Gabarito do GE3 – Movimento Ondulatório
3.2) Tipos de Ondas
3.2.1) Ao enviar uma mensagem por carta, há também transporte de matéria. Entretanto
enviando uma mensagem por e-mail não tem transporte de matéria envolvido, apenas a
energia vai de um lado para o outro.
Critério: 50% para cada meio de transmissão.
3.2.2) É possível transportar momento linear e momento angular de um lugar para o outro
sem que haja transporte de matéria entre os lugares. Como exemplo de transporte de momento
linear, sem transporte de matéria, podemos citar uma onda se propagando em uma corda.
Como exemplo de transporte momento angular, sem transporte de matéria, podemos citar uma
onda no mar, onde as partículas do meio sofrem deslocamentos circulares, resultado de uma
composição de deslocamentos transversais e longitudinais.
Criterio: 50% para cada momento descrito e seus exemplos.
3.2.3) As propriedades físicas de um meio que regem o comportamento de uma onda mecânica
são a elasticidade e a inércia. Para um dado meio, mantendo-se a força restauradora constante,
quanto maior a elasticidade do meio maior será a amplitude de oscilação em relação a posição
de equilíbrio, entretanto, quanto maior a inércia menor será a amplitude de oscilação.
Criterio: 50% para a elasticidade e sua relação.
50% para a inercia e sua relação.
3.2.4) Veja a tabela abaixo:
a-onda longitudinal
b-onda transversal
c-onda longit. e transversal
d-onda transversal
e-onda transversal
f-onda longitudinal
g-onda longitudinal
h- onda longitudinal
periódica
periódica
aperiódica
aperiódica
periódica
periódica
periódica
periódica
Frente de onda plana
-----------------Frente de onda plana
Frente de onda circular
-----------------Frente de onda plana
Frente de onda plana
Frente de onda esférica
Unidimensional
Unidimensional
Bidimensional
Bidimensional
Unidimensional
Unidimensional
Bidimensional
Tridimensional
Criterio: 100% dividido por todas as letra acima de a ate h.
3.3) Propagação de ondas
3.3.1) Notamos pela figura que y = y’. Assim, em y temos x = x, e em y’ temos x = x’.
Observe que x’=x + vt, pois no eixo x após um intervalo de tempo t , a origem do referencial
andou exatamente v*t.
Logo: x’=x + vt x=x’ – vt
A relação entre as coordenadas x e x’ dos referenciais é x = (x’ + vt); ou equivalentemente x’
= (x – vt); Esta relação é valida quando o pulso se move da esquerda para a direita.
No caso de um pulso se movendo da direita para a esquerda teremos a seguinte relação: x = (x’
– vt), ou equivalentemente; x’ = (x + vt). É como trocar t por –t!! E assim ficamos com x= x’
+ vt.
Criterio: 60% para obter a relação.
40% para a modificação.
3.3.2) Relembre que:
∆P = - B(∆V/V) (eq.1)
a densidade ρ de um elemento de fluido é dada por
ρ = m/V,
assim podemos expressar a taxa de variação da densidade em função do volume como:
dρ/dV = - m/V2
dρ = - (m/V2)dV = -(m/V)(dV/V)
ou seja dρ = - ρdV/V.
Como ∆V≈ dV e ∆ρ ≈ dρ temos:
∆V/V = - ∆ρ/ρ,
que substituindo na equação 1 temos:
∆P = - B(-∆ρ/ρ)
∆P = B ∆ρ
ρ/ρ
ρ
Criterio: 100% para a relação.
3.3.3) Temos que:
∂x’ = ∂x(1 + ∂s/∂x)
δx = δx’(1 + ∂s/∂x)-1 => δx ≈ δx’(1 - ∂s/∂x);
Multiplicando esta equação pela área A do elemento de fluido temos a relação entre a variação
de seu volume:
V = V’(1 - ∂s/∂x)
1/V’ = (1/V)(1 - ∂s/∂x) .
Multiplicando pela massa m do fluido teremos:
ρ’ = ρ(1 - ∂s/∂x) => ρ’ = ρ - ρ∂s/∂x => ρ’- ρ = -ρ∂s/∂x
∆ρ
ρ = -ρ
ρ∂s/∂
∂x
Critério: 100% pela demonstração.
