IX EMED - Nono Encontro Mineiro de Equações Diferenciais
De 17 a 19 de Setembro de 2015, UFSJ, São João del-Rei, MG
Geometria Multissimplética e Equações de de Donder–Weyl
D. C. Santosa , L. G. Gomesb .
a
b
Instituto de Matemática e Computação, Universidade Federal de Itajubá.
Instituto de Matemática e Computação, Universidade Federal de Itajubá.
e-mail: [email protected]
e-mail: [email protected]
Resumo
Há muito tempo o formalismo hamiltoniano na fı́sica tem servido como fonte de inspiração para a definição e
investigação de importantes estruturas geométricas na matemática. Este é o caso da geometria simplética, que
aparece naturalmente no estudo da mecânica clássica, em dimensão finita, e estabelece uma relação geométrica com
as equações de Hamilton. O teorema central que garante esta conexão é o teorema de Darboux: localmente existem
coordenadas para as quais a forma simplética, e portanto as equações de movimento, tomam sua forma canônica.
No entanto, quando passamos da mecânica para a teoria dos campos, i.e., de um sistema de EDO’s para um
sistema de EDP’s, surgem novas e diferentes estruturas geométricas denominadas de “polissimpléticas” ou “multissimpléticas”(veja [1, 2]). Da mesma maneira, um teorema de Darboux é apresentado tal que nessas coordenadas
canônicas as equações da dinâmica dos campos clássicos, chamada de equações de de Donder–Weyl ([3, 4]), assumem
sua forma canônica ([5]).
Palavras-chave: Geometria Multissimplética, Equações de de Donder–Weyl.
Referências
[1] L. G. Gomes, Estruturas Polissimpléticas e Multissimpléticas em Variedades e Fibrados, Tese de Doutorado,
IME–USP, 2007.
http://www.ime.usp.br/ forger/www/pdffiles/teselgg.pdf
[2] M. Forger, L. G. Gomes, Muntisymplectic and Polysymplectic Structures on Fiber Bundles, Reviews in Mathematical Physics, 25 (2013).
DOI: 10.1142/S0129055X13500189
[3] Th. De Donder, Théorie Invariante du Calcul des Variations, Gauthier–Villars, Paris, 1935.
[4] H. Weyl, Geodesic Fields in the Calculus of Variations for Multiple Integrals, Ann. Math., 36 (1935), 607–629.
[5] M. J. Gotay, J. Isenberg, J. E. Marsden, Momentum Maps and Classical Relativistic Fields. Part I: Covariant
Field Theory, preprint physics/9801019.
Agradecimento:
Agradecemos o apoio financeiro da PAEP/CAPES e da FAPEMIG.