EXAME UNIFICADO DAS PÓS-GRADUAÇÕES EM FÍSICA DO RIO DE JANEIRO
Segundo Semestre de 2013 - 23 de maio de 2013
AS 4 QUESTÕES DA PARTE A SÃO OBRIGATÓRIAS.
ESCOLHA 2, E APENAS 2, QUESTÕES DA PARTE B.
A PROVA TEM DURAÇÃO MÁXIMA DE 4 HORAS. BOA PROVA.
PARTE A:
Problema 1: Na figura abaixo temos uma bola pequena, maciça e uniforme com massa m, raio R
e momento de inércia (2/5)mR2 . Esta bola é lançada do ponto P, rola suavemente em uma superfı́cie
horizontal, sobe uma rampa e chega a um platô. Em seguida, deixa o platô horizontalmente para pousar
em outra superfı́cie mais abaixo, a uma distância horizontal d da extremidade do platô. Despreze a
resistência do ar. Com que velocidade a bola deve ser lançada do ponto P para pousar a uma distância
d?
Figura 1: Problema 1.
Problema 2: Uma corda, de comprimento ` e densidade linear ρ, está presa pelas extremidades e
pode oscilar na frequência fundamental ω. Considere uma pequena porção da corda de tamanho d`
e sejam F1 e F2 as tensões nas duas extremidades desta pequena porção, conforme mostra a Figura
2. Considere que para pequenas oscilações temos θ ≈ 0. Considere ainda que não há movimento na
direção x, ou seja, que a componente x da força resultante é nula. Usando as Leis de Newton, mostre
que F1 ≈ F2 = F e que, neste caso, a frequência fundamental de oscilação da corda será dada por:
s
π F
ω=
.
` ρ
1
Figura 2: Problema 2.
Problema 3: Um fio de raio R carrega uma corrente constante I uniformemente distribuı́da por sua
seção reta. Um pequeno corte é realizado instantaneamente no fio. A largura L do corte é muito menor
do que o raio R tal que este corte pode ser considerado um capacitor de placas paralelas, com densidade
de carga σ como mostra a Figura 3.
a) Encontre o campo magnético em função de r, na região do corte, a uma distância r R do eixo do
fio.
b) Encontre o campo elétrico dentro da região do corte, a uma distância r R do eixo do fio.
c) Encontre o vetor de Poynting para um ponto dentro do corte, a uma distância r = R/2 do eixo do
fio.
Figura 3: Problema 3.
2
Problema 4: A velocidade das ondas longitudinais de pequenas amplitudes em um gás ideal de massa
M em um volume V é dada por
s
dP
,
c=
dρ
onde P é a pressão do gás e ρ =
casos em que:
M
V
é a sua densidade. Obtenha a expressão para a velocidade c nos
a) As compressões e rarefações do gás são isotérmicas.
b) As compressões e rarefações do gás são adiabáticas.
PARTE B: Lembre-se de escolher 2, e apenas 2, problemas
desta parte.
Problema 5: Este problema compara o movimento unidimensional de uma partı́cula clássica e uma
partı́cula quântica em uma caixa.
a) Considere uma partı́cula clássica, de massa m, movendo-se livremente em uma dimensão dentro de
uma caixa de comprimento a, com energia E. Mostre que o perı́odo de seu movimento é τ = √ 2a .
2E/m
b) A partı́cula quântica está, inicialmente, no estado
1
ψ(x, 0) = √ (φn (x) + φn+1 (x)) ,
2
onde φn é o n-ésimo autoestado de energia da partı́cula dentro da caixa. Mostre que a densidade de
probabilidade |ψ|2 muda no tempo e determine hx̂i como função do tempo, onde x̂ é o operador de
posição da partı́cula.
c) A densidade de probabilidade |ψ(x, t)|2 retorna à sua configuração inicial após um instante de tempo
τ . Determine τ em função de a, m e En . Como esse tempo se compara com a expressão clássica?
Como eles se comparam quando n 1?
Problema 6: Uma partı́cula de spin 1/2 passa através de um aparato Stern-Gerlach orientado ao
longo do eixo z. Considere que a partı́cula entra no aparato no autoestado |sx = ~/2i da componente
x do spin, i.e. Ŝx |sx = ~/2i = (~/2) |sx = ~/2i. Responda quais das seguintes afirmações em relação
ao estado do spin da partı́cula na saı́da do aparato são verdadeiras ou falsas, justificando bem as suas
respostas (note que as afirmações se referem à previsão da mecânica quântica sobre o estado de spin
na ausência de qualquer tipo de interação posterior à saı́da do aparato, como, por exemplo, a interação
entre a partı́cula e algum anteparo).
3
a) O estado do spin da partı́cula na saı́da é um autoestado da componente z do spin.
b) O estado do spin da partı́cula na saı́da é uma superposição dos autoestados da componente z do
spin.
c) O estado do spin da partı́cula na saı́da é uma mistura estatı́stica descrita pelo operador densidade
ρ̂ = P̂z+ |sx = ~/2i hsx = ~/2| P̂z+ + P̂z− |sx = ~/2i hsx = ~/2| P̂z− , (aqui P̂z+ ≡ |sz = ~/2i hsz = ~/2| e
P̂z− ≡ |sz = −~/2i hsz = −~/2| são os projetores nos autoestados da componente z do spin).
d) Se a componente z do spin da partı́cula for medida na saı́da, o resultado é ~/2 ou −~/2, com
probabilidade 1.
e) Se a componente z do spin da partı́cula for medida na saı́da, o resultado é ~/2 ou −~/2 com
probabilidade 1/2.
Também responda aos seguintes itens.
f) Após um grande número de partı́culas, inicialmente no estado |sx = ~/2i, passarem pelo aparato
Stern Gerlach, qual é o valor médio esperado para um conjunto de medições da componente z do
spin?
g) Se a partı́cula no estado |sx = ~/2i passa primeiro por um aparato Stern-Gerlach orientado na direção
z e, logo a seguir, por um outro orientado na direção x, qual é o estado de spin da partı́cula logo
após a saı́da desse segundo aparato?
Problema 7: Considere uma partı́cula livre de massa m, confinada a mover-se em uma dimensão, e
sejam x̂ e p̂ os operadores de posição e momento da partı́cula, respectivamente.
a) Mostre que
d2 2 2 2
2 !
2
2
x̂
=
p̂
=
(∆p̂)
,
+
hp̂i
0
0
dt2
m2
m2
onde o subı́ndice 0 designa grandezas no tempo t = 0. Isso, por outro lado, significa que
2
h(∆p̂)2 i0 + hp̂i20 2
d 2
t +
hx̂ i
x̂ (t) =
t + hx̂2 i0 .
m2
dt
t=0
b) Considerando o resultado anterior, mostre que
h(∆p̂)2 i0 2
1
t + (hx̂p̂ + p̂x̂i0 − 2hp̂i0 hx̂i0 ) t + (∆x̂)2 0 .
(∆x̂)2 (t) =
2
m
m
Problema 8: Uma partı́cula de massa M e carga q se encontra sob um potencial central V (r).
Um campo magnético externo uniforme, ao longo da direção z, é aplicado ao sistema. O momento
magnético da partı́cula, gerado por seu momento angular orbital, se acopla ao campo. A perturbação
é Ĥp = −(qBz /2M )L̂z . Descreva em detalhe como essa perturbação remove possı́veis degenerescências
dos nı́veis de energia do sistema.
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