Da Geometria Euclidiana aos Vectores Livres
Armando Machado
Índice
Introdução
2
1. Primeiras noções básicas e primeiros axiomas
5
2. Axioma de separação do plano
14
3. Ângulos
20
4. Triângulos
36
5. Isometrias e Aplicações
64
6. Quadriláteros e Paralelogramos
77
7. Paralelismo e o Axioma das Paralelas
85
8. Teorema de Thales e semelhança
96
9. Outros resultados sobre isometrias; Translações e vectores
105
10. Ângulo de vectores, ortogonalidade, produto interno
133
11. Geometria da Circunferência
150
Apêndice 1. As funções trigonométricas dos Analistas
161
Novembro de 2005
– 1–
Introdução
Este texto é um ensaio de desenvolvimento da Geometria Euclidiana,
do ponto de vista axiomático, tendo em vista chegar a uma definição dos
vectores livres e ao estudo das suas propriedades algébricas. A via axiomática
seguida é a introduzida por Moïse, E. E., Elementary Geometry from an
Advanced Standpoint, Addison-Wesley, 1990, e que se caracteriza pela
introdução de axiomas métricos para os comprimentos e os ângulos (o axioma da
régua e o do transferidor), baseados no preconhecimento das propriedades dos
números reais.
Também baseados na via seguida por Moïse, existem pelo menos mais
dois textos em língua portuguesa, o livro de Paulo Ventura Araújo, Curso de
Geometria, publicado pela Gradiva em 1998, e o de A. J. Franco Oliveira,
Geometria Euclidiana, publicado pela Universidade Aberta em 1995. O nosso
texto difere destes em vários pontos. Em primeiro lugar é bastante menos
ambicioso, tendo como objectivo essencial chegar à noção de vector livre e a
algumas aplicações dos vectores livres à Geometria. Em segundo lugar é
bastante mais detalhado nas demonstrações e nas referências a resultados
anteriores. Esta segunda característica torna-o mais pesado e, eventualmente,
aborrecido, se for estudado na forma tradicional de um texto impresso, mas
poderá ser útil se, como temos em vista, ele for utilizado no monitor do
computador, como ficheiro pdf, com as referências associadas a “links” que
enviam, com possibilidade de retorno à origem, para os resultados citados.
Destacamos a seguir alguns pontos em que a nossa opção foi diferente
da tomada por Moïse e pelos autores portugueses atrás referidos.
Relativamente aos axiomas métricos, pareceu-nos pouco natural
(apesar de perfeitamente legítimo do ponto de vista formal) ser dada como noção
primitiva uma função distância que associa a cada par de pontos do espaço um
número real. A existência de uma tal função distância privilegiada corresponde à
ideia de uma unidade de medida dada a priori, quando é certo que a nossa
experiência geométrica nos diz que uma tal unidade não existe. Preferimos assim
tomar, em vez disso, como noção primitiva um conjunto “completo” de funções
distância, cada uma múltipla de qualquer outra, correspondendo às diferentes
unidades de medida que é possível escolher. Se é verdade que disso resultou
uma ligeira complicação para alguns enunciados, pareceu-nos ter ganho alguma
coisa na compreensão geométrica do espaço e, mais geralmente com o
estabelecimento de relações com a problemática dos diferentes tipos de grandeza
em Física. Em particular um comprimento não é um número real mas uma
família de números reais indexada no conjunto das funções distância, família que
deve verificar uma condição de homogeneidade natural, e torna-se evidente que
nunca pode ter significado geométrico, por exemplo, um resultado que afirme a
– 2–
igualdade de um comprimento com um produto de dois comprimentos. A partir
de certa altura torna-se naturalmente conveniente, para não cair em exageros de
formalismo, pressupor a fixação de uma função distância, por exemplo quando
se discute o produto interno de dois vectores, mas pensamos que nessa altura já
será claro para o leitor como se poderia proceder se se fizesse questão de não
fixar uma tal unidade de medida.
Escolhemos enunciar o axioma de separação do plano através da
exigência de que uma certa relação no complementar duma recta num plano é de
equivalência e tem duas classes de equivalência, que vão ser os semiplanos
abertos. Esse enunciado pareceu-nos preferível àquele que afirma que o
complementar referido é união de dois convexos verificando uma certa condição
e que são então os semiplanos abertos, por este último escamotear a necessidade
de justificar que uma tal decomposição é única. Também constatámos que o
resultado correspondente para a separação do espaço por um plano é um teorema
e não necessita assim de ser tomado como um novo axioma.
Preferimos definir ângulo como um conjunto de duas semirrectas com
a mesma origem, contidas em rectas distintas, em vez da união dessas
semirrectas. Evitámos assim a necessidade de mostrar que os lados dum ângulo
são semirrectas bem definidas. Dentro do mesmo espírito, preferimos definir
triângulo como um triplo ordenado de três pontos não colineares, o que nos
permite simplificar o enunciado dos resultados envolvendo a congruência de
triângulos.
Relativamente aos axiomas de medida dos ângulos, preferimos utilizar
como unidade de medida o ângulo recto, em vez do grau. Se é verdade que o
mais cómodo a prazo seria utilizar desdo o início o radiano, partindo do número
1 definido de forma analítica, isso pareceu-nos pouco natural, tal como nos
pareceu a utilização do grau. Constatámos também que um dos axiomas sobre a
medição dos ângulos, aquele que afirma que a soma das medidas de dois ângulos
adjacentes é igual a dois rectos, é de facto um teorema.
Apresentamos um estudo elementar das isometrias, definidas numa
recta, num plano ou no espaço, e de algumas das suas propriedades, sem
preocupações de fazer a classificação destas. Como exemplos fundamentais,
começamos por apresentar as inversões, relativamente a um ponto, a uma recta
ou a um plano, e utilizamo-las no estudo da perpendicularidade entre uma recta e
um plano.
As translações são definidas como as isometrias que se podem obter
como compostas de duas inversões pontuais e as suas propriedades fundamentais
são estabelecidas, em particular a de uma translação ficar bem definida quando
se dá arbitrariamente a imagem de um ponto do espaço e o facto de o conjunto
das translações ser um grupo comutativo relativamente à operação de
composição. Os vectores livres são identificados com as translações e não
definidos como classes de equivalência de segmentos orientados, embora a
posteriori a relação entre os dois modos de aproximação a esta noção fique clara
– 3–
e seja o espírito da segunda aproximação aquele que está presente quando se
Ä
define o produto de um vector por um núero real. Em particular o vector EF é
definido como a única translação que aplica E em F , nomeadamente a composta
da inversão relativamente a E seguida da inversão relativamente ao ponto médio
do par ÐEß FÑ. São estudadas as propriedades de espaço vectorial nos vectores
livres e os subespaços vectoriais próprios e diferentes de Ö!× são identificados
como as rectas e os planos vectoriais. O prodto interno de vectores é definido,
primeiro para vectores colineares e depois para vectores arbitrários, utilizando
nesse caso a projecção ortogonal do segundo vector sobre a recta vectorial
definida pelo primeiro, sendo provada a comutatividade e as propriedades de
bilinearidade.
O cosseno, primeiro de um par de vectores não nulos, e depois de um
ângulo, é definido a partir do produto interno, o que leva a alguma simplificação
na discussão da questão do sinal. O seno é definido a partir do cosseno e são
estabelecidas as fórmulas para o cosseno da soma de dois ângulos e, a partir
desta, para o cosseno da metade de um ângulo. Essa fórmulas são utilizadas, em
particular para relacionar as funções trigonométricas assim definidas com as
definidas de modo analítico. Uma das definições analíticas das funções
trigonométricas é apresentada num apêndice.
Referimos enfim que este trabalho necessitaria de uma revisão mais
cuidada se o objectivo fosse o de uma publicação mais formal. Em particular
temos a consciência de que algumas notações alternativas são introduzidas, sem
que venham a ser utilizadas no seguimento, e que alguma propriedades técnicas
são estabelecidas sem que a sua utilidade se viesse a confirmar posteriormente.
– 4–
1. Primeiras noções básicas e primeiros axiomas.
1.1 (Primeiras noções primitivas) Supomos dados, como noções primitivas, um
conjunto X , cujos elementos T são chamados pontos, um conjunto e de
partes de X , cujos elementos < são chamados rectas, um conjunto c de partes
de X , cujos elementos ! são chamados planos, e um conjunto Y de aplicações .À X ‚ X Ä Ò!ß _Ò, cujos elementos são chamados funções distância,
supondo-se verificados os axiomas que iremos descrevendo a seguir:
1.2 (Definições) Um conjunto (ou família) de pontos diz-se colinear
(respectivamente complanar) se existir uma recta < − e (respectivamente
um plano ! − c ) que contenha todos os seus elementos. Dois subconjuntos
de X dizem-se concorrentes se a sua intersecção é um conjunto unitário ÖT ×.
1.3 (Axiomas de incidência)
a) O conjunto X é não vazio.
b) Quaisquer que sejam T ß U − X , T e U são colineares e, no caso em que
T Á U existe uma, e uma só, recta < − e tal que T ß U − <.
c) Qualquer que seja a recta < − e, existem T ß U − < com T Á U.
d) Quaisquer que sejam T ß Uß V − X , T , U e V são complanares e, no caso
em que eles não são colineares, existe um, e um só, plano ! − c , tal que
T ß Uß V − !.
e) Qualquer que seja o plano ! − c , existe T ß Uß V − ! não colineares.
f) Quaisquer que sejam < − e e ! − c , ou <  ! œ g, ou < § !, ou < e ! são
concorrentes.
g) Se !ß " − c então ! e " não são concorrentes.
h) Existem T ß Uß Vß W − X não complanares.
Vamos agora tirar algumas consequências simples dos axiomas de
incidência que agrupamos para uma melhor sistematização.
1.4 (Planaridade das rectas) Sejam ! − c um plano, T ß U − ! com T Á U e
< − e tal que T ß U − <. Então < § !.
Dem: Uma vez que <  ! Á g e < e ! não são concorrentes, resulta do
axioma f) em 1.3 que < § !Þ
…
1.5 (Os pontos são distintos)
a) Se T ß Uß V são não colineares, então são três pontos distintos.
b) Se T ß Uß Vß W são não complanares, então são quatro pontos distintos.
Dem: a) Se dois dos três pontos são iguais, resulta do axioma b) em 1.3 que
os pontos são colineares.
b) Se dois dos quatro pontos são iguais, resulta do axioma d) em 1.3 que os
pontos são colineares.
– 5–
1.6 (Resultados de existência)
a) Para cada T − X , existe uma recta < − e e um plano ! − c tais que
T − < e T − !. Em particular, existem rectas e existem planos (e Á g e
c Á g).
b) Para cada recta < − e e cada T − <, existe U − < com U Á T .
c) Para cada recta < − e, existe um plano ! − c tal que < § !Þ
d) Para cada recta < − e e plano ! − c , existe T − ! com T Â <.
e) Para cada plano !, existe T − X com T Â !Þ
f) Para cada plano ! − c e cada T − !, existem rectas >ß < § ! com T − > e
T Â <.
Dem: a) Trata-se de uma consequência de X ser não vazio e dos axiomas b) e
d) em 1.3 (no primeiro caso com U œ T e no segundo com U œ V œ T ).
b) Pelo axioma c) em 1.3, existem Vß W − < com V Á W , pelo que basta
tomar para U um destes dois pontos.
c) Sejam T ß U − < com T Á U. Tendo em conta o axioma d) em 1.3, existe
um plano ! contendo os pontos T ß Uß U e resulta então de 1.4 que < § !.
d) Se isso não acontecesse, qualquer subconjunto de ! estava contido em <,
sendo assim colinear, o que contrariava o axioma e) em 1.3.
e) Se isso não acontecesse, qualquer subconjunto de X estava contido em !,
sendo assim complanar, o que contrariava o axioma h) em 1.3.
f) Sejam, pelo axioma e) em 1.3, Uß Vß W − ! não colineares, em particular
todos distintos. Um deles, por exemplo U, é distinto de T e, sendo > − e a
única recta tal que T ß U − > (cf. o axioma b) em 1.3), resulta de 1.4 que
> § !. Mais uma vez pelo axioma b) em 1.3, podemos considerar a única
recta < − e tal que Uß V − < e a única recta = − e tal que Uß W − =, rectas
para as quais, mais uma vez por 1.4, se tem < § ! e = § !. Tem-se < Á =,
sem o que Uß Vß W eram colineares, e portanto, por ser T Á U, a parte de
unicidade no axioma b) de 1.3 implica que T não pode pertencer a ambas as
rectas < e =, por exemplo T Â <.
…
1.7 (Resultados de inclusão e de intersecção)
a) Dados <ß = − e com < § =, tem-se < œ =.
b) Dados !ß " − c com ! § " , tem-se ! œ " .
c) Dados <ß = − e, com < Á =, e <  = Á g, então < e = são concorrentes.
d) Dados !ß " − c com ! Á " e !  " Á g, tem-se que !  " é uma recta.
Dem: a) Pelo axioma c) em 1.3, podemos considerar T Á U em <, e portanto
em =, e então resulta do axioma b) em 1.3 que < œ =.
b) Pelo axioma e) em 1.3, podemos considerar T ß Uß V não colineares em !,
e portanto em " , e então resulta do axioma d) em 1.3 que ! œ " .
c) Sendo T − <  =, se as rectas não fossem concorrentes, existia U Á T ,
com U − <  =, então, pelo axioma d) em 1.3, tinha-se < œ =.
d) Suponhamos que !  " Á g e seja T − !  " . Pelo axioma g) em 1.3
existe U − !  " com T Á U. Pelo axioma b) em 1.3, existe uma única recta
< tal que T ß U − < e, por 1.4, tem-se então < § !  " . Se não fosse
< œ !  " , existia V − !  " tal que V  <. Uma vez que < é a única recta
– 6–
que contém T e U, segue-se que T ß Uß V são não colineares e portanto, pelo
axioma d) em 1.3, vinha ! œ " .
