Colégio Anchieta-Ba
3° ano do Ensino Médio.
Avaliação I de Matemática relativa a Unidade I do ano letivo de 2003.
Prova Elaborada pelo Prof. Octamar Marques.
Resolução pela Prof. Maria Antônia Gouveia.
QUESTÃO 1:
Determine x na equação x (0,363636...) + (x + 1)(1,666...) =
A) 7
B) 8
C) 9
RESOLUÇÃO:
x (0,363636...) + (x + 1)(1,666...) =
67x = 737 ⇒ x = 11
D) 10
72
3
E) 11
4x 5(x + 1)
72
⇒
+
= 24 ⇒ 12x + 55x + 55 = 792
3
11
3
ALTERNATIVA E.
QUESTÃO 2:
Em janeiro o valor do IPVA de um veículo com desconto de 15% era R$255,00. Deixando
o pagamento para fevereiro esse desconto passaria a ser de 10%. Qual o valor, em reais, a
ser pago em fevereiro?
A) 262,20
B) 267,80
C) 270,00
D) 272,00
E) 275,00
RESOLUÇÃO:
Considerando x o valor do IPVA. O valor desse IPVA em janeiro com desconto era de
25500
= 300
15%, então : (1 - 0,15)x = 255 ⇒ 0,85x= 255 ⇒ x =
85
Como em fevereiro o desconto passaria a ser de 10% , o valor a ser pago neste mês é de
(1 – 0,1).300 = 0,9 . 300 = 270.
ALTERNATIVA C
QUESTÃO 3:
A razão entre a idade de um filho e a de seu pai é um terço. Daqui a três anos a razão entre
10
. Calcule a idade do filho.
suas idades será
27
A) 14
B) 15
C) 17
D) 18
E) 19.
RESOLUÇÃO:
Idade atual (Considerando a razão P/F = 1/3)
Pai
3x
Filho
x
Idade daqui a 3 anos
3x+3
x+3
Como daqui a 3 anos a razão entre as idades será de 10/27 ⇒
30x + 30 = 27x + 81 ⇒ 3x = 51 ⇒ x = 17.
x + 3 10
=
3x + 3 27
ALTERNATIVA C.
QUESTÃO 4:
Gastei um terço do meu salário com instrução e dois quintos do restante com alimentação
sobrando-me R$ 216,00.
15% do meu salário, em reais, é igual a:
A) 81,00
B) 85,00
C) 88,00
D) 90,00
E) 95,00.
RESOLUÇÃO:.
Salário
x.
Gasto com instrução
x
.
3
Parte restante:
2x
3
Gasto total
x
4x
5x + 4x 9x 3x
+
=
=
=
3 15
15
15
5
Gasto com alimentação
2 2x 4x
×
=
5 3 15
Parte restante
3x
2x
x=
=216
5
5
Logo 2x = 1080 ⇒ x = 540
Sendo então o valor do salário R$540,00 ⇒ 0,15 × 540 = 81.
ALTERNATIVA A.
QUESTÃO 5:
A quantia de T reais deve ser dividida em partes proporcionais aos inteiros x, x+1 e x+2.
Sendo R a menor parte, então x é igual a:
A)
2R
T+R
B) x =
3R
T - 3R
C)
R
3T - R
D)
T
T+R
E)
2T
T-R
RESOLUÇÃO:
A quantia T deverá ser repartida em três partes a, b e c proporcionais aos inteiros x, x+1 e
a
b
c
x+2 ⇒ =
=
= k ⇒ a = kx; b = k(x+1) e c = k(x+2).
x x +1 x + 2
T
Sendo T = a+b+c ⇒ T = kx + k(x+1) + k(x+2) ⇒ T = k (x+x+1+x+2) ⇒ k =
3x + 3
 T 
Sendo R a menor parte, então R = a ⇒ R = kx ⇒ R = x 
 ⇒
 3x + 3 
3R
3Rx + 3R = Tx ⇒ x(T –3R) = 3R ⇒ x =
.
T - 3R
ALTERNATIVA B.
QUESTÃO 6:
Numa turma 70% dos alunos foram aprovados, 20% reprovados e 4 alunos restantes
desistiram do curso. Quantos alunos havia na turma?
A) 32
B) 35
C) 38
D) 40
E) 42.
RESOLUÇÃO:
Consideremos x o número de alunos da classe.
