Universidade Federal de Uberlândia
Faculdade de Matemática
Disciplina : Geometria Analı́tica (GMA003)
Assunto: Seções cônicas (parábola, elipse e hipérbole).
Professor Sato
a
3 Lista de exercı́cios
1. Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da parábola de vértice V = (0, 0), utilizando as informações dadas:
(a) A diretriz tem equação d : y = 2.
(b) O eixo x é o eixo de simetria e ponto (5, 10) pertence à parábola.
(c) O ponto (4, 7) pertence à diretriz e o eixo x é o eixo de simetria.
(d) O foco pertence ao semi-eixo positivo das abscissas e a amplitude focal é 8.
2. Achar a equação do lugar geométrico de um ponto que se desloca de modo que sua
distância ao ponto A (−2, 3) é igual à sua distância à reta r : x + 6 = 0.
3. Obter a equação da parábola de foco em F (−2, −1), cuja corda principal une os pontos
R(−2, 2) e S(−2, −4).
4. Reduzir cada uma das seguintes equações de parábola à forma reduzida e determinar: as
coordenadas do vértice, as coordenadas do foco, o comprimento da corda focal mı́nima e
a equação da diretriz. Faça alguns esboços a mão livre.
(a) y 2 − 4y + 6x − 8 = 0.
(b) 3x2 − 9x − 5y − 2 = 0.
(c) y 2 − 4y − 6x + 13 = 0.
5. Achar a equação da parábola de eixo horizontal e que passa pelos pontos A(3, 3), B(6, 5)
e C(6, −3).
6. Determinar a equação de uma parábola de eixo vertical, que passa pelos pontos A(4, 5),
B(−2, 11) e C(−4, 21).
7. Achar a equação de uma parábola com vértice na reta r : 2y − 3x = 0, eixo paralelo ao
eixo x e que passa pelos dois pontos A(3, 5) e B(6, −1).
8. Sejam A(6, −3) o vértice de uma parábola e 3x − 5y + 1 = 0 a equação de sua diretriz.
Determinar seu foco F .
9. Um raio luminoso partido do foco da parábola y 2 = 12x, faz um ângulo agudo α com o
eixo Ox. Sabe-se que tg α = 43 . Ao atingir a parábola, o raio é refletido por ela. Formar
a equação da reta que dá a trajetória do raio refletido.
10. Para cada uma das elipses dadas determinar: o comprimento do semi-eixo maior, o comprimento do semi-eixo menor as coordenadas dos focos e a excentricidade. Faça alguns
esboços a mão livre.
x2
y2
(a)
+
= 1.
169 144
1
(b) 225x2 + 289y 2 = 65025.
(c) 9x2 + 16y 2 − 36x + 96y + 36 = 0.;
11. Cada uma das elipses consideradas abaixo está numa posição caracterı́stica e tem centro
na origem. Determinar a equação da curva para as condições dadas em cada caso.
(a) Comprimento da corda principal 5; vértices A1 (−10, 0) e A2 10, 0).
(b) Focos F1 (0, −6) e F2 0, 6); semi-eixo maior a = 8.
(c) Focos F1 (−5, 0) e F2 (5, 0); excentricidade e = 0, 8.
12. Pela Primeira Lei de Kepler, a trajetória da Terra é elı́ptica e o Sol ocupa a posição de
um de seus focos. Calcule o periélio e o afélio da Terra ( que são, respectivamente, a
menor e a maior distância da Terra ao Sol), adotado os valores aproximados: distância
focal da trajetória da Terra, 0, 5 × 107 km; medida do eixo maior 30, 0 × 107 km.
13. Dadas as coordenadas dos vértices A1 (−1, −3) e A2 (3, −3) e do foco F (0, −3), determinar
as equações da elipse e de suas diretrizes.
14. Dados os vértices B1 (2, 3) e B2 (2, −5) e os focos F1 (−1, −1) e F2 (5, −1) de uma elipse,
calcular a sua excentricidade e o comprimento da corda principal.
15. Um ponto se desloca de modo que sua distância ao ponto P (3, 2) fica sempre igual à
metade de sua distância à reta r : x + 2 = 0. Deduzir a equação de seu lugar geométrico.
(Qual a natureza da curva?)
16. O ponto C(−3, 2) é o centro de uma elipse tangente aos dois eixos de coordenadas. Achar
a equação dessa elipse, sabendo-se que seus eixos de simetria são paralelos aos eixos de
coordenadas.
17. Achar a equação da elipse com centro em C(3, 1) vértice A1 (3, −2) e excentricidade e = 13 .
18. Achar a equação da
elipse que tem um dos focos em F (−1, −1) diretriz d : x = 0 e
√
2
excentricidade e = 2 .
