Universidade Federal de Santa Maria
Departamento de Matemática
Curso de Verão 2011
Lista 7
Funções contı́nuas em intervalos
1. Seja f uma função contı́nua num intervalo, onde ela é sempre diferente
de zero. Prove que f é sempre positiva ou sempre negativa.
2. Sejam f e g funções contı́nuas num intervalo [a, b], tais que f (a) < g(a)
e f (b) > g(b). Prove que existe c entre a e b tal que f (c) = g(c).
3. Não existe função contı́nua f : R → R que transforme todo número
racional num irracional e vice-versa. Mostre isso.
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4
4. Mostre
√ que o polinômio p(x) = x + x − 4 possui uma raiz no intervalo
[0, 2].
5. Para cada um dos polinômios p abaixo, encontre um número inteiro n
tal que p possua uma raiz no intervalo [n, n + 1].
(a) p(x) = x3 − x + 3.
(b) p(x) = x5 + 5x4 + 2x + 1.
(c) p(x) = x5 + x + 1.
(d) p(x) = 4x2 − 4x + 1.
6. Mostre que cada uma das equações abaixo tem pelo menos uma solução.
(a) x179 +
163
1+x2 +sen2 x
= 119.
(b) sen x = x − 1.
7. (Teorema do Ponto Fixo de Brower) Mostre que se f : [0, 1] →
[0, 1] é contı́nua então f tem um ponto fixo, isto é, existe x0 ∈ [0, 1] tal
que f (x0 ) = x0 (é instrutivo esboçar o gráfico de f ). Dê um exemplo
de função contı́nua f : [0, 1) → [0, 1] sem ponto fixo.
8. Quantas funções contı́nuas f : R → R existem que satisfazem (f (x))2 =
x2 , ∀x ∈ R?
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9. Mostre que não existe função contı́nua f : R → R que assume cada
valor de sua imagem exatamente duas vezes
(sugestão: tome f (a) = f (b) com a < b, mostre que ocorre uma
das seguintes possibilidades: ou f (x) > f (a), ∀x ∈ (a, b) ou f (x) <
f (a), ∀x ∈ (a, b); caso ocorra a primeira opção, todos os valores próximos
de f (a), mas ligeiramente maiores do que f (a) são alcançados em algum
ponto do (a, b); em consequência f (x) < f (a), ∀x < a e ∀x > b).
10. Encontre uma função contı́nua f : R → R que assume cada valor de
sua imagem extamente três vezes.
Continuidade Uniforme
11. Uma função f : A → R é Lipschitziana se existe M > 0 tal que
|f (x) − f (y)| ≤ M |x − y| , ∀x, y ∈ A.
(a) Relembre a definição de função uniformemente contı́nua.
(b) Mostre que toda função Lipschitziana é uniformemente contı́nua
e, portanto, contı́nua.
√
(c) Mostre que a função f : [0, 1] → [0, 1] definida por f (x) = x, é
uniformemente contı́nua mas não é Lipschitziana.
(d) Mostre que toda função polinomial de grau um, f (x) = ax + b, é
Lipschitziana.
(e) Mostre que f : R+ → R, definida por f (x) = x1 , é contı́nua,
mas não é uniformemente contı́nua. No entanto, a restrição f :
[a, +∞) → R desta função ao intervalo [a, +∞), a > 0 qualquer,
é Lipschitziana e, portanto, uniformemente contı́nua.
12. Seja f : A → R uma função Holder-contı́nua, isto é, existem α > 0 e
M > 0 tais que
|f (x) − f (y)| ≤ M |x − y|α ,
∀x, y ∈ A.
Mostre que f é uniformemente contı́nua.
13. Mostre que a soma de duas funções uniformemente contı́nuas é uniformemente contı́nua. Mostre que resultado análogo não vale para o
produto.
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