UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
GEOMETRIA ANALÍTICA UNIFICADA
Terceira lista de exercı́cios de Geometria Analı́tica
1. Em cada item abaixo, encontre a equação de cada uma das parábolas, sabendo que:
a) Vértice: V = (0, 0); diretriz r : y = −2.
b) Vértice: V = (0, 0); simetria em relação ao eixo dos y e passando pelo ponto P = (2, −3).
c) Vértice: V = (−2, 3); foco: F = (−2, 1).
d) Vértice: V = (4, 1); diretriz r : x + 4 = 0.
e) Vértice: V = (1, 3); simetria em relação ao eixo dos x e passando pelo ponto P = (−1, −1).
f) Eixo de simetria paralelo ao eixo dos y e passa por A = (0, 0), B = (1, 1) e C = (3, 1).
2. Em cada item abaixo, determine o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e esboce o
gráfico.
a) x2 = −12y.
b) y 2 − 12x − 12 = 0.
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c) 8x = 10 − 6y + y .
d) 6y = x2 − 8x + 14.
3. Determine os vértices A1 e A2 , os focos, a excentricidade das elipses e esboce o gráfico:
y2
x2
y2
x2
+
= 1.
b)
+
= 1.
a)
100 36
36 100
c) 4x2 + 9y 2 = 25.
d) 9x2 + 25y 2 = 25.
4. Em cada um dos problemas abaixo, determinar a equação da elipse que satisfaz as condições
dadas.
a) Centro C = (2, 4), um foco F = (5, 4) e excentricidade 3/4.
b) Centro C = (−3, 4), semi-eixos de comprimento 4 e 3 e eixo maior paralelo ao eixo dos x.
c) Eixo maior mede 10 e focos F1 = (2, −1) e F2 = (2, 5).
5. Determine os vértices A1 e A2 , os focos, a excentricidade das hipérboles e esboce o gráfico:
y2
y2
x2
x2
−
= 1.
b)
−
= 1.
a)
100 64
100 64
c) 4x2 − 5y 2 + 20 = 0.
d) 2y 2 − 4x2 = 1.
6. Em cada um dos problemas abaixo, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições
dadas.
a) Vértices A1 = (4, 0) e A2 = (−4, 0), passando por P = (8, 2).
b) Vértices em (5, −2) e (3, −2), um foco em (7, −2).
c) Focos F1 = (−1, −5) e F2 = (5, −5), hipérbole equilátera.
7. Calcule o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas abaixo.
a) 9x2 − 4y 2 − 18x − 16y − 43 = 0.
b) 16x2 − 9y 2 − 64x − 18y + 199 = 0.
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8. Obtenha a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classifique, encontre os
elementos e represente graficamente as equações:
a) x2 + 4y 2 − 4x − 24y + 36 = 0.
b) x2 − y 2 − 8x − 4y + 11 = 0.
c) y 2 − 8x + 6y + 17 = 0.
9. Deduza uma equação da parábola com vértice V = (6, −3) e cuja diretriz é a reta 3x−5y+1 = 0.
10. Prove que toda parábola cujo eixo é paralelo ao eixo y tem uma equação da forma
y = ax2 + bx + c.
11. Prove que numa parábola o comprimento da corda que contém o foco e é perpendicular ao eixo
é duas vezes a distância do foco à diretriz.
12. Usando uma rotação de eixos convenientes, transforme a equação
4x2 + y 2 + 4xy + x − 2y = 0
em uma que não contenha o termo xy.
13. Dados uma reta r e um ponto F não pertencente a r, determine o conjunto dos pontos P do
plano tais que d(P, F ) = ed(P, r), e > 0.
14. Equação da cônica (elipse) de foco F = (1, 0), excentricidade 1/2 e que tem por diretriz a reta
da equação x = 4.
15. Prove o teorema da classificação de cônicas visto em sala de aula.
16. Faça uma mudança de coordenadas convenientes em R2 que transforme a equação
9x2 − 4y 2 − 18x − 16y − 7 = 0
numa equação da forma
dx02 + ey 02 + f = 0.
Idem para a equação 4x2 − 24xy + 11y 2 + 56x − 58y + 95 = 0.
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