ISCTE, Escola de Gestão
Aula 4 - Matemática (Gestão e Marketing)
Diana Aldea Mendes
22 de Outubro de 2008
Inversa de uma matriz quadrada de ordem n
• Matriz Adjunta: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Uma matriz quadrada Â(n×n) (ou adj (A)), que se obtém de A substituíndo
cada um dos seus elementos aij pelo respectivo complemento algébrico
e transpondo-a, chama-se matriz adjunta de A, isto é
⎡
⎢
⎢
An = ⎢
⎣
a11 a12
a21 a22
..
..
an1 an2
⎤
⎡
... a1n
A11 A12
⎢ A
... a2n ⎥
⎥
⎢ 21 A22
→
Â
=
⎥
⎢ .
n
..
.. ⎦
...
⎣ .
... ann
An1 An2
⎤T
A1n
A2n ⎥
⎥
.. ⎥
⎦
...
...
...
... Ann
com Aij = (−1)i+j Dij complemento algébrico do elemento aij
• Propriedade: Â · A = A · Â = |A| · I, onde I é a matriz identidade da
mesma ordem que A.
• Obtem-se a inversa, A−1, de uma matriz A quadrada de ordem n, multiplicando a sua adjunta pelo inverso do determinante que lhe está associado,
isto é
Â
−1
A =
,
|A|
com |A| 6= 0
• A matriz inversa, A−1, caso existe, tem a mesma ordem que a matriz dada
A.
• |A| 6= 0, é condição necessária para que uma matriz A ser invertível
(admitir inversa A−1).
• Mais, se |A| 6= 0, então a matriz A diz-se regular e tem característica
igual a ordem (r = n) . Caso contrário, a matriz A diz-se singular.
Propriedades da matriz inversa: Seja A uma matriz quadrada invertível.
Então:
• A · A−1 = A−1 · A = I, onde I é a matriz identidade da mesma ordem
que A
•
³
´−1
−1
A
=A
−1
−1
• (A1 · A2 · ... · An)−1 = A−1
·
...
·
A
·
A
n
2
1
•
³
´−1
T
A
³
´T
−1
= A
•
³
´−1
³
´k
k
−1
A
= A
, k∈
• |A| =
1
|A−1|
¯
¯
¯ −1¯
• ¯A ¯ = |A|−1
R+
• Exemplo: Calcule, caso existe, a inversa da matriz A :
⎡
1
⎤
0 −2
⎥
1 −1 ⎦
−1 1 0
⎢
A=⎣ 2
Primeira vez, verificamos se a matriz A é invertível, isto é, se |A| 6= 0.
¯
¯
¯
¯
¯ 1 0 −2 ¯
¯ 1 0 −2 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
|A| = ¯ 2 1 −1 ¯ = ¯ 2 1 −1 ¯ =
¯
¯
¯
¯
¯ −1 1 0 ¯
¯ −1 1 0 ¯
1 0 −2
2 1 −1
= (0 − 4 + 0) − (2 − 1 + 0) = −5 6= 0 → A é invertível
Calculamos a matriz adjunta:
⎡
⎤T
⎡
⎤T
A11 A12 A13
1
1
3
⎢
⎥
⎢
⎥
 = ⎣ A21 A22 A23 ⎦ = ⎣ −2 −2 −1 ⎦
A31 A32 A33
2 −3 1
⎡
⎤
1 −2
2
⎢
⎥
= ⎣ 1 −2 −3 ⎦
3 −1 1
com Aij complementos algébricos associados aos elementos aij
(9 complementos algébricos)
Temos então
¯
¯
¯ 1 −1 ¯
¯
¯
A11 = (−1)1+1 ¯
¯ = 1,
¯ 1
0¯
¯
¯
¯ 2 −1 ¯
¯
¯
A12 = (−1)1+2 ¯
¯ = 1,
¯ −1
0¯
A13 =
A22 =
A31 =
A33 =
¯
¯
¯
1+3
(−1)
¯
¯
¯
¯
¯
2+2
(−1)
¯
¯
¯
¯
¯
3+1
(−1)
¯
¯
¯
¯
3+3 ¯
(−1)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2 1¯
¯ 0 −2 ¯
2+1
¯ = 3, A21 = (−1)
¯
¯
¯ 1 0 ¯
−1 1 ¯
¯
¯
¯
¯ 1
1 −2 ¯
¯
2+3
¯ = −2, A23 = (−1)
¯
¯ −1
−1
0¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0 −2 ¯
