lei de Hooke e supondo
que a resultante das forças que atuam na massa é a força restauradora da
mola, encontramos que:
Mas:
Logo:
Considerações sobre ENERGIA
A energia de um oscilador linear se alterna entre as formas cinética e
potencial, enquanto a sua soma – a energia mecânica – permanece constante.
1. Energia potencial
É associada diretamente à mola. Seu valor depende de x(t) (quanto ela
foi esticada ou comprimida).
Mas:
Portanto:
2. Energia cinética
É associada diretamente à massa. Seu valor depende de v(t) (quão
rápido o bloco está se movendo).
Mas:
Portanto:
1
K (t )  m(WX M ) 2 sen 2 (Wt   )
2
K (t ) 
1 k
m X M 2 sen2 (Wt   )
2 m
Como:
3. Energia Mecânica
É obtida através da soma entre a energia potencial e a energia cinética.
1
1
2
2
E  kX M cos (Wt   )  kX M 2 sen 2 (Wt   )
2
2
1
E  kX M 2 [cos 2 (Wt   )  sen 2 (Wt   )]
2
Como: cos 2   sen2  1
Portanto:
A=XM
A=XM
Exercícios
1. Um oscilador é formado por um bloco de massa igual a 0,500kg ligado a uma
mola. Quando posto para oscilar com amplitude de 35cm, o oscilador repete o
seu movimento a cada 0,5 s. Determine:
a) O período
b) a frequência
c) a frequência angular
d) a constante da mola
e) a velocidade máxima
f) a intensidade da força máxima que a mola exerce sobre o bloco.
R: a) 0,5 s; b) 2 Hz; c) 4 rad/s; d) 78,9 N/m; e) 4,4 m/s; f) 27,6 N
2. Qual a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com uma amplitude
de 2,20 cm a uma frequência de 6,60Hz?
R: 37,8 m/s2
3. Um pequeno corpo com massa igual a 0,12 kg está sujeito a um movimento
harmônico simples com amplitude de 8,5 cm e período de 0,20 s.
a) Qual a intensidade da força máxima agindo sobre ele?
b) Se as oscilações são produzidas por uma mola, qual a constante da
mola?
R:117,65 N/m
4. Um corpo oscila com um movimento harmônico simples de acordo com a equação:
x = (6, 0m)cos (3π rad/s)t + π/3 rad .


em t = 2,0 s, qual o (a) o deslocamento, (b) a velocidade, (c) a aceleração e (d) a
fase do movimento? Além disso, qual (e) a freqüência e (f) o período do
movimento?
R: a) 3m; b) -49 m/s; c) -266,5 m/s2; d) 19
5. Na Fig. 01, dois blocos (m = 1,0 kg e M = 10 kg) e uma mola (k=200 N/m) estão
dispostos sobre um superfície horizontal perfeitamente lisa. O coeficiente de atrito
estático entre os dois blocos é 0,40. Que amplitude do movimento harmônico simples
do sistema blocos-mola deixa o bloco menor na iminência de deslizar sobre o bloco
maior?
R: 0,21 m
m
M
Fig.01
6. Um bloco está sobre uma superfície horizontal (uma mesa vibradora)
que se move para frente e para trás na horizontal, descrevendo um
movimento harmônico simples de freqüência igual a 2,0 Hz. O coeficiente
de atrito estático entre o bloco e a superfície é igual a 0,50. Qual a maior
amplitude possível do MHS para que o bloco não escorregue na superfície?
R: 3,1 cm
7. Um bloco se desloca em cima de um pistão que se move verticalmente,
descrevendo um movimento harmônico simples. (a) Se o MHS possuir um
período de 1,0 s, com que amplitude do movimento o bloco e o pistão se
separarão? (b) Se o pistão possuir uma amplitude de 5,0 cm, qual será a
freqüência máxima para a qual o bloco e o pistão estarão continuamente em
contato? R: a) 0,25 m; b) 2,2 hz
8. Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola (k = 400 N/m).
Em algum instante t, a posição (medida a partir da posição de equilíbrio do
sistema), a velocidade e a aceleração do bloco são x = 0,100 m, v = -13,6
m/s e a = -123 m/s2. Calcule (a) a freqüência de oscilação, (b) a massa do
bloco e (c) a amplitude do movimento.
R: a) 5,58 hz; b) 0,325kg; c) 0,4m
9. Duas partículas executam movimentos harmônicos simples de mesma
amplitude e freqüência ao longo de linhas paralelas próximas. Elas passam
um pela outra movendo-se em sentidos contrários cada vez que o
deslocamento delas é metade amplitude. Qual a diferença de fase entre elas?
R:
 
