Tópicos Matriciais – Pedro Henrique O. Pantoja – Natal / RN
1.
Traço de Matrizes.
Definição 1.1: O traço de uma matriz quadrada A a de ordem n é a soma dos
elementos da diagonal principal.
Em símbolos,
TrA a a a a .
Daqui em diante, A denotará uma matriz quadrada de ordem n, cujos elementos
são números reais. Esperamos que o leitor esteja familiarizado com as definições e
operações mais elementares sobre matrizes.
Exemplo 1.1: Considere a matriz n x n
cos x
0
0
cos 2x A 0
0
!
0
0
Assim, TrA cos x cos 2x cos nx 0
0
0
$
#
#
#
cos nx"
%&/(
% (/
) , para x * 2kπ, k . /.
Da definição 1.1 decorre o seguinte resultado:
Proposição 1.1: Sejam A e B , então
a)
TrI n
b)
TrA λ · B TrA λ · TrB , λ . c)
TrA TrA4 d)
TrAB TrBA.
Prova:
a)
Claramente TrI 1
677787779
1 1 n.
:;<;%
Sejam A =a > e B =b > para todo 1 A i, j A n , então como λB multiplica
b)
todos os elementos b da matriz B, teremos λ · TrB ∑ λb , assim
TrA λ · TrB ∑a λb TrA λ · B.
c)
Quando fazemos a operação transposta de uma matriz A os elementos da
diagonal principal são os mesmos da matriz A, portanto TrA TrA4 .
Projeto Rumo ao ITA
www.rumoaoita.com
Versão 1.0
Tópicos Matriciais – Pedro Henrique O. Pantoja – Natal / RN
d)
Logo,
Sabemos que o i, j ) ésimo elemento da matriz AB é FABG, aH bH
H
TrAB a b b a TrBA.
I
Corolário 1.1: Sejam A , B e C matrizes simétricas, então TrABC TrBAC TrCAB.
Prova:
É imediato, pela proposição 1.1, temos TrABC TrABC TrCAB TrFCAB4 G TrB4 A4 C4 TrBAC, pois A, B e C são simétricas.
I
Corolário 1.2: O traço de uma matriz anti-simétrica é zero.
Prova:
Se A é uma matriz anti-simétrica, então A )A4 K TrA Tr)A4 K TrA )TrA4 K TrA )TrA L TrA 0. I
Exercício Resolvido 1.1: (IME-80) Mostre que não existem matrizes quadradas A e B,
que verifiquem AB ) BA I , onde I é a matriz identidade de uma ordem n qualquer.
Solução:
Pela proposição 1.1 , TrAB ) BA TrAB ) TrBA 0, por outro
TrI n , assim n 0 absurdo!
Portanto tais matrizes A e B não existem.
Projeto Rumo ao ITA
www.rumoaoita.com
Versão 1.0
lado,
Tópicos Matriciais – Pedro Henrique O. Pantoja – Natal / RN
LEMA 1.1: (CAUCHY-SCHWARZ) Sejam a , a , … , a e b , b , … , b números reais
positivos. A seguinte desigualdade é verdadeira:
N aO bO P A
O
N aO P N bO P.
O
O
Corolário 1.3: Sejam A & e B & matrizes diagonais. Então FTrABG A
TrA · TrB .
a
0
Sejam A Q
Prova:
0
a
0 0
Assim é fácil ver que
0
0
!
a
R e BQ
FTrABG N a b P A
b
0
0
b
0 0
0
0
!
b
N a P N b P
R
TrA · TrB . I
EXERCÍCIOS
1)
(ITA) Sejam A e B matrizes reais 3 x 3. Se TrA denota a soma dos elementos
da diagonal principal de A. Considere as afirmações:
(I)
TrA TrA4 .
(II)
Se A é inversível, então TrA * 0.
(III)
TrA λ · B TrA λ · TrB , para todo λ . .
Temos que
a)
b)
c)
d)
e)
Todas as afirmações são verdadeiras;
Todas as afirmações são falsas;
Apenas a afirmação (I) é verdadeira;
Apenas a afirmação (II) é falsa;
Apenas a afirmação (III) é falsa.
Projeto Rumo ao ITA
www.rumoaoita.com
Versão 1.0
Tópicos Matriciais – Pedro Henrique O. Pantoja – Natal / RN
2)
(IME-09) Demonstre que a matriz
y z
xy
V xy
x z
xz
yz
xz
yz
Y
x y
Onde x, y, z . Z, pode ser escrita como o quadrado de uma matriz simétrica, com
traço igual a zero, cujos elementos pertencem ao conjunto dos números naturais.
Obs.: Traço de uma matriz é a soma dos elementos de sua diagonal principal.
1 1
Seja A [
\. Calcule TrA A AH onde K . Z.
0 2
(ITA-08) Seja A . M( uma matriz simétrica e não nula, cujos elementos
4)
são tais que a , a e a formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão
q * 1 e TrA 5a . Sabendo-se que o sistema AX X admite solução não-nula
X . M( , pode-se afirmar que a q é igual a
3)
a)
b
c
b)
c
c) 5
d)
de
e
e)
c
d
2. Matrizes Ortogonais.
Definição 2.2: Dizemos que uma matriz quadrada A é ortogonal se A é inversível e
A4 Af .
