PROPRIEDADES DO ELIPSÓIDE
Elipse geradora
• Na Geodesia é o elipsóide de revolução (2ª aproximação) que
serve como referência no posicionamento geodésico;
• Em muitos dos cálculos da Geodesia Geométrica é usada a
geometria do Elipsóide de Revolução;
• O Elipsóide é formado pela rotação de uma elipse em torno do seu
semi-eixo menor;
Z
P1
P
b
F2
0
F1
a
X
P2
Introduç
Introdução à Geodesia – Aula 9
FCULFCUL-EG
PROPRIEDADES DO ELIPSÓIDE
Elipse geradora
• Parâmetros fundamentais da elipse:
– Achatamento polar (I)
- / + . ,
+
Z
P1
– 1ª excentricidade (H)
!
!
a
b
0
F2
F1
X
– 2ª excentricidade (H¶)
$%
' &* " *
Introduç
Introdução à Geodesia – Aula 9
#( ) "(
"
FCULFCUL-EG
1
PROPRIEDADES DO ELIPSÓIDE
Elipse geradora
• Outros parâmetros da elipse:
– Excentricidade angular (α)
S O U R O T PQ O
Z
P1
3
46567 : 9 9 1 8 0
2
=>
?A@ B D C
C ;
<
b α
a
0
F2
HJI
KL N M G M F E
X
F1
– Excentricidade linear (E)
(
DH
2)
Introduç
Introdução à Geodesia – Aula 9
FCULFCUL-EG
PROPRIEDADES DO ELIPSÓIDE
Elipsóide GRS80
• O Elipsóide actualmente recomendado pela IAG é o Geodetic
Reference System 1980 (Moritz, 1980) :
6HPLHL[RPDLRU
a = 6378137 m
6HPLHL[RPHQRU
b = 6356752.3141 m
([FHQWULFLGDGHOLQHDU
E = 521854.0097 m
 H[FHQWULFLGDGH
e2 = 0.00669438002290
 H[FHQWULFLGDGH
e’2 = 0.00673949677548
$FKDWDPHQWR
I
,QYHUVRGRDFKDWDP
1/I= 298.257222101
Introduç
Introdução à Geodesia – Aula 9
= 0.00335281068118
FCULFCUL-EG
2
PROPRIEDADES DO ELIPSÓIDE
Coordenadas Geodésicas
• ϕ - /DWLWXGH *HRGpVLFD de um ponto Q situado à superfície do
elipsóide é definida pelo ângulo entre a normal ao elipsóide no
ponto Q e o plano do equador;
• λ - /RQJLWXGH *HRGpVLFD de um ponto à superfície do elipsóide
é definida pelo rectilíneo do diedro formado pelos planos do
meridianos geodésicos do ponto e o de referência,
convencionada positiva para Este;
• h – Altitude geodésica é a distância
(QQ’) medida ao longo da normal,
entre a superfície do elipsóide e a
superfície topográfica;
Introduç
Introdução à Geodesia – Aula 9
FCULFCUL-EG
PROPRIEDADES DO ELIPSÓIDE
Outras Latitudes
• β - /DWLWXGH5HGX]LGD (ou
paramétrica) de um ponto P
situado à superfície do elipsóide
é definida pelo ângulo ao centro
de uma esfera tangente ao
elipsóide no equador (circunscrita),
de raio r = a;
• ψ - /DWLWXGH*HRFrQWULFD de um
ponto à superfície do elipsóide P
é o ângulo ao centro do elipsóide,
medido entre o plano do equador
e a direcção radial do ponto;
Introduç
Introdução à Geodesia – Aula 9
FCULFCUL-EG
3
PROPRIEDADES DO ELIPSÓIDE
Raios de curvatura
• O raio de curvatura de uma secção normal ao elipsóide
dependerá do azimute dessa secção normal;
• Em cada ponto existem duas secções normais mutuamente
perpendiculares entre si, cujas curvaturas tomam o valor
máximo e mínimo;
• As secções normais que verificam o valor máximo e mínimo de
curvatura dizem-se secções normais principais;
• Sobre o elipsóide de revolução as secções normais principais
são:
–
$ VHFomR GR PHULGLDQR (ρ ou M), gerada pelo plano normal de
um ponto que passa pelos dois pólos;
–
$ VHFomR GR SULPHLUR YHUWLFDO (N), gerada pelo plano normal de
um ponto, perpendicular ao plano do meridiano também
designada por grande normal.
Introduç
Introdução à Geodesia – Aula 9
FCULFCUL-EG
PROPRIEDADES DO ELIPSÓIDE
Raio de curvatura do Meridiano
• Para uma qualquer curva sobre o plano, z = F(x), o raio de
curvatura num dado ponto da curva é dado por:
b X _ V _ ]W V
`a \ c `a XZY [ ^ ] ^ ]
e d
XV
XZY [V
b`
• Da aplicação desta fórmula ao arco de meridiano chega-se à
expressão do raio de curvatura do meridiano:
0
Introduç
Introdução à Geodesia – Aula 9
D H
H
g
VLQ
g
g
I
f g
D H
:
f
g
F
9
f
FCULFCUL-EG
4
PROPRIEDADES DO ELIPSÓIDE
Raio de curvatura do 1º Vertical
• Da Figura extrai-se a relação entre o raio de curvatura do 1º
Vertical e o raio do paralelo:
1 VLQ  I 3
1 FRV I
• Substituindo na expressão do
raio do paralelo, igual a x, vem
1
D
H
h
VLQ
h
I
D
F
:
9
Introduç
Introdução à Geodesia – Aula 9
FCULFCUL-EG
PROPRIEDADES DO ELIPSÓIDE
Raio de curvatura de secção α
• A )yUPXOD GH (XOHU dá-nos a curvatura de uma qualquer
secção normal em função das curvaturas das secções
 ~ { y  {6| } y 
principais:


