Curvas Pedais via Geometria Dinâmica
Fabricio Alves Oliveira∗
Dulce Mary de Almeida†
&
Universidade Federal de Uberlândia - Faculdade de Matemática
38400-902, Campus Santa Mônica, Uberlândia, MG
E-mail: [email protected] e [email protected]
Palavras-chave: Curvas Planas, Curvas Pedais, Geogebra.
RESUMO
O tópico Curva aparece como parte integrante das ementas de várias disciplinas que compõem
a grade curricular do curso de Bacharelado e Licenciatura em Matemática, por exemplo: Geometria Analı́tica (Cônicas), Cálculo Diferencial e Integral (Funções de uma variável real a valores
vetoriais, Integral de Linha), Geometria Diferencial (Curvas parametrizadas planas e espaciais),
etc. Esse tema é utilizado como uma fonte poderosa de exemplos e também como um valioso
instrumento para o estudo de técnicas matemáticas.
Neste trabalho, construı́mos e exploramos algumas curvas planas com o auxı́lio do Geogebra,
um software livre com fins educacionais que permite construir e explorar objetos geométricos
de forma dinâmica, estimulando a investigação dos conceitos geométricos e das propriedades
envolvidas na construção, facilitando o levantamento de hipóteses e a formulação de conjecturas.
Além disso, ele fornece duas representações dos objetos matemáticos: gráfica e algébrica. Neste
trabalho vamos dar ênfase à representação gráfica.
Mais especificamente, utilizamos o programa para explorar uma classe importante de curvas
planas, as curvas pedais, que são curvas derivadas de outras curvas segundo o seguinte processo:
consideremos uma curva plana S e seja O (ponto pedal ) um ponto fixo do plano que contém
S. Por um ponto qualquer M de S, tracemos a reta t, tangente a S passando por M e a reta
n, normal a t baixada de O. Seja P o pé da normal, isto é, P é a intersecção de n e t. O
lugar geométrico descrito por P quando M se desloca sobre S denomina-se curva pedal (ou
podária) de S em relação ao ponto O, veja Fig. 1.
Figura 1: Definição de Curva Pedal
∗
†
Figura 2: Definição de Cissóide
bolsista do Programa de Educação Tutorial da Faculdade de Matemática - PetMat/SESu.
professora orientadora.
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Iniciamos o estudo, construindo no Geogebra uma parábola e traçamos a reta tangente por
um ponto arbitrário M dessa parábola. Utilizamos o programa para constatar a propriedade
da tangente como mediatriz do segmento FE, em que F é o foco da parábola e E é a projeção
ortogonal de M sobre a diretriz da parábola. Em seguida, construı́mos a podária da parábola
em relação ao seu vértice, e verificamos que a curva obtida é uma Cissóide de Diocles, ou
seja, uma curva que satisfaz a seguinte definição: considere duas curvas no plano, C1 e C2 , e
um ponto fixo O ∈ R2 . Sejam P1 e P2 as intersecções de uma reta variável r passando por
O com as curvas C1 e C2 , respectivamente. O lugar geométrico dos pontos P ∈ r, tais que
−→ −−→ −−→ −−→
OP = OP2 − OP1 = P1 P2 chama-se cissóide de C1 e C2 com respeito ao pólo O, veja Fig. 2.
A Cissóide de Diocles (Fig. 3) é a cissóide de uma circunferência C e de uma reta t tangente
à circunferência C, com respeito ao pólo O pertencente à circunferência e diametralmente oposto
ao ponto de tangência. Diocles (240 a.C. − 180 a.C.) inventou a cissóide a fim de resolver o
problema da duplicação do cubo, isto é, o problema de construir o lado de um cubo cujo volume
é o dobro do de um cubo dado. Mais especificamente, dada a aresta de um cubo de comprimento
d, queremos construir a aresta do cubo de volume duplo.
Para isso, vamos utilizar a Cissóide
de Diocles da circunferência C1 de centro C = d2 , 0 e raio d2 e da reta tangente C2 dada por
x = d (portanto, com pólo na origem), isto é, a cissóide de equação y2 (d − x) = x3 (ver [4]).
Figura 3: Cissóide de Diocles como curva pedal da parábola
Na sequência, construı́mos a curva pedal de uma hipérbole equilátera em relação ao seu
centro. Utilizando o dinamismo do programa, verificamos que a curva obtida é uma Lemniscata
de Bernoulli (Fig. 4), ou seja, é o lugar geométrico dos pontos P de um plano que satisfazem a
condição de o produto das distâncias PF1 .PF2 ser constante igual a b2 , sendo F1 e F2 dois pontos
fixos desse plano distantes 2b > 0 entre si.
Figura 4: Lemniscata de Bernoulli como podária da hipérbole equilátera
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Para finalizar, observamos que a curva pedal de uma circunferência em relação a qualquer um
de seus pontos é um Limaçon de Pascal, curva que satisfaz a seguinte definição: seja O ∈ R2
um ponto fixo e C uma curva no plano R2 dada. Sobre a reta que passa por O e por um ponto
qualquer A pertencente à curva C, considere os pontos P1 e P2 pertencentes a R2 , tais que os
comprimentos de AP1 e AP2 sejam iguais a uma dada constante positiva b. O lugar geométrico
descrito pelos pontos P1 e P2 , conforme A se move ao longo de C, chama-se conchóide de C
com pólo O e constante b, veja Fig. 5. A conchóide de uma circunferência de raio a > 0 ,
cujo pólo O é um ponto pertencente à circunferência, denomina-se Limaçon de Pascal (Fig.
6). A limaçon particular em que o raio da circunferência coincide com o parâmetro da conchóide
(a = b) denomina-se trissectriz. Essa conchóide também resolve um dos três problemas clássicos
b um
da antiguidade grega: a trissecção de um ângulo genérico. Mais especificamente, dado PQR
ângulo central qualquer de uma circunferência C de centro Q e raio d(Q, P), a conchóide que
nos permite trisseccionar o ângulo dado é a trissectriz da circunferência C com pólo P (ver [3]).
Figura 5: Definição de Conchóide
Figura 6: Limaçon de Pascal
É importante ressaltar que a relação entre Matemática e Informática pode tornar certos
conceitos matemáticos mais claros e atrativos, sendo grande a variedade de assuntos que podem
ser explorados com tal recurso, destacando principalmente os que envolvem geometria. Além
de ser uma atividade prazerosa, criativa e dinâmica, o uso da informática permite ao aluno
desenvolver habilidades indispensáveis para o aprendizado de Matemática e para resolução de
problemas.
Referências
[1] A. Gray, “Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with MATHEMATICA”,
CRC Press LLC, Boca Raton, Flórida, 1998.
[2] J. D. Lawrence, “A Catalog of Special Plane Curves”, Dover Publications Inc., New York,
1972.
[3] F. C. M. Queiroz, M. F. S. Villela, D. M. Almeida, CONCHÓIDES: uma introdução,
FAMAT em Revista (UFU), v.8, p. 97-109, 2007.
[4] F. E. Reis, D. M. Almeida, Um Estudo introdutório sobre cissóides, FAMAT em Revista
(UFU), v.11, p. 263-293, 2008.
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