RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE CONSTRUÇÃO GEOMÉTRICA E
APLICAÇÕES A PROBLEMAS CONTEXTUALIZADAS, EM NÍVEL BÁSICO
YURIKO YAMAMOTO BALDIN
Este texto acompanha a Oficina “Resolução de problemas de construção geométrica e aplicações a
problemas contextualizadas, em nı́vel básico”, em que se propõe trabalhar de maneira prática problemas de
geometria que podem ser aplicados em situações contextualizadas, em nı́vel de ensino básico (fundamental
e médio).
O objetivo da Oficina é mostrar o papel da resolução de problemas no ensino da Matemática em nı́vel
fundamental, com exemplos adequados que ilustrem as metodologias de ensino que se beneficiam do uso
da Tecnologia.
Para realizar as atividades computacionais escolhemos o programa de geometria dinâmica Cabri-Géomètre
II, por seu acesso fácil e amigável, e por estar presente em muitas escolas. Porém, a Oficina não é um
treinamento de uso de programas, nem depende essencialmente do seu uso, sendo este apenas um apoio à
Metodologia de Resolução de Problemas.
Um livro de nossa autoria introduz de maneira prática atividades de Matemática com uso do Cabri. Os
Mini-cursos de nossa autoria, apresentados na II Bienal da SBM e na Reunião Anual da SBPC em 2004,
podem ser usados como texto base, pois muitas das idéias desenvolvidas naqueles cursos estão presentes
nesta Oficina. Veja referências no final do texto.
1. Introdução
A “resolução de problemas” é parte essencial do ensino de Matemática no ensino básico, porque a motivação da criança pelo estudo desta disciplina e a construção do raciocı́nio matemático estão relacionadas
primeiramente aos problemas que o mundo real apresenta. Lembremos que a noção de números naturais
que surgem da contagem é introduzida sob forma de problemas, como primeiro passo para abstração e
atribuição de sı́mbolos para os algarismos que representam tais números.
Um ensino eficiente não pode almejar apenas o domı́nio de técnicas para execução de algoritmos e
cálculos. O domı́nio de técnicas é fundamental para aplicar os conhecimentos de Matemática aos problemas,
mas, sem bons problemas que motivem o estudo das operações ou que justifiquem os procedimentos
técnicos, o ensino se torna árido e mecanizado, dificultando a descoberta de significados dos conhecimentos
adquiridos.
O gosto pela Matemática é estimulado quando a criança descobre a utilidade da Matemática em
fornecer respostas aos problemas da vida cotidiana, assim como quando ela descobre a beleza intrı́nseca da
Matemática como uma ciência organizada que permite 1 A autora agradece a oportunidade de apresentar
suas idéias nesta Oficina, durante a 3a . Bienal da SBM. 2 desenvolver o raciocı́nio lógico. Uma mente
preparada para raciocı́nios abstratos se torna curiosa e capaz de entender e aprender fatos novos, não
somente de Matemática, mas também de outros conhecimentos.
A “resolução de problemas” é justamente uma estratégia central do ensino de Matemática no ensino
básico, e deve constituir parte essencial de um currı́culo de matemática. Os Parâmetros Curriculares
Nacionais (PCN) enfatizam a necessidade de conexões entre os tópicos curriculares, e a resolução de
problemas é um elo principal, por ser a atividade que permite a consecução de objetivos do ensino da
matemática escolar.
A Resolução de Problemas de Matemática compreende as seguintes etapas bem definidas:
a) Análise: leitura do enunciado, reconhecimento de dados e do objetivo requerido pelo problema;
b)Análise: montagem da estratégia de solução, baseada em justificativas teóricas;
c) Execução do plano: cálculos e(ou) execução passo a passo da estratégia de solução;
A autora agradece a oportunidade de apresentar suas idéias nesta Oficina, durante a 3a . Bienal da SBM..