1.8 (Outras formas de “definir” um plano)
a) Se < − e e T Â <, então existe um, e um só ! − c tal que < § ! e T − !.
b) Se <ß = − e concorrentes, há um, e um só ! − c tal que < § ! e = § !.
Dem: a) Sejam Uß V − < com U Á V . Uma vez que < é a única recta que
contém U e V e T Â <, segue-se que T ß Uß V são não colineares e assim,
pelo axioma d) em 1.3, existe um único plano ! − c que contém T ß Uß V .
Por 1.4, tem-se < § ! e a unicidade de ! contendo < e T resulta de que
qualquer plano nessas condições também contém U e V .
b) Seja <  = œ ÖT ×. Pelo axioma c) em 1.3, existe U − < com U Á T . Do
mesmo modo, existe V − = com V Á T . O facto de ser <  = œ ÖT × implica
que V Â <. Pelo que vimos em a), existe um único plano ! tal que < § ! e
V − ! e, por 1.4, tem-se também = § !. A unicidade resulta da unicidade em
a) e de que qualquer plano que contivesse < e =, continha também V .
…
Vamos agora introduzir os axiomas que fazem intervir a classe Y de
funções-distância.
1.9 (Axiomas métricos)
a) (Primeiro axioma da conformalidade) Quaisquer que sejam .ß . w − Y ,
existe -  ! em ‘ tal que . w œ -. , isto é, . w ÐT ß UÑ œ -.ÐT ß UÑ, quaisquer
que sejam T ß U − X .
b) (Segundo axioma da conformalidade) Quaisquer que sejam . − Y e
-  ! em ‘, . w œ -. − Y .
c) (Axioma de régua graduada) Para cada recta < − e, existe uma bijecção
0 À < Ä ‘ tal que, para um certo . − Y , se tenha, quaisquer que sejam
T ß U − X, .ÐT ß UÑ œ l0 ÐUÑ  0 ÐT Ñl.
1.10 (Definição) A uma bijecção 0 À < Ä ‘, que verifique as condições do
axioma c) em 1.9, damos o nome de sistema de coordenadas da recta < ou, se
quisermos ser mais precisos, o de .-sistema de coordenadas. Ao ponto
S œ 0 " Ð!Ñ dá-se o nome de origem do sistema de coordenadas.
1.11 (Propriedades das funções-distância) Cada função-distância . − Y
verifica as propriedades .ÐT ß UÑ œ .ÐUß T Ñ e .ÐT ß UÑ œ ! Í T œ U.1
Dem: Dados T ß U − X , podemos escolher uma recta < com T ß U − <, e um
. w -sistema de coordenadas 0 À < Ä ‘. Para a função distância . w , a igualdade
. w ÐT ß UÑ œ l0 ÐUÑ  0 ÐT Ñl implica imediatamente que se tem . w ÐT ß UÑ œ
. w ÐUß T Ñ e . w ÐT ß UÑ œ ! Í T œ U. O facto de as mesmas propriedades
serem verificadas por qualquer função distância . é uma consequência
imediata do axioma a) em 1.9.
…
1Repare-se
que, tendo em conta o axioma a), se uma das funções-distância . verifica esta
propriedade, o mesmo acontece com todas as outras.
– 7–
1.12 (Mudança de sistema de coordenadas I) Sejam 0 À < Ä ‘ um . -sistema
de coordenadas. Tem-se então:
a) Se - − ‘ Ï Ö!×, então a bijecção 1À < Ä ‘ definida por 1ÐT Ñ œ -0 ÐT Ñ é
um Ðl-l .Ñ-sistema de coordenadas com a mesma origem. Em particular, para
cada s
. − Y , a recta < admite um s
. -sistema de coordenadas.
b) Se + − ‘, então a bijecção 2À < Ä ‘ definida por 2ÐT Ñ œ 0 ÐT Ñ  + é um
. -sistema de coordenadas com origem 0 " Ð+Ñ.
Dem: a) De ser 0 ÐSÑ œ !, sai ainda 1ÐSÑ œ ! e vemos que
l1ÐUÑ  1ÐT Ñl œ l-Ð0 ÐUÑ  0 ÐT Ñl  l-ll0 ÐUÑ  0 ÐT Ñl œ l-l .ÐT ß UÑ.
A última afirmação resulta de que qualquer s
. − Y é da forma -. , para algum
-  !.
b) Tem-se 2Ð0 " Ð+ÑÑ œ 0 Ð0 " Ð+ÑÑ  + œ ! e
l2ÐUÑ  2ÐT Ñl œ l0 ÐUÑ  +  0 ÐT Ñ  +l œ l0 ÐUÑ  0 ÐT Ñl œ .ÐT ß UÑ. …
1.13 (Lema) Seja :À ‘ Ä ‘ uma aplicação tal que :Ð!Ñ œ ! e que, quaisquer
que sejam Bß C − ‘, l:ÐBÑ  :ÐCÑl œ lB  Cl. Tem-se então que ou : œ M.‘
ou : œ M.‘ .
Dem: Para cada B − ‘, vem
l:ÐBÑl œ l:ÐBÑ  :Ð!Ñl œ lB  !l œ lBl,
e portanto, ou :ÐBÑ œ B ou :ÐBÑ œ B. É claro que, para B œ ! tem-se
simultaneamente :ÐBÑ œ B e :ÐBÑ œ B, pelo que, se não fosse : œ M.‘
nem : œ M.‘ , existiam B Á ! e C Á ! tais que :ÐBÑ œ B e :ÐCÑ œ C .
Podíamos então escrever
lB  Cl œ l:ÐBÑ  :ÐCÑl œ lB  Cl,
portanto, ou B  C œ B  C ou B  C œ C  B; no primeiro caso vinha C œ !
e no segundo vinha B œ !, pelo que, em ambos os casos, chegámos a um
absurdo.
…
1.14 (Mudança de sistema de coordenadas II) Sejam < − e uma recta,
.ß s
. − Y duas funções-distância, 0 À < Ä ‘ um . -sistema de coordenadas e
s0 À < Ä ‘ um s
. -sistema de coordenadas. Existem então - − ‘ Ï Ö!× e + − ‘
únicos tais que, qualquer que seja T − <,
s0 ÐT Ñ œ -0 ÐT Ñ  +,
tendo-se então s
. œ l-l . .
w
Dem: Seja -  ! tal que s
. œ - w . e ponhamos + œ s0 Ð0 " Ð!ÑÑ. Seja
:À ‘ Ä ‘ a aplicação definida por
B
:ÐBÑ œ s0 Ð0 " Ð w ÑÑ  +.
– 8–
Tem-se :Ð!Ñ œ ! e
s Ð0 " Ð B ÑÑ  +  s0 Ð0 " Ð C ÑÑ  +l œ
l:ÐBÑ  :ÐCÑl œ l0
-w
-w
B
C
B
C
"
"
"
s Ð0 Ð ÑÑ  s0 Ð0 Ð ÑÑl œ s
œ l0
.Ð0 Ð w Ñß 0 " Ð w ÑÑ œ
w
w
B
C
B
C
œ - w .Ð0 " Ð w Ñß 0 " Ð w ÑÑ œ - w l w  w l œ lB  Cl.
Podemos assim concluir, pelo lema precedente, que, ou : œ M.‘ , ou
: œ M.‘ . No primeiro caso, pondo - œ - w , vem, para cada T − <,
considerando B œ - w 0 ÐT Ñ,
-0 ÐT Ñ œ B œ :ÐBÑ œ s0 ÐT Ñ  +,
isto é, s0 ÐT Ñ œ -0 ÐT Ñ  +. No segundo caso, pondo - œ - w , vem, para cada
T − <, considerando B œ - w 0 ÐT Ñ,
-0 ÐT Ñ œ B œ :ÐBÑ œ s0 ÐT Ñ  +,
isto é, s0 ÐT Ñ œ -0 ÐT Ñ  +. Tem-se assim, em ambos os casos, s0 ÐT Ñ œ
-0 ÐT Ñ  +, com l-l œ - w , e portanto s
. œ l-l . . Quanto à unicidade, se for
s0 ÐT Ñ œ -0 ÐT Ñ  +, para todo o T , tem-se necessariamente + œ s0 Ð0 " Ð!ÑÑ
e, escolhendo T tal que 0 ÐT Ñ Á !, tem-se necessariamente - œ
s0 ÐT Ñ+
0 ÐT Ñ .
…
1.15 Sejam < − e uma recta e Sß T − < com S Á T . Existe então um, e um só,
sistema de coordenadas s0 À < Ä ‘ com origem S e tal que s0 ÐT Ñ œ " (o
sistema de coordenadas de < de origem S determinado por T ).
Dem: Seja 0 À < Ä ‘ um sistema de coordenadas arbitrário. Tendo em conta
1.12 e 1.14, existe uma correspondência biunívoca entre pares Ð-ß +Ñ −
Б Ï Ö!×Ñ ‚ ‘ e sistemas de coordenadas de <, que a cada Ð-ß +Ñ associa o
sistema de coordenadas s0 À < Ä ‘ definido por s0 ÐUÑ œ -0 ÐUÑ  +. As
condições de S ser a origem de s0 e de se ter s0 ÐT Ñ œ " são assim
equivalentes a ! œ -0 ÐSÑ  + e " œ -0 ÐT Ñ  +, condições que implicam
"
que -Ð0 ÐT Ñ  0 ÐSÑÑ œ ", portanto - œ 0 ÐT Ñ0
ÐSÑ , e daqui
+ œ -0 ÐSÑ œ 
0 ÐSÑ
.
0 ÐT Ñ  0 ÐSÑ
Por outro lado, se tomarmos
-œ
"
,
0 ÐT Ñ  0 ÐSÑ
+œ
0 ÐSÑ
,
0 ÐT Ñ  0 ÐSÑ
tem-se efectivamente -0 ÐSÑ  + œ ! e -0 ÐT Ñ  + œ ".
…
1.16 (Ordens lineares numa recta) Dada uma recta < − e, diz-se que uma
relação de ordem total Ÿ em < é uma ordem linear se, para algum sistema
– 9–
de coordenadas 0 À < Ä ‘, vem, para cada T ß U − <, T Ÿ U Í
0 ÐT Ñ Ÿ 0 ÐUÑ.
Existem então em < duas, e só duas, ordens lineares Ÿ e Ÿ w , uma oposta da
outra, isto é, com T Ÿ w U Í U Ÿ T .
Dem: Fixado um sistema de coordenadas 0 À < Ä ‘, podemos definir uma
ordem total Ÿ em < por transporte da ordem total usual de ‘, isto é, pondo
T Ÿ U Í 0 ÐT Ñ Ÿ 0 ÐUÑ. Considerando o novo sistema de coordenadas
0 À < Ä ‘ (cf. 1.12), obtemos, a partir dele uma nova ordem linear Ÿ w ,
para a qual se tem
T Ÿ w U Í 0 ÐT Ñ Ÿ 0 ÐUÑ Í 0 ÐUÑ Ÿ 0 ÐT Ñ Í U Ÿ T ,
sendo assim a ordem inversa da primeira. Sendo agora s0 À < Ä ‘ um sistema
de coordenadas arbitrário, sabemos, por 1.14, que existe - − ‘ Ï Ö!× e + − ‘
tais que s0 ÐT Ñ œ -0 ÐT Ñ  +. Tem-se então, se -  !,
s0 ÐT Ñ Ÿ s0 ÐUÑ Í 0 ÐT Ñ Ÿ 0 ÐUÑ Í T Ÿ U
e, se -  !,
s0 ÐT Ñ Ÿ s0 ÐUÑ Í 0 ÐUÑ Ÿ 0 ÐT Ñ Í U Ÿ T ,
pelo que, em qualquer caso, a ordem linear associada a s0 é a ordem Ÿ ou a
sua oposta.
…
1.17 (Propriedades das ordens lineares) Por definição, uma ordem linear de
uma recta < é isomorfa à ordem usual de ‘ e, consequentemente, goza das
propriedades que aquela tem. Por exemplo, fixada uma ordem linear de <:
a) Para cada T − <, existe Uß V − < com U  T e T  V ;
b) Dados T ß U − <, com T Á U, existe V − < tal que T  V  U.
Ç
1.18 (Definições) a) Dados T ß U − X com T Á U, notamos T U, ou T U a única
recta < tal que T ß U − <.
b) Dados T ß U − X com T Á U, podemos considerar a única ordem linear na
recta < œ T U para a qual T  U e definimos a semirrecta de < de origem T
determinada por U (ou determinada pela ordem linear referida), que
Û
•
notamos T U ou T U, como sendo o conjunto dos V − < tais que T Ÿ V .
c) Dados T ß U − X com T Á U, podemos considerar a única ordem linear na
recta < œ T U para a qual T  U e definimos o segmento de recta de
extremidades T e U, notado ÒT ß UÓ ou T U, como sendo o conjunto dos
pontos V − < tais que T Ÿ V Ÿ U.
Para cada T − X , definimos também ÒT ß T Ó œ ÖT ×, embora não chamemos
segmento de recta a este conjunto.
d) Dados pontos T ß U − X , vamos notar lT Ul a família Ð.ÐT ß UÑÑ.−Y .
1.19 (Propriedades das semirrectas) a) Dada uma recta < e um ponto T − <,
existem duas, e só duas, semirrectas de < de origem T . Fixada uma ordem
linear Ÿ em <, essas semirrectas são respectivamente o conjunto < dos
– 10–
V − < tais que T Ÿ V e o conjunto < dos V − < tais que V Ÿ T (a primeira
é a associada a essa ordem linear e a segunda a associada à ordem linear
Û
oposta)2. Dado U − < com T Á U, a semi-recta T U é a única semirrecta de
< que contém U.
b) Dada uma recta < e um ponto T − <, a intersecção das duas semirrectas de
< de origem T é o conjunto ÖT × e a sua união é <.
c) Um mesmo conjunto não pode ser semirrecta de mais que uma recta e a
origem de uma semirrecta é um elemento bem definido.
d) Se < é uma semirrecta de origem S e se . − Y é uma função distância,
então, para cada + ! em ‘, existe um, e um só, T − < tal que
.ÐSß T Ñ œ +. Além disso, dados T ß U − < , tem-se T − ÒSß UÓ se, e só se
.ÐSß T Ñ Ÿ .ÐSß UÑ.