2
 120º
3
10. Na Fig.02, duas molas idênticas com constantes de mola k estão
presas a um bloco de massa m e a suportes fixos. Mostre que a freqüência
de oscilação do bloco na superfície sem atrito é:
f=
Fig. 02
m
1
2k
2π
m
11. Na Fig. 03, duas molas são unidades e ligadas a um bloco de massa m. A
superfície é perfeitamente lisa. Se as duas molas possuírem constante de
mola k, mostre que
f=
1
k
2π
2m
Fornece a freqüência de oscilação do bloco.
Fig. 03
12. Na Fig. 04, um bloco pesando 14,0 N, deslizando sem atrito sobre uma
rampa de 40º, está ligado ao ponto mais alto da rampa por uma mola de
massa desprezível com comprimento indeformado de 0,450 m e constante
de mola igual a 120 N/m. (a) A que distância do ponto mais alto da rampa
o bloco pára? (b) Se o bloco for puxado de leve para baixo da rampa e for
solto, qual será o período das oscilações resultantes? R: a) 0,075 m; b)
0,686 A
40,0º
13. Um objeto de 5,00 kg sobre uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma
mola com constante de mola de 1000 N/m. O objeto é deslocado 50,0 cm na
horizontal da posição de equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de 10,0 m/s para
trás no sentido da sua posição de equilíbrio. (a) Qual a freqüência do movimento?
Qual (b) a energia potencial inicial do sistema massa-mola, (c) a energia cinética
inicial e (d) a amplitude da oscilação?
R: a) 2,25 hz; b) 125 j; c) 250j; d) 0,0866 m
14. Uma mola vertical se alonga 9,6 cm quando um bloco de 1,3 kg é pendurado em
sua extremidade. (a) Calcule a constante de mola. Depois, este bloco é deslocado
outros 5,0 cm para baixo, sendo solto a partir do repouso. Encontre (b) o período, (c)
a freqüência, (d) a amplitude e (e) a velocidade máxima do MHS resultante.
R: a) 132,71 N/m; b) 0,62 seg; c) 1,6 hz; d) 5,0 cm; e) 0,5 m/s
15. Quando o deslocamento no MHS é a metade da amplitude XM , que parcela da
energia total é (a) a energia potencial e (b) a energia cinética?
(c) para que deslocamento, em termos da amplitude, a energia do sistema está
igualmente distribuída entre energia cinética e energia potencial?
Respostas: a) 25% b) 75%
c)
xm
2
16. Um bloco de massa M, em repouso em cima de uma
mesa horizontal sem atrito, está preso a um suporte
rígido por uma mola com constante k. Uma bala de
revolver com massa m e velocidade v atinge o bloco. A
bala fica alojada no bloco. Determine:
a) A velocidade escalar do bloco imediatamente após a
colisão.
b) a amplitude do movimento harmônico simples
resultante.
Respostas: a)
b)
mv
mv
(m  M )
K (m  M )
17. Uma partícula de 10g está descrevendo um MHS com uma amplitude de 2,0x10-3 m
e uma aceleração máxima de módulo igual a 8,0x103 m/s. A constante de fase é -/3
rad.
a) Escreva uma equação para a força que atua sobre a partícula em função do
tempo.
b) Qual o período do movimento?
c) Qual a velocidade máxima da partícula?
d) Qual a energia mecânica total deste oscilador harmônico simples?
Respostas: b) 3,14ms c) 4m/s d) 0,08J
1. Pêndulo de Torção
Oscilador harmônico Simples Angular
Vamos considerar um disco preso a um fio que passa pelo seu
centro e perpendicular à sua superfície, como mostra a figura
abaixo.
OBSERVAÇÕES
Observação 1
Relembrando Física I
Já se apercebeu de que o MOMENTO DE INÉRCIA depende não só
da massa, mas também da forma como a massa está distribuída?
Quanto mais longe do centro ou do eixo de rotação estiver a
massa, maior será o momento de inércia, ainda que a massa seja a mesma.
Observação 2
Relembrando Física I
Linear
Rotacional
Inércia
(resiste à aceleração linear)
Força
O produto da força
pelo braço de alavanca
é o momento da força
ou simplesmente
?
Observação 3
Relembrando Física I
Linear
Inércia
(resiste à aceleração linear)
Força
Momento linear
r
r
p  m.v
Rotacional
Observação 4
Relembrando Física I
Assim como o momento linear se conserva, o momento angular também.
Ao contrário da massa, o momento de inércia pode ser alterado “em pleno
vôo”, por rearranjo da massa, o que torna o movimento de rotação mais
complicado
Momentos de Inércia de alguns objetos, todos com massa m, em torno dos eixos
indicados
Pêndulo de Torção (continuação)
Oscilador harmônico Simples Angular
Vamos considerar um disco preso a um fio que passa pelo seu centro
e perpendicular à sua superfície, como mostra a figura abaixo.
F  k.x (massa - mola)
Pêndulo
de Torção
O sinal (-) indica que o Torque é no sentido de
trazer o sistema de volta à posição de equilíbrio.
Sistema Massa-mola
Pêndulo de Torção
Onde I é o momento de inércia do
objeto em relação ao eixo vertical
2. Pêndulo Simples
O pêndulo simples consiste em uma massa m suspensa por um fio de
comprimento L de massa desprezível.
Força restauradora:
Supondo  pequeno: sen    (rad)
Portanto:
s
sen   F  mg 
L
s Pela Lei de
 F  mg
L Hooke:
F  kx
mg
L
s
Como:
Pêndulo
Simples
3. Pêndulo Físico (Pêndulo real)
A maior parte dos pêndulos do mundo real não é nem ao menos
aproximadamente simples.
Peso (mg) agindo sobre o
seu centro de massa.
Torque restaurador:
  F .d
Componente tangencial do peso
Novamente, supondo  pequeno: sen   
Como:
  (mgh)
Pêndulo
Físico
k
Observação:
Teorema de Steiner (Teorema dos eixos paralelos)
O teorema de Steiner ou teorema dos eixos paralelos é uma fórmula que
nos permite calcular o momento de inércia de um sólido rígido relativo a um eixo de
rotação que passa por um ponto O, quando conhecemos o momento de inércia
relativo a um eixo paralelo ao anterior e que passa pelo centro de massas e a
distância entre os eixos.
Se a distância entre os dois eixos for H , a massa do corpo for M e ICM for o
seu momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa,
teremos o momento de inércia I mencionado:
I = ICM + M H2
O
Exemplo: Momento de inércia do pêndulo em torno do eixo
de rotação O.
H
Haste
1 2
1 2
I  ( mr )  ( mL )  M Disco H 2
2
3
Disco
Disco
Haste
Energia
Período e
freqüência
angular
(MHS)
Deslocamento,
velocidade
e
aceleração de
uma partícula
Sistema massa-mola
Pêndulo de torção
Pêndulo simples
Pêndulo físico
Pantheon, París
L=67m
M=28kg
Jean Bernard Léon Foucault
1819 — 1868) físico e astrônomo
francês.
Exercícios
20 (56E-4ª.Ed) Uma bola de demolição balança na ponta de um guindaste. O
comprimento do segmento de cabo que balança é 17m. (a) ache o período de
balanço, considerando que o sistema pode ser tratado como pêndulo simples. (b)
O período depende da massa da bola?
Resposta: a) 8,27s
21. (60E-4ª.Ed) Um artista num trapézio , está balançando para frente e para trás
com um período de 8,85s. Se ele ficar de pé, assim elevando o seu centro de
massa do sistema trapézio+artista em 35,0cm; qual será o novo período do
trapézio? Trate o trapézio+artista como um pêndulo simples.
Resposta: 8,76s
22. (61E-4ª.Ed) Um pêndulo simples com comprimento L está balançando
livremente com uma pequena amplitude angular. Quando o pêndulo passa por sua
posição central (ou de equilíbrio),sua corda é súbita e rigidamente presa em seu
ponto médio. Em termos do período original, qual será o novo período?
Resposta:
T
2
23. (46E) Na figura ao lado, um pêndulo físico é
formado por um disco sólido uniforme (de massa M e
raioR) suportado em um plano vertical por um pivot
localizado a uma distância d do disco. O disco é
deslocado de um pequeno ângulo e solto. Encontre
uma expressão para o período do movimento
harmônico simples resultante.
Resposta:
R 2  2d 2
T  2
2 gd
24. (49E) O pêndulo da figura ao lado é formado por um
disco uniforme com 10,0cm de raio e massa de 500g
preso a uma haste uniforme com comprimento de 500mm
e massa de 270g. (a) Calcule a Inércia à rotação do
pêndulo em torno do pivot. (b) Qual a distância entre o
pivot e o centro de massa do pêndulo? (c) Calcule o
período de oscilação.
Respostas: (a) 0,205kg.m2 (b) 47,7cm (c) 1,50s
25. (52P) Uma vareta com comprimento L oscila
como um pêndulo físico em torno do ponto O na
figura ao lado. (a) Deduza a expressão para o
período do pêndulo em termos de L e de x, a
distância do pivot ao centro de massa do
pêndulo. (b) Para que valor x/L o período é
mínimo? (c) Mostre que se L=1,00m e g=9,890
m/s2 , este mínimo é igual a 1,53s.
Respostas:
L2  12 x 2
(a)T  2
12 gx
(b) 0,289m
(c) 1,52s
Capítulo 17
Ondas I
Quando você joga uma pedra no meio de um lago, ao se
chocar com a água ela criará uma onda que se propagará em forma
de um círculo de raio crescente, que se afasta do ponto de choque