2
YURIKO YAMAMOTO BALDIN
d) Investigação da solução: escrever a resposta, verificação de que a resposta atende efetivamente ao
requerido, exploração da validade e eventuais limitações da estratégia, explorar variações e conjeturas.
Em geral, os professores (nas escolas básicas) e os alunos se esquecem das justificativas que fundamentam
as ações tomadas, ou ainda resolvem os problemas reproduzindo modelos ou seguindo intuições, e não
atentam às etapas de análise, inicial e final. Entretanto, pode-se dizer que a resolução de um problema se
efetiva nestas etapas, e o momento da execução dos cálculos (que devem ser corretos, é claro!) é apenas
um meio para obter uma resposta numérica. Na verdade, um dos objetivos de trabalhar com problemas
nas escolas de nı́vel básico é constituı́do pela análise da estratégia que produziu a operação e seu resultado,
assim como a interpretação deste último. Quando um aluno erra um resultado, o papel do professor não
é simplesmente apontar o erro cometido, mas sim levar o aluno a entender, por si mesmo, onde da sua
estratégia ou da execução do plano está errado. Entender o erro, revendo os passos do raciocı́nio, e em
seguida saber mudar a estratégia, são atividades altamente significativas para o papel da resolução de
problemas no ensino da matemática.
Em particular, os problemas de construção geométrica, muitas vezes subjacentes na modelagem de problemas contextualizados, priorizam o raciocı́nio geométrico, enaltecendo o desenvolvimento de raciocı́nio
abstrato antes de proceder a cálculos, necessários ou não para a resolução.
E nestes problemas, a tecnologia surge como um forte aliado para intermediar a tarefa de “entender” os
dados de um problema e “vislumbrar” o resultado requerido, “explorar” as possibilidades para “planejar”
uma estratégia de solução, “resolver” o problema e “verificar” a validade da solução, “explorar” variações
e “fazer conjeturas”. Assim, o uso de tecnologia traz facilidades para completar as etapas de resolução de
problemas.
Isto motiva a proposta desta Oficina. Apresentamos uma amostra do que pode ser sugerido como atividades na sala de aula em duas sessões de 80 minutos, sem entrar em detalhes de orientação metodológica
dentro de uma sala de aula com alunos, por isto 3 constituir objetivo distinto. Estaremos nos dirigindo
a professor (aluno da licenciatura ou em serviço, ou dos curos de formação de professores) tendo como
objetivo a compreensão das etapas da resolução de problemas, para que saiba depois como “ensinar a
resolver problemas” numa sala de aula em nı́vel básico.
Primeira Sessão:
Exemplo 1: Deseja-se saber em que ponto da estrada reta deve ser construı́do um ponto de ônibus,
de modo que o ponto fique à menor distância da casa do Sr. José que mora no sı́tio, longe da estrada.
(Atividade-problema para introduzir o conceito de distância de um ponto a uma reta).
Neste exemplo, claramente a visualização do cenário geométrico do problema é o primeiro passo.
Modelamos a estrada por meio de uma reta, por corresponder à informação contida no enunciado. Em
seguida, o sı́tio do Sr. José será representado por um ponto, digamos J, fora da reta, também de acordo
com o enunciado.
Primeiro questionamento: como concebemos distância entre “dois pontos”?
Conceito elementar admitido aqui é a medida de um segmento reto entre dois pontos como sendo a
distância entre os mesmos. (pergunta: a unidade de medida é importante aqui?) Então, a distância entre
“um ponto da estrada” até a casa do Sr. José pode ser calculada, se desenhar um segmento de reta entre
eles.
Segundo questionamento: O problema é determinar se podemos escolher um (ou mais) dos pontos da
estrada que satisfaz a condição do problema, que é
. (estabelecer a partir do enunciado!, não dar a
resposta que está pré embutida na sua mente).
Terceiro passo: Como decidir qual deles? Dado um ponto a uma certa distância de J, será que existe
outro ponto que satisfaz a mesma distância? Que técnica ou instrumento pode ser utilizado para encontrar
tal ponto, se é que existe?
