Teorema de Laplace
➢ Seja A uma matriz quadrada.
» Menor complementar do elemento aij - Mij - é o determinante que se
obtém suprimindo a linha i e a coluna j ao determinante da matriz A.
» Complemento algébrico do elemento aij :
Aij = (-1) i + j Mij
➢ Teorema de Laplace: Um determinante é igual à soma algébrica dos produtos
dos elementos de uma fila pelos respectivos complementos algébricos.
M atem ática para as Ciências Sociais
1
Teorema de Laplace
➢ Num determinante, a soma dos produtos dos elementos de uma fila pelos
complementos algébricos dos elementos homólogos de outra fila paralela é
nulo.
➢ O determinante de uma matriz triangular reduz-se ao seu termo principal.
M atem ática para as Ciências Sociais
2
Inversão de Matrizes
➢ Seja A uma matriz regular.
» Matriz inversa - é a matriz que, multiplicada pela matriz A, reproduz a
matriz identidade.
AA-1 = A-1A = I
» Cálculo da matriz inversa:
– Através da matriz identidade
● Prolongando a matriz A com a matriz identidade da mesma
ordem, obtém-se uma nova matriz com dois segmentos
[A | I ]
● Utilizando as operações elementares, vamos transformar a matriz
[A | I ] de forma a obter uma matriz em que no 1º segmento
figura a matriz identidade. A matriz que surge no 2º segmento é
a matriz inversa A-1.
M atem ática para as Ciências Sociais
3
Inversão de Matrizes
– Através dos determinantes
● Calcular o determinante da matriz A
» Se |A|≠0, a matriz é regular e pode-se calcular a sua inversa.
» Se |A|=0, a matriz é singular e não existe inversa.
●
Calcular os complementos algébricos (Aij) de cada um um dos
elementos da matriz A.
●
Construir a matriz dos complementos algébricos (MCA).
●
Transpor essa matriz e obter a matriz adjunta ( Â ).
●
Aplicar a fórmula
M atem ática para as Ciências Sociais
A−1 =
1 ˆ
A
A
4