Equacionando as três informações:
Número de aprovados + número de reprovados + número de desistentes = número total de
alunos.
4,0
= 40 .
0,7x + 0,2x + 4 = x ⇒ 0,1x = 4 ⇒ x =
0,1
ALTERNATIVA D.
QUESTÃO 7:
10 operários fazem 15 metros de um muro de contenção em 4 dias trabalhando 8 horas por
dia. Em quantos dias, 12 operários farão 18 metros desse muro trabalhando 4 horas por dia?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 10
RESOLUÇÃO:
Operários Metros de muro
10
15
12
18
Dias
4
x
Horas por dia de trabalhos
8
4
4 12 15 4
4 6 5 1
4 1
= × × ⇒ = × × ⇒ = ⇒ x = 8.
x 10 18 8
x 5 6 2
x 2
ALTERNATIVA D.
QUESTÃO 8:
5
do seu conteúdo. Recolocando-se 10 litros de
8
água o conteúdo passa a ocupar a metade do volume inicial. A capacidade do recipiente, em
litros, é:
De um recipiente cheio com água tiram-se
A) 70
B) 80
C) 85
D) 90
E) 95.
RESOLUÇÃO:
OLWURV
[
[ OLWURV
[
Resolvendo a equação
ALTERNATIVA B
OLWURV
[ OLWURV
3x
x
+ 10 = ⇒ 3x + 80 = 4 x ⇒ x = 80
8
2
[
OLWURV
QUESTÃO 9:
Meu salário sofreu um aumento de
2x
reais, passando a ser igual a 3x. Calcule o aumento
9
percentual do meu salário.
A) 7,2%
B) 7,6%
C) 8,3%
D) 8,0%
E) 10,0%
RESOLUÇÃO:
2 X 25x
=
.
9
9
2x
A
2
8
O aumento percentual foi de
= 9 =
=
.
S 25x 25 100
9
ALTERNATIVA D
Meu salário era de 3X −
QUESTÃO 10:
Um ciclista parte da cidade A para a cidade B com velocidade constante. Duas horas após,
outro ciclista parte de A para B com velocidade constante e igual ao dobro da velocidade do
primeiro ciclista. Se os dois ciclistas chegaram em B no mesmo instante, quantas horas o
primeiro gastou para fazer o percurso?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5.
RESOLUÇÃO:
$
%
&
ñ
&
W KRUDV
ò
W KRUDV
9
ñ
Y
9
ò
Y
1) O primeiro ciclista percorreu a distância d em t horas com velocidade v ⇒ d = vt.
2) O segundo ciclista percorreu a distância d em (t-2) horas com velocidade 2v ⇒
d = 2v(t-2).
Comparando as conclusões 1 e 2, temos a equação: 2v(t-2).=vt ⇒ 2t - 4 = t ⇒ t = 4.
ALTERNATIVA D.
QUESTÃO 11:
Ao percorrer 94,20m cada uma das rodas de uma bicicleta dá 60 voltas. O raio das rodas
em centímetros, é (considere π = 3,14)
A) 20
B) 22
C) 25
D) 28
E) 30.
RESOLUÇÃO:
Em cada volta as rodas da bicicleta percorrem 2πr m ⇒ 60 × 2πr m = 94,20m.
Logo 120 × 3,14r = 94,20 ⇒ r = 0,25m = 25cm.
ALTERNATIVA C.
QUESTÃO 12:
Na figura as medidas dos arcos A B e C D são
respectivamente, 80o e 50o. Calcule x
%
&
[
'
[
$
(
A) 40o
B) 45o
C) 48o
D) 50o
E) 55o.
RESOLUÇÃO:
%
&
[
8 0 °
'
[
$
(
A partir do estudo da figura temos 2x + 40° + x – 25° = 180° ⇒ 3x = 165° ⇒ x = 55°.
ALTERNATIVA E.
QUESTÃO 13:
Na figura, AM é mediana do triângulo ABC,
retângulo em Â. Calcule x.
$
x /2
x
+
%
A) 30o
B) 36o
C) 42o
D) 45o
0
&
E) 60o.
RESOLUÇÃO:
Sendo AM a mediana do triângulo ABC em relação à
hipotenusa, então AM = MC e o triângulo AMC é
isósceles, logo, MÂC = MĈA = x . Como os triângulos
ABC e HBC são semelhantes, BÂH = MĈA = x .
