Os Registros de Representação de Triângulos em Livros Didáticos de
Matemática dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental
Amanda Barbosa da Silva1
GD1 – Educação Matemática nos anos Iniciais do Ensino Fundamental
Resumo:
O presente artigo é resultado de um estudo de mestrado, o texto apresenta, em síntese, a análise de 22 coleções
de livros didáticos de matemática destinados aos anos iniciais do ensino fundamental. Os livros analisados
fazem parte do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) de 2013. Para subsidiar a análise das
representações de triângulo foram estabelecidos os seguintes critérios: comprimento dos lados, medida dos
ângulos e a posição dos lados na página. Além disso, foram identificadas as atividades de conversão de registros
envolvendo triângulos representados em registro figural e no registro em língua natural. Para o estudo das
representações e da conversão de registros recorremos a Teoria das Representações Semióticas de Raymond
Duval. Os resultados indicam que há poucas atividades de conversão de registros com triângulos e com base
nos critérios estabelecidos, há pouca variedade de representações de triângulos, tendo o livro didático como
um elemento condicionante à prática de ensino do professor, a falta de variabilidade de representações de
triângulo, pode levar a uma compreensão monoregistro, ou seja, a dificuldade de reconhecer o objeto
matemático quando em diferentes registros de representação.
Palavras-chave: Triângulo. Livro didático. Anos iniciais. Raymond Duval.
As representações de triângulo e o livro didático
O triângulo é uma das figuras geométricas planas mais importantes na matemática e está
presente no ensino escolar desde os anos iniciais. Sua aparente simplicidade esconde uma
surpreendente riqueza de propriedades geométricas e de aplicações práticas, estabelecidas
ao longo da evolução desse saber. E mais, as questões epistemológicas e cognitivas relativas
1
Professora Substituta da Universidade Federal de Pernambuco, e-mail: [email protected],
orientador: Drº Paulo Figueiredo Lima.
ao conhecimento das figuras geométricas se fazem inteiramente presentes quando se trata do
triângulo. Convém notar, ainda, que muitas das dificuldades de ensino e aprendizagem no
campo da geometria já surgem no caso dessa figura geométrica tão básica.
O triângulo é tema de todos os livros para o ensino fundamental, além disso, o livro didático
ainda é o principal recurso nas escolas, sendo também um forte condicionante da prática do
professor. Com o estudo exploratório realizado em uma coleção de livro didático dos anos
iniciais e aprovada no Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) de 2013, revelou-nos
que os triângulos são representados, muito frequentemente, por desenhos (ou por outras
imagens gráficas) de triângulos equiláteros ou de triângulos isósceles2 e, com muito menor
frequência, por desenhos de triângulos escalenos. Quanto à disposição da representação
gráfica de triângulos, predominam os casos em que um dos lados do triângulo é paralelo à
margem inferior da página do livro (indicada por um retângulo na Figura 1, abaixo) e o
terceiro vértice situa-se acima desse lado, no texto, a posição abaixo é chamada de posição
horizontal. Esta coleção está inserida na pesquisa sendo denominada de Coleção de Livro
Didático um (CLD1).
Figura 1- Triângulo paralelo à margem inferior da página
Fonte: Elaborado pela autora
Apesar de todos os avanços em recursos tecnológicos, podemos afirmar que o livro didático
não perdeu espaço na escola. O livro didático é um recurso disponível nas escolas e ainda é
utilizado como referência de conteúdos para o professor. Por isso, disponibilizar um texto de
qualidade que ajude no desafio de ensino e aprendizagem da Matemática tem sido o objetivo
2
Usualmente, no ensino fundamental, escolhe-se chamar de triângulos isósceles os que são isósceles, mas não
equiláteros. Embora essa não seja a opção que prevalece na matemática mais avançada, adotamos, neste
trabalho, a denominação usual.
principal do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD). As coleções do PNLD de 2013
são voltadas para os anos iniciais do ensino fundamental e estão organizadas em dois grupos:
as coleções para a alfabetização matemática, que são para os
1º, 2º e 3º anos e, em seguida, as coleções para os 4º e 5º anos.
