14ª aula
Sumário:
Momento angular de uma partícula. Nota matemática sobre o produto vectorial.
Momento de uma força e conservação do momento angular.
A aplicação de um sistema de forças de resultante nula a um objecto que está em
repouso pode alterar-lhe esse estado. É este o caso do corpo da Fig. 14.1 (a): sob a acção
das 2 forças representadas o corpo roda e portanto passa a ter uma aceleração angular.
Porrém, se as forças estiverem aplicadas como na Fig. 14.1 (b) o corpo permanecerá em
repouso.
(b)
(a)
Figura 14.1
É então importante saber onde estão aplicadas as forças. Há duas grandezas físicas úteis
para o estudo do movimento de rotação de objectos extensos. Trata-se do momento de
uma força e do momento angular. Em particular, o momento angular também se define
quando se tem uma só partícula e é neste contexto mais simples que vamos apresentar
estas grandezas.
Momento angular de uma partícula
O momento angular de uma partícula depende do seu momento linear (ou da sua
velocidade, para uma partícula de massa fixa), p , e da sua localização, r , em relação a
um ponto escolhido para origem. Por definição o momento angular, L , em relação a
uma origem é um vector cuja norma é o produto da grandeza do momento linear, p, pela
distância à origem, a multiplicar ainda pelo seno do ângulo que p e r fazem entre si.
Se estes dois vectores tiverem a mesma direcção, o ângulo entre eles é nulo (ou então é
um ângulo raso) e portanto o momento angular é nulo. No caso de os vectores não
serem colineares, a direcção de L é perpendicular ao plano definido pelos vectores p e
r e o sentido é o da progressão de um saca-rolhas que roda de r para p .
Na Fig. 14.2 mostram-se os vectores r , p e L . O ponto O é a origem do vector
posicional.
1
L
O
r
θ
p
Figura 14.2
Escrevemos
L=r×p
(14.1)
onde o sinal × designa produto vectorial (ou produto externo). A expressão anterior
lê-se “o momento angular é o produto vectorial de r por p ”. No SI a unidade de
momento angular é o “joule segundo” (J s). (Notar que [L]=[r][p]=[r][F][t]=[E][t].)
Nota matemática sobre o produto vectorial
De uma maneira geral o produto vectorial de dois vectores A e B é o vector
cuja grandeza é
C = A× B
(14.2)
C = A B sin θ
(14.3)
sendo θ o ângulo entre os dois vectores A e B . O vector C tem direcção
perpendicular ao plano definido pelos vectores A e B e o seu sentido é o dado pela já
referida “regra do saca-rolhas”.
C
θ
B
A
Figura 14.3
2
Vamos ver como se determina o produto vectorial de dois vectores dados em
termos das suas componentes cartesianas:
A = Ax î + Ay ĵ + Az k̂
B = B x î + B y ˆj + Bz k̂
(14.4)
Atendendo a que o produto escalar goza da propriedade distributiva em relação à
adição, A × B + C = A × B + A × C , podemos fazer explicitamente o cálculo de
[ (
]
)
A× B :
A × B = Ax B x î × î + Ax B y î × ĵ + Ax B z î × k̂
+ Ay B x ˆj × î + Ay B y ˆj × ˆj + Ay B z ĵ × k̂
(14.5)
+ Az B x k̂ × î + Az B y k̂ × ĵ + Az Bz k̂ × k̂
î × î = ĵ × ĵ = k̂ × k̂ = 0 (os vectores têm a mesma direcção) e, por outro lado
Ora,
î × ˆj = − ˆj × î = k̂ , ˆj × k̂ = − k̂ × ˆj = î , k̂ × î = − î × k̂ = ĵ (ver Fig. 14.4).
z
k̂
î
y
ĵ
x
Figura 14.4
A expressão (14.5) passa então a escrever-se
A × B = (Ay B z − Az B y ) î + ( Az B x − Ax B z ) ĵ + (Ax B y − Ay B x ) k̂
(14.6)
Há uma forma mnemónica de obter esta expressão que consiste em tomar o seguinte
“determinante”1
î
ˆj
k̂
A × B = Ax
Ay
Az ,
Bx
By
Bz
(14.7)
desenvolvendo-o em relação aos elementos da primeira linha
1
Trata-se, evidentemente, de uma notação simbólica. Os elementos do determinante são números e não
vectores.
3
Momento de uma força e conservação do momento angular
Consideremos a equação fundamental da dinâmica escrita na forma
F=
dp
,
dt
(14.8)
em que F é a resultante das forças que actuam numa partícula de momento linear p .
Multipliquemos vectorialmente ambos os membros da equação anterior pelo vector
posicional r relativamente a uma origem O:
dp
.
(14.9)
dt
Ora, usando a regra de derivação de um produto (que também se aplica ao produto
vectorial de dois vectores),
r ×F = r ×
d
(r × p ) = d r × p + r × d p
dt
dt
dt
(14.10)
donde
r×
dp d
(r × p ) − d r × p .
=
dt dt
dt
(14.11)
dr
= v e p = mv o último termo de (14.11) é nulo pois é o
dt
produto vectorial de dois vectores com a mesma direcção. Introduzindo então
dp d
(r × p ) no segundo membro de (14.9) obtemos
r×
=
dt dt
Repare-se agora que, sendo
r ×F =
d
(r × p )
dt
(14.12)
Atendendo à definição (14.1), o segundo membro é a derivada temporal do momento
angular da partícula, o que permite escrever a equação anterior na forma
dL
.
(14.13)
dt
Define-se o momento de uma força em relação a um ponto (ponto O, tomado para
origem) como o produto vectorial de r por F , ou seja
r ×F =
M =r×F .
(14.14)
Finalmente, a equação (14.13) toma a forma
4
M =
dL
,
dt
(14.15)
que é a “equação dos momentos” para uma partícula. É evidente que esta expressão não
pode ser vista como uma nova lei da mecânica. Tudo o que usámos para a obter foi a
Segunda Lei na forma (14.8). A unidade de momento de uma força no SI é “newton
metro” (N m) ou joule (J). (Notar que, dimensionalmente, o momento de uma força é o
produto de uma força por uma distância, tal como o trabalho.)
Registe-se a semelhança formal que há entre as expressões (14.8) e (14.15).
Relativamente a (14.8), tínhamos visto que se nenhuma força actuasse na partícula, o
seu momento linear era uma constante do movimento. Também agora, a equação
(14.15) permite-nos afirmar que, se o momento da força é zero, o momento angular da
partícula é uma constante do movimento: se M = 0, L = C . Dizemos, neste caso, que o
momento angular se conserva ou que é uma constante do movimento.
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