da pedra. As ondas também podem se propagar em um corda
esticada, presa por suas extremidades; se introduzirmos uma
perturbação num ponto qualquer dessa ela se propagará ao longo
da corda. Esses são dois exemplos de ondas que necessitam de um
meio para se propagar.
O som necessita de um
meio para se propagar. A luz
também é uma onda, e em
particular
uma
onda
eletromagnética.
Ondas
eletromagnéticas podem se
propagar em um meio ou no
vácuo.
O que é um pulso?
Quando num ponto de um meio em equilíbrio produzimos uma alteração deste
equilíbrio esta alteração se propaga.
Denominamos de pulso a propagação deste desequilíbrio.
Exemplo:
Seguramos a extremidade de uma corda presa pela outra extremidade na
horizontal.
Quando na extremidade que estamos segurando promovemos um deslocamento
na vertical, ocorre uma deformação que se propaga ao longo da corda. Esta
deformação em propagação é um pulso.
O que é uma onda?
Denominamos de uma onda a uma sucessão de pulsos.
Exemplo:
Seguramos a extremidade de uma corda presa pela outra extremidade na horizontal.
Quando na extremidade que estamos segurando promovemos vários deslocamento
na vertical, ocorrem deformações que se propagam ao longo da corda. Esta sucessão
de deformações em propagação é uma onda.
Denomina-se onda o movimento causado por uma perturbação
que se propaga através de um meio.
1=Elementos de uma onda
2=Distância
3=Deslocamento
λ=Comprimento de onda
y=Amplitude
1
f 
T
O período é o tempo(T) de um ciclo completo de uma oscilação de uma onda.
A freqüência (F) é período dividido por uma unidade de tempo (exemplo: um
segundo), e é expressa em Hertz(Hz).
Numa onda há o transporte de energia sem o transporte de
matéria.
Período (T)
O período de uma onda é o tempo que se demora para que uma onda seja criada, ou
seja, para que um comprimento de onda, ou um l , seja criado. O período é
representado pela letra T.
Freqüência (f)
A freqüência representa quantas oscilações completas* uma onda dá a cada
segundo.
* Uma oscilação completa representa a passagem de um comprimento de onda - λ.
É aconselhável o uso do Sistema Internacional, onde a velocidade é dada
em m/s, o comprimento de onda em metros e a freqüência
em Hertz. O período neste caso ficaria em segundos.
Classificação das Ondas
1. Quanto à direção da propagação:
1.1 Unidimensionais: Propagam-se numa só direção.
Ex.: ondas em uma corda.
1.2 Bidimensionais: Propagam-se num plano.
Ex.: ondas na superfície de um lago.
1.3 Tridimensionais: São aquelas que se propagam em todas as
direções.
Ex.: ondas sonoras, luz.
2. Quanto à direção da vibração:
2.1 Ondas Transversais: São aquelas que possuem vibrações
perpendiculares à direção da propagação.
2.2 Ondas Longitudinais: As vibrações coincidem com a direção da
propagação.
3. Quanto à natureza:
3.1 Onda Mecânica: Precisa de um meio natural para propagar-se (não se propaga no
vácuo).
Ex.: corda, onda sonora (som), etc.
3.2 Onda Eletromagnética: Não necessita de um meio natural para propagar-se.
Ex.: ondas de rádio, luz, etc.
3.3 Onda de matéria: parte do princípio de que tudo no universo é energia em
vibração, e que as diferentes características que tais ondas energéticas assumem é que
permitem o aparecimento das diferentes formas daquilo que o Ser Humano costuma
chamar de matéria. Einstein, Max Plank e a teoria dos quanta nos trouxeram as ondas
de matéria, que alteraram os conceitos de ondas tradicionais, devido a algumas
características que mostram a interação de todo o microcosmo ondular com o
macrocosmos correspondente da partícula.
As ondas mecânicas podem ser de 2 tipos:
 Ondas transversais: ocorrem em sólidos, cordas, barras e placas
(quando se produz uma deformação na direção transversal).
 Ondas longitudinais: ocorrem em sólidos, gases e líquidos
(quando se produz uma deformação na direção longitudinal).
Quais são os fatores que influenciam na velocidade de propagação
das ondas?
A velocidade de propagação de uma onda num meio material depende
das características físicas do meio, como: módulo de elasticidade, massa
específica, temperatura, estado de tensão para os sólidos e pressão para os
fluidos, etc.
A velocidade das partículas de um meio onde se propaga uma onda
depende apenas das características da fonte geradora do movimento, sendo
portanto independente da velocidade de propagação do movimento.
Observação: ondas no mar
As ondas "arrebentam" em
regiões de pequena profundidade,
como próximo das praias.
A velocidade de propagação de uma onda
no mar depende também da profundidade. Quando
a onda gravitacional se aproxima de regiões pouco
profundas ocorre um achatamento das trajetórias
das partículas e uma redução da velocidade de
propagação.
Quando a onda se aproxima de uma praia
a sua velocidade de propagação é reduzida
enquanto a velocidade das partículas da água não
se altera. Chega a um momento em que a
velocidade da partícula da crista da onda se iguala
à velocidade de propagação, a onda está prestes a
"arrebentar".
Quando a partir deste momento a
velocidade de propagação se reduz mais a partícula
da crista da onda avança mais rápido que a onda
ocorrendo a "arrebentação"
Ondas progressivas
Vamos considerar um pulso em forma de
corcova se propagando em uma corda. No
instante t = 0 , o pulso tem o formato ao lado e
num instante t posterior o pulso manteve o
mesmo formato, mas se moveu para a direita.
Equação da Onda
Para estabelecer a equação da onda
considere-se uma onda transversal que se propaga na
direção do eixo X e no mesmo sentido que aquele
considerado positivo para esse eixo, com velocidade de
módulo v.
O padrão espacial da onda se desloca no
espaço com o passar do tempo. A figura mostra a onda
no instante de tempo considerado como inicial e num
instante posterior genérico.
Como, aqui, estuda-se ondas harmônicas, em
qualquer instante de tempo, o padrão espacial da onda
é dado por uma função harmônica (seno ou cosseno).
Assim, para t = 0, pode-se escrever:
Para justificar o produto kx no argumento
da função seno deve-se levar em conta que, pela
definição do seno como função periódica, com
período 2π, pela definição da onda como fenômeno
periódico no espaço, e usando a expressão acima e a
relação kλ = 2π, segue-se uma identidade
trigonométrica:
y(x,0) = A sen kx
onde A representa a amplitude da
onda e k, o número de onda.
sen (kx + 2π) = sen kx
Agora, tomando os pontos x' e x tal que x - x'
= vt, ou seja, tal que x - x' representa a distância
percorrida pela onda durante o intervalo de tempo t,
vem:
Levando em conta a expressão y(x,0) = A
sen kx e a relação v = w / k, segue-se que:
y(x,t) = y(x - vt,0)
y(x,t) = A sen (kx – wt)
Representação matemática de uma onda:
y( x, t )  ym sen(kx  wt )
Amplitude
Fase da onda
k e w são constantes
x e t são variáveis independentes
k é o número de onda angular
w é a frequência angular
Deslocamento y do elemento de
corda na posição x e no instante t
Chamamos a grandeza k de número de onda (ou vetor de onda) e o definimos como:
Unidade no SI:
rad/m
Pois a função seno começa a se repetir quando seu
ângulo é acrescido de 2 radianos.
Observações
Pulso no instante t=0:
y( x, t )  ym sen(kx)
A equação geral da onda que se propaga sobre o eixo X, no mesmo
sentido que aquele considerado positivo para esse eixo, pode ser escrita:
y(x,t) = A sen (kx - wt + φ),
onde φ é chamada fase inicial.
Substituindo v por - v na demonstração acima resulta a equação da
onda que se propaga em sentido contrário àquele considerado positivo para o
eixo X:
y(x,t) = A sen (kx + wt + φ)
Velocidade Escalar de Propagação de uma onda
y( x, t )  ym sen(kx  wt )
No instante t = 0 a função tem a forma
da curva de traço contínuo e para um
tempo posterior Δt a função tem a
forma da curva tracejada.
Chamamos de fase ϕ(x,t) o argumento da senóide, ou seja:
Um ponto de fase constante ocupa uma certa posição relativa na onda. Se
marcarmos um certo ponto de máximo e passarmos a acompanhá-lo, iremos verificar que
mesmo com a onda se movimentado á medida que o tempo evolui, a fase daquele máximo se
mantém constante.
Assim, se quisermos calcular a velocidade com que uma onda se propaga devemos
acompanhar um dado ponto dela, ou seja um ponto de fase constante:
Tomando-se a derivada em relação ao tempo, temos que:
w
dx
k  w  0  kv  w  0  kv  w  v 
dt
k
Como
e
Portanto:
2 

