Estatística Básica
Lição 4 – Medidas Descritivas – Medidas de Tendência Central
Lição 4 – Medidas Descritivas
– Medidas de Tendência Central
Após concluir o estudo
desta lição, esperamos
que você possa:
• identificar o objetivo das medidas de tendência central;
• identificar o conceito de média aritmética simples;
• identificar o conceito de moda;
• identificar o conceito de mediana;
• executar operações de cálculo de média aritmética
simples;
• executar operações de cálculo de moda;
• executar operações de cálculo de mediana.
Veja os temas que você irá estudar nesta lição:
• Tema 1 – Finalidade das medidas descritivas e de
tendência central.
• Tema 2 – Média aritmética simples.
• Tema 3 – Moda.
• Tema 4 – Mediana.
• Tema 5 – Comparação entre média aritmética, moda
e mediana.
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Estatística Básica
Lição 4 – Medidas Descritivas – Medidas de Tendência Central
CONVERSA INICIAL
Até agora você estudou, dentre outros temas, o conceito e a finalidade da Estatística, os modelos estatísticos e as principais
técnicas de captação, tabulação, apresentação gráfica e entendimento de dados.
Dessa forma, você já realizou um grande avanço no universo da Estatística Básica!
Nesta lição, você vai estudar, de forma bastante prática, temas que
fazem parte do seu cotidiano pessoal e profissional: as medidas descritivas – medidas de tendência central.
TEMA 1 – FINALIDADE DAS MEDIDAS DESCRITIVAS DE
TENDÊNCIA CENTRAL
Com que objetivo as medidas descritivas são
utilizadas? Você conheceu ou já ouviu falar
naquelas velhas balanças onde se colocava a
mercadoria de um lado e os pesos do outro,
até que o ponteiro marcasse zero?
As medidas descritivas são classificadas em dois tipos: medidas
de tendência central e medidas de dispersão. Nesta lição, você
conhecerá alguns tipos de medidas de tendência central utilizadas
no nosso dia-a-dia.
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Lição 4 – Medidas Descritivas – Medidas de Tendência Central
Qual é a finalidade das medidas de
tendência central?
As medidas de tendência central indicam os valores centrais ou típicos
de um conjunto.
Neste curso você irá estudar a média aritmética simples, a moda e a
mediana. Existem outras, mas vamos ficar por aqui.
TEMA 2 – MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES
Você se lembra, ou já ouvir dizer, do tempo
de escola em que somente era aprovado o
aluno que conseguisse alcançar a média?
Pois é, esta é a medida de tendência central mais conhecida e chamase média aritmética simples.
Acompanhe uma situação em que a média pode
ser utilizada.
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Lição 4 – Medidas Descritivas – Medidas de Tendência Central
Um determinado gerente de Centro de Distribuição Domiciliar
– CDD, “achava” que o volume da carga recebida estava superior
ao previsto. Entretanto, não pôde apresentar a situação para seu
superior imediato, pois não tinha certeza e não possuía informações
consistentes.
Assim, resolveu fazer um levantamento. Elaborou um formulário simples para anotar a data e o quantitativo de objetos recebidos ao dia
e chegou aos seguintes números: (lembra-se dos dados brutos?)
Período
1º dia
2º dia
3º dia
4º dia
5º dia
Quantidade de
objetos recebidos
17.500
13.700
18.230
20.000
15.000
Ainda tomando como exemplo a situação anteriormente descrita, observe como efetuar o cálculo da média aritmética simples:
Para obter a média aritmética simples, você deverá somar os valores
e dividi-lo pelo número de parcelas:
Para obter a média aritmética simples, você deverá realizar as seguintes operações:
•
•
1º - somar as quantidades de objetos;
2º - dividir o resultado obtido da soma das quantidades pelo
número de parcelas.
17.500 + 13.700 + 18.230 + 20.000 + 15.000 = 84.430 = 16,8
5
5
Com base no exemplo, chegamos ao conceito de média aritmética simples: trata-se da medida representada pela soma dos valores, dividida
pela quantidade de parcelas.