3.3.4) Sabendo que:
∆P = B ∆ρ/ρ (eq.1)
∆ρ/ρ = -∂s/∂x (eq.2)
substituindo a equação 2 na equação 1 temos: ∆P = -B∂s/∂x (eq.3).
A equação do deslocamento longitudinal de uma onda pode ser escrita como:
s = smcos(kx - ωt);
derivando em relação à posição x temos:
∂s/∂x = -ksmsen(kx - ωt);
substituindo ∂s/∂x pelo valor obtido a partir da eq.3 temos:
∆P = Bksmsen(kx - ωt)
ou seja a equação da onda de deslocamento esta defasada de 90º em relação à equação da onda
de variação de pressão.
Criterio: 100% pela relação.
3.4) Ondas Harmonicas (Periodicas)
3.4.1) A distancia entre dois pontos, consecutivos, que se encontram na mesma fase do
movimento se chama comprimento de onda (λ
λ). Da equação v = λf obtemos que λ = vT.
Criterio: 40% por responder λ; 30% por responder VT; 30% por identificar as grandezas nas
figuras.
3.4.2) O movimento relativo é o seguinte:
Os pontos VT/4 e 3VT/4 têm a mesma velocidade e a mesma aceleração, porém em sentidos
opostos; o mesmo acontecendo com os pontos VT/2 e VT.
Percebemos também que os pontos VT/4 e VT/2 têm velocidades no mesmo sentido, o mesmo
ocorrendo para VT/4 e 3VT/4.
Criterio: 100% pela descrição.
3.4.3) Sabemos que o número de onda ( k = 2π
π/λ
λ ), dessa forma temos a seguinte relação entre
k, ωev:
k = 2π/λ = 2π/vT = 2πf/v = ω/v
Critério: 25% por cada relação.
3.4.4) Temos a seguinte equação para a onda transversal,
Y(x,t) = Ymsen( kx - ωt - φ )
onde, Ym é a amplitude de oscilação
k é o número de onda
ω é a freqüência angular
φ é a constante de fase
kx - ωt - φ é a fase do movimento
Criterio: 50% pela função de onda.
10% por cada termo identificado.
3.4.5) Temos a seguinte equação para a onda longitudinal, em termos da variação de pressão:
∆p(x,t) = ∆pmsen( kx - ωt - φ )
onde, ∆pm é a amplitude de variação de pressão
k é o número de onda
ω é a freqüência angular
φ é a constante de fase
kx - ωt - φ é a fase do movimento
A equação para a onda longitudinal, em função do deslocamento das partículas, é a seguinte:
S(x,t) = Smcos( kx - ωt - φ )
Onde, Sm é a amplitude de deslocamento
k é o número de onda
ω é a freqüência angular
φ é a constante de fase
kx - ωt - φ é a fase do movimento
Criterio: 50% pelas dua funçoes de ondas.
5% por cada termo identificado.
3.5) Equação de Onda.
3.5.1) Observe a figura com os vetores velocidade e aceleração representados
Criterio: 50% pela representação dos vetores velocidade.
50% pela representação dos vetores aceleração.
3.5.2) Os pontos de maior concavidade são os pontos de deslocamento máximo em relação ao
eixo y (pontos de máximo e mínimo do gráfico) ou seja, os pontos 2, 6 e 10. Os pontos de
inflexão são os pontos onde a concavidade muda de sentido, pontos 4 e 8.
criterio: 50% pelos pontos de maior concavidade.
50% pelos pontos de inflexão.
3.5.3) Podemos observar a partir do gráfico que o módulo da aceleração atinge seu valor
máximo nos pontos de maior concavidade e que a aceleração é nula nos pontos de inflexão.
Criterio: 100% pela comparação.
3.5.4) Derivando duas vezes em relação ao tempo a função de onda, ou seja, fazendo ∂2y/∂t2 .
Criterio : 100% pela resposta acima.
3.5.5) Fazendo a derivada primeira e a derivada segunda em relação à posição na função de
onda, ou seja, calculando ∂y/∂x e ∂2y/∂
∂x2. Isto nos dá, respectivamente a velocidade
transversal e a aceleração transversal.
Criterio: 50% para cada operador.