Diante da necessidade de trabalhar conceitos no decorrer de toda a escolarização, o livro
didático é um recurso muito importante para o ensino e a aprendizagem desses conceitos,
por isso destacamos em Carvalho e Lima (2010, p. 19) que “[...] no processo de
aprendizagem, e no livro didático em particular, é preciso enfrentar a difícil tarefa de
garantir, ao mesmo tempo, que os conceitos focalizados estejam corretos e sejam trabalhados
com uma didática adequada”. Segundo Duval (2011, p. 18), “diferentemente do objeto, suas
representações mudam ao mesmo tempo segundo os pontos de vista considerados e os
sistemas utilizados para produzir uma representação.” Ainda segundo o autor,
O objeto aparece como o invariante do conjunto de variações possíveis de suas
representações. Assim, em geometria, o triângulo não é nenhuma das figuras
particulares por meio das quais o representamos [...]. (DUVAL, 2011, p. 18).
Percebemos então que a própria definição de triângulo em língua natural, constitui uma de
suas possíveis representações em um registro, a língua natural. A apreensão do conceito de
triângulo (a apreensão conceitual do objeto triângulo), com base na Teoria das
Representações Semióticas, é inseparável de sua representação, pois de acordo com Duval,
apreensão conceitual de um objeto matemático é inseparável da apreensão ou a produção de
uma representação semiótica. Mesmo com esta relação estreita entre representação e
conceitualização, é essencial para aprendizagem que o indivíduo seja capaz de separar o
objeto, que é invariante, de suas possíveis representações. Como temos acesso ao objeto
triângulo, as suas representações é que nos auxiliam no processo de apreensão conceitual.
A Teoria das Representações Semióticas
A evolução do conhecimento matemático, historicamente, acompanha o desenvolvimento
das representações, símbolos e linguagem matemática. Portanto, não podemos limitar as
representações a simples função de comunicação. As representações, sejam elas discursivas
(textos) ou não discursivas (gráficos, tabelas, símbolos), participam também da atividade
cognitiva. Segundo Duval (2012a, p.270, grifo do autor) “se é chamada “semiose” a
apreensão ou a produção de uma representação semiótica, e “noesis” a apreensão conceitual
de um objeto, é preciso afirmar que a noesis é inseparável da semiose.”
Com base na Teoria dos Registros de Representação Semiótica, há dois tipos de
transformações de registros de representação: o tratamento e a conversão. O tratamento é
quando a transformação permanece no mesmo sistema, já a conversão ocorre quando há
mudança de sistema, porém conserva-se a referência aos mesmos objetos. A conversão é a
transformação de um registro em outro. Por exemplo, quando, no discurso, usamos a palavra
‘triângulo’ e a associamos a um determinado desenho (de triângulo) estabelecemos uma
conversão do registro da linguagem natural para o registro figural. No sentido oposto, quando
temos um desenho e atribuímos a ele o termo ‘triângulo’ estamos convertendo o registro
figural no registro da língua natural.
O pesquisador francês adverte que, no caso citado anteriormente, não se trata de uma
operação simples e localizada, redutível a uma mera associação ou codificação entre dois
registros (Ver Duval, 2003, p. 16 e 17). Como se trata de conversões entre registros, toda a
complexidade dessa operação poderia ser explorada, o que, segundo Duval, não tem sido
feito no ensino usual. No presente trabalho, limitamo-nos a constatar situações em que se
verifica a existência dos dois registros – língua natural e registro figural – atribuindo-lhe o
estatuto de conversão.
Nos anos iniciais os alunos estão vivenciando uma fase crucial para o desenvolvimento
cognitivo e para aprendizagem em matemática que é a alfabetização matemática, nessa fase
o acesso à diversidade de registros e a mobilização deles é condição indispensável para a
aprendizagem em matemática, é com as atividades de conversão que os alunos podem
transitar entre os diferentes registros identificando o mesmo objeto matemático em diferentes
representações.