Quarto passo: Estabelecer uma estratégia geométrica para comparar e decidir se uma distância é maior
ou menor que outra, a partir de J e extremidades na reta. Estabelecer propriedades e destacar o fenômeno
observado.
Quinto passo: Concluir o resultado. Enunciar a resposta. Justificar.
Espero que o(a) leitor(a) tenha percebido os passos de um raciocı́nio conduzido. Veja como a tecnologia
pode dinamizar agora todo processo.
PROBLEMAS DE CONSTRUÇÃO GEOMÉTRICA E APLICAÇÕES A PROBLEMAS CONTEXTUALIZADAS
3
Passos da Execução: Construir a reta, o ponto J, ponto sobre a reta, o segmento com extremos no ponto
e em J, usar compasso para encontrar ponto com mesma distância, manipular o ponto para estudar proriedades de simetria, reconhecer justificativa teórica para o fenômeno, construir um ponto com propriedade
especial (qual?). Enunciar o resultado com justificativas.
Observação importante: Saber justificar não é descrever os passos de uma construção, como um procedimento. É saber transmitir seu raciocı́nio e convencer outros (e portanto a si mesmo) da correção do seu
procedimento. Se um aluno souber acompanhar o raciocı́nio de outros, isto conduzirá à reflexão de suas
próprias idéias. 4
Exemplo2: Considere um ponto de ônibus A e dois sı́tios B e C, longes do ponto A. Deseja-se traçar
uma estrada reta a partir do ponto A que passe entre B e C, de modo que a distância de B à estrada seja
a mesma de C à estrada. (Atividade-problema que desenvolve a capacidade de raciocinar a partir de um
conceito anterior).
Vamos usar a técnica de resolução de problemas. Lembremos que a análise inicial e final são as etapas
importantes.
Aprendendo a questionar:
Primeiro passo: Reconhecer o que foi dado no enunciado, e que propriedade(s) é importante para modelar
corretamente o problema. Complete a(s) propriedade(s):
Segundo questionamento: Será que o enunciado sugere algum conceito já aprendido? Você consegue
reconhecê-lo? E como tal conceito pode ser empregado para ajudar a montar uma estratégia?
Quando estabelecer a estratégia de solução, explicite-a antes de começar a execução.
Estratégia de Solução (Escreva):
Execução (Construção geométrica): Descreva brevemente os passos da construção.
Análise da solução: Interprete a solução e justifique. Lembre-se que a justificativa não é somente para
você, deve ser clara e convincente para outros.
Vamos trabalhar agora um problema um pouco diferente dos anteriores. A construção geométrica
envolvida é importante para entender a modelagem do problema, mas o solicitado no problema não é a
construção em si.
Exemplo3: O piso de um farol circular tem um tapete circular no centro. O guarda do farol observou que,
ao colocar uma vara reta inflexı́vel no piso, apoiando suas extremidades na parede, essa vara toca sempre
o tapete em apenas um ponto. Ache a área do piso não coberta pelo tapete. (Adaptado de Milauskas, GA,
“Problemas de geometria criativos podem levar à resolução criativa de problemas criativos”, em Lindquist,
M. & Schulte, AP (organizadores), “Aprendendo e ensinando Geometria”, Editora Atual, 1994).
Atenção ao enunciado, explicitar “as palavras e os conceitos chave” para a construção do modelo
geométrico deste problema. Este é um problema para o qual os recursos da tecnologia ajudam a entender melhor o problema.
Os seguintes dois problemas são exemplos de que a construção geométrica dos modelos, acompanhada
de explorações de situações, favorece a análise inicial e a interpretação do resultado final, enaltecendo as
etapas da resolução de problemas em nı́vel básico. Vamos trabalhar juntos? Lembre-se que ensinar a
resolver problemas não é apresentar uma solução e tentar justificá-la.
4
YURIKO YAMAMOTO BALDIN
Exemplo 4: Deseja-se calcular a distância entre dois postes no pátio da escola, mas existe um grande
arbusto entre eles. Como podemos calcular?
