CAPÍTULO 7 – INÉRCIA DE SUPERFÍCIES
PRODUTOS DE INÉRCIA DE SUPERFÍCIES
O integral do produto de cada elemento dA de uma área A por suas
coordenadas x e y é conhecida como o produto de inércia da área A
em relação aos eixos x e y (Pxy ou Ixy).
Pxy = ∫ x ⋅ y ⋅ dA
y
dA
x
y
x
O
O Produto de Inércia Pxy pode ser positivo ou negativo e, quando um
ou ambos os eixos x e y são eixos de simetria da área A, o produto de
inércia Pxy é igual a zero.
y
A
Pxy é positivo
O
x
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y
A
Pxy é negativo
x
O
y
A
C
O
Pxy é igual a zero
x
EXTENSÃO DO TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
O Teorema dos Eixos Paralelos também é aplicado ao produto de
inércia.
y
dx
Y’
x0
dA
y0
C
X’
dy
x
O
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Por definição o produto de inércia é dado por:
Pxy = ∫ (x0 + d x ) ⋅ ( y0 + d y )dA
= ∫ x0 ⋅ y0 dA + d y ∫ x0 dA + d x ∫ y0 dA + d x ⋅ d y ∫ dA
O primeiro integral corresponde ao produto de inércia relativamente
ao centróide (PX’Y’). O segundo e terceiro integral correspondem aos
momentos estáticos relativamente ao centróide, logo são nulos. O
último termo é simplesmente dx⋅dy⋅A, sendo A a área da figura.
Assim, a aplicação do Teorema dos Eixos Paralelos relativamente ao
produto de inércia é:
Pxy = PX 'Y ' + d x ⋅ d y ⋅ A
ROTAÇÃO DOS EIXOS
Considere um eixo xy, uma superfície A e um elemento dA de coordenadas x e y. Os Momentos de Inércia e o Produto de Inércia são,
respectivamente:
I x = ∫ y 2 ⋅ dA
I y = ∫ x 2 ⋅ dA
Pxy = ∫ x ⋅ y ⋅ dA
Pretende-se determinar os Momentos de Inércia e o Produto de Inércia
( ; ; ) através da rotação de um ângulo α, dos eixos originais, em torno da origem.
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I x1 = ∫ y12 dA = ∫ ( y ⋅ cos α − x ⋅ sin α ) dA
2
(
)
= ∫ y 2 ⋅ cos 2 α − 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ cos α ⋅ sin α + x 2 ⋅ sin 2 α dA
I x1 = I x ⋅ cos 2 α + I y ⋅ sin 2 α − 2 ⋅ Pxy ⋅ cos α ⋅ sin α
e analogamente, obtém-se:
I y1 = ∫ x12 dA = ∫ ( x ⋅ cos α + y ⋅ sin α ) dA
2
(
)
= ∫ x 2 ⋅ cos 2 α + 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ cos α ⋅ sin α + y 2 ⋅ sin 2 α dA
I y1 = I x ⋅ sin 2 α + I y ⋅ cos 2 α + 2 ⋅ Pxy ⋅ cos α ⋅ sin α
(
I x1 y1 = I x ⋅ cos α ⋅ sin α − I y ⋅ cos α ⋅ sin α + Pxy ⋅ cos 2 α − sin 2 α
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)
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Considerando as identidades trigonométricas:
sin (2α ) = 2 ⋅ sin α ⋅ cos α
cos 2 α =
cos(2α ) = cos 2 α − sin 2 α
1 + cos(2α )
2
sin 2 α =
1 − cos(2α )
2
Pode-se escrever as equações da seguinte forma:
Ix + Iy Ix − Iy
I x1 =
+
⋅ cos(2α ) − Pxy ⋅ sin (2α )
2
2
I y1 =
Ix + I y
2
I x1 y1 =
−
Ix − Iy
Ix − I y
2
2
⋅ cos(2α ) + Pxy ⋅ sin (2α )
⋅ sin (2α ) + Pxy ⋅ cos(2α )
Se somarmos obtemos , ou seja,
quando o giro é sobre a origem, a soma dos Momentos de Inércia em
relação a estes eixos é constante e igual ao Momento Polar de Inércia.
EIXOS PRINCIPAIS
Eixos Principais de uma área em relação a um ponto O, são aqueles
para os quais se tem um Momento de Inércia máximo em relação a um
dos eixos, e mínimo em relação ao outro eixo.
Para definir os Eixos Principais é necessário derivar ou relativamente ao ângulo α e igualar a zero.
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 I + Iy Ix − Iy

d  x
+
⋅ cos(2α ) − Pxy ⋅ sin (2α )
2
2
dI x1
 =0⇔
=0⇔ 
dα
dα
I − Iy
⇔− x
⋅ 2 ⋅ sin (2α ) − Pxy ⋅ 2 ⋅ cos(2α ) = 0 ⇔
2
2 ⋅ Pxy
sin (2α )
⇔ (I x − I y ) ⋅ sin (2α ) = − Pxy ⋅ 2 ⋅ cos(2α ) ⇔
=−
⇔
cos(2α )
Ix − Iy
⇔ tan (2α ) = −
2 ⋅ Pxy
Ix − Iy
tan (2α P ) = −
2 ⋅ Pxy
Ix − Iy
αP é o valor de α que define os Eixos Principais.
Fazendo 0 obtemos:
Ix − Iy
I x1 y1 = 0 ⇔
⋅ sin (2α ) + Pxy ⋅ cos(2α ) = 0 ⇔
2
2 ⋅ Pxy
2 ⋅ Pxy
sin (2α )
⇔
=−
⇔ tan (2α ) = −
cos(2α )
Ix − I y
Ix − I y
ou seja, o Produto de Inércia é nulo em relação aos Eixos Principais.
Resumindo:
1. os Eixos Principais são ortogonais;
2. 0 (um eixo de simetria é sempre um dos Eixos Principais);
3. e , um deles é Momento de Inércia máximo e o outro é
Momento de Inércia mínimo.
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MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA
Os Momentos Principais de Inércia correspondem ao Momento de
Inércia máximo e ao Momento de Inércia mínimo.
Após a determinação do ângulo αP, basta substituir em e para
se obter á e í (qualquer um deles pode ser o máximo ou o
mínimo).
I x1 =
I y1 =
Ix + Iy
2
Ix + I y
2
+
−
Ix − Iy
⋅ cos(2α P ) − Pxy ⋅ sin (2α P )
2
Ix − Iy
2
⋅ cos(2α P ) + Pxy ⋅ sin (2α P )
Ou através da seguinte expressão:
I1, 2 =
Ix + Iy
2
 Ix − Iy 
 + Pxy2
± 
 2 
2
Onde I1 é o Momento de Inércia máximo e o I2 o Momento de Inércia
mínimo.
Se o Eixo Principal tiver origem no centróide da superfície, qualquer
eixo que passe por esse ponto é um eixo baricêntrico. Aos dois Eixos
Principais da superfície que passam pelo seu centróide são denominados Eixos Principais Centrais de Inércia da Superfície.
BIBLIOGRAFIA
[1] Beer, Ferdinand P.; Johnston Jr., E. Russell; "Mecânica Vectorial para Engenheiros - Estática"; Sexta
Edição; McGraw Hill.
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