Dem: As conclusões de a) e de b) resultam imediatamente das definições. O
facto de um mesmo conjunto não poder ser semirrecta de mais que uma recta
resulta de que uma semirrecta tem pelo menos dois pontos. O facto de a
origem de uma semirrecta ser um elemento bem definido vem de que, fixada
uma ordem linear na recta correspondente, ou a origem é um elemento
mínimo da semirrecta e esta não tem máximo, ou a origem é um elemento
máximo da semirrecta e esta não tem mínimo. Quanto a d), tendo em conta a
alínea a) de 1.12, podemos fixar um . -sistema de coordenadas 0 À < Ä ‘ da
recta < que contém < e então, substituindo eventualmente 0 por 0 , < é
formado pelos pontos U − < tais que 0 ÐUÑ 0 ÐSÑ. Considerando em < a
ordem linear determinada por 0 (cf. 1.16), o único ponto T nas condições
pedidas é 0 " Ð0 ÐSÑ  +Ñ e tem-se T − ÒSß UÓ se, e só se, 0 ÐT Ñ Ÿ 0 ÐUÑ se,
e só se, .ÐSß T Ñ œ 0 ÐT Ñ  0 ÐSÑ Ÿ 0 ÐUÑ  0 ÐSÑ œ .ÐSß UÑ.
…
1.20 (Propriedades dos segmentos de recta) a) Dada uma recta < e T ß U − <
com T Á U, tem-se
Û
Û
ÒT ß UÓ œ ÒUß T Ó œ T U  UT .
b) Tem-se T ß U − ÒT ß UÓ, em particular um segmento de recta está contido
numa única recta.
c) Fixada uma ordem linear da recta T U, tem-se que, ou T é o mínimo do
segmento ÒT ß UÓ e U é o seu máximo, ou T é o máximo do segmento ÒT ß UÓ
e U é o seu mínimo. Em particular, as extremidades dum segmento de recta
são pontos bem definidos, embora não esteja bem definido qual a
“extremidade esquerda” e qual a “extremidade direita”.
d) Dada uma recta < − e e três pontos distintos T ß Uß V de <, verifica-se
uma, e uma só, das propriedades seguintes: T − ÒUß VÓ, U − ÒT ß VÓ,
V − ÒT ß UÓ.
Û
Û
e) Dados Vß W − T U, tem-se ÒVß WÓ § T U.
2Repare-se
que só é possível escolher qual a semirrecta notada < e qual a notada < se
fixarmos uma das ordens lineares em <; se trocarmos a ordem linear, as duas notações
vêm trocadas.
– 11–
f) Dados Vß W − ÒT ß UÓ, tem-se ÒVß WÓ § ÒT ß UÓ.
Û
Û Û
g) Se V − T U, com V Á T , então T U=T V .
Û
Û
h) Dados T Á U e V − ÒT ß UÓ, com V Á U, tem-se VU § T U.
i) Dado V − ÒT ß UÓ, tem-se ÒT ß UÓ œ ÒT ß VÓ  ÒVß UÓ, com ÒT ß VÓ  ÒVß UÓ
œ ÖV×Þ
Dem: Trata-se de consequências imediatas das definições.
…
1.21 Dados T ß Uß Vß W − X , tem-se lT Ul œ lVWl se, e só se, existe uma
função-distância s
. − Y tal que s
.ÐT ß UÑ œ s
.ÐVß WÑ. Mais geralmente, tem-se
lT Ul Ÿ lVWl (no sentido de ser .ÐT ß UÑ Ÿ .ÐVß WÑ, para cada . ) se, e só se,
existe uma função-distância s
. − Y tal que s
.ÐT ß UÑ Ÿ s
.ÐVß WÑ e, dado
+ !, tem-se lT Ul œ +lVWl (no sentido de ser .ÐT ß UÑ œ + .ÐVß WÑ, para
cada . ) se, e só se, existe uma função-distância s
. − Y tal que s
.ÐT ß UÑ œ +
s
.ÐVß WÑ.
Dem: Trata-se de consequências imediatas de, dadas duas funções-distância
.ß s
. − Y , existir uma constante -  ! tal que s
. œ -. .
…
1.22 (Congruência de pares de pontos) Dados T ß Uß Vß W − X , diz-se que os
pares ordenados ÐT ß UÑ e ÐVß WÑ são congruentes se se tem lT Ul œ lVWl.
1.23 Tendo em conta a definição de congruência e a propriedade 1.11, é
imediato que a relação de congruência entre pares ordenados de pontos de X
é uma relação de equivalência e que ÐT ß UÑ e ÐUß T Ñ são sempre
congruentes. Tendo em conta o mesmo axioma, vemos também que se tem
lT T l œ ! (no sentido de se tratar da família constante com todos os termos
!)3 e que ÐT ß UÑ é congruente a ÐVß VÑ se, e só se, T œ U.
1.24 Diz-se que dois segmentos de recta ÒT ß UÓ e ÒUß VÓ são congruentes se os
pares de pontos ÐT ß UÑ e ÐUß VÑ forem congruentes.
Repare-se que esta definição faz sentido uma vez que, como vimos, um
segmento de recta determina o conjunto das suas extremidades e que ÐT ß UÑ
e ÐUß T Ñ são congruentes.
1.25 (As funções-distância restritas a uma recta) Sejam . − Y e < − e
fixadas. Dados T ß U − <, com T Á U, para cada V − < são equivalentes as
propriedades:
1) V − ÒT ß UÓ;
2) .ÐT ß UÑ œ .ÐT ß VÑ  .ÐVß UÑà
3) lT Ul œ lT Vl  lVUl, isto é, s
.ÐT ß UÑ œ s
.ÐT ß VÑ  s
.ÐVß UÑ, para todo o
s
. − Y.
Além disso, quando V Â ÒT ß UÓ, tem-se mesmo lT Ul  lT Vl  lVUl, isto
é, s
.ÐT ß UÑ  s
.ÐT ß VÑ  s
.ÐVß UÑ, para todo o s
. − Y.
Dem: A equivalência entre 2) e 3) é uma consequência imediata do axioma
3Pelo contrário, quando T Á U, lT Ul não é uma família contante, e portanto não pode
ser caracterizado como um número real.
– 12–
a) em 1.9, tal como o facto de se ter lT Ul  lT Vl  lVUl se for
.ÐT ß UÑ  .ÐT ß VÑ  .ÐVß UÑ, para algum . − Y . Consideremos então,
para fixar ideias, um . -sistema de coordenadas de <, 0 À < Ä ‘ tal que
0 ÐT Ñ œ ! e 0 ÐUÑ œ " (cf. 1.15). Se V − ÒT ß UÓ, tem-se ! Ÿ 0 ÐVÑ Ÿ ", e
então
.ÐT ß UÑ œ " œ 0 ÐVÑ  Ð"  0 ÐVÑÑ œ .ÐT ß VÑ  .ÐVß UÑ.
Por outro lado, se V Â ÒT ß UÓ, ou 0 ÐVÑ  ", ou 0 ÐVÑ  !. No primeiro caso
tem-se
.ÐT ß UÑ œ "  0 ÐVÑ œ .ÐT ß VÑ Ÿ .ÐT ß VÑ  .ÐVß UÑ,
e, no segundo caso, tem-se
.ÐT ß UÑ œ "  "  0 ÐVÑ œ .ÐVß UÑ Ÿ .ÐT ß VÑ  .ÐVß UÑ.
…
1.26 (O ponto médio de um segmento) Sejam < − e e T ß U − < com T Á U.
Existe então um, e um só, ponto Q − < tal que lQ T l œ lQ Ul (condição
equivalente à de se ter .ÐQ ß T Ñ œ .ÐQ ß UÑ, para algum . − Y ). Tem-se
Q − ÒT ß UÓ, e portanto lQ T l œ "# lT Ul. Para cada sistema de coordenadas
ÐUÑ
0 À < Ä ‘, tem-se 0 ÐQ Ñ œ 0 ÐT Ñ0
.
#
Nas condições anteriores diz-se que Q é o ponto médio do par ÐT ß UÑ (ou do
segmento de recta ÒT ß UÓ). Por extensão, quando T œ U, definimos o ponto
médio do par ÐT ß UÑ como sendo Q œ T œ U, que verifica trivialmente
ainda as propriedades Q − ÒT ß UÓ, lQ T l œ lQ Ul œ "# lT Ul e, para cada
ÐUÑ
sistema de coordenadas 0 À < Ä ‘, 0 ÐQ Ñ œ 0 ÐT Ñ0
.
#
Dem: A equivalência entre a condição de se ter lQ T l œ lQ Ul e a de se ter
.ÐQ ß T Ñ œ .ÐQ ß UÑ, para algum . − Y , é uma consequência imediata do
axioma a) em 1.9. Seja 0 À < Ä ‘ um . -sistema de corrdenadas. A condição
.ÐQ ß T Ñ œ .ÐQ ß UÑ é então equivalente a
l0 ÐQ Ñ  0 ÐT Ñl œ l0 ÐQ Ñ  0 ÐUÑl,
ou seja, à verificação de alguma das condições
0 ÐQ Ñ  0 ÐT Ñ œ 0 ÐQ Ñ  0 ÐUÑ
0 ÐQ Ñ  0 ÐT Ñ œ 0 ÐUÑ  0 ÐQ Ñ.
A primeira condição é impossível, uma vez que 0 ÐT Ñ Á 0 ÐUÑ, pelo que
ficamos reduzidos à condição 0 ÐQ Ñ  0 ÐT Ñ œ 0 ÐUÑ  0 ÐQ Ñ que é, de
facto, verificada por um único Q , a saber, o definido por
0 ÐQ Ñ œ
0 ÐT Ñ  0 ÐUÑ
.
#
Esta condição implica que, se 0 ÐT Ñ  0 ÐUÑ, então 0 ÐT Ñ  0 ÐQ Ñ  0 ÐUÑ e
que, se 0 ÐUÑ  0 ÐT Ñ, então 0 ÐUÑ  0 ÐQ Ñ  0 ÐT Ñ, em qualquer caso
– 13–
tem-se Q − ÒT ß UÓ. Em particular, pelo resultado precedente, tem-se
lT Ul œ lT Q l  lQ Ul œ #lQ T l,
portanto lQ T l œ "# lT Ul.
…
2. Axioma de separação do plano.
2.1 (A relação segmental) Seja V um subconjunto de X . Definimos então uma
relação µ em V (a que damos o nome de relação segmental em V)4, pondo
T µ U Í ÒT ß UÓ § V (cf. a alínea c) de 1.18).
Esta relação é trivialmente reflexiva e simétrica (lembrar que ÒT ß T Ó œ ÖT × e
que ÒT ß UÓ œ ÒUß T Ó) mas só em casos particulares será uma relação de
equivalência.
2.2 Dizemos que um conjunto V § X é convexo se a relação segmental em V for
a relação universal, isto é, se, quaisquer que sejam T ß U − V, tem-se
ÒT ß UÓ § V.
Repare-se que, para verificar que um conjunto V é convexo basta trivialmente
verificar que, para T Á U em V, tem-se ÒT ß UÓ § V.
2.3 (Propriedades dos conjuntos convexos)
a) O espaço todo X , o vazio g e um conjunto unitário ÖT × são conjuntos
convexos.
b) Uma intersecção arbitrária de conjuntos convexos é um conjunto convexo.
c) Um plano ! − c é um conjunto convexo.
d) Uma recta < − e é um conjunto convexo.
Û
e) Uma semirecta T U é um conjunto convexo.
f) Um segmento de recta ÒT ß UÓ é um conjunto convexo.
Dem: as alíneas a) e b) são triviais, no caso do conjunto unitário atendendo à
observação no segundo parágrafo de 2.2. A alínea c) resulta de que, dados
T Á U em !, concluímos de 1.4 que a recta < œ T U está contida em !, e
portanto ÒT ß UÓ § < § !. A alínea d) resulta de que, dados T Á U em <,
4Reparar
que esta relação depende do conjunto V.
– 14–
tem-se ÒT ß UÓ § <. As alíneas e) e f) resultam das alíneas homónimas da
propriedade 1.20.
…
2.4 Dizemos que um conjunto V § X é cónico relativamente a um ponto T − X
Û
se se tem T − V e, para todo o U − V com U Á T , T U § V.
2.5 (Propriedades dos conjuntos cónicos)
a) Dado T − X , o espaço todo X e o conjunto unitário ÖT × são cónicos
relativamente a T .
b) Uma intersecção arbitrária de conjuntos cónicos relativamente a T é um
conjunto cónico relativamente a T .
c) Um plano ! é um conjunto cónico relativamente a qualquer ponto T − !.
d) Uma recta < é um conjunto cónico relativamente a qualquer ponto T − <.
Û
e) Uma semirrecta T U é um conjunto cónico relativamente a T .
Dem: Trata-se de consequências imediatas das definições se recordarmos,
para a alínea c), que dado U Á T em !, a recta T U está contida em !.
2.6 (Quando a relação segmental é de equivalência) Seja V § X um conjunto
cuja relação segmental associada seja de equivalência. Tem-se então que as
correspondentes classes de equivalência são conjuntos convexos.
Dem: Basta atender a que, se T ß U − V estão numa mesma classe de
equivalência, tem-se T µ U, portanto ÒT ß UÓ § V e então ÒT ß UÓ também está
contido na classe de equivalência, visto que, para cada V − ÒT ß UÓ, tem-se
ÒT ß VÓ § ÒT ß UÓ § V (cf. a alínea f) de 1.20), e portanto T µ V .
…
2.7 (Teorema de separação da recta) Sejam < − e uma recta e S − < um
elemento fixado. Sejam < e < as duas semirrectas de < de origem S (cf.