¯ 1 −2 ¯
3+2
¯ = 2, A32 = (−1)
¯
¯
¯ 2 −1 ¯
1 −1 ¯
¯
1 0 ¯¯
¯=1
2 1¯
Finalmente, a matriz inversa é dada por
⎡
⎤
⎡
1 −2
2
⎢
Â
1
⎢
⎥
⎢
−1
A =
=
⎣ 1 −2 −3 ⎦ = ⎢
⎣
|A|
−5 3 −1
1
− 15
− 15
− 35
2
5
2
5
1
5
− 25
3
5
− 15
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
= −2,
¯
0 ¯¯
¯ = −1
1¯
= −3,
Discussão de sistemas de equações lineares, recorrendo os determinantes
• Considere um sistema de m equações lineares e n incógnitas,
A(m×n)X(n×1) = B(m×1)
onde a característica da matriz A é r.
• Se r = m = n, então o sistema é possível e determinado
• Se r = m < n, então o sistema é possível e indeterminado (com grau de
indeterminação (n − r))
• Se r < m
— Determinar uma submatriz quadrada ∆ de A da maior ordem possível
tal que o seu determinante, |∆| é diferente de zero.
— |∆| 6= 0 é o determinante principal do sistema e o seu ordem define a
caraterística r da matriz A
— Temos então r equações principais e r incógnitas principais no sistema
— Formar os (m − r) determinantes característicos, |∆s| , s = r +
1, ..., m, do sistema que se obtém do determinate principal |∆| , ampliandoo com os coeficientes das incógnitas principais da equação dada e com
os termos independentes correspondentes:
¯
¯
|
¯
¯
¯
|∆|
|
¯
|
|∆s| = ¯¯
¯ __ __ __
|
¯
¯
¯ as1 as2 ... asr
b1
b2
..
br
bs
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
— Teorema de Rouché: Um sistema de equações lineares é possível se
e só se não existem determinantes característicos ou, caso existem, são
todos nulos.
— Se o sistema é possível (todos os determinantes característicos são
nulos), então é determinado se r = n e é indeterminado se r < n.
Exemplo: Estude a natureza do seguinte sistema de equações lineares
⎧
⎪
⎨ −x + y + z = 0
2x + 3y − 12z = 0
⎪
⎩ 3x − 2y − 5z = −1
Forma matricial do sistema
⎡
⎤⎡
⎤
⎡
⎤
−1
1
1
x
0
⎢
⎥⎢
⎥
⎢
⎥
AX = B ⇐⇒ ⎣ 2
3 −12 ⎦ ⎣ y ⎦ = ⎣ 0 ⎦
3 −2 −5
z
−1
m = 3 equações e n = 3 incógnitas
Obtenção do determinante principal do sistema
¯
¯
¯ −1
1
1 ¯¯
¯
¯
¯
3 −12 ¯ = 0; não é o determinante principal do sistema
¯ 2
¯
¯
¯ 3 −2
−5 ¯
¯
¯ −1 1
¯
¯
¯ 2 3
¯
¯
¯
¯ = −5 6= 0, logo é o determinante principal |∆| do sistema
¯
e tem-se r = 2
Como a característica da matriz A é r = 2, estamos no caso r < m, logo
temos 2 equações principais (as primeiras duas) e 2 incógnitas principais (x e
y), também como m − r = 3 − 2 = 1 determinantes característicos.
Construímos o determinante característico:
¯
¯ −1 1
0
¯
¯
|∆1| = ¯ 2
3
0
¯
¯ 3 −2 −1
¯
¯
¯
¯
¯ = 5 6= 0
¯
¯
Como o determinante característico é diferente de zero, temos pelo Teorema
de Rouché, que o sistema é impossível.