ISCTE, Escola de Gestão
Aula 3 - Matemática (Gestão e Marketing)
Diana Aldea Mendes
15 de Outubro de 2008
Determinantes
• A toda a matriz quadrada A de ordem n, se faz associar um número real,
designado por determinante. Utilizamos a notação det (A) ou |A|
A = [aij ]i,j=1,...,n −→ det (A) = |A|
• O determinante de uma matriz que contém apenas um elemento é o próprio
elemento
A = [8] −→ |A| = |8| = 8
• O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 calcula-se pela seguinte
regra:
A=
"
a11 a12
a21 a22
#
¯
¯ a
a
¯
−→ |A| = ¯ 11 12
¯ a21 a22
¯
¯
¯
¯ = a11a22 − a12a21
¯
Mais precisamente, é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal
principal e o produto dos elementos da diagonal secundária
¯
¯ −1 4
¯
|A| = ¯
¯ 2 9
¯
¯
¯
¯ = (−1) · 9 − 2 · 4 = −17
¯
Determinante de matrizes quadradas de ordem 3: Regra de Sarrus
• Considere uma matriz quadrada de ordem 3
⎡
⎤
a11 a12 a13
⎢
⎥
A = ⎣ a21 a22 a23 ⎦
a31 a32 a33
Em primeiro lugar, vamos repetir as duas primeiras linhas de A por baixo da
matriz, em seguida, multiplicamos os elementos da diagonal principal da matriz
e os elementos das duas diagonais paralelas a principal, somando os resultados.
A seguir, multiplicamos os elementos da diagonal secundária da matriz e os
elementos das duas diagonais paralelas a secundária, subtraindo os resultados,
isto é
⎡
⎤
a11 a12 a13
⎢
⎥
A = ⎣ a21 a22 a23 ⎦
a31 a32 a33
a11 a12 a13
a21 a22 a23
|A| = (a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23) −
(a13a22a31 + a23a32a11 + a33a12a21)
* * *
* * *
* * *
Æ
* * *
* * *
* * *
* * *
* * *
=(\+\+\)-(/+/+/)
Exemplo
⎡
⎤
1 3 4
⎢
⎥
A = ⎣2 1 5⎦
1 0 2
1 3 4
2 1 5
|A| = (1 · 1 · 2 + 2 · 0 · 4 + 1 · 3 · 5) − (4 · 1 · 1 + 5 · 0 · 1 + 2 · 3 · 2)
= (2 + 0 + 15) − (4 + 0 + 12) = 17 − 16 = 1
Menor complementar
h
• Considere uma matriz A = aij
i
i,j=1,...,n
, quadrada de ordem n: O
menor complementar Dij , relativo ao elemento aij , e o determinante da
submatriz quadrada, de ordem (n − 1), que se obtém de A retirando-se a
linha i e a coluna j.
Exemplo:
⎡
⎤
¯
¯
1 0 −2
¯ 2 −1 ¯
⎢
⎥
¯
¯
A = ⎣ 2 1 −1 ⎦ , D12 = ¯
¯ = 2 · 0 − (−1) · (−1) = −1
¯ −1 0 ¯
−1 1 0
¯
¯ 1 0
¯
D33 = ¯
¯ 2 1
¯
¯
¯
¯ = 1 · 1 − (0) · (2) = 1
¯
Complemento algébrico
h
• Dada a matriz quadrada de ordem n, A = aij
i
i,j=1,...,n
, o complemento
algébrico de aij é o número Aij que se obtém multiplicando-se (−1)i+j
pelo menor complementar de aij , isto é
Aij = (−1)i+j · Dij
Exemplo
⎡
⎤
¯
¯
1 0 −2
¯ 2 −1 ¯
⎢
⎥
¯
¯
A = ⎣ 2 1 −1 ⎦ , D12 = ¯
¯ = 2 · 0 − (−1) · (−1) = −1
¯ −1 0 ¯
−1 1 0
A12 = (−1)1+2 D12 = (−1)3 · (−1) = 1
A33 = (−1)3+3 D33 = (−1)6 · (1) = 1
Determinante de uma matriz quadrada de ordem n
• Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz quadrada de ordem
n é igual à soma algébrica dos produtos dos elementos de uma fila pelos
respectivos complementos algébricos.