Proposição 2.1:
a) O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal.
b) O determinante de uma matriz ortogonal é 1 ou ) 1.
Prova:
a) Suponhamos que A e B sejam matrizes ortogonais, então A4 Af e
B4 Bf , agora sabemos que se A e B são inversíveis AB também o é,
ABf B f Af B4 A4 AB4 .
b) Se A4 Af K DetA4 DetAf K DetA FDetAGf K
FDetAG 1 L DetA 1 ou DetA )1.
I
Projeto Rumo ao ITA
www.rumoaoita.com
Versão 1.0
Tópicos Matriciais – Pedro Henrique O. Pantoja – Natal / RN
cos θ ) sin θ
Exemplo 2.1: A matriz A [
\ é ortogonal, de fato, A4 A sin θ cos θ
cos θ sin θ
cos θ ) sin θ
[
\·[
\
) sin θ cos θ
sin θ cos θ
cos θ sin θ
) sin θ cos θ sin θ cosθ k [1 0\
j
0 1
) cos θ sin θ cos θ sin θ
sin θ cos θ
Da mesma forma,
Portanto, A4 Af .
1
AA4 [
0
0
\ verimique!
1
A matriz A é conhecida como matriz de rotação do plano.
Exercício resolvido 2.1: (ITA-91) Sejam M e B matrizes quadradas de ordem n tais que
M ) M f B. Sabendo que M o M f , podemos afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e)
B é a matriz nula.
B )2I
B é simétrica
B é anti-simétrica
N.d.a.
Notações: M o e M f denotam, respectivamente, a matriz transposta de M e a
matriz inversa de M. Por I denotamos a matriz identidade de ordem n.
Solução:
Como M o M f( M é ortogonal) temos que M ) M 4 B K B4 M ) M 4 4 M 4 ) M )M ) M 4 )B K B )B 4 , isto é, B é antisimétrica.
Resposta: alternativa D.
Dizemos que uma matriz A é idempotente se A A.
Exercício resolvido 2.2: Mostre que para qualquer matriz simétrica e idempotente
A, a matriz I ) 2A é ortogonal.
Projeto Rumo ao ITA
www.rumoaoita.com
Versão 1.0
Tópicos Matriciais – Pedro Henrique O. Pantoja – Natal / RN
Solução:
Como A é simétrica e idempotente p pq e p p. Note que r ) 2p r ) 2pr ) 2p r ) 2p ) 2p 4p r ) 4p 4p r, tuí vwxr ) 2p * 0,
portanto r ) 2p é inversível. Agora r ) 2pq r ) 2pq r ) 2p, logo
r ) 2pr ) 2p r K r ) 2pq r ) 2p r ) 2pr ) 2pq r, assim r ) 2p
é ortogonal.
EXERCÍCIOS
1)
2)
Mostre que a matriz abaixo é ortogonal
cos z 0 ) sin z
py 0
1
0 {
sin z 0 cos z
(ITA-04) Se A é uma matriz real, considere as definições:
i)
Uma matriz quadrada é ortogonal se e só se A for inversível e pf pq .
ii)
Uma matriz quadrada A é diagonal se e só se u|} 0, para todo ~, 1, … , , ~ * .
Determine toda as matrizes quadradas de ordem 3 que são, simultaneamente,
diagonais e ortogonais.
3)
(ITA-08) Uma matriz real quadrada A é ortogonal se A é inversível e pf pq .
Determine todas as matrizes 2 x 2 que são simétricas e ortogonais, expressando-as
quando for o caso, em termos de seus elementos que estão fora da diagonal principal.
4)
(IME-01) Uma matriz quadrada é denominada ortogonal quando sua transposta
é igual a sua inversa. Considerando esta definição, determine se a matriz FG abaixo, é
uma matriz ortogonal, sabendo-se que n é um número inteiro e z um ângulo qualquer.
Justifique sua resposta.
cos z
FG y sin z
0
) sin z
cos z
0
Projeto Rumo ao ITA
www.rumoaoita.com
Versão 1.0
0
0{
1
Tópicos Matriciais – Pedro Henrique O. Pantoja – Natal / RN
GABARITO
TRAÇO DE MATRIZES:
1)
D
2)
Demonstração
3)
& )
4)
A
MATRIZES ORTOGONAIS
1)
2)
Demonstração
y { com a, b, c . , )
)
,
com ) A A
3)
4)
Sim
,
)
√ )
, )√ )
)√ )
√ )
REFERÊNCIAS:
[1] SALAHODDIN SHOKRANIAN, INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR, EDITORA UNB,
2004.
[2] ELON L. LIMA, ÁLGEBRA LINEAR, C. MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA, IMPA, 2009.
Para dúvidas e sugestões, entre em contato pelo email: [email protected]
Projeto Rumo ao ITA
www.rumoaoita.com
Versão 1.0
Download