A análise das representações
Nos livros didáticos, a predominância ou quase totalidade de representações como a figura
1 acima, pode influenciar negativamente o reconhecimento das representações de triângulos
nos anos iniciais, pois com base na teoria das representações semióticas podemos afirmar
que a diversidade de representações é essencial para a aprendizagem matemática. Além
disso, investigações sobre o ensino e a aprendizagem da Matemática, Bueno (2009), Brito e
Pirola (2005), Pirola (1995), tem indicado que os alunos revelam dificuldade de identificar
um triângulo quando sua imagem gráfica não se inclui em nenhum dos padrões dominantes
aqui referidos. Esses fatos nos motivaram a investigar se tais padrões dominantes ocorrem
nos livros utilizados no ensino fundamental.
Todas as representações com foco em triângulos foram analisadas, com exceção apenas dos
seguintes casos: as representações de triângulos em obras de artes, pois são situações que
nem sempre o desenho apresentado é um triângulo de fato. Pelo mesmo motivo, também não
serão consideradas as representações referentes a objetos físicos, como símbolos de trânsito
e símbolos de reciclagem. As representações que relacionam triângulos com imagens que
evolvem perspectiva ou figuras espaciais não serão analisadas porque exigem uma ampla
discussão sobre perspectiva e figuras tridimensionais, o que não é o foco da presente
pesquisa, também não foram analisadas as malhas triangulares pela imprecisão de contagem
de triângulos que a malha permite.
Foram analisadas separadamente, as representações de triângulos nomeadas com o intuito de
verificar a variedade de representações de triângulo, quando são nomeadas, geralmente, as
representações de triângulos estão nos capítulos destinados ao estudo da Geometria, nos
quais se estudam as formas geométricas.
Para o estudo das representações de triângulos foram estabelecidos critérios. A escolha dos
critérios foi motivada pela caracterização da representação de triângulo presente em
pesquisas anteriores, elas indicaram que os alunos têm dificuldade em identificar
determinadas representações de triângulos, por isso à análise dos triângulos é voltada para
analisar se tais representações são as que mais aparecem nas coleções. Já o levantamento
das atividades de conversão pode indicar como são propostas as conversões relacionadas ao
registro figural dos triângulos e ao registro em língua natural nos anos inicias. Para
referenciar as coleções foi usada a legenda CLD (Coleção de Livro didático) seguida de um
número, as 22 coleções analisadas foram aprovadas no PNLD de 2013 para os cinco anos
iniciais do ensino fundamental. Os critérios foram os seguintes:
•
Comprimento dos lados: triângulos equiláteros, isósceles, escalenos.
•
Medida dos ângulos: triângulos acutângulos, retângulos, obtusângulos.
•
Posição das representações gráficas dos triângulos na página.
•
Mapeamento exploratório de atividades em que se propõem aos alunos conversões
entre os registros da língua natural e o registro figural
Para medição dos lados e ângulos foram utilizados régua e transferidor, considerando a
margem de erro de milímetro. É importante destacar que em várias representações no
próprio livro didático encontramos as classificações referentes a lados e ângulos no livro
do professor, portanto, nestes casos foi dispensado o uso dos instrumentos de medição.
Com base na Teoria dos Registros de Representação Semiótica, a conversão de registros
não deve ser feita apenas em um dos sentidos, sendo necessário apresentá-la nos dois
sentidos da conversão. Sabemos que ao mudar o sentido da conversão, ou seja, o registro
de partida e o registro de chegada, trata-se de outra atividade de conversão. As figuras 2
e 3 abaixo exemplificam a conversão de registros nos dois sentidos investigados na
pesquisa.
Figura 2 - Atividade de conversão do registro figural para o registro em língua materna
Fonte: CLD1, vol. 4, p. 185
Figura 3 - Conversão de língua natural para registro figural Fonte:
CLD1, vol. 2, p. 179
Manual do professor
Ao analisar os manuais dos livros didáticos selecionados, nosso objetivo foi de verificar em
que medida a questão da variabilidade da representação de triângulos estava presente nas
orientações dirigidas ao professor. O resultado dessa investigação exploratória mostrou-nos
que a mencionada questão está muito pouco presente nos manuais e, quando surge, é tratada
muito superficialmente, apenas o manual das coleções CLD3, CLD9, CLD16 apresentam
alguma referência a variabilidade das representações de triângulos. É importante salientar
que essas orientações não estão presentes em todos os cinco volumes das coleções CLD3,
CLD4, CLD9 e CLD16, portanto são comentários que estão isolados em alguns manuais da
coleção. Esse fato nos mostra que não há uma continuidade na proposta de apresentar
diferentes representações de triângulos ao longo dos cinco anos, desse modo, o professor
recebe orientações fragmentadas e que não acompanham o processo de formação do aluno
ao longo dos cinco anos.
