Inversão de matrizes
Definição Seja A uma matriz de ordem
n (An × n ). Chama-se inversa da matriz A à [se

A B = In

existir] única matriz Bn × n tal que

. Representa-se por A−1 (A−1 = B).
e
B A = In
−1
Observação: Nem todas as½matrizes têm inversa, pois para os produtos A A½
e A−1 A
linhas
colunas
serem definidos, o número de
de A−1 tem que ser igual ao número de
colunas
linhas
de A, ou seja, a matriz A tem que ser quadrada (A−1 , se existir, também é quadrada com
a mesma ordem de A).
Definição Se uma matriz tiver inversa, diz-se regular (ou invertı́vel). Caso contrário,
diz-se singular.
Proposição A inversa de uma matriz regular é única.
Demonstração
Suponhamos que a matriz regular A, quadrada de ordem n, tem duas inversas, B e C, com
B 6= C.
Então tem-se A B = B A = In e A C = C A = In .
Mas B = B In = B(AC) = (BA)C = In C = C, o que é uma contradição (pois suposemos
B 6= C).
Portanto, a inversa de A é única.
¤
Apesar de só as matrizes quadradas poderem ser regulares, no entanto, nem todas as matrizes quadradas têm inversa. Existe outra condição (que é uma condição necessária e
suficiente) para que uma matriz seja regular:
Proposição Uma matriz A de ordem n é regular se e só se é uma matriz quadrada com
caracterı́stica igual à ordem.
Simbolicamente:
An × n é regular ⇔ c(A) = n
27
Cálculo da inversa (algoritmo de Gauss-Jordan):
Dada uma matriz regular An × n , se se transformar [A | In ] em [In | B] por operações elementares sobre linhas, ter-se-á A−1 = B.
Simbolicamente:
An × n
[A | In ]
−−−−−−−−−−→
condensação
[In | B]
↑
A−1
=B
Nota importante: Ao condensar, não deve ser utilizada a operação troca de colunas,
para que no final se obtenha exactamente a matriz inversa, pois uma troca de colunas
implica uma troca entre as linhas da matriz que se obtém no lado direito.
Propriedades da inversão de matrizes:
Sejam A e B matrizes regulares de ordem n.
1. (A−1 )−1 = A
2. (AB)−1 = B −1 A−1
Demonstração
(A B)(B −1 A−1 ) = A(B B −1 )A−1 = A In A−1 = A A−1 = In
(B −1 A−1 )(A B) = B −1 (A−1 A)B = B −1 In B = B −1 B = In
¤
3. (Ak )−1 = (A−1 )k , k ∈ N → exemplo: (A5 )−1 = (A−1 )5
Demonstração
Ak (A−1 )k = (A A−1 )k = Ink = In
(A−1 )k Ak = (A−1 A)k = Ink = In
¤
4. Se A é uma matriz regular, a sua transposta também é regular, e tem-se (AT )−1 = (A−1 )T
Demonstração
AT (A−1 )T = (A−1 A)T = InT = In
(A−1 )T AT = (A A−1 )T = InT = In
¤
28
Nota: A propriedade 2 generaliza-se a produtos de três ou mais matrizes. Por exemplo:
(ABC)−1 = C −1 B −1 A−1
(ABCD)−1 = D−1 C −1 B −1 A−1
Método da explicitação:
Se An × n é regular, o sistema A X = b é possı́vel determinado (pelo Teorema de Rouché,
pois c(A) = n)
↑
nº de colunas de A, que é igual ao nº de incógnitas
e tem-se
−1
−1
−1
A X = b ⇔ A−1 (A X) = A−1 b ⇔ (A
| {z A}) X = A b ⇔ X = A b
In
↑
× A−1 (do lado esquerdo)
Este método de resolução de um sistema possı́vel determinado designa-se por método da
explicitação.
Nota: Este método tem vantagem quando se conhece a inversa A−1 da matriz A dos
coeficientes do sistema.

y −2 z = 0

− x +2 y + z = 1
Exemplo: Resolver o sistema

x −y −z = 1
forma matricial



    
y −2 z = 0
0
1 −2
x
0





− x +2 y + z = 1 ⇔
−1
2
1 × y = 1 

x −y −z = 1
1 −1 −1
z
1
{z
} | {z } | {z }
|
A
29
X
b

A matriz A dos coeficientes do sistema é invertı́vel, e tem-se A−1
que


− 12 32 52
=  0 1 1 , pelo
− 12 12 12

 
 1 3 5  
 
x
0
−2 2 2
0
4
X =  y  = A−1 b = A−1  1  =  0 1 1   1  =  2 
z
1
− 21 12 12
1
1

4
ou seja, X =  2 .
1

30