Exemplo5: Achar um meio de calcular o comprimento de uma ponte a ser colocada sobre um rio, entre
dois pontos fixados nas margens opostas do rio, estando numa das margens.
Mais Problemas:
(1) A dois metros de um rio, Carlos montou um acampamento. Carlos saiu para explorar a região da
mata e se afastou do rio. No caminho de retorno, quis passar por rio para pegar água, antes de
chegar ao acampamento. Determine o ponto do rio em que Carlos pegaria a água, de modo que o
caminho percorrido seja o mais curto possı́vel.
(2) Tem-se uma chapa circular de metal, em que se deseja colocar um puxador no meio, para ser usada
como tampa de uma lata. Localize o centro da chapa.
(3) Existe uma ponte reta sobre um rio. Nas extremidades opostas da ponte há um poste e uma árvore.
No alto desses se encontram duas aves que voam à mesma velocidade. Elas avistam um grão de
milho sobre a ponte e saem ao mesmo tempo para bicá-lo. Determinar o ponto onde estava o grão
se as aves chegaram juntas.
Segunda Sessão:
Quando se diz sobre a necessidade de contextualização de problemas de Matemática, o que vem à mente
dos professores das escolas básicas, em geral, é a aplicação 6 dos resultados teóricos da matemática nos
problemas enunciados com dados da vida real. Isto é um aspecto, de fato, mas a contextualização de
conhecimentos adquiridos acontece também quando um resultado é utilizado em outros problemas ou
outras disciplinas, isto é, em outro contexto. Isto é muito importante quando se avança com os tópicos
curriculares, permitindo uma conexão entre os conhecimentos.
Muitas vezes, os professores ficam inseguros ao deparar com perguntas do tipo “Para que serve isso?”
“Para que tenho que estudar isso?”. Uma excelente maneira de enfrentar a situação é apresentar problemas
(da vida real ou não) em que novos conceitos ou técnicas se mostrem relevantes. Um dos objetivos do
ensino de Matemática é também conduzir à compreensão do poder e da belexa intrı́nseca da Matemática
para aprender outras ciências e explorar outras áreas de conhecimento.
Antes de prosseguir, queremos deixar dito que a contextualização também se faz quando aprendemos a
fazer variações de um problema, explorando-o sob ponto de vista diferente ou sob hipóteses modificadas,
isto é, em outro contexto.
Nesta segunda sessão, vamos trabalhar alguns problemas básicos de construção geométrica e sugestões
de contextualizações dos mesmos.
Exemplo A) Estudo da Reflexão, segundo uma reta.
Dada uma reta r e um ponto P fora dela, já vimos como considerar o problema de achar um ponto de
r que esteja à distância mı́nima de P. A construção régua-compasso seguindo praticamente os passos da
construção da reta perpendicular a r por P, como foi feito na sessão anterior, fornece o pé da perpendicular
sobre r. Então o ponto P 0 sobre a perpendicular situado no semi-plano oposto de P, à mesma distância
da reta r, satisfaz a propriedade de ser simétrico de P em relação a X e portanto a r. A transformação
do plano que leva cada ponto P ao seu simétrico P 0 em relação a r é chamada de reflexão segundo r, e
denotada Rr. Esta é uma aplicação do plano no plano que fixa os pontos da reta r e para cada ponto A
fora da reta, a reta r é a mediatriz de A e seu simétrico A0 .
Quando um conceito e sua construção são bem entendidas, o uso de recursos computacionais facilitam a
resolução de muitos problemas. Por exemplo, no Cabri, podemos tanto usar a função “Reta perpendicular”
na construção, ou mesmo “Simetria axial (=Reflexão segundo reta)” quando for aplicar a reflexão.
O conceito de reflexão e suas propriedades ajudam a resolver o problema 1 da lista de exercı́cios da
Sessão anterior. Usar um programa como Cabri para efetivamente constatar que a resposta está certa,
ajuda o aluno a ganhar confiança em resolver problemas de Matemática.