1.19). Tem-se então que:
a) A relação segmental em < Ï ÖS× é uma relação de equivalência com duas
classes de equivalência, os conjuntos < Ï ÖS× e < Ï ÖS×.
b) Se T − < Ï ÖS× e U − < Ï ÖS×, então S − ÒT ß UÓ.
Dem: Fixemos em < uma das suas duas ordens lineares e sejam < e < as
semirrectas constituídas respectivamente pelos pontos T com S Ÿ T e por
aqueles com T Ÿ S. Sendo T ß U − < Ï ÖS×, portanto S  T e S  U,
tem-se trivialmente S  V , para cada V − ÒT ß UÓ, portanto ÒT ß UÓ §
< Ï ÖS×, o que mostra que T µ U. Analogamente se verifica que, para
T ß U − < Ï ÖS× se tem T µ U. Por fim, se T − < Ï ÖS× e U − < Ï ÖS×,
tem-se T  S e S  U, portanto S − ÒT ß UÓ, em particular T µ
Î U.
…
2.8 (Axioma da separação do plano) Sejam ! − c um plano e < − e uma
recta com < § !. Tem-se então que a relação segmental em ! Ï < é uma
relação de equivalência, com duas classes de equivalência Ð! Ï <Ñ e
Ð! Ï <Ñ , a que damos o nome de semiplanos abertos de ! com bordo <.5
5Como
anteriormente, nenhum dos semiplanos é privilegiado pelo que os índices  e 
são de atribuição arbitrária.
– 15–
Chamamos semiplanos de ! com bordo < aos subconjuntos de !
! œ Ð! Ï <Ñ  <,
! œ Ð! Ï <Ñ  <.
2.9 (Definição) Sejam < − e uma recta e T − X um ponto, tais que T Â <.
Considerando o único plano ! que contém < e T (cf. a alínea a) de 1.8),
Û
notamos <T o semiplano de ! de bordo < que contém o ponto T .
2.10 Nas hipóteses de 2.8, se T − Ð! Ï <Ñ e U − Ð! Ï <Ñ , então ÒT ß UÓ  < Á g
e as rectas = œ T U e < são concorrentes (isto é, têm intersecção reduzida a
um ponto) e portanto também ÒT ß UÓ e < são concorrentes.
r
s
P
Q
Î ! Ï < e ÒT ß UÓ § !, vem ÒT ß UÓ  < Á g. Uma
Dem: Uma vez que ÒT ß UÓ §
vez que as rectas = œ T U e < são distintas, por a segunda não conter T (nem
U) e que têm um ponto comum, basta agora aplicarmos c) de 1.7.
…
2.11 (Teorema de separação do espaço6) Seja ! § X um plano. Tem-se então
que a relação segmental µ em X Ï ! (cf. 2.1) é uma relação de equivalência
com duas classes de equivalência ÐX Ï !Ñ e ÐX Ï !Ñ , a que damos o nome
de semiespaços abertos com bordo !.7 Chamamos semiespaços com bordo !
aos subconjuntos de X
X œ ÐX Ï !Ñ  !,
X  œ ÐX Ï ! Ñ   ! .
Dem: 1) Comecemos com a seguinte observação que teremos ocasião de
utilizar adiante. Dado um plano " § X tal que "  ! seja uma recta < e dados
dois pontos \ß ] − " Ï <, tem-se também \ß ] − X Ï ! e vem \ µ ] , para
a relação segmental em X Ï ! se, e só se, \ µ ] , para a relação segmental
em " Ï <. Para justificar esta afirmação basta reparar que se tem sempre
Ò\ß ] Ó § " e que um ponto de Ò\ß ] Ó que esteja em ! está também em
!  " œ <.
2) Uma segunda observação que nos será útil é a de que, dados três pontos
Eß Fß G − X Ï !, tais que pelo menos um dos conjuntos ÒEß FÓ, ÒFß GÓ e
6Comparar com 2.7 e 2.8.
7Como habitualmente, nenhum
dos semiespaços é privilegiado pelo que os índices  e 
são de atribuição arbitrária.
– 16–
ÒGß EÓ contenha um ponto T − !, então existe um plano " § X , contendo os
três pontos e tal que "  ! seja uma recta <. Para justificar esta afirmação,
separamos os casos em que Eß Fß G não são colineares e em que o são. No
primeiro caso tomamos para " o único plano que contém os pontos Eß Fß G ,
reparando que " Á ! e que "  ! contém o ponto T (cf. a alínea d) de 1.7).
No segundo caso consideramos a única recta = que contém os três pontos
(uma tal recta contém necessariamente T , que é distinto de Eß Fß G ),
tomamos uma recta arbirária < de ! tal que T − < e tomamos para " o único
plano que contém as rectas < e = (cf. a alínea b) de 1.8).
3) Mostremos agora que a relação segmental µ é uma relação de equivalência em X Ï !. Sejam então Eß Fß G − X Ï ! tais que E µ F e F µ G e
tentemos provar que E µ G . Suponhamos, por absurdo, que isso não
acontecia, e portanto que existia T − ÒEß GÓ  !. Como vimos em 2), existe
um plano " contendo os três pontos e tal que "  ! seja uma recta < e, tendo
em conta o que vimos em ") vem, para a relação segmental em " Ï <, E µ F ,
FµG eEµ
Î G , o que é absurdo, tendo em conta 2.8.
4) Mostremos agora que µ admite pelo menos duas classes de equivalência.
Consideremos então E − X Ï ! arbitrário e T − ! arbitrário. Sendo = a recta
que contém E e T , fixemos a ordem linear de = para a qual E  T e
reparemos que =  ! œ ÖT ×. Seja enfim F − = tal que T  F . Tem-se assim
F − X Ï ! e T − !  ÒEß FÓ, o que mostra que não se tem E µ F .
5) Mostremos enfim que µ não pode ter mais que duas classes de
equivalência, isto é, que, se Eß Fß G − X Ï ! são tais que E µ
/ FeFµ
/ G,
então E µ G . Para isso, tendo em conta o que vimos em 2), consideramos
um plano " contendo os três pontos e tal que "  ! seja uma recta < e, tendo
em conta o que vimos em ") vemos que, para a relação segmental em " Ï <,
tem-se ainda E µ
/ F e Fµ
/ G donde, por 2.8, E µ G e portanto também
E µ G para a relação segmental em X Ï !, tendo em conta o que vimos em
1).
…
2.12 (Semiplanos e semirrectas) Sejam ! um plano e < § ! uma recta e
consideremos os correspondentes semiplanos abertos Ð! Ï <Ñ e Ð! Ï <Ñ e
os semiplanos associados ! e ! . Seja T − <. Tem-se então:
a) Se U − Ð! Ï <Ñ , e se = œ T U, tem-se então que =  < œ ÖT ×, =  ! é a
Û
semirecta T U e =  ! é a outra semirrecta de = de origem T .
b) Se = Á < é uma recta contida em ! e com T − =, então =  ! e =  !
são as duas semirectas de = de origem T .
c) Um semiplano ! de bordo < é cónico relativamente a qualquer ponto
T − <.
Dem: a) O facto de se ter =  < œ ÖT × é uma consequência de c) de 1.7, uma
vez que = Á <, por ser U − = e U Â <. Além disso tem-se = § !, tendo em
conta 1.4. Escolhamos em = a ordem linear para a qual se tem T  U.
Suponhamos que V − = é tal que V  T . Tem-se V Â < e V µ
Î U, uma vez
Î ! Ï <, e portanto V − Ð! Ï <Ñ . Fixando
que T − ÒVß UÓ, donde ÒVß UÓ §
agora um V! − = tal que V!  T , vemos que, para cada W − = tal que
– 17–
Î ! Ï <, uma vez que T − ÒV! ß WÓ, portanto V! µ
T  W , tem-se ÒV! ß WÓ §
Î W,
o que implica que W − Ð! Ï <Ñ . Uma vez que T − =  ! , concluímos
portanto que =  ! é o conjunto dos W − = tais que T Ÿ W , isto é, é a
Û
semirecta T U. Por outro lado, =  ! é constituído pelo único ponto T de
=  < e pelos pontos de = que estão em Ð! Ï <Ñ , isto é, que não estão em ! ,
sendo assim o conjunto dos X − = tais que X Ÿ T , sendo assim a outra
semirrecta de origem T .
r
s
R
R0
α+
P
Q S
α−
b) Temos uma consequência imediata de a), uma vez que =  < œ ÖT × e
portanto, considerando U − = arbitrário com U Á T , ou U − Ð! Ï <Ñ ou
U − Ð! Ï <Ñ .
Û
c) Se U − ! Ï < œ Ð! Ï <Ñ , já verificámos em a) que T U § ! . Por outro
Û
lado se X − <, com X Á T , tem-se T X § < § ! .
…
2.13 (Nova notação para semiplanos) Sejam < − e uma recta, T − < e = uma
semirrecta de origem T cuja recta = associada seja distinta de <. Quaisquer
que sejam Uß Uw − = distintos de T , tem-se então Uß Uw  < e os semiplanos
Û Û
<U e <Uw (cf. 2.9) coincidem, o que nos permite definir a notação
Û
Û œ <U
,
<=
onde U é um elemento arbitrário de = distinto de T . Trata-se de um
semiplano de bordo < do único plano ! que contém < e =. O outro semiplano
Û , onde = é a outra semirrecta de =.
de ! de bordo < é então <=
Dem: Uma vez que < e = são rectas distintas com o ponto T comum, elas são
concorrentes, e portanto existe um único plano ! que contém < e =. Sendo
Û
! œ <U o semiplano de ! de bordo < que contém U, resulta da alínea a) de
Û
2.12 que = œ T U § ! , em particular Uw − ! Ï <, pelo que ! é também
Û
Û
o semiplano de ! de bordo < que contém Uw , isto é ! œ <Uw . O facto de <=
– 18–
ser o outro semiplano de ! de bordo < resulta de que, também pela alínea a)
de 2.12, os pontos de = distintos de T estão em ! Ï < œ Ð! Ï <Ñ .
…
2.14 (Os semiplanos são convexos) Sejam ! um plano e < § ! uma recta e
consideremos os correspondentes semiplanos ! e ! de !, de bordo <.
Tem-se então que estes semiplanos são conjuntos convexos.
Dem: Suponhamos que T ß U − ! , com T Á U. Três casos são possíveis:
1) T ß U − Ð! Ï <Ñ . Nesse caso ÒT ß UÓ § Ð! Ï <Ñ § ! , porque os semiplanos abertos são conjuntos convexos (cf. 2.6).
2) T ß U − <. Nesse caso ÒT ß UÓ § < § ! , porque as rectas são conjuntos
convexos (cf. a alínea d) de 2.3).
3) Um dos pontos, por exemplo T pertence a < e ou outro, U, pertence a
Ð! Ï <Ñ . Nesse caso, concluímos a partir da alínea a) de 2.12 que
Û
ÒT ß UÓ § T U § ! .
…
2.15 (Rectas que passam num ponto dum semiplano aberto) Sejam ! um
plano e < § ! uma recta e consideremos os correspondentes semiplanos ! e
! de !, de bordo <. Seja S − ! Ï < œ Ð! Ï <Ñ e seja = § ! uma recta
com S − =. Qualquer que seja a ordem linear de = existem então pontos
T ß U − =  Ð! Ï <Ñ com T  S  U.
Dem: Suponhamos, em primeiro lugar, que =  < œ g. Qualquer que seja
V − =, tem-se então, em particular, ÒSß VÓ  < œ g, donde, tendo em conta
2.10, V − Ð! Ï <Ñ , pelo que podemos tomar para T e U pontos arbitrários
de = com T  S  U.
Suponhamos agora que =  < Á g, portanto, uma vez que se trata de rectas
distintas, por ser S  <, =  < œ ÖE×, para um certo ponto E. Fixemos a
ordem linear de = para a qual E  S. Tendo em conta a alínea a) de 2.12,
Û
tem-se que =  ! é a semirecta ES pelo que, escolhendo pontos T ß U − =
Û
com E  T  S  U, tem-se T ß U − ES e T ß U Â <, donde T ß U −
Ð! Ï <Ñ . No caso de a ordem linear considerada em = ser a oposta desta,
basta trocar os papéis de T e U.
…
2.16 (Os semiplanos determinam o plano e a recta) Sejam ! − c um plano e
< − e uma recta com < § ! e seja ! um dos semiplanos de ! com bordo <.
Tem-se então:
a) Existem em ! três pontos não colineares, em particular ! é o único plano
que contém ! .
b) Dado S − ! , tem-se S Â < se, e só se, quaisquer que sejam a recta
= § ! com S − =, e a ordem linear de =, existem T ß U − =  ! com
T  S  U. Em particularß o semiplano ! não pode ter mais que uma
recta como bordo.
Dem: a) Sejam T − Ð! Ï <Ñ e Uß Uw − <, com U Á Uw . Sendo = § ! a recta
T U, resulta da alínea a) de 2.12 que =  < œ ÖU× e que =  ! é a
Û
semirrecta UT . Considerando a ordem linear de = tal que U  T , podemos
considerar pontos Vß W − = tais que W  V  U, pontos que não pertencem
Û
à semirecta UT , ou seja, não pertencem a ! , pelo que pertencem a
– 19–
Ð! Ï <Ñ . Do mesmo modo, sendo =w § ! a recta T Uw , podemos considerar
X − =w em Ð! Ï <Ñ .
r
α+
α−
P
S
R
s
Q
s'
Q'
T
Uma vez que =  < œ ÖU×, tem-se Uw  =, e portanto as rectas = e =w são
distintas. Uma vez que T − =  =w , segue-se que =  =w œ ÖT ×, e portanto
X Â =. Uma vez que = é a única recta que contém os pontos distintos V e W ,
concluímos que Vß Wß X são pontos não colineares em Ð! Ï <Ñ , em particular
também em ! .
b) No caso em que S Â <, resulta de 2.15 que, quaisquer que sejam a recta
= § ! com S − =, e a ordem linear de =, existem T ß U − =  ! com
T  S  U (reparar que Ð! Ï <Ñ § ! ). Suponhamos agora que S − <.