|A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ... + ainAin
desenvolvimento pela linha i
• Exemplo
⎡
1
⎢ 2
⎢
A = ⎢
⎣ −1
0
(tem 2
⎤
−1 3 4
0 1 0 ⎥
⎥
⎥ escolhemos o desenvolvimento pela linha 2
2 3 −1 ⎦
1 2 −1
zeros)
¯
¯
¯
¯
¯ −1 3 4 ¯
¯ 1 3 4 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2+1 ¯
2+2 ¯
|A| = 2 (−1)
¯ 2 3 −1 ¯ + 0 (−1)
¯ −1 3 −1 ¯ +
¯
¯
¯
¯
¯ 1 2 −1 ¯
¯ 0 2 −1 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ 1 −1 4 ¯
¯ 1 −1 3 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 (−1)2+3 ¯ −1 2 −1 ¯ + 0 (−1)2+4 ¯ −1 2 3 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ 0
¯
¯
1 −1
0
1 2¯
|A| = −2 · 8 + 0 + (−1) · (−4) + 0 = −12
Propriedades dos determinantes
1. Se uma matriz quadrada A tem uma fila nula, então |A| = 0
2. Se multiplicamos uma fila de um determinante por um número, o determinante vem multiplicado por esse número, isto é |αA| = αn |A| , onde
n representa a ordem da matriz A.
¯
¯
¯
¯
2 1
¯ 2 1 ¯
A =
→ |A| = ¯
¯=2·4−1·3=5
¯ 3 4 ¯
3 4
"
#
"
#
2 1 L1·10
20 10
"
A =
¯
¯
¯ T¯
3. |A| = ¯A ¯
#
3 4
→ B=
3
4
→ |B| = 10 · |A| = 50
4. Um determinante muda de sinal quando se trocam entre si duas filas paralelas.
¯
¯ 1 3
¯
|A| = ¯
¯ 5 −2
¯
¯
¯
¯ C ↔C
¯ 3 1 ¯
¯ 1
¯
¯
2
¯ −→ − ¯
¯
¯
¯ −2 5 ¯
5. Se na matriz A existem duas filas paralelas iquais ou proporcionais, então
|A| = 0
⎡
1 3 4
⎤
⎢
⎥
A = ⎣2 6 5⎦
→ |A| = 0
1 3 2
porque C2 = 2C1 (colunas proporcionais)
6. Se cada elemento de uma fila de um determinante é soma de duas parcelas, o determinante é igual à soma dos determinantes que dele se obtêm
substituindo os elementos daquela fila, sucessivamente, pelas primeiras e
pelas segundas parcelas e deixando as restantes filas inalteradas.
¯
¯ a b+p
¯
¯
¯ c d+q
¯
¯
¯
¯ a b
¯
¯
¯=¯
¯
¯ c d
¯ ¯
¯ ¯ a p
¯ ¯
¯+¯
¯ ¯ c q
¯
¯
¯
¯
¯
7. Não se altera o valor dum determinante quando juntamos a uma fila uma
combinação linear de outras filas paralelas
8. É nulo o determinante de uma matriz quadrada cuja característica é inferior
à ordem.
9. Uma matriz quadrada é regular (característica é igual a ordem) se e só se
o seu determinante é diferente de zero.
10. O determinante de uma matriz triangular superior de elementos significativos é igual ao seu termo principal (produto dos elementos da diagonal
principal)
11. Sejam A1, A2, ..., An matrizes quadradas de ordem n
|A1 · A2 · ... · An| = |A1| · |A2| · ... · |An|
12. Se A é uma matriz quadrada regular, então
1
¯
|A| = ¯¯
¯
¯A−1¯
onde A−1 representa a matriz inversa de A.
¯
¯
¯ −1¯
13. ¯A ¯ = |A|−1