Numeração
Princípios
 Determinação de símbolos para representar
números:



sem preocupar-se das eventuais grandezas
associadas,
com regras (algoritmos) de cálculo,
capaz de representar qualquer numero.
Cardinal
 Associação de um
símbolo à unidade e
reprodução do símbolo
o número de vezes
necessário.
 Complicado para a
representação de
números grandes.
Ordinal
 Associação de cada
número a um símbolo.
 Complicado porque
precisa de uma
quantidade ilimitada de
símbolos.
Base
 Agrupamento das unidades em coleções.
Para economizar a quantidade de símbolos e
simplificar a escrita de número grande,
usamos agrupamentos.
 A base 10 (sistema decimal) é hoje a mais
divulgada, mas existem e são usadas várias
outras bases: 2 (binário), 5, 12, 20, 60.
Base 5
 Indianos

Ainda hoje, em certas
regiões da India, os dedos da
mão são usados da forma
seguinte: uma mão para as
unidades, uma mão para as
coleção de cinco unidades.
 Romanos

I, V, X, L, C, D, M
 Outro exemplo
Base 12
 Uma das explicações
da base 12 é ligada a
um princípio de
contagem usando as
falanges para
representar as
unidades e o polegar
para enumerar.
Uma das avantagens da base 12
é que 12 tem muitos divisores.
Ele tem mais divisores que
qualquer número minor que ele.
Base 20
 A base 20 foi usada como base de numeração
pelos Astecas e Maias. Ainda hoje, os povos
celticos na formação literal dos numeros
usam a base 20.
 Uma explicação da aparição da base 20 é de
origem antropomórfica: temos 20 dedos (pés
e mãos).
Base 60
 A base 60 era usada
pelos Sumérios e
Babilônios. Existe hoje
vestígios dessa
numeração:


o tempo (60
segundos=1 minuto, 60
minutos=1 hora),
Ângulos (graus)
Base 10
 A numeração decimal é também de origem
antropomórfica: temos dez dedos.
 Usamos os algarismos árabes.
 De um outro lado, a base 10 é muito pouco
eficiente para a representação dos números
(não é um número primo, tem poucos
divisores).
Numeração de posição
 A numeração de posição constitua uma
revolução, no mesmo tempo por sua
economia de símbolos e sua potência:


dez símbolos (em base 10),
representação de qualquer numero inteiro.
Primeira notação de posição
 O sumérios usavam
uma notação de
posição dos números: a
posição dos símbolos
são associados com as
potencias da base.
Notação de posição
 O principio da notação de posição (base b), os an
são sempre inferiores a b:

caso inteiro
N  anbn  an1bn1  ...  a1b1  a0b0
N é an an1...a0
 caso geral (com fração)
N  anb  an1b
n
Né
n1
1
 ...  a0b  a1b  ...  amb
an an1...a0 , a1...am
0
m
Princípios da evolução
 A evolução da numeração é baseada sobre:



Princípios de economia (símbolos, memoria,
etc).
Disponibilidade de sistema de representação
(pedras, mão, cordas, escrita, etc).
Determinação de algoritmos de cálculo.
Limitações
 Certos números não são representáveis.



Irracionais, transcendente, etc
números representáveis com uma base não são
representáveis com uma outra.
Infinito
 Ambigüidades:

0,999... = 1 ?
Representação com computador
 Binário

O computador conserva e manipula a informação
a partir de tensão de sinais (alta e baixa).
Internamente, os números são representados em
base 2 (a partir de 0 e 1).

Exemplo:
 como escreve-se 53 (notação em base 10) em base 2
 Como escreve-se 12,5 em base 2
Representação com computador
 Outras base de representação dos números
são também usados


Octal: os bits são agrupados por grupo de 3 (base
8)
Hexadecimal: bits agrupados por grupo de 4
(base 16).
Algoritmo de conversão
 O número a converter é dividido por 2, em seguida
o quociente é dividido por 2 e assim
sucessivamente ate obter um quociente de 1.
Algoritmo de conversão
 Para a parte fracionaria, ela é sucessivamente
multiplicado por 2 ate obter uma parte fracionaria
do resultado igual a 0.
Aplicações
 Conversão de 26,75 ; 12,09375 ; 1,1 em base
2
 Verificar que um número fracionario tem
uma representação finita em base 2 se ele é
da forma p/q, com q potencia inteira de 2.
 Escrever algoritmos de conversão de
números decimais em números em base 2, 8
ou 16.
Representação com computador


O computador trabalho por grupo de bits
(palavra) . Em geral, essas palavras são de 16 ou
32 bits, e hoje existem computador manipulando
palavra de 64 bits.
Em geral, ele usa uma palavra para representar
os números inteiros (INT, LONG, SHORT). O
bit de maior peso é usado como sinal do número
(0 positivo e 1 negativo).
Inteiros
 O tamanho dos inteiros são:


2 bytes para um short: como um bit reservado
para o sinal, são representaveis números de –215
(-32768) a 215-1 (32767). –1 é representado
1s111111111111111 e não 1s000000000000001.
4 bytes para um long: são representaveis
numeros de –231 (-2147483648) a 231-1
(2147483647)
Floating point number
 Floating point number (Norma IEEE):

No caso dos reais, diversas partes das palavras
são usadas com sentidos diferentes. Um número
é em geral representado da forma seguinte:
Um bit é reservado para o
sinal, um grupo de bit
(característica) representa
o exponente e um grupo
representa os algarismos
significativos (mantissa).
Floating Point Number
 Para poder representar com a característica,
exponente positivo e negativo, um “bias” é
usado: exponente=característica -”bias”.
 Para precisão simples, a repartição é a
seguinte:
Tabela de repartição dos bits em função da precisão
Floating Point Number
 Precisão simples:


a característica tem um valor de 1 a 254 (0 e 255 são
reservados).
a mantissa tem os digitos significativos, considerando um
bit “escondido”: o número representado, escecendo a parte
do exponente e do sinal, é da forma 1.M.
Número especiais
 No standard IEEE, além dos números finitos,
são definidos números específicos:



- e , para os infinitos.
NaN (not-a-number), para representar resultados
de operações como 0/0,  - , 0x,
-0, definido com o inverso de -.
Binary Decimal Codification
 Outro tipo de codificação usada pelas calculadoras:
BCD (Binary Decimal Codification).
 O formato BCD, mais caro em termo de memória, é
mais perto da notação decimal (0,1 tem uma
representação finita em BCD). Os algarismos em
notação decimal são representados por grupo de 4
bits (0 a 9 são representados com bits que podem
representar número ate 15).
Binary Decimal Codification
 Nesse sistema, un número é assim
representado:
S
E-16384
N=(-1) .10
.D1,D2D3D4...
Conclusão
 A representação dos números depende do suporte
material para representar e calcular (binário com o
computador).
 O mesmo número pode ter uma representação finita
ou infinita dependendo da base:
1
em base 10 ou base 12, 0,110 em base 10 ou base 2
3 10
 O computador usa representação finita, ele não
pode representar de forma exata os números reais.