Escolhendo U − Ð! Ï <Ñ . podemos considerar na recta = œ SU § ! a
ordem linear para a qual S  U e resulta então da alínea a) de 2.12 que
Û
…
=  ! œ SU, em particular, para cada T  S em =, T  ! .
2.17 (Teorema de Pasch) Sejam ! um plano, < § ! uma recta e
Eß Fß G − ! Ï < três pontos distintos. Se < tem intersecção não vazia com um
dos segmentos ÒEß FÓ, ÒFß GÓ e ÒEß GÓ, então tem intersecção não vazia com
dois, e só dois, destes segmentos.
Dem: Suponhamos que ÒEß FÓ  < Á g. Então E µ
Î F para a relação que
define os semiplanos abertos de ! de bordo <, pelo que, nomeando-os
convenientemente, tem-se E − Ð! Ï <Ñ e F − Ð! Ï <Ñ . Tem-se então que
ou G − Ð! Ï <Ñ , ou G − Ð! Ï <Ñ . No primeiro caso, como Ð! Ï <Ñ é
convexo (cf. 2.6), ÒEß GÓ § Ð! Ï <Ñ , donde ÒEß GÓ  < œ g e, por outro lado
Gµ
Î F , e portanto ÒFß GÓ  < Á g. Analogamente, no segundo caso,
ÒFß GÓ  < œ g e ÒEß GÓ  < Á g.
…
3. Ângulos.
3.1 (Definição) Vamos chamar ângulo (não orientado) a um conjunto Ö< ß = ×
de duas semirrectas com uma mesma origem S, cujas rectas < e = correspondentes sejam distintas (em particular <  = œ ÖS×). Dizemos que S é a
– 20–
origem ou vértice do ângulo e que as semirrectas < e = são as suas
extremidades.
3.2 Dado um ângulo Ö< ß = ×, existe um único plano ! que contém < e = (a
que damos o nome de plano do ângulo) e esse plano contém mesmo as rectas
< e = correspondentes às semirrectas.
Dem: Uma vez que uma semirrecta contém sempre mais que um ponto,
resulta de 1.4 que qualquer plano que contenha < e = contém também < e
=. Mas < e = são rectas concorrentes e portanto, pela alínea b) de 1.8, existe
um único plano ! contendo < e =, esse plano contendo, em particular, < e
= .
…
3.3 (O sector angular) Consideremos um ângulo Ö< ß = × com vértice S e
plano ! e sejam < e = as rectas que contém < e = . Podemos considerar o
Û
Û de ! de bordo < (cf. 2.13), que coincide com o semiplano <T
semiplano <=
,
com T ponto arbitrário de = distinto de S e, do mesmo modo, o semiplano
Û
Û de ! de bordo = que coincide com o semiplano =U
, com U ponto
=<
arbitrário de < distinto de S . Definimos então o conjunto nÖ< ß = × § !, a
que damos o nome de sector angular associado ao ângulo dado, ou tendo as
semirrectas < e = como bordo, como sendo a intersecção daqueles dois
semiplanos:
Û  =<
Û .
nÖ< ß = × œ <=
Q
r+
O
P
s+
3.4 (O conteúdo e o plano continente dum sector angular) Nas condições
anteriores, o sector angular nÖ< ß = × é um conjunto convexo, cónico
relativamente a S , que contém as semirrectas < e = e não intersecta os
conjuntos < Ï ÖS× e = Ï ÖS×. Em particular um sector angular está contido
num único plano.
Dem: O facto de se tratar dum conjunto convexo, cónico relativamente a S,
resulta de termos a intersecção de dois conjuntos convexos, cónicos
relativamente a S , a saber, dois semiplanos com S nos respectivos bordos. O
facto de o sector angular conter as semirrectas < e = resulta de que isso
– 21–
acontece com cada um dos semiplanos considerados. O facto de o sector
angular ter intersecção vazia com, por exemplo, o conjunto < Ï ÖS× vem de
que, por 2.12, este conjunto está contido no semiplano aberto distinto do que
Û
contém U, e portanto não intersecta =U .
…
3.5 (Intersecção de um sector angular com uma recta) Nas condições
anteriores, notando ! o plano que contém o sector angular nÖ< ß = ×:
a) Sejam T − = , com T Á S, e U − < , com U Á S . Sendo > œ T U § !,
tem-se que >  nÖ< ß = × œ ÒT ß UÓ, >  < œ ÖU× e >  = œ ÖT ×. Em
particular, >  nÖ< ß = × tem pontos que não estão em < nem em = Þ
b) Seja > § ! uma recta com S − >. Tem-se então que ou >  nÖ< ß = × œ
ÖS×, ou >  nÖ< ß = × é uma semirrecta de > com origem S.
c) Seja V − nÖ< ß = × tal que V Â < e V Â = . Quaisquer que sejam a
recta > § ! com V − > e a ordem linear de >, existem Eß F − >  nÖ< ß = ×
tais que E  V  F .
Û
Û
Û
Û
Dem: a) Tendo em conta a alínea a) de 2.12, >  <T œ UT e >  =U œ T U,
tal como >  < œ ÖU× e >  = œ ÖT ×, pelo que podemos concluir que
Û
Û
Û
Û
>  nÖ< ß = × œ >  Ð<T  =U Ñ œ UT  T U œ ÒT ß UÓ.
Em particular, concluímos que os pontos V − ÒT ß UÓ, distintos de T e de U,
são pontos de nÖ< ß = × que não estão em < nem en = Þ
b) Suponhamos que >  nÖ< ß = × Á ÖS× e escolhamos V Á S em
>  nÖ< ß = ×. Se V − < ou V − = , tem-se > œ < ou > œ =, respectivamente, pelo que resulta de 3.4 que >  nÖ< ß = × é < ou = , respectivamente, portanto uma semirrecta de > de origem S. Vejamos enfim o que
sucede V Â < e V Â = . Mais uma vez por 3.4, V Â < e V Â =, pelo que
resulta da alínea a) de 2.12 que, com T e U escolhidos nas condições da a),
Û
Û
Û
>  <T e >  =U são ambos iguais à semirrecta SV de >, e portanto também
Û
Û
Û
>  nÖ< ß = × œ >  Ð<T  =U Ñ é igual à semirrecta SV .
c) Como anteriormente, resulta de 3.4 que V Â < e V Â =, com V nos
Û Û
semiplanos <T e =U . Fixada uma das ordens lineares em >, resulta da alínea
Û
b) de 2.16 a existência de Ew  V  F w em >  <T e de Eww  V  F ww em
Û
>  =U . Sejam E o maior dos pontos Ew e Eww e F o menor dos pontos F w e
F ww . Tem-se assim que Eß F − > são tais que E  V  F e o facto de se ter
Û Û
E − ÒEw ß VÓ  ÒEww ß VÓ e F − ÒVß F w Ó  ÒVß F ww Ó e de os semiplanos <T e =U
Û
Û
serem convexos (cf. 2.14) implica que se tem também Eß F − <T  =U œ
nÖ< ß = ×.
…
3.6 (O sector angular determina o ângulo) Não pode haver dois ângulos que
determinem o mesmo sector angular.
Dem: Já verificámos em 3.4 que um sector angular está contido num único
plano !. Tudo o que temos que fazer é apresentar uma caracterização das
semirrectas < e = que constituem o ângulo a partir do conjunto nÖ< ß = ×,
para o que utilizaremos as conclusões das diferentes alíneas de 3.5.
– 22–
Em primeiro lugar o vértice S, origem comum das semirrectas, fica
determinado pelo conjunto nÖ< ß = ×. De facto S é o único ponto
V − nÖ< ß = × que tem a propriedade de qualquer recta > § ! contendo V
intersectar nÖ< ß = × em ÖV× ou numa semirecta de > de origem V . Com
efeito, pela alínea b), o ponto S tem essa propriedade, pela alínea a) qualquer
ponto V de < ou de = distinto de S não a verifica, por existir uma recta
> § ! contendo V que intersectada com nÖ< ß = × é igual a um segmento de
recta, tendo V como uma das extremidades, e, pela alínea c), qualquer ponto
V de nÖ< ß = × que não pertença a < nem a = também não a verifica, visto
que, para qualquer recta > § !, com V − >, V  nÖ< ß = × não é uma semirrecta de origem V , por conter pontos menores e pontos maiores que V .
O raciocínio feito atrás mostra também que os pontos de V de <  =
distintos de S ficam determinados pelo conjunto nÖ< ß = ×: São,
nomeadamente, os pontos V − nÖ< ß = × com a propriedade de, para
alguma recta > § ! com V − >, o conjunto >  nÖ< ß = × ser um segmento
de recta com V como uma das extermidades.
Por fim, as próprias semirrectas < e = que constituem o ângulo, ficam
determinadas pelo conjunto nÖ< ß = ×, por se tratar das duas semirrectas de
origem S que contêm algum ponto de <  = distinto de S.
…
3.7 (Ângulos adjacentes e verticalmente opostos) Sejam ! um plano e
Ö< ß = × um ângulo de vértice S contido em !. Sendo < e = as rectas que
contêm as semirrectas < e = , respectivamente, e sendo < e = as
semirrectas opostas, chamamos ângulos adjacentes do ângulo Ö< ß = × aos
ângulos Ö< ß = × e Ö< ß = ×, que têm uma semirrecta comum e a outra
semirrecta oposta, e ângulo verticalmente oposto do ângulo Ö< ß = × ao
ângulo Ö< ß = ×, definido pelas duas semirrectas opostas.
3.8 (O plano em quatro partes) Nas condições anteriores:
a) O plano ! é a união dos quatro sectores angulares nÖ< ß = ×, nÖ< ß = ×,
nÖ< ß = × e nÖ< ß = ×.
b) A intersecção nÖ< ß = ×  nÖ< ß = × dos sectores angulares correspondentes a ângulos adjacentes é a semirrecta comum < .
c) A intersecção nÖ< ß = ×  nÖ< ß = × dos sectores angulares correspondentes a ângulos verticalmente opostos é o conjunto ÖS×.
Dem: Uma vez que o plano ! é trivialmente a união dos dois semiplanos
com uma dada recta como bordo, os quais têm essa recta como intersecção,
podemos escrever, tendo em conta 2.13
Û  <=
Û , <=
Û  <=
Û œ <,
! œ <=
Û
Û
Û
Û
! œ =<  =< , =<  =< œ =.
Das igualdades na primeira coluna resulta que ! é a reunião dos quatro
conjuntos
– 23–
Û  =<
Û œ nÖ< ß = ×,
<=
Û  =<
Û œ nÖ< ß = ×,
<=
Û  =<
Û œ nÖ< ß = ×,
<=
Û  =<
Û œ nÖ< ß = ×.
<=
Podemos agora notar que, pela alínea a) de 2.12,
Û  <=
Û Ñ  =<
Û œ <  =<
Û œ <
nÖ< ß = ×  nÖ< ß = × œ Ð<=
e que
Û  =<
Û Ñ  Ð<=
Û  =<
Û Ñ œ <  = œ ÖS×,
nÖ< ß = ×  nÖ< ß = × œ Ð<=
…
o que termina a demonstração,
3.9 (O teorema da barra cruzada) Seja Ö< ß = × um ângulo de vértice S
contido no plano !. Seja V − nÖ< ß = × com V Â < e V Â = e
Û
consideremos a recta > œ SV § ! e a semirrecta > œ SV de >. Tem-se
então:
a) A recta > é distinta de < e de =, tem-se > œ >  nÖ< ß = ×, a semirrecta <
está contida num dos semiplanos de ! tendo > como bordo e a semirrecta =
está contida no outro semiplano de ! com o mesmo bordo.
b) Dados pontos arbitrários T ww − = Ï ÖS× e Uww − < Ï ÖS×, a semirrecta
> é concorrente com o segmento ÒT ww ß Uww Ó.
c) Tem-se
nÖ< ß = × œ nÖ< ß > ×  nÖ> ß = ×
nÖ< ß > ×  nÖ> ß = × œ > .
d) tem-se < § nÖ> ß = × e = § nÖ< ß > ×.
