Lista 05 de CDI 1
Aplicações da Derivada
1. Em que pontos a reta tangente à curva y 2 = 2x3 é perpendicular à reta 4x − 3y + 1 = 0?
2. Mostre que as curvas cujas equações são 2x2 + 3y 2 = 5 e y 2 = x3 interceptam-se no ponto (1,1) e
mostre que suas tangentes nesse ponto são perpendiculares.
3. Sabendo que y = f (x), calcule y 0 =
dy
das funções definidas implicitamente nas equações abaixo:
dx
√
3.1) x3 + y 3 = a3
3.3)
3.2) x3 + x2 y + y 2 = 0
3.4) y 3 =
x +
√
√
y = a
x−y
x+y
3.5) tan y sen x = xy
3.6) ey cos x = x + y
4. Encontre valores aproximados para as raı́zes abaixo:
4.1)
√
50
4.2)
p
3
63, 5
4.3)
√
4
13
5. A área S de um quadrado de lado x é dado por S = x2 . Achar o acréscimo e a diferencial desta
função.
6. Uma caixa em forma de cubo deve ter um revestimento externo com uma espessura de 1/4 cm. Se
um lado da caixa é de 2 m, usando diferencial, encontre a quantidade de revestimento necessária.
7. Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura é sempre
igual ao raio da base. Se em dado instante o raio é de 12 cm, use diferenciais para obter a variação do raio
que origina um aumento de 2 cm3 no volume da pilha.
8. Sabendo que a diferencial é definida por df (x) = f 0 (x)dx, calcular as diferenciais das equações dadas:
8.1) y 2 = ln(3x2 − 4x)
8.2)
1
x+1
=
y
ex
8.3) cos(y) = sen(5x2 + 6)
1
9. A posição de uma partı́cula que se move no eixo x depende do tempo de acordo com a equação
x = 3t2 − t3 , x é medido em metros e t em segundos.
9.1) Calcular o seu deslocamento depois dos primeiros 4 segundos.
9.2) Calcular a velocidade da partı́cula depois dos primeiros 4 segundos.
9.3) Calcular a aceleração da partı́cula depois dos primeiros 4 segundos.
10. Uma piscina está sendo drenada para limpeza. Se o seu volume de água inicial era de 80 000 litros e
depois de um tempo de t horas este volume diminuiu 5 000t2 litros, determine:
10.1) O tempo necessário para o esvasiamento da piscina.
10.2) A taxa média de escoamento no intervalo [2,5].
10.3) A taxa de escoamento depois de 2 horas do ı́nicio do processo.
11.
Em uma pequena comunidade obteve-se uma estimativa que daqui a t anos a população será de
5
milhares.
p(t) = 20 −
t+1
11.1) Daqui a 18 meses, qual será a taxa de variação da população desta comunidade?
11.2) Qual será a variação média sofrida entre o 12◦ mês e o 18◦ mês?
12. Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 5 m de raio de base e 10 m de altura. No
tempo t = 0, água começa a fluir no tanque à razão de 25 m3 /h. Com que velocidade o nı́vel de água
sobe? Quanto tempo levará para o tanque ficar cheio?
13. Um trem deixa uma estação num certo instante, e vai para a direção norte à razão de 80 km/h. Um
segundo trem deixa a mesma estação 2 horas depois e vai na direção leste à razão de 95 km/h. Achar
a taxa na qual estão se separando os dois trens 2 horas e 30 minutos depois do segundo trem deixar a
estação.
14. O raio de um cone é sempre igual à metade de sua altura h. Determine a taxa de variação da área
da base em relação ao volume do cone.
15. Influências externas produzem uma aceleração em uma partı́cula de tal forma que a equação de seu
b
movimento retilı́neo é y = + ct, onde y é o deslocamento e t é o tempo.
t
15.1) Qual é a velocidade da partı́cula no instante t = 2?
15.2) Qual é a equação da aceleração?
16. Um corpo cai livremente partindo do repouso. Calcule a posição e a velocidade da partı́cula depois
de decorridos 2 segundos. A equação de movimento da partı́cula é y = v0 t − 12 gt2 , onde y é a posição do
corpo, v0 é a velocidade iniciail e g = 9.8 m/s2 .
17. Uma peça de carne foi colocada em um freezer no instante t = 0. Após t horas, sua temperatura,
em graus centı́grados, é dada por
4
, 0 ≤ t ≤ 5.
t+1
Qual é a velocidade de redução de sua temperatura após 2 horas?
T (t) = 30 − 5t +
18. Um lı́quido goteja em um recipiente. Após t horas, há 5t − t1/2 litros no recipiente. Qual é a taxa de
gotejamento de lı́quido no recepiente, em litros/hora, quando t = 16 horas?
2
19. Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 5 m de raio na base e 10 m de altura. No
tempo t = 0, a água começa a fluir para o tanque à razão de 25 m3 /h. Com que velocidade o nı́vel da
água sobe?
20. Um objeto se move sobre uma parábola y = 2x2 + 3x − 1 de tal modo que sua abscissa varia à uma
taxa de 6 unidades por minuto. Qual é a taxa de variação de sua ordenada quando o objeto estiver no
ponto (0, −1)?
21. Uma lâmpada colocada em um poste está a 4 m de altura. Se uma criança de 1 m de altura se afasta
da lâmpada caminhando à uma razão de 5 m/s, com que rapidez a sua sombra se alonga?
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