Resultados da análise
A análise dos resultados confirma nossas hipóteses e que os critérios estabelecidos foram
adequados. De fato, nas coleções, quase todas as representações são de triângulos equiláteros
ou isósceles, sendo reduzido o número das imagens gráficas dos triângulos escalenos.
Apenas em três coleções CLD3, CLD13 e CLD15, esse padrão não é seguido, em especial
na primeira delas. Observamos que, em dezenove coleções (86, 4%), a maioria das
representações foi de triângulos isósceles e três coleções (13,6%) apresentaram como
maioria as representações de triângulos equiláteros.
Quando investigamos as representações nomeadas de triângulo (quando o registro em língua
materna e o registro figural estão associados), a quantidade de representações de triângulos
escalenos aumenta em relação às demais; no entanto, ainda representa apenas oito coleções
das vinte e duas.
Constatamos, ainda, que em catorze coleções (63,6%) predominam representações de
triângulos acutângulos, enquanto em oito coleções (36,4%) a maioria recai em
representações de triângulos retângulos. As ocorrências de representações de triângulos
obtusângulos, em face das representações dos acutângulos e dos retângulos, é ainda menor
quando consideramos as representações nomeadas.
Podemos concluir, em resumo, que 63% das coleções analisadas, mais de metade das
representações gráficas de triângulos estão na “posição horizontal” ( ver figura 1); em 27%
das obras, o percentual correspondente a essa disposição na página é acima de 40%; em duas
coleções, este último percentual cai para cerca de
37%. A posição horizontal das
representações na página, também predomina nas representações de triângulos nomeados.
Em relação à conversão de registros, verificamos que em oito coleções (36,4%) a maioria
das conversões foram do registro figural para o registro em língua natural, enquanto doze
coleções (54,5%) tiveram como maioria as conversões no sentido: registro em língua natural
para o registro figural e, em duas coleções (9,1%) o número de conversões nos dois sentidos
foi igual.
É importante salientar que uma única coleção apresentou conversões apenas em um sentido,
da língua materna para o registro figural. Com base na Teoria dos Registros de
Representação Semiótica, a conversão de registros não deve ser feita apenas em um dos
sentidos, sendo necessário apresentá-la nos dois sentidos da conversão. Sabemos que ao
mudar o sentido da conversão, ou seja, o registro de partida e o registro de chegada, tratase
de outra atividade de conversão.
Considerações Finais
Podemos afirmar que a presente pesquisa deixa uma contribuição aos estudos anteriores, pois
Bueno (2009), Brito e Pirola (2005) e Pirola (1995) investigaram o reconhecimento de
representações de figuras geométricas com alunos, enquanto o presente estudo analisou as
representações de triângulos nos livros didáticos. Além disso, o baixo número de atividades
de conversões de registros nos livros didáticos é um dado relevante quando dialogamos com
a teoria das representações semióticas, pois a mesma enfatiza a conversão como uma
atividade muito importante na aprendizagem.
O reconhecimento das diferentes representações do triângulo é essencial à aprendizagem,
com base em nossa fundamentação teórica, a conceitualização e a representação estão
intimamente ligadas.
Segundo Duval (2003, p. 21) “a compreensão em matemática implica a capacidade de mudar
de registro. Isso porque não se deve jamais confundir um objeto e sua representação”. Ainda
segundo o autor, Duval (2003, p.29) ressalta que “nos indivíduos em formação e
desenvolvimento inicial o progresso dos conhecimentos matemáticos depende da
coordenação de registros de representação semiótica”. Logo, percebemos que a variedade de
representações de registros e as atividades de conversão são muito importantes para a
aprendizagem e devem estar presentes no ensino de matemática desde os anos iniciais.
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