Dem: a) Tendo em conta 3.4, tem-se mesmo V Â < e V Â = e daqui resulta
que a recta > é distinta de < e de =. O facto de ser > œ >  nÖ< ß = × resulta
da alínea b) de 3.5. Fixemos pontos T − = Ï ÖS× e U − < Ï ÖS×. Consideremos em <, = e > as ordens lineares para as quais S  U, S  T e
S  V , respectivamente e fixemos pontos Uw − <, T w − = e V w − > tais que
Uw  S, T w  S e V w  S.
r+
Q
P'
R'
t+
R
O
P
Q'
s+
– 24–
Û
Tendo em conta a alínea a) de 2.12, <T w é o semiplano de ! de bordo <
Û
Û Û
diferente de <T e =Uw é o semiplano de ! de bordo = diferente de =U . Tendo
Û
em conta o mesmo resultado, os elementos de > œ SV pertencem a
Û
Û
Û
Û
Û
<T  =U , os elementos de > œ SV w pertencem a <T w  =Uw e, em ambos os
casos, com a excepção de S, não pertencem a < nem a =. Por outro lado, T e
Û
Û
Uw pertencem ambos a =Uw  <T pelo que, uma vez que os semiplanos são
Û
Û
convexos, ÒT ß Uw Ó § =Uw  <T . Podemos assim concluir que os elementos de
w
ÒT ß U Ó (que não incluem S, senão as rectas < e = coincidiam ambas com
Û
Û
Uw T ) não podem estar em > (senão estariam em =U  =Uw e não estariam
Û
Û
em =) nem em > (senão estariam em <T  <T w e não estariam em <) e
portanto não podem estar em >. Tem-se assim que T e Uw pertencem ao
mesmo semiplano aberto de ! de bordo >. Mas, uma vez que ÒUß Uw Ó
intersecta > em S , U e Uw pertencem a semiplanos abertos distintos de ! de
bordo >, pelo que podemos concluir que T e U pertencem a semiplanos
abertos distintos de ! de bordo >. Mais uma vez pelo mesmo resultado que
Û
temos vindo a aplicar, a semirrecta < œ SU está contida num dos
Û
semiplanos de ! de bordo > e a semirrecta = œ ST no outro semiplano de !
com o mesmo bordo.
b) Uma vez que T ww e Uww são elementos de = e de < , respectivamente, que
não pertencem a >, o que vimos em a) implica que T ww e Uww pertencem a
semiplanos abertos de ! de bordo > distintos, pelo que ÒT ww ß Uww Ó intersecta >
num ponto V ww . O facto os sectores angulares serem convexos implica que
V ww − >  nÖ< ß = × que, pela alínea b) de 3.5, uma vez que contém V ww Á S ,
Û
é uma semirrecta de > de origem S, e portanto é a semirrecta SV œ > . O
ww
ww
ww
facto de se ter >  ÒT ß U Ó œ ÖV × vem de que se tem mesmo
>  T ww Uww œ ÖV ww × por as rectas > / T ww Uww serem distintas (por exemplo,
T ww  > porque > Á =).
c) Fixemos pontos T − = Ï ÖS× e U − < Ï ÖS×. Tendo em conta b),
podemos considerar W − >  ÒT ß UÓ. Vem W Á S (senão T ß Sß U eram
colineares e < œ =) e W Á T e W Á U (senão > seria uma das rectas < e =, ao
contrário do que vimos em a)).
r+
Q
S
O
P
– 25–
t+
R
s+
Suponhamos agora que \ − nÖ< ß > ×, com \ Á S. Tem-se então que a
Û
semirrecta S\ intersecta ÒUß WÓ num ponto \ w , que não é mais do que a
intersecção das rectas S\ e UT ; com efeito, isso é evidente nos casos em
que \ − < (então \ w œ U) e em que \ − > (então \ w œ W ) e, caso
contrário, temos uma consequência de b). Resulta daqui que se tem
\ w − ÒUß T Ó œ UT  nÖ< ß = × (cf. a alínea a) de 3.5) e daqui resulta que
Û
\ − nÖ< ß = ×, uma vez que \ − S\ w e nÖ< ß = × é cónico relativamente
a S.
Û
Por simetria dos papéis de < e =, se \ − nÖ= ß > ×, com \ Á S , então S\
w
intersecta ÒT ß WÓ num ponto \ , que não é mais do que a intersecção das
rectas S\ e UT , e tem-se também \ − nÖ< ß = ×.
O que vimos nos dois parágrafos anteriores, mostra que se \ Á S e
\ − nÖ< ß > ×  nÖ= ß > ×, então a intersecção \ w das rectas S\ e UT é
Û
simultaneamente a intersecção de S\ com ÒUß WÓ e com ÒT ß WÓ, sendo assim
Û
\ w œ W , portanto \ − SW œ > .
Uma vez que S pertence a todos os sectores angulares envolvidos e à
semirrecta > , o que vimos até agora mostra que nÖ< ß > × § nÖ< ß = ×,
que nÖ= ß > × § nÖ< ß = ×, donde
nÖ< ß > ×  nÖ> ß = × § nÖ< ß = ×
e que nÖ< ß > ×  nÖ> ß = × § > , e podemos dizer que se tem mesmo
nÖ< ß > ×  nÖ> ß = × œ > , uma vez que > está contido nos dois sectores
angulares nÖ< ß > × e nÖ> ß = ×.
Resta-nos mostrar que nÖ< ß = × § nÖ< ß > ×  nÖ> ß = ×, para o que
consideramos \ − nÖ< ß = ×, que podemos já supor distinto de S. Tem-se
Û
então que a semirrecta S\ intersecta ÒUß T Ó num ponto \ w , que não é mais
do que a intersecção das rectas S\ e UT ; com efeito, isso é evidente nos
casos em que \ − < (então \ w œ U) e em que \ − = (então \ w œ T ) e,
caso contrário, temos uma consequência de b). Uma vez que ÒUß T Ó œ
ÒUß WÓ  ÒWß T Ó, tem-se \ w − ÒUß WÓ œ UW  nÖ< ß > × ou \ w − ÒWß T Ó œ
WT  nÖ> ß = ×, em particular \ w − nÖ< ß > × ou \ w − nÖ> ß = × (cf. a
alínea a) de 3.5) e daqui resulta que \ − nÖ< ß > × ou \ − nÖ> ß = ×, uma
Û
vez que \ − S\ w e os sectores angulares são cónicos relativamente a S.
d) Uma vez que a semirrecta < está contida num dos semiplanos de ! tendo
> como bordo e a semirrecta = está contida no outro semiplano de ! com o
mesmo bordo e uma vez que, por 2.12, a semirrecta = está contida no
semiplano de ! de bordo > distinto do que contém a semirrecta = , segue-se
Û . Por outro lado o facto de se ter > § nÖ< ß = × § =<
Û
que < § >=


 
Û
Û
Û
implica que =< œ => , e portanto < § => . Tem-se assim
Û  =>
Û œ nÖ> ß = ×
< § >=





e a outra inclusão resulta da simetria dos papéis de < e =.
– 26–
…
3.10 (Corolário) Seja Ö< ß = × um ângulo de vértice S contido no plano !. Seja
V − nÖ< ß = × com V  < e V  = e consideremos a recta > œ SV § ! e
Û
a semirrecta > œ SV de >. Tem-se então que a recta > é distinta de < e = e:
a) as semirrectas < e = estão contidas no mesmo semiplano de ! de bordo
>.
b) Se U − < Ï ÖS×, então U − nÖ= ß > × e U Â =  > , e portanto
nÖ= ß > × œ nÖ= ß < ×  nÖ< ß > ×
nÖ= ß < ×  nÖ< ß < × œ < .
t+
r+
R
Q
P'
O
P
Q'
s+
Dem: a) Aplicando a alínea a) de 3.9 às semirrectas < e = , concluímos que
a recta > é distinta das rectas < e =, que a semirrecta < está contida num dos
semiplanos de ! tendo > como bordo e a semirrecta = está contida no outro
semiplano de ! com o mesmo bordo. Basta agora reparamos que, pala alínea
a) de 2.12, a semirecta = está contida no semiplano de ! de bordo > distinto
daquele que contém = , e portanto no mesmo que contém a semirrecta < .
Û œ >=
Û , e portanto, por ser U − ><
Û , vem
b) Pela conclusão de a), tem-se ><



Û
Û
também U − >= . Por outro lado, por hipótese, V − nÖ< ß = × § =< , pelo
Û , donde, por ser U − =<
Û . Tem-se
Û œ =>
Û , vem também U − =>
que =<


Û
Û
assim U − >=  => œ nÖ= ß > × e o facto de ser U  =  > vem de que
U Â = e U Â >, por a recta < ser distinta das rectas = e >. O resto da conclusão
de b) resulta agora da alínea c) de 3.9.
…
3.11 (Relação de ordem total nas semirrectas) Seja = uma semirrecta de
origem S e contida num plano ! e escolhamos um dos semiplanos ! de !
cujo bordo é a recta = que contém = . Fica então definida uma ordem total no
conjunto das semirrectas < de origem S contidas em ! e com recta
continente < Á =, por
– 27–
Û .
> £ < Í nÖ= ß > × § nÖ= ß < × Í > § nÖ= ß < × Í > § <=
Dem: Tomamos a primeira equivalência como definição da relação £ . É
evidente que, se nÖ= ß > × § nÖ= ß < ×, então > § nÖ= ß < × e, reciprocamente, se > § nÖ= ß < ×, ou > œ < , caso em que se tem trivialmente
nÖ= ß > × § nÖ= ß < ×, ou > Á < e então, aplicando 3.9 depois de
escolher V em > Ï ÖS×, concluímos que
nÖ< ß = × œ nÖ< ß > ×  nÖ> ß = ×,
em particular nÖ= ß > × § nÖ= ß < ×. Ficou assim provada a segunda
equivalência no enunciado. A terceira equivalência do enunciado é uma
Û  =<
Û e de que, por hipótese, tem-se
consequência de que nÖ= ß < × œ <=
Û .
sempre > § ! œ =<
A definição da relação £ implica trivialmente que ela é transitiva e que
verifica < £ < , para cada < . Por outro lado, se > £ < e < £ > ,
podemos concluir que nÖ= ß > × § nÖ= ß < × e portanto, por 3.6, < œ > .
Consideremos enfim < e > tais que não se tenha > £ < . Tem-se assim
Û e portanto como os semiplanos são cónicos, > § <=
Û e portanto
Î <=
> §
Û  =<
Û œ nÖ= ß < ×,
> § <=
Û ) e > Á = (porque > Á =). Podemos então
Î <=
com > Á < (porque > §
aplicar 3.10, depois de escolher V em > Ï ÖS×, para deduzir que
nÖ= ß > × œ nÖ= ß < ×  nÖ< ß > ×,
em particular nÖ= ß < × § nÖ= ß > ×, ou seja, < £ > .
…
3.12 (Corolário) Nas condições anteriores, se notarmos £ w a relação de ordem
total que se obtém no mesmo conjunto de semirrectas de origem S quando se
utiliza a semirrecta = no lugar de = , tem-se
> £ w < Í < £ >
(as ordens totais são opostas uma da outra).
Dem: Por simetria dos papéis das semirrectas = e = , basta mostrarmos que,
se > £ w < , então < £ > . Ora, isso é evidente se > œ < e caso contrário,
Û , donde > §
Û (senão > § <  ! œ < , donde > œ < ) e
Î <=
vem > § <=
portanto não é > £ < , sendo assim < £ > .
…
3.13 (Os intervalos para a relação £ ) Seja = uma semirrecta de origem S e
contida num plano ! e escolhamos um dos semiplanos ! de ! cujo bordo é
a recta = que contém = e consideremos a correspondente ordem total
definida em 3.11 no conjunto das semirrectas de origem S contidas em ! e
de recta continente distinta de =. Sejam, no referido conjunto, > £ < , com
> Á < . Seja ? uma semirrecta de origem S contida em ! e de recta
continente distinta de =. Tem-se então que ? § nÖ> ß < × se, e só se,
> £ ? £ < .
– 28–
r+
u+
O
t+
s+
Dem: Tem-se > § nÖ= ß < ×, com > distinto de = e de < pelo que,
tendo em conta a alínea c) de 3.9,
nÖ= ß < × œ nÖ= ß > ×  nÖ> ß < ×
nÖ= ß > ×  nÖ> ß < × œ > .
Resulta daqui que, se ? £ > e ? Á > , tem-se ? § nÖ= ß > × e portanto
Î nÖ> ß < × e que, se > £ ? £ < , tem-se ? § nÖ= ß < × e, por
? §
Î nÖ= ß > ×, donde ? § nÖ> ß < ×. Por fim, se
outro lado, ? œ > ou ? §
< £ ? e < Á ? , tem-se, para a ordem oposta £ w que, por 3Þ12 é a associada à semirrecta = , ? £ w < £ w > donde, como vimos atrás,
Î nÖ< ß > ×.
? §
…
3.14 (Os sectores angulares são “angularmente convexos”) Consideremos um
ângulo Ö< ß = × de vértice S contido no plano ! e sejam > Á ? duas
semirrectas de origem S contidas no sector angular nÖ< ß = ×. Tem-se então
nÖ> ß ? × § nÖ< ß = ×.
Dem: Examinemos os diferentes casos possíveis:
1) Suponhamos que cada uma das semirrectas > e ? é igual a alguma das
semirrectas < e = . Uma vez que, em cada caso, temos pares de semirrectas
distintas, tem-se então mesmo nÖ> ß ? × œ nÖ< ß = ×.
r+
u+
O
t+
s+
2) Suponhamos que uma das semirrectas > e ? é igual a alguma das
– 29–
semirrectas < e = e a outra não é. Por simetria dos papéis de > e ? e por
simetria dos papéis de < e = , podemos já supor que > œ < e que ? é
distinto de < e de = . Resulta então de 3.9 que
nÖ< ß = × œ nÖ< ß ? ×  nÖ? ß = ×,
em particular, nÖ> ß ? × œ nÖ< ß ? × § nÖ< ß = ×Þ
3) Suponhamos que ambas as semirrectas > e ? são distintas das
semirrectas < e = . Consideremos no plano ! que contém Ö< ß = × o
Û e a correspondente ordem total £ associada à
semiplano ! œ =<
semirrecta = (cf. 3.11). Por simetria dos papéis das semirrectas > e ? ,
podemos já supor que se tem > £ ? . Tem-se então > § nÖ= ß ? × pelo
que, aplicando duas vezes 3.9, obtemos
nÖ= ß < × œ nÖ= ß ? ×  nÖ? ß < × œ
œ nÖ= ß > ×  nÖ> ß ? ×  nÖ? ß < ×,
…
em particular nÖ> ß ? × § nÖ< ß = ×.
3.15 (O plano em três partes) Seja Ö< ß = × um ângulo de vértice S contido no
plano !. Seja V − nÖ< ß = × com V Â < e V Â = e consideremos a recta
Û
> œ SV § ! e a semirrecta > œ SV de >. Tem-se então que a recta > é
distinta de < e = e:
a) Escolhendo T − = Ï ÖS× e U − < Ï ÖS×, tem-se T − nÖ> ß < ×,
U − nÖ= ß > ×, com T e U não pertencentes a nenhuma das semirrectas < ,
= e > .
Q
t+
R
r+
O
P
s+
b) A semirrecta < está contida num dos semiplanos de ! de bordo > e a
semirrecta = está contida no outro semi-plano de ! com o mesmo bordo.
c) Tem-se
! œ nÖ< ß = ×  nÖ= ß > ×  nÖ> ß < ×,
nÖ< ß = ×  nÖ= ß > × œ = ,
nÖ= ß > ×  nÖ> ß < × œ > ,
nÖ> ß < ×  nÖ< ß = × œ < .