v
.
v f
T 2
T
Velocidade Escalar de Propagação de uma onda numa corda esticada
Para calcular a velocidade de uma onda em uma corda vamos considerar um
pequeno pulso se propagando da esquerda para a direita em uma corda de densidade
linear de massa μ e que é esticada através de uma tensão T aplicada nas suas
extremidades.
No sentido de facilitar a visualização apresentamos à seguir uma ampliação do
pequeno pulso que se propaga.
Vamos analisar um pequeno pedaço de comprimento ΔL na parte superior do pulso. Esse
pedaço ΔL pode se considerado aproximadamente com o formato de um arco de círculo
de raio R e definindo um pequeno ângulo θ .
A análise ficará adequada aos nossos propósitos se observarmos o movimento
do pulso em um referencial que o acompanha com mesma velocidade. Neste referencial
que se move com velocidade v! em relação aos suportes que prendem a corda,
observamos a corda se mover e tomar a forma de pulso. Se observarmos apenas o pedaço
de comprimento ΔL veremos que momentaneamente ele tem uma trajetória circular.
Teremos a percepção de um pulso congelado e a corda escorregando através
dele, como se existisse um tubo na forma de pulso e a corda escorregasse por dentro
desse pulso.
Como as forças que atuam
na corda não se alteram devido a essa
mudança de referencial, temos que é
nula a resultante horizontal das forças
que atuam no pedaço de corda e é
não nula a resultante vertical. E como
no referencial que se move com
velocidade v! o pedaço de corda
descreve movimento circular, esta
resultante vertical é a força centrípeta
que atua neste pedaço de corda.
Logo:
Como a tensão da esquerda TE é igual à tensão da direita TD , ou seja: TE = TD = T temos
que:
Considerando que o ângulo é
muito pequeno, temos que:
e por outro lado:
logo:
v: velocidade
T: tensão
: densidade linear