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Lição 4 – Medidas Descritivas – Medidas de Tendência Central
Você provavelmente está pensando na utilidade do
uso da média aritmética simples no cotidiano de
uma Unidade Operacional nos Correios. Escreva
algumas medidas que podem ser tomadas pelo
gestor do CDD a partir da obtenção da média diária
de objetos recebidos na Unidade.
Para reforçar ou complementar suas refl exões,
podemos dizer que, de posse dessa informação,
o gestor do CDD poderá analisar o quantitativo da
carga e tomar uma decisão mais acertada. Sabendo-se da média diária (quantidade aproximada) de
objetos recebidos, pode-se, por exemplo:
• obter o volume da carga mensal;
• fazer o cálculo do efetivo necessário naquela
Unidade;
• saber se houve aumento ou redução do número de objetos postais recebidos;
• inferir sobre o crescimento ou retração do
mercado.
Perceba quantas decisões importantes podem ser
tomadas a partir de uma informação!
Conheça a seguir outra medida de tendência central: a moda.
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Lição 4 – Medidas Descritivas – Medidas de Tendência Central
TEMA 3 – MODA
O que é moda, em estatística?
A Moda é a medida de tendência central que consiste no valor observado com mais frequência em um conjunto de dados, ou seja, é o dado
do conjunto observado que se repete mais vezes. Por exemplo:
Se um determinado time fez, em dez partidas, a
seguinte quantidade de gols: 3, 2, 0, 3, 0, 4, 3, 2,
1, 3, 1; a moda desse conjunto é de 3 gols.
O símbolo da moda é Mo.
Então, quando dizem que você está na moda,
querem dizer que você está “igual a quase todo
mundo”, pois é muito comum ver as pessoas com
roupas nas mesmas cores, modelos e estilos.
Como identificar, num grupo de valores, o tipo
de moda?
Quantidade de repetições
Tipo de tendência
2
bimodal
Mais de 2
multimodal
Quando nenhum dos valores se repete, não
existe moda. Então você não poderá aplicar esta
medida.
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Lição 4 – Medidas Descritivas – Medidas de Tendência Central
Vamos supor que na pesquisa de satisfação do
cliente, aplicada pelos Correios a cada 18 meses,
pergunte-se aos clientes quais eram os fatores que
ele mais valorizava na distribuição externa. Observe
o resultado na tabela a seguir:
Pesquisa de Satisfação de Clientes da ECT - Ano X
Período de
realização da
pesquisa
Tratamento
do carteiro ao
morador
Entrega
no prazo
Entrega no
endereço
certo
Inviolabilidade da
correspondência
Sigilo
1º dia
10
12
18
7
3
2º dia
7
15
12
8
8
3º dia
9
11
11
10
9
4º dia
11
15
12
7
5
5º dia
10
13
13
9
6
Total
48
66
66
44
31
Fonte: ECT
Considerando os conceitos estudados até
o momento, qual é o valor correspondente
à moda nos resultados dessa pesquisa de
satisfação? Qual é o tipo de tendência?
Complete sua resposta:
•
Valor da moda: ____________________
•
Tipo de tendência:__________________
Pela análise do resultado da pesquisa você pode concluir que a moda
é 66, uma vez que uma maior quantidade de clientes respondeu que
os aspectos que mais valorizam são a “entrega no prazo” e a “entrega
no endereço certo”, ou seja, são os dois itens que se repetiram mais
vezes. Neste caso, a tendência é bimodal.
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Lição 4 – Medidas Descritivas – Medidas de Tendência Central
A outra medida de tendência central que você estudará agora é a mediana, conhecida pelo símbolo Md.
TEMA 4 – MEDIANA
O que é mediana?
A mediana corresponde ao valor que se situa no meio da fila ordenada de valores, desde o mais baixo ao mais alto.
Esta medida divide os dados em duas partes iguais: 50% para um lado
e 50% para outro. Trata-se da famosa medida “em cima do muro”.
Para se encontrar a mediana, os dados devem
estar ordenados como no rol: em ordem crescente
ou decrescente.