Dem: a) e b) O facto de a recta > ser distinta de < e = resulta de aplicar 3.9 às
– 30–
semirrectas < e = . Tendo em conta 3.9, para as semirrectas < e = , a
semirrecta < está contida num dos semiplanos de ! de bordo > e a
semirrecta = está contida no outro semiplano de ! com o mesmo bordo.
Daqui resulta, tendo em conta a alínea a) de 2.12, que a semirrecta < está
contida no mesmo semiplano de ! de bordo > que a semirrecta = e a
semirrecta = está contida no mesmo semiplano de ! de bordo > que a
Û e T − ><
Û . Por outro lado, como
semirrecta < . Em particular U − >=


Û œ <=
Û , sai > § <=
Û , donde <>
Û , e portanto
V − nÖ< ß = × § <=

Û
Û  ><
Û œ
Û œ <> , o que nos permite concluir que T − <>
T − <=


nÖ> ß < ×. O facto de ser T − = Ï ÖS× implica que T Â = e T não
pertence a < nem a > , uma vez que, por as rectas serem distintas, T Â < e
T Â >. Analogamente (ou por simetria dos papéis) se verifica que
U − nÖ= ß > × e U não pertence a nenhuma das semirrectas < , = e > .
c) Aplicando 3.10, primeiro a < e a = , e depois a < e a = , deduzimos que
nÖ= ß > × œ nÖ= ß < ×  nÖ< ß > ×,
nÖ< ß > × œ nÖ< ß = ×  nÖ= ß > ×,
com nÖ= ß < ×  nÖ< ß > × œ < e nÖ< ß = ×  nÖ= ß > × œ = . Aplicando 3.9 a < e a = , vem
nÖ< ß = × œ nÖ< ß > ×  nÖ> ß = ×,
com nÖ< ß > ×  nÖ> ß = × œ > . Tendo agora em conta 3.8, vem
! œ nÖ< ß = ×  nÖ< ß = ×  nÖ< ß = ×  nÖ< ß = × œ
œ nÖ< ß = ×  nÖ< ß = ×  nÖ< ß = ×  nÖ< ß > ×  nÖ> ß = × œ
œ nÖ< ß = ×  nÖ< ß = ×  nÖ> ß = ×  nÖ< ß = ×  nÖ< ß > × œ
œ nÖ< ß = ×  nÖ< ß > ×  nÖ= ß > ×.
Podemos agora escrever
(*)
nÖ= ß > ×  nÖ> ß < × œ
œ ÐnÖ= ß < ×  nÖ< ß > ×Ñ  ÐnÖ< ß = ×  nÖ= ß > ×Ñ œ
œ ÐnÖ= ß < ×  nÖ< ß = ×Ñ  ÐnÖ= ß < ×  nÖ= ß > ×Ñ 
 ÐnÖ< ß > ×  nÖ< ß = ×Ñ  ÐnÖ< ß > ×  nÖ= ß > ×Ñ.
Tendo em conta 3.8, tem-se nÖ= ß < ×  nÖ< ß = × œ ÖS× e, aplicando 3.9
a < e a = , vem nÖ< ß > ×  nÖ= ß > × œ > . Tendo em conta 3.9, aplicado
a < e a = , e 3.8, vem
nÖ= ß < ×  nÖ= ß > × § nÖ= ß < ×  nÖ< ß = × œ < ,
onde nÖ= ß > ×  < § nÖ= ß > ×  nÖ< ß > × œ > , o que, por ser
<  > œ ÖS×, implica que nÖ= ß < ×  nÖ= ß > × œ ÖS×. Analogamente (ou
por simetria dos papéis de < e =), nÖ< ß > ×  nÖ< ß = × œ ÖS×. Da
igualdade (*) acima deduzimos assim que nÖ= ß > ×  nÖ> ß < × œ > . As
outras igualdades na alínea c) do enunciado, envolvendo intersecções,
– 31–
resultam da simetria dos papéis de < , = e > , tendo em conta o que vimos
em a).
…
3.16 (Nova noção primitiva) Supomos dada uma aplicação do conjunto dos
ângulos no conjunto Ó!ß #Ò § ‘, que a cada ângulo Ö< ß = × associa um
número real do intervalo Ó!ß #Ò, chamado amplitude do ângulo8 e notado
.(Ö< ß = ×). Dizemos que dois ângulos são congruentes quando têm a
mesma amplitude.
3.17 (Axiomas angulares)
a) Sejam ! um plano, < uma semirrecta de ! de origem S e ! um dos
semiplanos de ! cujo bordo é a recta < que contém < . Para cada ) − Ó!ß #Ò,
existe uma, e uma só, semirrecta = de !, de origem S e com recta = distinta
de <, tal que = § ! e que .ÐÖ< ß = ×Ñ œ ).
α+
s+
3/2
O
r+
3/2
α-
s'+
b) Seja Ö< ß = × um ângulo de vértice S dum plano ! e seja > uma
semirrecta de origem S contida no sector angular nÖ< ß = × e distinta de <
e de = .
s+
O
θ
θ' θ+θ'
r+
t+
Tem-se então que
8A
escolha do intervalo Ó!ß #Ò tem algo de arbitário e corresponde, intuitivamente, a dizer
que estamos a tomar o ângulo recto como unidade de medida.
– 32–
.ÐÖ< ß = ×Ñ œ .ÐÖ< ß > ×Ñ  .ÐÖ> ß = ×Ñ,
em particular .ÐÖ< ß > ×Ñ  .ÐÖ< ß = ×Ñ e .ÐÖ> ß = ×Ñ  .ÐÖ< ß = ×Ñ.
3.18 (Ordem e amplitude) Sejam ! um plano, < uma semirrecta de ! de
origem S e ! um dos semiplanos de ! cujo bordo é a recta < que contém
< . Sejam = e > duas semirrectas de ! de origem S, ambas contidas em !
e cujas rectas associadas = e > são ambas diferentes de <. Tem-se então que
> § nÖ< ß = × (ou seja, > £ = , para a relação de ordem definida em 3.11,
a partir da semirrecta < ) se, e só se, .ÐÖ< ß > ×Ñ Ÿ .ÐÖ< ß = ×Ñ.
Dem: O axioma b) em 3.17 garante que, se > § nÖ< ß = × e > Á = , então
.ÐÖ< ß > ×Ñ  .ÐÖ< ß = ×Ñ (tem-se > Á < uma vez que, por hipótese,
> Á <). Por outro lado, se > œ = , tem-se, evidentemente, .ÐÖ< ß > ×Ñ œ
Î nÖ< ß = ×, tem-se
.ÐÖ< ß = ×Ñ. Resta-nos mostrar que, supondo > §
.ÐÖ< ß > ×Ñ  .ÐÖ< ß = ×Ñ. Ora isso resulta do que vimos no início, uma vez
que, não sendo > £ = , tem-se, por 3.11, = £ > e = Á > .
…
3.19 (Teorema dos ângulos adjacentes) Dados dois ângulos adjacentes
Ö< ß = × e Ö< ß = ×, de origem S e contidos no plano !, tem-se
.ÐÖ< ß = ×Ñ  .ÐÖ< ß = ×Ñ œ #.
Dem: Seja ! o semiplano de ! de bordo < que contém = e notemos £ a
relação de ordem total definida em 3.11, a partir da semirecta < . Uma vez
que .ÐÖ< ß = ×Ñ − Ó!ß #Ò, existe &  ! tal que
&  .ÐÖ< ß = ×Ñ  #  &.
Seja &  ! arbitrário nessas condições. Tendo em conta o axioma a) em 3.17,
podemos considerar semirrectas > e ? de origem S, contidas em ! e de
rectas associadas distintas de <, tais que .ÐÖ< ß > ×Ñ œ & e .ÐÖ< ß ? ×Ñ œ
#  &.
s+
u+
r-
t+
O
r+
Tendo em conta 3Þ18, tem-se > £ = £ ? , com > distinto de = e =
distinto de ? , em particular > § nÖ< ß = × e = § nÖ< ß ? × e, tendo em
conta 3.13, = § nÖ> ß ? ×. Vem, para a ordem total oposta, que, por 3.12,
é a definida pela semirrecta < , ? £ w = £ w > , portanto ? § nÖ< ß = × e
– 33–
? § nÖ< ß > ×, em que ? além de ser distinto de = e de > , é também
distinto de < (por ter recta associada distinta de <). Podemos assim aplicar o
axioma b) em 3.17 para garantir que
.ÐÖ< ß = ×Ñ œ .ÐÖ< ß > ×Ñ  .ÐÖ> ß = ×Ñ œ &  .ÐÖ> ß = ×Ñ,
.ÐÖ< ß = ×Ñ œ .ÐÖ< ß ? ×Ñ  .ÐÖ? ß = ×Ñ,
.ÐÖ< ß > ×Ñ œ .ÐÖ< ß ? ×Ñ  .ÐÖ? ß > ×Ñ,
#  & œ .ÐÖ< ß ? ×Ñ œ .ÐÖ< ß = ×Ñ  .ÐÖ= ß ? ×Ñ,
.ÐÖ> ß ? ×Ñ œ .ÐÖ> ß = ×Ñ  .ÐÖ= ß ? ×Ñ.
Resulta daqui que
.ÐÖ< ß = ×Ñ  .ÐÖ< ß = ×Ñ .ÐÖ< ß = ×Ñ  .ÐÖ? ß = ×Ñ œ #  &
e, por outro lado,
.ÐÖ< ß = ×Ñ  .ÐÖ< ß = ×Ñ œ
œ &  .ÐÖ> ß = ×Ñ  .ÐÖ< ß ? ×Ñ  .ÐÖ? ß = ×Ñ œ
œ &  .ÐÖ> ß ? ×Ñ  .ÐÖ< ß ? ×Ñ œ
œ &  .ÐÖ< ß > ×Ñ Ÿ #  &.
Das desigualdades
#  & Ÿ .ÐÖ< ß = ×Ñ  .ÐÖ< ß = ×Ñ Ÿ #  &
e da arbitrariedade de & deduzimos finalmente que
.ÐÖ< ß = ×Ñ  .ÐÖ< ß = ×Ñ œ #.
…
3.20 (Corolário) Dois ângulos verticalmente opostos têm a mesma amplitude.
Dem: Sendo Ö< ß = × e Ö< ß = × os ângulos verticalmente opostos, eles vão
ser ambos adjacentes do ângulo Ö< ß = × pelo que, pelo axioma b) em 3.17,
tem-se
.ÐÖ< ß = ×Ñ  .ÐÖ< ß = ×Ñ œ #
.ÐÖ< ß = ×Ñ  .ÐÖ< ß = ×Ñ œ #,
o que implica que .ÐÖ< ß = ×Ñ œ .ÐÖ< ß = ×Ñ.
…
3.21 (O ângulo recto) Dado um ângulo Ö< ß = × de vértice S num plano !,
diz-se que ele é recto se .ÐÖ< ß = ×Ñ œ ", que ele é agudo se
.ÐÖ< ß = ×Ñ  " e que ele é obtuso se .ÐÖ< ß = ×Ñ  "Þ
3.22 Dados dois ângulos adjacentes Ö< ß = × e Ö< ß = ×, tem-se que eles são
congruentes se, e só se, Ö< ß = × (e portanto Ö< ß = ×) é recto. Caso
contrário, um é agudo e o outro é obtuso.
Dem: Trata-de de uma consequência imediata da igualdade
Ö< ß = ×  Ö< ß = × œ #.
– 34–
…
3.23 Sejam < e = duas rectas concorrentes. Sendo <  = œ ÖS×, notemos < e <
as duas semirrectas de < de origem S e = e = as duas semirrectas de = de
origem S. Diz-se que as rectas < e = são perpendiculares (ou ortogonais) se
um dos quatro ângulos Ö< ß = ×, Ö< ß = ×, Ö< ß = × e Ö< ß = ×, e portanto
também os outros três, for um ângulo recto.
Dem: Reparar que se um desses ângulos é recto, dois dos outros três são
adjacentes, e portanto rectos, e o terceiro é verticalmente oposto, e portanto
também recto.
…
3.24 (O plano em três partes) Seja Ö< ß = × um ângulo de vértice S contido no
plano !. Seja V − nÖ< ß = × com V Â < e V Â = e consideremos a recta
Û
> œ SV § ! e a semirrecta > œ SV de >. Tem-se então que a recta > é
distinta de < e = e
.ÐÖ< ß = ×Ñ  .ÐÖ= ß > ×Ñ  .ÐÖ> ß < ×Ñ œ %.
Û  =<
Û e, tendo em conta a alínea a) de
Dem: Tem-se > § nÖ< ß = × œ <=
Û  =>
Û e = § nÖ< ß > × œ
3.15, tem-se também < § nÖ> ß = × œ >=



 
Û
Û
<>  >< , com as rectas <ß =ß > todas distintas.
Q
t+
R
r+
O
P
s+
Û  =<
Û œ nÖ< ß = ×, que
Deduzimos daqui, lembrando 2.12, que > § <=
Û
Û
Û
Û
< § >=  => œ nÖ> ß = × e que = § <>  >< œ nÖ< ß > ×. Tendo em
conta o axioma b) em 3.17, podemos escrever
.ÐÖ< ß > ×Ñ œ .ÐÖ< ß = ×Ñ  .ÐÖ= ß > ×Ñ,
.ÐÖ= ß > ×Ñ œ .ÐÖ= ß < ×Ñ  .ÐÖ< ß > ×Ñ,
.ÐÖ= ß < ×Ñ œ .ÐÖ= ß > ×Ñ  .ÐÖ> ß < ×Ñ.
