Medidas de Posição
Gilson Barbosa Dourado
[email protected]
18 de maio de 2010
Introdução
As medidas de posição permitem a compração entre duas ou mais
séries de dados. Duas ou mais distribuições podem ser
diferenciadas pela comparação dos valores da varável em torno do
qual se concentram as frequências.
Se estes valor tende a se localizar no centro das distribuição, damos
o nome de medidas de tendência central. As medidas de posição
são:
1. Médias (aritmética, geométrica,harmônica e quadratica);
2. Separatrizes (mediana, quatris, decis e centis);
3. Moda.
Média
São medidas de tendência central mais comumente utilizadas para
desrever resumidamente uma distribuição de frequência.
Média Aritmética Simples
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Para dados não tabelados
Sejam x1 , x2 , . . . , xn , n valores que a váriável aleatória X pode
assumiir. A média aritmética simples de X é definida como
n
X =
1∑
xi
n
i=1
▶
Para dados tabelados
Sejam x1 , x2 , . . . , xk , k valores da variável X assume e f1 , . . . , fk as
respectivas frequências absolutas. A média aritmética X é definida
como
k
∑
X =
xi fi
i=1
k
∑
fi
i=1
e
∑k
i=1 fi
= n, onde n é igual ao número total de observações.
Média Aritmética Ponderada
Está média é utilizada quando atribuimos um peso (ou ponderação)
aos valores possíveis da variável. A média ponderada dos números
x1 , x2 , . . . , xn , com pesos p1 , p2 , . . . , pn representado por X p é
definido como
X =
x1 × p1 + x2 × p2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xn × pn
p1 + p2 + ⋅ ⋅ ⋅ pn
Vatagens da Média Aritmética
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É definida rigorosamente e pode ser interpretada sem
ambiguidades;
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Leva em consideração todas a observações efetuadas; e
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Calcula-se com facilidade.
A desvantagem da média aritmética relaciona-se com a existência
de valores extremos (muito grande ou muito pequenos), que podem
distorcer o resultado final
Obs: Quando interpretamos uma média aritmética, devemos
ter em mente que ela geralmente é um valor que não pertence
a sucessão original dos dados e que , portanto, pode não ter
uma existência real.
Média Geométrica
A média geométrica é usada principalmente em problemas
envolvendo mudanças proporcionais e juros compostos e outros
valores q assumem um comportamento exponencial, como inflação
acumulada, retorno de carteira, etc.
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Para dados não tabelados
Dados n valores x1 , x2 , . . . , xn , a média geométrica desses valores
será
Xg =
√
n
x1 × x2 × . . . × xn
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Para dados tabelados
Sejam x1 , x2 , . . . , xk , k valores da variável X assume e f1 , . . . , fk as
respectivas frequências absolutas. A média geométrica de X é
definida como
k
∑
√
fi f1
Xg =
x1 × x2f2 × ⋅ ⋅ ⋅ × xkfk
i=1
e
k
∑
fi = n, onde n é igual ao número total de observações.
i=1
Obs:
- A média geométrica é menor ou igual a média aritmética;
- Não é possível calcular a média geométrica quando existem valores
negativos na série de dados;
- Quando um ou mais valores da série de dados forem nulos a média
goemétrica será igual a zero.
Média Harmônica
A média harmônica de um conjunto de valores é o inverso da média
aritmética dos inversos. Esta medida é utilizada na construçãode
números-índices e é particularmente recomendado para séries de
valores que são inversamente proporcionais (cálculos de velocidades
média e custos médios de bens compardos com uma quantia fixa)
ou a problemas onde não faz sentido somar os valores da variável.
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Para dados não tabelados
Dado o conjunto de n valores x1 , x2 , . . . , xn , a média harmônica do
conjunto será
Xh =
n
n
∑
i=1
1
xi
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Para dados tabelados
Dados os valores x1 , x2 , . . . , xk da variável X e f1 , . . . , fk as
respectivas frequências absolutas. A média harmônica de X é
definida como
k
∑
Xh =
i=1
k
∑
i=1
1
fi
xi
Obs:
- A média harmônia é menor ou igual á média geométrica e, esta por
sua vez é menor que a mádia aritmética.
Xh ≤ Xg ≤ X
Separatrizes
As separatrizes são medidas de posição que permitem calcularmos
valores da variável que dividem ou separam a distribuiçõa em partes
iguais.
Tipos de separatrizes:
- mediana;
- quantis ou quartis;
- centis;
- decis ou percentis.
Mediana - Md
É definida como o valor que divide uma série ordenada de tal forma
que pelo menos a metade dos itens sejam iguais ou maiores do que
ela, e que a outra metade dos itens sejam menores do que ela.
A mediana é muito útil quando exitem valores extremos, ou
atipicos, na distribuição (valores muito maiores ou muito menores
que os demais). Entretanto, essa separatriz não leva em
consideração todos os valores observados.
Determinação da Médiana
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Para dados não tabelados
- se o número de observações é ímpar, a posição da mediana
(EMd ) é determinado por
n+1
2
A mediana é o valor que divide o número de observações ao meio.
EMd =
- se o número de observações é par, a mediana será um valor
compreendido entre as posições
{
EMd =
n
2
n
2
+1
Neste caso, convenciona-se adotar como valor mediano a média
aritmética ente os valores centrais.
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Para dados tabelados não agrupados em classe
A posição da mediana é determinado da mesma forma que
calculado para dados não tabulados. Para encontrar a posição do
elemento mediando (posião da mediana) é acrescido uma coluna na
tabela de frequência acumulada ‘abaixo de’ absoluta.
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Para dados tabelados agrupados em classe
Independente de termos n ser ímpar ou par, a posição da mediana
será dada por:
EMd =
n
2
A partir daí, determina a classe da mediana, após a qual a mediana
será determinada através da seguinte expressão:
(
)
EMd − Fant
Md = linf + h
fMd
onde,
linf - é o limite inferior da classe mediana;
h - a amplitude do intervalo da classe da mediana;
EMd - a posição da mediana;
Fant - a Fab anterior a classe da mediana; e
fMd a frequência simples absoluta da classe da mediana.