Vamos utilizar o mesmo exemplo estudado na
Lição 3 (dados brutos e rol): quantidade de cartas
simples postadas na agência “x”. Assim, observe
como obter o cálculo da mediana:
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Lição 4 – Medidas Descritivas – Medidas de Tendência Central
Exemplo nº 1
Postagem de cartas simples na agência “x”
Dia da semana
Quantidade
1º
1.027
2º
1.259
3º
1.852
4º
1.935
5º
2.004
6º
2.004
7º
2.198
8º
2.312
9º
2.327
A fórmula para calcular a mediana é representada por (n + 1)/2, onde
“n” é a quantidade de elementos relacionados.
No nosso exemplo, os elementos correspondem aos 9 resultados
pesquisados, cuja quantidade é ímpar. Observe:
(9 + 1) = 10 = 5
2
Neste caso, a mediana é o 5º elemento relacionado, representado pela
quantidade de 2.004 cartas simples postadas.
Exemplo nº 2
Quando a quantidade de elementos relacionados é par, o resultado da
fórmula (n+1)/2 não terá resultado exato. Observe:
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Lição 4 – Medidas Descritivas – Medidas de Tendência Central
Postagem de cartas simples na agência “x”
Dia da semana
Quantidade
1º
1.027
2º
1.259
3º
1.852
4º
1.935
5º
2.004
6º
2.004
7º
2.198
8º
2.312
9º
2.327
10º
2.561
Como você pode constatar, há 10 resultados pesquisados. Aplicando
a fórmula obtemos o seguinte:
(10 + 1) = 11 = 5,5
2
Entretanto, não há posição 5,5... Como fazer?
Nesse caso, você deverá somar a 5ª e a 6ª
posição e dividir por 2:
(2.004 + 2.004) = 4.008 = 2.004
2
A mediana, nesse exemplo, é o elemento representado pela quantidade de 2.004 cartas simples postadas.
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Lição 4 – Medidas Descritivas – Medidas de Tendência Central
TEMA 5 – COMPARAÇÃO ENTRE MÉDIA ARITMÉTICA,
MODA E MEDIANA
É importante que você compreenda que não há
uma medida de tendência central melhor ou pior
do que a outra. Há sim, a mais adequada para o
objetivo de cada estudo.
Veja agora importantes dicas para melhor utilização
das medidas de tendência central. Cabe ao responsável pelo desenvolvimento do trabalho, decidir
pela medida mais adequada para cada situação.
A média aritmética é muito utilizada em
estatísticas, pois possui propriedades
matemáticas que permitem seu uso em
inúmeras técnicas de análise de dados,
além de ser facilmente compreendida pela
maioria dos leitores. Por outro lado, não é
uma boa representante do conjunto.
Quando os dados são muito dispersos,
a mediana pode ser mais útil. Assim, a
mediana é utilizada, especialmente, para
distribuições assimétricas, mas pode ser
utilizada para dados com distribuição simétrica também. Uma vez que muitas pessoas
não entendem bem suas propriedades,
talvez não seja tão utilizada.
Já a moda é pouco utilizada, pois serve
apenas para demonstrar qual valor é o
mais frequente. E isso só tem utilidade no
contexto da análise descritiva, que se refere
ao exame dos dados e tem a finalidade de
descrevê-los e resumi-los, para a obtenção
de conclusões a respeito das características que se tem interesse.
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Lição 4 – Medidas Descritivas – Medidas de Tendência Central
Nesta lição você aprendeu que:
•
As medidas descritivas têm o objetivo de equilibrar os dados, ou
seja, organizá-los, resumí-los e simplificá-los.
•
As medidas descritivas são classificadas em dois tipos: medidas de
tendência central e medidas de dispersão.
•
As medidas de tendência central são denominadas média aritmética
simples, moda e mediana e indicam os valores centrais ou típicos
de um conjunto.
•
Não há uma medida melhor do que a outra, mas a mais adequada
para cada tipo de estudo e para cada caso. Numa situação em que
os dados variam pouco, a média aritmética pode representar melhor
o conjunto. Para saber quais são os dados mais frequentes de um
conjunto, a moda é muito útil. No entanto, a mediana é uma ótima
medida para dados assimétricos, podendo também ser utilizada para
dados simétricos.