3.5.6) A equação da onda é y(x, t) = f(x – vt);
considerando z = x – vt temos que:
teremos:
y = f(z). Derivando e aplicando a regra da cadeia
∂y/∂t = (∂f/∂z)(∂z/∂t)
como ∂z/∂t = -v temos:
∂y/∂
∂t = -v∂
∂f/∂
∂z
∂2y/∂t2 = -v(∂z/∂t) ∂2f/∂z2
∂t2 = v2∂2f/∂
∂z2 (eq.1)
∂2y/∂
∂y/∂x = (∂f/∂z)*(∂z/∂x)
como ∂z/∂x = 1 tem-se que:
∂y/∂
∂x = ∂f/∂
∂z
∂2y/∂x2 = (∂2f/∂z2)∂z/∂x
∂x2 = ∂2f/∂
∂z2 (eq.2)
∂2y/∂
Substituindo a eq.2 na eq1 temos:
v2(∂2y/∂x2) = ∂2y/∂t2
∂x2 = (1/v2)(∂
∂2y/∂
∂t 2)
∂2y/∂
Podemos interpretar esta equação da seguinte forma: quanto maior a concavidade da curva
(∂2y/∂x2) em um determinado ponto maior será a aceleração deste ponto.
Critério: 100% pela comparação.
3.6) Velocidade de Ondas Transversais e Longitudinais.
3.6.1) Utilizando os dados fornecidos no enunciado, obtemos a seguinte expressão:
ΣFy = F[(∂y/∂x)] (x + ∆x) – F[(∂y/∂x)] (x)
ΣFy = F∆x[ ∂y (x + ∆x) – ∂y (x ) ] 1
∂x
∂x
ΣFy = F∆x ∂²y
∂x²
Criterio: 100% pela expressão.
∆x
3.6.2) Utilizando o resultado obtido na questão anterior temos o seguinte:
ΣFy = F∆x ∂²y = µ∆x ∂²y
∂x²
∂²y = F ∂²y
∂t²
µ ∂x²
∂t²
Criterio: 100% pela resolução.
3.6.3) Utilizando o resultado obtido na questão 3.6.1 e a segunda lei de Newton, chegamos a
seguinte expressão:
F∆x ∂²y = µ∆x ∂²y
∂x²
∂t²
∂²y = µ ∂²y
∂x² F ∂t²
Criterio: 100% pela equação.
3.6.4) Comparando o resultado obtido na questão anterior com o resultado obtido no GE 3.5.6,
temos que:
1 ∂²y = µ ∂²y
v² ∂x²
F ∂t²
v² = F
µ
v = ( F/µ
µ )1/2
Criterio: 100% pela questão.
3.6.5) Para o caso de uma onda sonora, a grandeza física que melhor representa a propriedade
elástica é o módulo de compressibilidade B. Já a propriedade inercial é melhor representada
pela massa específica não pertubada ρ0. Dessa forma, em analogia com a expressão para a
velocidade da onda em uma corda, uma possível expressão para a velocidade da onda sonora
é:
v = ( B/ρ
ρ0 )1/2
Criterio: 100% pela questão.
3.6.6) Utilizando a expressão da questão anterior, observamos que a velocidade de uma onda
sonora depende da razão entre o módulo de compressibilidade B e a massa específica ρ0 do
meio.
Dessa forma, podemos concluir que a velocidade do som em uma barra de ferro será maior
que a velocidade do som no ar, pois, apesar do ferro ser mais denso que o ar sabemos que seu
módulo de compressibilidade é muitas vezes maior que o do ar.
Assim, concluímos que o fator determinante para a velocidade do som em um meio é o
módulo de compressibilidade. Dessa forma temos que:
Vferro > Vágua
> Var
Criterio: 100% pela questão.
3.7) Energia no Movimento Ondulatório.
3.7.1) A energia cinética é dada de um dado elemento de corda é dado por
∆K = ½ m v2 .
Sendo a densidade linear de massa definida por µ = m/L, substituímos m = µ L na
expressão acima, tal que:
∆K = ½ µ L v2 .
Fazendo L = ∆x e sendo v = ∂y/∂t
∆K/∆x = ½ µ (∂y/∂t)2
Criterio: 100% pela demonstração.