Uma variação do mesmo problema está citado em (C.Garcia, RPM 58, “ Vamos construir?): Um ı́ndio
que mora na casa A quer buscar água no rio e lenha na beirada da mata e levar para casa B. Em que
ponto X do rio e em que ponto Y da mata o ı́ndio tem que buscar a água e a lenha, respectivamente, para
que o trecho percorrido AX + XY + Y B seja o menor possı́vel?
Exemplo B) Estudo da semelhança de triângulos.
PROBLEMAS DE CONSTRUÇÃO GEOMÉTRICA E APLICAÇÕES A PROBLEMAS CONTEXTUALIZADAS
5
Dados dois triângulos ABC e A0 B 0 C 0 , eles são ditos semelhantes se houver uma correspondência biunı́voca
entre seus elementos de modo que ângulos correspondentes são iguais e as arestas correspondentes são proporcionais com a mesma razão, dita razão de proporcionalidade.
B’
C
C’
B’
C
C’
B
A
B
A
A’
A’
Quando dois triângulos são semelhantes, a cópia de um deles a partir de um dos vértices do outro
produz triângulo congruente ao primeiro, com dois lados sobrepostos e o terceiro lado paralelo ao lado
oposto ao ângulo do segundo triângulo, como mostram as figuras acima. O paralelismo entre os lados
resulta do axioma das paralelas, e a proporcionalidade entre as medidas dos lados correspondentes faz
parte do célebre Teorema de Tales.
Este paralelismo entre os lados correspondentes de triângulos semelhantes é uma propriedade chave nos
problemas de construção de figuras semelhantes e nos problemas de aplicação.
Considere por exemplo o seguinte problema
Problema B1: O senhor Mateus tem um galpão de depósito e quer utilizar a parte entre o forro e o
telhado para armazenar caixas cúbicas. O corte frontal do telhado tem a forma de um triângulo, junto
com o chão do forro. Ajude o senhor Mateus a achar a medida da altura da maior caixa que puder ser
colocada sobre o forro.
Utilize o método de resolução de problemas. O processo de modelagem geométrica do problema leva a
considerar o seguinte problema de construção:
“Dado um triângulo inscrever o maior quadrado com um lado sobre uma das arestas. (Qual é o significado
do triângulo no problema? E por quê quadrado?).”
A seguinte figura é eloquente por si só na maneira de construir a figura desejada. Explicite os ingredientes
que estão sendo utilizados para a construção. Como esta construção responde ao problema? Escreva os
passos da construção, com justificativas.
A
B
Y
X
D
W
C
Z
A estratégia essencial usada aqui é construir uma figura auxiliar que corresponde a uma solução “parcial”,
satisfazendo uma das propriedades requeridas pela solução verdadeira e obter esta usando o princı́pio da
semelhança. Para isso, é necessário saber quais são estas propriedades requeridas . . . .
Usando esta mesma idéia, considere o seguinte:
Problema B2: O senhor João é sorveteiro e pensou em confeccionar um cartaz com modelo gigante de
um cone de sorvete de uma bola, e pendurar na frente da sua loja. Mas na posição desejada para o cartaz,
havia uma haste de iluminação batendo na parte em que apareceria a bola de sorvete. Então ele resolveu
desenhar a bola numa posição que ficasse fora da extremidade da haste. Vamos ajudar o senhor João a
desenhar o molde do sorvete.
Enfim, como o modelo vai ser desenhado num cartaz plano, o modelo que vamos usar é um ângulo (com
abertura adequada) em que um cı́rculo (a bola de sorvete) vai ser inscrita, mas com a condição de passar
por um ponto determinado, de modo a evitar a ponta da haste de iluminação. Quais são as propriedades
6
YURIKO YAMAMOTO BALDIN
básicas de um cı́rculo inscrito num ângulo? Confira as idéias na figura acima e monte seus passos da
construção.