m (massa)
l (comprimento)
Ondas de Rádio
VLF = Very Low Frequency
LF = Low Frequency
HF = High Frequency
VHF = Very High Frequency
UHF = Ultra High Frequency
AM=Amplitude Modulada
FM=Frequencia Modulada
Os melhores filtros solares protegem tanto para UVB
(radiação ultravioleta com comprimento de onda entre 290 e 320
nanômetros), que pode causar queimaduras solares, e UVA (entre
320 e 400 nanômetros), que causa efeitos danosos à pele a longo
prazo, como envelhecimento prematuro da pele. Muitos
protetores solares contem tanto compostos químico orgânicos
que absorve a luz ultravioleta (como o oxibenzeno) ou um
material opaco que reflete a luz (como o dióxido de titânio, o
óxido de zinco), ou uma combinação de ambos. Tipicamente,
materiais absortivos são referidos como bloqueadores químicos,
já os materiais opacos como bloqueadores minerais ou físicos.
1. (3E 6ª.Ed) Uma onda senoidal se propaga ao longo de uma corda. O tempo para que um
ponto particular se mova do deslocamento máximo até zero é de 0,170 s. Quais são (a) o
período e (b) a freqüência? (c) O comprimento de onda é igual a 1,40 m; qual a velocidade
da onda?
(Respostas: a) 0.680 s. b) 1.47 Hz c) 2.06 m/s)
2. (14E 6ª.Ed) A equação de uma onda transversal em uma corda é:


-1
y = 2,0mm sen  20m
x-

-1
600s

t

A tração na corda é de 15 N. (a) Qual a velocidade da onda? (b) Encontre a massa específica
linear desta corda em gramas por metro. (Respostas: a)30 m/s b) 16,7 g/m)
3. (6P 4ª.Ed) Escreva a equação para uma onda se propagando no sentido negativo do eixo x e
que tenha uma amplitude de 0,010m, uma frequência de 550Hz e uma velocidade de 330m/s.
4. (13E 4ª.Ed) A equação de uma onda transversal se propagando numa corda muito longa é
dada por y=6,0.sen(0,020x+4,0t), onde x e y estão expressos em centímetros e t em
segundos. Determine:
a) A amplitude
b) O comprimento de onda
c) A frequência
d) A velocidade escalar
e) O sentido de propagação da onda
f) A velocidade transversal máxima de uma partícula da corda
g) O deslocamento transversal em x=3,5cm quando t=0,26s
5. (17E 4ª.Ed) Qual é a velocidade escalar de uma onda transversal numa corda de comprimento
2,00m e massa de 60,0g, sob uma tensão de 500N?
6. (19E 4ª.Ed) A velocidade escalar de uma onda numa corda é 170m/s quando a tensão é 120N.
Para que valor devemos aumentar a tensão para subir a velocidade da onda para 180m/s?
7. (20P 6ª.Ed) Na Fig. 01a, a corda 1 possui uma massa
específica linear de 3,00 g/m, e a corda 2 possui uma
massa específica linear de 5,00 g/m. Elas estão sendo
tracionadas devido a um bloco suspenso de massa M = 500
g. Calcule a velocidade da onda (a) na corda 1 e (b) na
corda 2. (Dica: Quando uma corda está enrolada meio volta
ao redor de uma roldana, ela puxa a roldana com uma força
resultante que é igual a duas vezes a tração na corda.) Em
seguida, o bloco é dividido em dois blocos (com M1 + M2 =
M) e o aparato é rearranjado como mostrado na Fig. 01b.
Determine (c) M1 e (d) M2 de modo que as velocidades das
ondas nas duas cordas sejam iguais.
Superposição e Interferência
Quando estamos ouvindo uma orquestra chegam
simultaneamente aos nossos ouvidos os sons de todos os
instrumentos que estão sendo tocados num dado instante. Isto
significa que uma o mais ondas sonoras podem se propagar ao
mesmo tempo numa dada região do espaço.
O efeito global que percebemos será a soma dos efeitos
que cada uma das ondas produziria se estivesse se propagando
isoladamente.
Chamamos de princípio da superposição ao efeito global
ser a soma dos efeitos isolados, ou seja, num dado instante as
ondas viajam uma na direção da outra, produzem um efeito
cumulativo ao se encontrar, e depois disso se afastam com o
formato original.
SUPERPOSIÇÃO DE ONDAS
Superposição ou interferência é o encontro de duas ou mais ondas que se propagam
num mesmo meio. Esse fenômeno é regido por dois princípios: o princípio da
superposição e o princípio da independência das ondas.
1º) Princípio da Superposição
A perturbação da onda resultante, em cada ponto do meio, durante a superposição, é
a soma das perturbações que seriam causadas pelas ondas separadamente.
2º)Princípio da Independência dos pulsos
Após uma superposição, cada pulso segue a sua trajetória, como se nada tivesse
ocorrido.
y( x, t )  y1 ( x, t )  y2 ( x, t )
Interferência de Ondas
Vamos considerar o efeito da interação entre duas ondas que viajam no mesmo
sentido. Para simplificar a análise, sem perder muito em generalidade, vamos considerar que
essas ondas tenham mesma frequência, mesmo comprimento de onda, mesma amplitude,
mas tenham uma defasagem. A primeira onda tem constante de fase nula e a segunda onda
tem constante de fase ϕ . Elas têm a forma:
y1(x,t) = yM sen(kx - wt)
y2(x,t) = yM sen(kx - wt + ϕ)
Do princípio da superposição:
 (diferença de fase)
w, k, ym, e v: iguais
y( x, t )  y1 ( x, t )  y2 ( x, t ) 
 ym sen(kx  wt   )  yM sen(kx  wt ) 
 ym [sen(kx  wt   )  sen(kx  wt )] 