 z

 y
onde ρ é o raio de curvatura arbitrário, ρ1 e ρ2, os raios de
curvatura principais, respectivamente, máximo e mínimo, e θ é
o ângulo medido a partir da secção principal de maior raio de
curvatura;
s
lpo q t u
jAkml t u
x n w i
• Como N é normalmente maior que M, α=90º-θ, e r v
• Resultado o raio de curvatura da secção normal de azimute α

5
Introduç
Introdução à Geodesia – Aula 9
1 FRV

01
D 0 VLQ

D
FCULFCUL-EG
5
PROPRIEDADES DO ELIPSÓIDE
Outros raios de curvatura
• 5DLR PpGLR *DXVVLDQR é definido pelo valor médio
integral de R ao longo da variação de azimute de 0º
 

a 360º:    
    m         AA       
 

³
³
¨ ª

¥§¦ ª ¤ £  © ¢ 
£ © ¢ m ¡ 
• Raio da esfera com a média dos 3 raios do elipsóide:
¹ ² º ³ ¹ ®¯° ´¸ ² · ´¶± µ ½  «
¼ ³ ¹ ² ´»
®
¬«
Introduç
Introdução à Geodesia – Aula 9
FCULFCUL-EG
PROPRIEDADES DO ELIPSÓIDE
Outros raios de curvatura
• Raio da esfera com a mesma área do elipsóide:
¾
S5¿
6
Â
Ë
Ú Ì Ç Ù ÃÄÅÃ × Æ Í Ô Æ ÎÐ×ØÔÕ Ï Í Ê Æ ÎÐÔÖÏAÑÓÕ Ò Í É Æ È ÀÀ
Á
• Raio da esfera com o mesmo volume do elipsóide:
ß á ã Þ âÜ àÛ
ê æ ì é ë ç åä
Ý
è
ò
5
Introduç
Introdução à Geodesia – Aula 9
ðñï
D E
D H
ï î í
FCULFCUL-EG
6
PROPRIEDADES DO ELIPSÓIDE
Outros raios de curvatura
• Para os parâmetros do sistema geodésico GRS80,
obtêm-se os seguintes valores dos diferentes raios:
ó
5
ô
P
5
P
õ
P
5
• Dada a pequena diferença entres os diferentes
valores, usa-se simplesmente o valor:
5
NP
Introduç
Introdução à Geodesia – Aula 9
FCULFCUL-EG
PROPRIEDADES DO ELIPSÓIDE
Coordenadas Rectangulares espaciais
• Ao elipsóide está associado um sistema de eixos tri-ortogonais,
em relação ao qual se estabelece o terno de coordenadas
(X,Y,Z);
• Dada uma posição acima do elipsóide, definida em
coordenadas geodésicas (φ,λ,h), é possível definir a relação
entre os dois tipos de coordenadas;
! "
"
ù ü
øö ü
ö÷ Introduç
Introdução à Geodesia – Aula 9
ü
ú
ÿ ý ÿ þ
ÿ ý ÿ þ
û ú ÿ ý
ú
FCULFCUL-EG
7