19. Estabelecer a equação da elipse que passa pelos pontos A(−2, 2), B(−3, 4), C(−4, 2) e
D(−3, 0) e cujos eixos são paralelos aos eixos coordenados.
20. Determinar: os vértices, os focos, a excentricidade, a corda focal mı́nima as equações das
assı́ntotas de cada uma das hipérboles. Faça alguns esboços a mão livre.
(a) 4x2 − 45y 2 = 180.
(b) 4y 2 − 16x2 = 784.
(c) x2 − y 2 = 25.
21. Escrever as equações das hipérboles, em relação às quais se dão as seguintes condições:
(a) Medida do eixo transverso 8; focos F1 (−5, 0) e F2 (5, 0).
(b) Medida do eixo conjugado 24; focos F1 (0, −13) e F2 0, 13).
(c) Centro C(0, 0) um foco em F (8, 0) e um vértice em V (6, 0).
22. Determinar a equação do lugar geométrico gerado por um ponto que se desloca de modo
2
que sua distância a F (0, 6) é de sua distância à reta d : y − 3 = 0.
3
2
23. Escrever a equação da hipérbole de centro na origem, eixo transverso no eixo dos y,
comprimento da corda focal mı́nima igual a 36 e distância entre os focos 24.
24. Escrever a equação da
√ hipérbole de centro na origem, eixo transverso sobre o eixo dos y,
excentricidade e = 2 3 e comprimento da corda principal 18.
25. As assı́ntotas de uma hipérbole são as retas de equações 4x+3y +6 = 0 e 4x−3y +18 = 0.
Deduzir a equação dessa hipérbole, sabendo que ela passa pelo ponto (−6, 2).
26. Dados o vértice B(−3, −2), o centro C(1, −2) e o comprimento da corda principal l =
de uma hipérbole, deduzir as equações de suas assı́ntotas.
32
3
27. Achar as coordenadas do centro, dos focos, dos vértices e obter as equações das assı́ntotas
da hipérbole 9x2 − 16y 2 − 36x − 32y = 124.
28. O ponto M1 (1, −2) pertence a uma hipérbole em que um dos focos é F (−2, 2), tendo a
diretriz correspondente a esse foco por equação 2x − y − 1 = 0. Achar a equação da
hipérbole.
29. Achar a equação de uma hipérbole, sabendo que o centro é C(0, 0) um dos vértices é
V (3, 0) e a equação de uma das assı́ntotas é r : 2x − 3y = 0.
30. Classificar as cônicas de equações seguintes, calculando as coordenados do centro (ou
vértice) e indicando suas posições em relação aos eixos coordenados:
(a) x2 + 4y 2 − 2x + 8y + 1 = 0.
(b)
2
+ 4y 2 − 2x + 8y + 5 = 0.
(c) x2 + 4y 2 − 2x + 8y + 9 = 0.
(d) 4x2 − y 2 − 8x − 6y − 1 = 0.
(e) x2 − y 2 − 2x − 4y − 3 = 0.
(f) y 2 − 4y + 8x − 4 = 0.
(g) x2 − 8x + 12 = 0.
31. Deduzir a equação da cônica que tem para diretriz a reta x − y = 0, para foco ponto
F (1, −1) a excentricidade igual a 1. Faça um esboço da curva.
32. Determinar a equação da elipse que tem como um dos focos o ponto (1, −2) e como diretriz
correspondente a reta 3x + 4y − 10 = 0, sabendo que o seu semi-eixo maior é igual a 2.
33. Achar a equação da parábola x2 − 2xy − y 2 + 2x − 4y + 3 = 0 após a rotação de 45◦ nos
eixos.
34. Determinar o ângulo, segundo o qual os eixos devem girar para eliminar o termo misto
xy na equação 7x2 − 6 − 43xy + 13y 2 = 16.
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35. Por meio de uma rotação e translação de eixos reduzir as equações abaixo, a sua forma
mais simples. Traçar a curva, apresentando os três sistemas de eixos coordenados.
(a) xy − 2y − 4x = 0.
(b) 4x2 − 4xy + y 2 − 85x − 165y = 0.
(c) x2 + 4y 2 + 4xy − 1 = 0.
(d) 9x2 + 4xy + 6y 2 + 12x + 36y + 44 = 0.
(e) 3x2 + 4xy + y 2 − 2x − 1 = 0.
(f) x2 − 6xy − 7y 2 + 10x − 30y + 23 = 0.
(g) 2x2 + 3y 2 − 8x + 6y − 7 = 0.
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