Examinando a figura ao lado, concluímos que:
x
x + + x = 90° ⇒ 4x + x = 180° ⇒ x = 36°
2
$
%
+
0
&
ALTERNATIVA B
QUESTÃO 14:
Na figura, ABC é um triângulo isósceles de base
BC . Sabendo que AD = DB e DC = CE, calcule x.
$
x
'
(
%
A) 24o
B) 28o
RESOLUÇÃO:
C) 30o
D) 32o
E) 36o.
1 5o
&
Pelas informações do problema os triângulos ADB e CDE são
isósceles, logo os ângulos de suas respectivas bases são
congruentes.
O ângulo ED̂C é externo ao triângulo BAD, logo sua medida é
2x.
O ângulo DÊC é externo ao triângulo BEC, logo:
2x = 15°+E B̂ C ⇒ med(EB̂ C) = 2x – 15°.
Temos assim med(B̂ ) = med( Ĉ ) = x + 2x – 15° = 3x – 15°.
Considerando o triangulo ABC, x + 3x – 15°+3x – 15°=180°
7x = 210° ⇒ x = 30°
$
x
'
x
(
1 5o
%
&
ALTERNATIVA C.
QUESTÃO 15:
Calcule a medida do raio do círculo inscrito num triângulo retângulo sabendo que a soma
dos catetos é igual a seis quintos da hipotenusa, cuja medida é a.
A)
a
10
B)
2a
9
C)
a
9
D)
a
6
E)
a
.
8
RESOLUÇÃO:
Analisando a figura ao lado, construída a partir das
informações da questão, vemos que a = c-r + b-r = b+c–2r (I).
6a
Pela segunda informação b+c =
, logo em (I) teremos
5
6a
a
a=
- 2r ⇒ 10r = 6a – 5a. ⇒ r = .
5
10
%
D
F
ALTERNATIVA A.
U
U
$
E
&
QUESTÃO 16:
As medidas dos ângulos internos de um pentágono convexo são números pares
consecutivos. Calcule a medida do menor desses ângulos.
A) 96o
B) 104o
C) 110o
D) 115o
E) 120o.
RESOLUÇÃO:
O problema nos diz que os ângulos do pentágono são: x-4°, x-2°, x, x+2°/ e x+4° (pares e
consecutivos).
Logo x-4°+ x-2°+ x+ x+2° + x+4° = 180°(5-2) ⇒ 5x = 540° ⇒ x = 108°.
Então o seu menor ângulo x-4° = 108°-4°=104°.
ALTERNATIVA B.
QUESTÃO 17:
Na figura, o círculo está inscrito no triângulo
isósceles ABC de base BC , com perímetro
igual a 32u.c.. Sabendo que AD = BC
.calcule a medida da base BC
$
'
&
%
A) 8u.c.
B) 6u.c.
RESOLUÇÃO:
C) 9u.c.
D) 10u.c.
E) 12u.c.
Sendo o triângulo isósceles ABC, tal que se considerarmos
AD = BC = 2x, teremos CH = CD = x.
Sendo o perímetro do triângulo ABC igual a 32, temos:
8x = 32 ⇒ x = 4 e então BC =2x = 8.
$
[
[
'
(
ALTERNATIVA A.
[
%
[
[
x
+
&
18. QUESTÃO DISCURSIVA
Na figura, o quadrilátero ABCD está
circunscrito ao círculo. Demonstre que
AD + BC = AB + CD.
Hipótese: ABCD é um polígono circunscrito ao círculo de centro O.
Tese: AD + BC = AB + CD.
DEMONSTRAÇÃO:
[
Z
Sejam M, N, P e Q, respectivamente, os pontos em que os lados AB,
AD, CD e BC tangenciam o círculo.
[
Z
\
Assim:AB = AM+MB; AD=NA+ND; CD=DP+PC e BC=CQ+QB.
Pelo teorema dos segmentos de reta tangentes a um círculo a partir de
um mesmo ponto:
AN=AM=w; DN=DP=x; CP=CQ=y e BQ=BM=z.
Assim: AD+BC=w+x+y+z (I)
AB+CD =w+z+x+y (II).
Comparando as igualdades (I) e (II) podemos concluir que
AD + BC = AB + CD.
c.q.d.
2
\
]
]