Os problemas 5 e 6 da 1a. série
1 de Outubro de 2010
A posição de uma partı́cula é determinada em diferentes instantes, e os resultados obtidos são os apresentados na tabela em baixo. O problema 5 começa por
t (s)
0,000000
0,500000
1,000000
1,500000
2,000000
2,500000
3,000000
3,500000
4,000000
4,500000
x (m)
0,000000
0,250000
0,500000
0,750000
1,000000
1,250000
1,500000
1,750000
2,000000
2,250000
y (m)
1,000000
0,951057
0,809017
0,587785
0,309017
0,000000
-0,309017
-0,587785
-0,809017
-0,951057
t (s)
5,000000
5,500000
6,000000
6,500000
7,000000
7,500000
8,000000
8,500000
9,000000
9,500000
x (m)
2,500000
2,750000
3,000000
3,250000
3,500000
3,750000
4,000000
4,250000
4,500000
4,750000
y (m)
-1,000000
-0,951057
-0,809017
-0,587785
-0,309017
-0,000000
0,309017
0,587785
0,809017
0,951057
Tabela 1: Posições ocupadas por uma partı́cula em diferentes instantes.
pedir uma representação gráfica da trajectória da partı́cula. Isso pode fazer-se introduzindo os valores das coordenadas x e y da partı́cula numa calculadora gráfica
e executando o comando para a feitura do gráfico. Eu obtive o seguinte:
Figura 1: Representação gráfica das sucessivas posições apresentadas na Tabela 1
Em seguida, pedem-nos que calculemos as componentes da velocidade média
1
nos intervalos de tempo [0,0 s;2,0 s], [2,5 s;5,0 s] e [4,0 s;6,0 s]. A velocidade média de
uma partı́cula num intervalo de tempo [ti ,tf ] é, por definição, dada por
h~v i =
~rf − ~ri
,
tf − ti
onde ~ri e ~rf representam, respectivamente, os vectores posição da partı́cula nos
instantes inicial e final do intervalo de tempo considerado. Nos instantes que definem os intervalos de tempo que devemos analizar, o vector posição da partı́cula
é, de acordo com o expresso na tabela (expresso em metro e mantendo apenas três
algarismos decimais),
0,0
1,0
~r(t = 0,0 s) =
;
~r(t = 2,0 s) =
;
1,0
0,309
1,25
2,5
~r(t = 2,5 s) =
;
~r(t = 5,0 s) =
;
0,0
−1,0
2,0
3,0
~r(t = 4,0 s) =
;
~r(t = 6,0 s) =
.
−0,809
−0,809
Assim, durante o intervalo de tempo [0,0 s;2,0 s], a velocidade média é
1,25
0,0
−
0,0
1,0
0,625
=
m/s.
h~v i1 =
−0,5
2,0 s
Da mesma maneira, para os outros dois intervalos de tempo, obtemos
0,5
0,5
h~v i2 =
m/s
h~v i3 =
m/s.
−0,4
0,0
Estas velocidades estão representadas na Figura 2.
Figura 2: O vector velocidade média da partı́cula, para os três intervalos de tempo
considerados.
Por fim, o problema 6 pede-nos que escrevamos um programa que processe
a Tabela 1 para calcular estimativas numéricas das componentes da velocidade
2
instantânea da partı́cula, de acordo com a seguinte fórmula para o cálculo numérico
da derivada da função.
 f2 −f1
se k = 1

 t2 −t1 ,
f
−fk−1
,
se 2 ≤ k ≤ N
f 0 (tk )a = tk+1
k+1 −tk−1

 fN −f N −1
se k = N
tN −tN −1 ,
No nosso caso, esta expressão será aplicada à função (vectorial) posição, logo, ela
deve ser lida como
 ~r −~r
2
1
se k = 1

 t2 −t1 ,
~
rk+1 −~
rk−1
~v (tk ) = tk+1 −tk−1 , se 2 ≤ k ≤ N − 1

 ~rN −~rN −1
se k = N
tN −tN −1 ,
Tratando-se de uma igualdade vectorial, ela pode ser separada em duas igualdades
escalares (uma para cada componente):
 y2 −y1
 x −x
2
1
se k = 1


 t2 −t1 ,
 t2 −t1
xk+1 −xk−1
yk+1 −yk−1
vy (tk ) = tk+1 −tk−1 , se 2 ≤ k ≤ N − 1
vx (tk ) = tk+1 −tk−1


 yN −yN −1
 xN −xN −1
se k = N
tN −tN −1
tN −tN −1 ,
Em baixo apresenta-se um programa em linguagem Python que faz o que se
pretende:
#e n c o d i n g=u t f −8
################################################################
#D e f i n i c a o das t a b e l a s
d a t a f i l e = open ( ” p o s d a t a . dat ” , ’ r ’ )
t =[]
x =[]
y =[]
f o r l i n e in d a t a f i l e :
tv , xv , yv = l i n e . s p l i t ( )
t . append ( f l o a t ( tv ) )
x . append ( f l o a t ( xv ) )
y . append ( f l o a t ( yv ) )
###############################################################
#D e f i n i c a o da f u n c a o para o c a l c u l o das d e r i v a d a s numericas
def d e r i v ( x , f ) :
#I n p u t : duas l i s t a s com os v a l o r e s de x e de f
#Output : l i s t a d com os v a l o r e s da d e r i v a d a
d = [ ( f [1] − f [ 0 ] ) / ( x [1] − x [ 0 ] ) ] #1o e l e m e n t o da l i s t a d e r i v a d a
f o r k in r a n g e ( 1 , l e n ( x)−1 ) :
#A c r e s c e n t a a l i s t a as d e r i v a d a s nos p o n t o s ” i n t e r i o r e s ”
d . append ( ( f [ k+1]− f [ k − 1 ] ) / ( x [ k+1]−x [ k −1]) )
#Por fim , a c r e s c e n t a a d e r i v a d a no u l t i m o ponto
d . append ( ( f [ −1]− f [ − 2 ] ) / ( x[−1]−x [ − 2 ] ) )
return d
################################################################
#C a l c u l o numerico das componentes da v e l o c i d a d e
vx = d e r i v ( t , x )
vy = d e r i v ( t , y )
As listas vx e vy calculadas no final contêm os valores das componentes da
velocidade da partı́cula nos instantes definidos na Tabela 1. São os seguintes:
3
t (s)
0,000000
0,500000
1,000000
1,500000
2,000000
2,500000
3,000000
3,500000
4,000000
4,500000
vx (m)
0,500000
0,500000
0,500000
0,500000
0,500000
0,500000
0,500000
0,500000
0,500000
0,500000
vy (m)
-0,097886
-0,190983
-0,363272
-0,500000
-0,587785
-0,618034
-0,587785
-0,500000
-0,363272
-0,190983
t (s)
5,000000
5,500000
6,000000
6,500000
7,000000
7,500000
8,000000
8,500000
9,000000
9,500000
vx (m)
0,500000
0,500000
0,500000
0,500000
0,500000
0,500000
0,500000
0,500000
0,500000
0,500000
vy (m)
0,000000
0,190983
0,363272
0,500000
0,587785
0,618034
0,587785
0,500000
0,363272
0,284080
Tabela 2: Componentes da velocidade da partı́cula.
Figura 3: Representação gráfica das velocidades calculadas com o programa vel.py.
4