Existem sempre muitos problemas bonitos à nossa volta em que a idéia de resolver por semelhança estão
presentes. Tal conceito é essencial para entender a proporcionalidade nas projeções centrais, escalamento
de figuras nos mapas e nas miniaturas, etc. Também V o Ponto que a bola deve passar A O borda da
casquinha 9 são importantes como a proporcionalidade entre medidas lineares afeta a proporcionalidade
entre áreas e volumes de figuras semelhantes.
Exemplo C: Problema de áreas equivalentes.
Para motivar, considere o seguinte problema:
Problema C1: Dado um triângulo ABC encontrar o lado de um quadrado com mesma área.
Este problema é uma contextualização do problema de construção da média geométrica de dois números
reais positivos. Dados a e b, a média geométrica é dada por raiz quadrada do produto ab. Isto é, dados
dois segmentos AB e BC de comprimentos respectivamente a e b, a altura BD do triângulo retângulo com
hipotenusa AB+BC representa geometricamente a média geométrica. Pense na aplicação de semelhança
de triângulos (novamente o conceito de semelhança possui aplicação) para provar que a construção à
direita, na figura abaixo, resolve o problema. A figura à esquerda é aplicação direta desta construção como
estratégia de solução do problema proposto. A tecnologia auxilia para realizar manipulações e explorar as
propriedades das construções.
C
F
A
segmento a
D
E
M
segmento b
I
B G
D
J
O
A
B
C
H
O seguinte problema, deixado como A B C O D segmento a segmento b.
Um exercı́cio bastante fácil mostra que qualquer polı́gono fechado pode ser transformado num triângulo
de área equivalente. Tente. Este resultado junto com a construção do Problema C1 faz com que se conclua
o seguinte:
PROBLEMAS DE CONSTRUÇÃO GEOMÉTRICA E APLICAÇÕES A PROBLEMAS CONTEXTUALIZADAS
7
“Dado qualquer polı́gono fechado, pode-se construir com régua e compasso um quadrado de área equivalente.”
O Problema a seguir também está relacionado com equivalência de áreas. Trata-se de “lúnula de
Hipócrates”, que trabalha área de figura “curvada” equivalente à de figuras poligonais. Isto junto com
o resultado acima enunciado fizeram os antigos pensarem no problema de construir um quadrado, com
régua e compasso, de mesma área de um cı́rculo, o chamado problema da quadratura do cı́rculo. A
impossibilidade deste problema somente foi possı́vel ser estabelecida com avanços da Matemática, depois
do século 16.
Problema C2: Mostre que a região demarcada pelos arcos na figura possui área igual à do triângulo.
Após resolver, uma generalização dele pode ser estudada, conforme a figura a seguir.
Mostre que a soma das áreas das regiões (lúnulas) delimitadas pelos arcos é igual à área do triângulo.
Gostarı́amos ainda de enunciar e trabalhar muitos outros problemas interessantes de construções geométricas
que podem modelar situações contextualizadas. O tempo faz com que terminemos por aqui, mas o convite
para introduzir tópicos de geometria por meio de problemas no ensino de Matemática está feito.
Algumas referências de nossa autoria sobre este tópico:
8
YURIKO YAMAMOTO BALDIN
Referências
[1] Baldin, YY, texto do Mini-Curso “Resolução de problemas e o ensino de geometria”, Reunião Regional da SBPC, Teresina,
2004.
[2] Baldin, YY, Texto do Mini-Curso “A metodologia de Pogorelov para o ensino de construções geométricas, revista com
geometria dinâmica”, II Bienal da SBM, Salvador, 2004.
[3] Baldin, YY, Villagra, GAL, Atividades de Matemática com Cabri-Géomètre II para Cursos de Licenciatura em
Matemática e Professores do Ensino Fundamental e Médio, EdUFSCar, 2002. Obra escolhida pelo Programa Fome
do Livro da Biblioteca Nacional em 2004.
Departamento de Matemática Universidade Federal de São Carlos, São Carlos, SP.
E-mail address: [email protected]