3.7.2) A energia potencial elástica por unidade de comprimento, armazenada no segmento de
corda é igual ao trabalho realizado pela tensão F para esticar o segmento desde seu
comprimento original ∆x até seu comprimento original ∆L.
Pela figura temos que ∆L = [(∆y)2 + (∆x)2 ]1/2 = ∆x * [(1 + (∆y/∆x)2] ½
∆U = W = F [ ∆L - ∆x ]
∆U = F { ∆x*[(1 + (∆y/∆x)2] ½ - ∆x }
∆U = F ∆x { [(1 + ∆y/∆x)2] ½ - 1 }
Usando a expansão binomial (1+z)1/2 = 1 + z/2, válida para |z| << 1 temos que
∆U = F ∆x { 1 + ½(∂y/∂x) 2 - 1 }
∆U = F ∆x { ½(∂y/∂x)2}
Assim a variação da energia potencial elástica por unidade de comprimento é dada por
∆U/∆x = ½F (∂y/∂x)2
Criterio: 100% pela demonstração.
3.7.3) A potência instantânea é dada por P(x,t) = -F (∂y/∂x)* (∂y/∂t).
Lembre-se que Potência é energia por unidade de tempo, tal que
P(x,t) = F . u
(produto vetorial)
P(x,t) = [F(∂y/∂x)] * [∂y/∂t] * cos(π)
P(x,t) = - F(∂y/∂x)(∂y/∂t)
3.8) Potencia e Intensidade de Ondas Sonoras.
3.8.1) Sendo ∆p(x,t) = ∆pmsen( kx - ωt )
U(x,t) = ∂s/∂t = ωSmsen( kx - ωt )
F = A∆p
P = F(x,t) U(x,t)
Temos que:
P = ∆pmsen( kx - ωt ) A ωSmsen( kx - ωt )
P = A∆pm ωSmsen²( kx - ωt )
P = A∆pmUm sen²( kx - ωt )
P = Av (∆pm)² sen²( kx - ωt ) / B
P ( x, t ) =
Av
(∆p m ) 2 sen 2 (kx − ωt + φ )
B
P(x,t) é a potência instantânea em qualquer lugar no espaço e no tempo e P ( x, t ) =
será a potência média.
Pmédia = Av (∆pm)² / 2B = Av (∆pm)² /2ρ
ρv
I = Pmédia / A
ρv
I = v (∆pm)² / 2B = v (∆pm)² /2ρ
Av
(∆p m ) 2 ,
2B
Criterio: 50% pela Potencia Media.
50% pela Intensidade.
3.8.2) Sabemos que a intensidade é dada por I = Pmédia / A , onde A = 4πr2 . Logo
I = 25/4(3,14)(2,5)2
I = 0,32W/m2
Este valor nao é perigoso para a audição do ser humano porque o limiar da dor é acima de 1W/
m2
Criterio: 60% para o valor de I.
40% para a explicação.
3.8.3) O ouvido humano é capaz de detectar uma faixa extremamente grande de intensidades
sonoras, desde o farfalhar de uma folha até o barulho produzido por um avião a jato. Para
facilitar a comparação entre esta diversidade de sons, o ouvido funciona em uma escala
logarítmica, onde transforma intervalos iguais em razões iguais (exatamente a escala em
decibéis). Esta escala vai desde o limiar da audição humana (10-12 W/m2) até intensidades
capazes de danificar irremediavelmente o nosso aparelho auditivo, o limiar da dor (1W/m2 =
120dB). A membrana no tímpano não mais se encontra no regime de deformação
elástica/plástica, mas a amplitude de pressão deve estar além do limite de ruptura da mesma.
Criterio: 100% pela resposta.
3.8.4) As definições de altura e volume estão relacionadas com a freqüência e com a
intensidade sonora, respectivamente. A definição de timbre é que muitas vezes não é única, e
diversos especialistas na área não tem uma definição física exata e está relacionada a diversos
fatores como o material a forma, etc. Isto torna o nosso ouvido capaz de distinguir uma nota de
freqüência de 400Hz em dois instrumentos diferentes como um piano e um violão, mesmo que
o volume sonoro seja exatamente o mesmo.
Criterio: 100% pela resposta.