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Lição 4 – Medidas Descritivas – Medidas de Tendência Central
EXERCÍCIO
Instruções:
1. Este exercício tem o objetivo de consolidar a sua aprendizagem.
2. Após a conclusão, verifique as “Respostas e Comentários das Atividades de
Autoavaliação da Aprendizagem”, disponíveis no final deste livro didático.
3. Se necessário, retorne aos conteúdos para reforçar a sua aprendizagem.
4. Este exercício não valerá nota.
Questão nº 1
Assinale a alternativa CORRETA em relação ao objetivo das medidas de tendência central:
A. (
B. (
C. (
D. (
) As medidas de tendência central têm o objetivo de indicar o quanto os dados estão
“espalhados” em relação à média.
) As medidas de tendência central têm o objetivo de indicar os dados que mais se
repetem num determinado conjunto.
) As medidas de tendência central têm o objetivo de medir a variação que os dados
sofrem, quando organizados em forma de rol.
) As medidas de tendência central têm o objetivo de equilibrar os dados: organizálos, resumí-los e simplificá-los para auxiliar a compreensão do conjunto.
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Lição 4 – Medidas Descritivas – Medidas de Tendência Central
Questão nº 2
Associe os conceitos às medidas de tendência central correspondentes:
1. Moda
2. Média aritmética simples
3. Mediana
(
(
(
) É o valor que se situa no meio da fila ordenada de valores, desde o mais baixo ao
mais alto.
) É o dado do conjunto estudado que se repete mais vezes.
) É a medida representada pela soma dos valores, dividida pelo número de parcelas.
Selecione a alternativa que apresenta a CORRETA associação, de cima para baixo:
A. (
B. (
C. (
D. (
) 1, 2, 3
) 3, 1, 2
) 2, 1, 3
) 3, 2, 1
Questão nº 3
Para produção de materiais didáticos, a área de educação corporativa de determinada Diretoria Regional consome várias resmas de papel. Quando assumiu a seção administrativa,
o gestor “X” solicitou ao responsável pelo material de consumo o levantamento para avaliar
os seguintes aspectos:
a) quantidade de resmas consumidas por mês;
b) quantidade de resmas consumidas por ano;
c) consumo médio mensal;
d) valores que mais se repetiam durante o ano.
O objetivo do levantamento foi verificar se era possível reduzir o consumo, avaliar a ocorrência de desperdício e reavaliar algumas rotinas.
Confira o levantamento realizado pelo responsável pelo material de consumo da seção
administrativa:
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Lição 4 – Medidas Descritivas – Medidas de Tendência Central
Mês
Quantidade de resmas
consumidas
Janeiro
8
Fevereiro
9
Março
12
Abril
15
Maio
15
Junho
13
Julho
10
Agosto
15
Setembro
14
Outubro
13
Novembro
10
Dezembro
9
Tendo como referência a situação anteriormente descrita, calcule a média aritmética simples,
a moda e a mediana, preenchendo os valores nos espaços indicados:
a) A média aritmética simples é: __________________________________________
b) A moda é: __________________________________________________________
c) A mediana é: _______________________________________________________
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Lição 4 – Medidas Descritivas – Medidas de Tendência Central
Parabéns! Você concluiu o estudo da lição 4!
Faça, agora, uma autoavaliação da sua aprendizagem.
Relembre os objetivos de aprendizagem apresentados no início desta lição:
• identificar o objetivo das medidas de tendência central;
• identificar o conceito de média aritmética simples;
• identificar o conceito de moda;
• identificar o conceito de mediana;
• executar operações de cálculo de média aritmética
simples;
• executar operações de cálculo de moda;
• executar operações de cálculo de mediana.
Verifique agora:
Se você
então
atingiu os objetivos de
prossiga ao estudo da Lição 5, onde você
aprendizagem desta lição,
estudará
sobre Medidas Descritivas –
Medidas de Dispersão
não atingiu os objetivos de
retorne aos conteúdos necessários para
aprendizagem desta lição,
reforçar a sua aprendizagem.