Observação: propriedade trigonométrica

1
1
sen  sen  2sen (   ) cos (   )
2
2
1
1
 ym [2sen (kx  wt    kx  wt ) cos (kx  wt    kx  wt )] 
2
2
1
1
(2kx  2wt   ) cos  ] 
2
2
1
1
 2 ym [ sen(kx  wt   ) cos ( )] 
2
2
 ym [2sen
Se =0 (exatamente em fase):
As cristas e os vales exatamente alinhados.
1
[2 ym cos
A onda resultante: senoidal, difere das ondas
originais somente pela fase inicial (/2), sua
amplitude é yM´.
1
1
 sen(kx  wt   )] 
2
2
A interferência é totalmente construtiva (a onda resultante difere das duas ondas originais
somente por ter o dobro de suas amplitudes.
Se = (exatamente em oposição de fase):
As cristas de uma onda alinhadas com os vales da outra.
0
1
1
[2 ym cos  sen(kx  wt   )] 
2
2
A interferência é totalmente destrutiva
Reflexão de um pulso numa corda
Quando um pulso, propagando-se numa corda, atinge sua
extremidade, pode retornar para o meio em que estava se propagando.
Esse fenômeno é denominado reflexão.
Essa reflexão pode ocorrer de duas formas:
1. Extremidade fixa
Se a extremidade é fixa, o pulso sofre reflexão com inversão de fase, mantendo todas as
outras características.
2. Extremidade livre
Se a extremidade é livre, o pulso
sofre reflexão e volta ao mesmo
semiplano, isto é, não ocorre
inversão de fase.
Ondas estacionárias
Ondas Estacionárias se formam quando duas
ondas idênticas (mesma freqüência, mesma amplitude,
mesmo comprimento de onda, mesma direção) se encontram,
se movendo em sentidos opostos.
Esse tipo de onda é caracterizado por pontos fixos
de valor zero, chamados de nodos, e pontos de máximo
também fixos, chamados de antinodos.
Análise Matemática
y1  ym [sen(kx  wt )]
Do princípio da superposição:
y2  ym [sen(kx  wt )]
y( x, t )  y1 ( x, t )  y2 ( x, t ) 
 ym sen(kx  wt )  yM sen(kx  wt ) 
Utilizando a propriedade trigonométrica
utilizada anteriormente:
1
1
sen  sen  2sen (   ) cos (   )
2
2
1
1
(kx  wt  kx  wt ) cos (kx  wt  kx  wt )] 
2
2
1
1
 ym [2sen (2kx) cos ( 2wt )] 
2
2
 ym [2sen
Esta não é uma onda progressiva, porque não depende de x e t na forma (kx –wt)
mas no entanto a corda oscila para cima e para baixo.
Amplitude:
Amplitude:
2 ym sen(kx)
sen(kx)  0 para kx  n ; n  0,1, 2,...
2 2
n
Como k 

x  n  x 
; n  0,1, 2,...


2
Amplitude Nula:
Amplitude Máxima:
sen(kx)  1
1 3 5
2n  1
1
para kx   ,  ,  ,... 
  (n  ) ; n  0,1, 2,...
2 2 2
2
2
2 2
1
1 
Como k 
 x  (n  )  x  (n  ) ; n  0,1, 2,...


2
2 2
Pode-se obter uma onda estacionária através de uma corda fixa numa das
extremidades.
Com uma fonte faz-se
a outra extremidade
vibrar com movimentos
verticais
periódicos,
produzindo-se
perturbações regulares
que se propagam pela
corda.
Em que: N = nós ou nodos e V= ventres.
Ao atingirem a extremidade, se refletem, retornando com sentido de deslocamento
contrário ao anterior. Dessa forma, as perturbações se superpõem às outras que
estão chegando à parede, originando o fenômeno das ondas estacionárias.
Uma onda estacionária se caracteriza pela amplitude variável de ponto para ponto,
isto é, há pontos da corda que não se movimentam (amplitude nula), chamados nós
(ou nodos), e pontos que vibram com amplitude máxima, chamados ventres.
É evidente que, entre nós, os pontos da corda vibram com a mesma freqüência, mas
com amplitudes diferentes.
Ressonância
Uma criança em um balanço nunca ouviu falar em ressonância
mas sabe como usá-la. Num instante ela descobre qual é o momento certo
de dobrar o corpo para aumentar a amplitude do movimento.
No exemplo do sistema massa-mola, balançar devagar ou
depressa demais causa pequenas amplitudes de oscilação. Balançando na
freqüência certa, que é a freqüência natural do sistema, chega-se à
ressonância e obtém-se grandes amplitudes de oscilação
O corpo de um instrumento musical, um violão, por exemplo, é
uma caixa de ressonância. As vibrações da corda entram em ressonância
com a estrutura da caixa de madeira que "amplifica" o som e acrescenta
vários harmônicos, dando o timbre característico do instrumento. Sem o
corpo, o som da corda seria fraco e insosso. Em uma guitarra a ressonância
é substituída, parcialmente, por efeitos eletrônicos.
Cada onda de rádio e TV que viaja pelo espaço tem uma freqüência
característica de vibração. E a onda de cada emissora tem uma freqüência
própria, diferente da freqüência das demais emissoras. Os rádios antigos tinham
um botão - o dial - para "sintonizar" as emissoras. Hoje, com tudo virando digital,
os botões não são de girar - são de apertar. Sintonizar uma emissora significa
fazer seu receptor de rádio ou TV entrar em ressonância com a onda da
emissora. Girando, ou apertando, o botão você modifica, de algum modo, a
freqüência natural de vibração do circuito eletrônico de seu receptor. Essa
vibração não é mecânica, como nas molas, mas uma rápida variação nas
correntes elétricas que percorrem o circuito. Na ressonância, o receptor "capta"
energia da onda de rádio ou TV com eficiência máxima e o sinal da emissora é
reproduzido pelo receptor. As ondas das outras emissoras, com freqüências
diferentes, não estão em ressonância com o receptor e passam batidas, sem
interagir com ele.
Uma ponte nos Estados Unidos desabou quando entrou em
ressonância com o vento. A ponte sobre o Estreito de Tacoma, logo após ser
liberada ao tráfego, começou a balançar sempre que o vento soprava um pouco
mais forte. No dia 7 de Novembro de 1940 aconteceu a ressonância.
Inicialmente, a ponte começou a vibrar em modos longitudinais, isto é, ao longo
de seu comprimento. Até aí, tudo bem. Mas, logo apareceram os chamados
"modos torsionais", nos quais a ponte balançava para os lados, se torcendo
toda. Na ressonância, a amplitude desses modos torsionais aumentou de tal
forma que a ponte desabou.
Frequência de ressonância (Série Harmônica)
l
1º.Harmônico
2º.Harmônico
3º.Harmônico
v 
 f  
v
f
v
2l
f
n



f
n
v
2l
nv
 f 
;n  1, 2, 3, ...
2l
n=número harmônico

Freqüência de ressonância
Exercícios
8. (26E 6ª.Ed)(37E 4a.Ed) Que diferença de fase entre duas ondas progressivas, idênticas quanto
ao resto, que se movem no mesmo sentido ao longo de uma corda esticada, resultará em
uma onda combinada com amplitude igual a 1,50 vez a amplitude comum às duas ondas
sendo combinadas? Expresse a sua resposta em (a) graus, (b) radianos e (c) em
comprimentos de onda.
Respostas: (a)82,8º (b) 1,444 rad (c) 0,23 comprimentos de onda
9. (27E6a.Ed)(36E 4ª.Ed) Duas ondas progressivas idênticas, movendo-se no mesmo
sentido, estão fora de fase por /2 rad. Qual a amplitude da onda resultante em
termos da amplitude ym comum às duas ondas sendo combinadas?
Resposta: 1,41 yM
10. (33E 6ª.Ed) (46E 4ª.Ed) Uma corda de violão de náilon possui uma massa
específica linear de 7,2 g/m e está sujeita a uma tração de 150 N. Os apoios fixos
estão separados de 90 cm. A corda está vibrando no padrão de onda estacionária
mostrada na Fig.02. Calcule (a) a velocidade, (b) o comprimento de onda e (c) a
freqüência das ondas progressivas cuja superposição fornece esta onda
estacionária. Respostas: (a) 144,3m/s (b) 0,6m (c) 240,5Hz
Fig. 02
11. (35E 6ª.Ed) (45E 4ª.Ed) Uma corda fixada nas duas extremidades tem 8,40 m de
comprimento e uma massa de 0,120 kg. Ela está sujeita a uma tração de 96,0 N e é posta
para vibrar. (a) Qual a velocidade das ondas na corda? (b) Qual o maior comprimento de
onda possível para uma onda estacionária? (c) Forneça a freqüência dessa onda. Respostas:
(a) 81,9m/s (b) 16,8m (c)4,88Hz
12.. (36E 6ª.Ed) (49E 4ª.Ed) Uma corda de 125 cm de comprimento possui uma
massa de 2,00 g. Ela é esticada com uma tração de 7,00 N entre apoios fixos. (a)
Qual a velocidade de onda para esta corda? (b) Qual a freqüência de ressonância
mais baixa desta corda? Respostas: a)66,14m/s b) 26,46Hz
13. (34E 6ª.Ed) (43E 4ª.Ed) Duas ondas senoidais com comprimentos de onda e
amplitude idênticos se propagam em sentidos opostos ao longo de uma corda
com velocidade de 10 cm/s. Se o intervalo de tempo entre os instantes em que a
corda está sem curvatura for de 0,50 s, qual o comprimento de onda das ondas?
Resposta: 10cm
14. (39P 6ª.Ed) (56p 4ª.Ed) Uma corda que está esticada entre apoios fixos
separados de 75,0 cm possui freqüências de ressonâncias de 420 e 315 Hz, sem
freqüências de ressonâncias intermediárias. Qual (a) a freqüência de ressonância
mais baixa e (b) a velocidade da onda? Respostas: a) 105Hz b) 158 m/s
15. (48P 6ª.Ed) Um padrão de onda estacionária em uma corda é descrito por
 
y x, t = 0, 040 sen5πx cos40 πt,
onde x e y estão em metros e t em segundos. (a) Determine a localização de todos os nós
para 0  x  0,40 m. (b) Qual o período do movimento oscilatório de qualquer ponto
(exceto os nós) sobre a corda? Qual (c) a velocidade e (d) a amplitude das duas ondas
progressivas que sofrem interferência para produzirem esta onda? (e) Em que instantes
para 0  t  0,050 s todos os pontos na corda terão velocidade transversal nula?