Tendo em conta 3.19, tem-se
# œ .ÐÖ< ß = ×Ñ  .ÐÖ< ß = ×Ñ,
# œ .ÐÖ= ß < ×Ñ  .ÐÖ= ß < ×Ñ,
e daqui resulta que
– 35–
% œ .ÐÖ< ß = ×Ñ  .ÐÖ< ß = ×Ñ  .ÐÖ= ß < ×Ñ  .ÐÖ= ß < ×Ñ œ
œ .ÐÖ< ß = ×Ñ  .ÐÖ< ß = ×Ñ  .ÐÖ= ß < ×Ñ  .ÐÖ= ß > ×Ñ  .ÐÖ> ß < ×Ñ œ
œ .ÐÖ< ß = ×Ñ  .ÐÖ< ß > ×Ñ  .ÐÖ= ß > ×Ñ,
…
como queríamos.
4. Triângulos.
4.1 Vamos chamar triângulo a um triplo ordenado ÐEß Fß GÑ de pontos de X ,
constituindo um conjunto não colinear (em particular todos distintos).
Chamamos plano continente do triângulo ao único plano ! que contém os
três pontos, vértices do triângulo aos pontos Eß Fß G , lados do triângulo aos
pares ÐEß FÑ, ÐFß GÑ e ÐGß EÑ, ou aos segmentos de recta ÒEß FÓ, ÒFß GÓ e
ÒGß EÓ, contidos no plano continente !, e ângulos (ou ângulos internos) do
triângulo aos ângulos
w
w
w
Û Û
Û Û
Û Û
FEG œ ÖEFß EG×, EFG œ ÖFEß FG×, FGE œ ÖGFß GE×,
todos contidos no plano continente !, e que, quando o triângulo estiver
w w
w
implícito serão notados mais simplesmente por E , F e G , respectivamente.
4.2 Dado um triângulo ÐEß Fß GÑ, a intersecção dos seus sectores angulares
w w
w
Û Û Û
nE , nF e nG coincide com a intersecção dos semiplanos <E , =F e >G ,
onde < œ FG , = œ EG e > œ EF . A estas intersecções damos o nome de
segmento triangular associado a ÐEß Fß GÑ e notamo-lo ÒEß Fß GÓ.
Este conjunto, também contido em !, admite também as “caracterizações
mistas”:
w Û
ÒEß Fß GÓ œ nE  <E œ
w
Û
œ nF  =F œ
w Û
œ nG  >G Þ
r
s
C
t
A
B
– 36–
Dem: Trata-se de uma consequência de se ter
w
Û
Û
nE œ >G  =F ,
w
Û Û
nF œ >G  <E ,
w
Û
Û
nG œ <E  =F .
…
4.3 (Nota) Apesar de considerarmos, por exemplo, os triângulos ÐEß Fß GÑ e
ÐEß Gß FÑ como distintos, os correspondentes segmentos triangulares
ÒEß Fß GÓ e ÒEß Gß FÓ já são iguais. Mais precisamente, dados dois triângulos
ÐEß Fß GÑ e ÐEw ß F w ß G w Ñ tais que ÖEß Fß G× œ ÖEw ß F w ß G w ×, tem-se
ÒEß Fß GÓ œ ÒEw ß F w ß G w Ó.
Dem: Trata-se de uma consequência imediata da caracterização
Û
Û Û
ÒEß Fß GÓ œ <E  =F  >G
e do facto de se ter FG œ GF , EG œ GE e EF œ FE.
…
4.4 Se ÐEß Fß GÑ é um triângulo, então o correspondente segmento triangular
ÒEß Fß GÓ é um conjunto convexo que contém os vértices E, F e G , e
portanto também contém os lados ÒEß FÓ, ÒFß GÓ e ÒGß EÓ.
Dem: O facto de se tratar de um conjunto convexo vem de que temos a
intersecção de três conjuntos convexos e o facto de conter os três vértices
resulta de que cada um dos sectores angulares contém os três vértices (um é a
sua origem e os outros dois pertencem às semirrectas bordo).
…
4.5 (Intersecção com uma recta de origem num vértice) Seja ÐEß Fß GÑ um
triângulo e seja H − ÒFß GÓ. Considerando então a recta ? œ EH, tem-se
?  ÒEß Fß GÓ œ ÒEß HÓÞ
r
s
C
t
u
D
A
B
No caso em que H é distinto de F e G , os pontos de ÒEß HÓ distintos de E e
H são pontos de ÒEß Fß GÓ que não pertencem a nenhum dos lados do
triângulo. Em particular ÒEß Fß GÓ tem sempre pontos que não pertencem a
– 37–
nenhum dos lados.
w
Dem: Tendo em conta 4.4, tem-se H − ÒEß Fß GÓ § nFEG . Pela alínea b)
w
w
de 3.5 tem-se que ?  nE œ ?  nFEG é uma semirrecta de origem E
Û
que, por conter o ponto H, tem que ser a semirrecta EH . Por outro lado, uma
vez que as rectas ? e < são distintas, por < não conter E (senão = œ >), elas
Û
são concorrentes com intersecção ÖH× pelo que, por 2.12, ?  <E é uma
Û
semirrecta de ? de origem H, e portanto é a semirrecta HE. Tendo em conta
4Þ2, obtemos então
w Û
w
Û
?  ÒEß Fß GÓ œ ?  nE  <E œ Ð?  nE Ñ  Ð?  <E Ñ œ
Û
Û
œ EH  HE œ ÒEß HÓ.
Supondo que H é diferente de F e G , a recta ? é distinta de = e de >, pelo que
os pontos de ? distintos de E não pertencem a = nem a >, em particular não
pertencem aos lados ÒEß GÓ e ÒEß FÓ. Por outro lado, como ?  < œ ÖH×, os
pontos de ÒEß HÓ distintos de H não pertencem a <, em particular não
pertencem a ÒFß GÓ.
…
4.6 (De um ponto interior para um vértice) Sejam ÐEß Fß GÑ um triângulo e
\ − ÒEß Fß GÓ, que não pertença a nenhum dos lados do triângulo. Tem-se
então que a recta E\ intersecta o lado ÒFß GÓ num ponto H distinto de F e
de G e vem \ − ÒEß HÓ, com \ distinto de E e de H.
r
s
C
t
A
X
D
B
Dem: Sendo ? œ E\ , a recta ? é distinta das rectas = œ EG e > œ EF ,
visto que, por 4.5, =  ÒEß Fß GÓ œ ÒEß GÓ e >  ÒEß Fß GÓ œ ÒEß FÓ. Uma vez
Û Û
que \ − nÖEGß EF×, deduzimos da alínea b) de 3.9 que ? intersecta o
segmento ÒFß GÓ num ponto H que terá que ser distinto de F e de G , por ?
ser distinta de = e de >. Mais uma vez por 4.5, \ − ?  ÒEß Fß GÓ œ ÒEß HÓ.…
4.7 (O triângulo é o envólucro convexo dos seus vértices) Sejam V § X um
conjunto convexo e Eß Fß G − V não colineares. Tem-se então
ÒEß Fß GÓ § V.
Dem: Por definição de convexidade tem-se ÒEß FÓ § V, ÒFß GÓ § V e
– 38–
ÒGß EÓ § V. Resta-nos verificar o que se passa com um ponto \ − ÒEß Fß GÓ
que não pertence a nenhum dos lados do triângulo. Ora, por 4.6, existe
H − ÒFß GÓ tal que \ − ÒEß HÓ pelo que, por convexidade, tem-se
sucessivamente H − V e \ − V.
…
4.8 (De um ponto interior para os três vértices) Sejam ÐEß Fß GÑ um triângulo
e \ − ÒEß Fß GÓ, que não pertença a nenhum dos lados do triângulo.
Û
Û
Û
Consideremos as semirrectas ? œ \E, @ œ \F e A œ \G , de origem
\ , e notemos ? , @ e A as semirectas opostas. Tem-se então que as rectas
continentes ?, @ e A são todas distintas e
? § nÖ@ ß A ×, @ § nÖA ß ? ×, A § nÖ? ß @ ×.
Dem: Para ver que as três rectas são distintas, basta, por simetria dos papéis
dos três pontos, mostrar que @ Á A. Ora, se fosse @ œ A, vinha \ − FG ,
donde \ − FG  ÒEß Fß GÓ œ ÒFß GÓ (cf. 4.5), contra o que suposéramos.
Do mesmo modo, por simetria dos papéis dos três pontos, basta provarmos a
inclusão ? § nÖ@ ß A ×.
w+
r
s
C
t
u+
A
X
D
B
v+
Tendo em conta 4.6, a recta ? œ E\ intersecta ÒFß GÓ num ponto H, distinto
de F e G , e tem-se \ − ÒEß HÓ, com \ distinto de E e de H . Uma vez que
Fß G − nÖ@ ß A × e que um sector angular de vértice \ é convexo e cónico
relativamente a \ , concluímos que
Û
Û  A@
Û
? œ \H § nÖ@ ß A × œ @A
e portanto, por 2.12,
Û  A@
Û œ nÖ@ ß A ×.
? § @A
– 39–
…
4.9 (Rectas que passam por um ponto interior) Sejam ÐEß Fß GÑ um triângulo
e \ − ÒEß Fß GÓ, que não pertença a nenhum dos lados do triângulo. Sejam !
o plano que contém Eß Fß G e B uma recta tal que \ − B § !. Tem-se então:
a) Se E − B, então B intersecta ÒFß GÓ num ponto distinto de F e de G ;
b) Se F − B, então B intersecta ÒGß EÓ num ponto distinto de G e de E;
c) Se G − B, então B intersecta ÒEß FÓ num ponto distinto de E e de F ;
d) Se nenhum dos pontos Eß Fß G pertence a B, então B intersecta dois, e só
dois, dos três lados ÒFß GÓ, ÒGß EÓ e ÒEß FÓ.
w+
r
s
C
x+
t
u+
A
X
D
B
v+
Dem: A conclusão de a) está contida em 4.6 e as conclusões de b) e c)
resultam de a) por simetria dos papéis dos vértices. Suponhamos que se
verifica a hipótese em d) e utilizemos 4.8, assim como as respectivas notações. Sendo B uma das semirrectas de B de origem \ , a alínea c) de 3.15
garante-nos que se verifica uma das três condições B § nÖ@ ß A ×,
B § nÖA ß ? × e B § nÖ? ß @ × e concluímos então, da alínea b) de 3.9
que B , e portanto B, intersecta um dos três segmentos ÒFß GÓ, ÒGß EÓ e
ÒEß FÓ. O facto de B intersectar então dois, e só dois, destes segmentos já foi
provado no teorema de Pasch (2.17).
…
4.10 (O segmento triangular determina o conjunto dos vértices) Seja
ÐEß Fß GÑ um triângulo e seja ! o único plano que contém o segmento
triangular ÒEß Fß GÓ (o único que contém os três vértices). Tem-se então:
a) Existe uma recta ? § ! tal que ?  ÒEß Fß GÓ œ ÖE×.
b) Qualquer que seja \ − ÒEß Fß GÓ, distinto de E, de F e de G , e qualquer
que seja a recta ? com \ − ?, ?  ÒEß Fß GÓ tem mais que um elemento.
Em particular, se dois triângulos têm o mesmo sector triangular, então têm o
mesmo conjunto de vértices.
Û
Û
Dem: a) Notando EF œ < e EG œ = escolhamos V − nÖ< ß = × tal que
V Â < e V Â = (por exemplo, por 3.4 e pela alínea a) de 3.5). Sendo
Û
Û  =<
Û , donde
? œ EF , vem ? distinta de < e de = e ? § nÖ< ß = × œ <=
Û
Û
? § <=  =< œ nÖ< ß = × e daqui resulta, pela alínea b) de 3.8, que
– 40–
?  nÖ< ß = × œ ÖE×, e portanto também ?  ÒEß Fß GÓ œ ÖE×.
b1) Suponhamos que \ pertence a um dos lados ÒEß FÓ, ÒFß GÓ e ÒGß EÓ mas
não coincide com nenhum dos vértices Eß Fß G . Suponhamos, para fixar
ideias, que \ − ÒEß FÓ, e seja ? § ! uma recta com \ − ?. Se algum dos
vértices Eß Fß G pertence a ?, então ?  ÒEß Fß GÓ, contendo \ e esse
vértice, tem mais que um elemento. Caso contrário, o teorema de Pasch (cf.
2.17) garante que ? intersecta algum dos lados ÒFß GÓ ou ÒGß EÓ e portanto,
mais uma vez, ?  ÒEß Fß GÓ tem mais que um elemento.
b2) Suponhamos que \ − ÒEß Fß GÓ mas \ não pertence a nenhum dos
lados ÒEß FÓ, ÒFß GÓ e ÒGß EÓ. Se ? é uma recta de ! com \ − ?, a recta ?
está nas condições de alguma das alíneas a) a d) de 4.9, em qualquer caso
?  ÒEß Fß GÓ tem mais que um elemento.
…
4.11 (Triângulos congruentes) Diz-se que dois triângulos ÐEß Fß GÑ e
ÐEw ß F w ß G w Ñ são congruentes, e escreve-se ÐEß Fß GÑ ¸ ÐEw ß F w ß G w Ñ, se os
lados e os ângulos “homólogos” são congruentes, isto é, se lEFl œ lEw ß F w l,
w
w
w
w
lFGl œ lF w ß G w l, lGEl œ lG w Ew lß .ÐE Ñ œ .ÐEw Ñ, .ÐF Ñ œ .ÐF w Ñ e
ww
w
.ÐG Ñ œ .ÐG Ñ.
B'
B
A A'
C'
C
4.12 (Nota trivial de utilização frequente) Se ÐE" ß E# ß E$ Ñ e ÐE"w ß E#w ß E$w Ñ e 5 é
uma permutação de Ö"ß #ß $×, então ÐE" ß E# ß E$ Ñ e ÐE"w ß E#w ß E$w Ñ são congruentes se, e só se, ÐE5Ð"Ñ ß E5Ð#Ñ ß E5Ð$Ñ Ñ e ÐE5w Ð"Ñ ß E5w Ð#Ñ ß E5w Ð$Ñ Ñ são
congruentes.
4.13 (O Axioma LAL) Sejam ÐEß Fß GÑ e ÐEw ß F w ß G w Ñ dois triângulos tais que
w
w
lEFl œ lEw F w l, lEGl œ lEw G w l e .ÐE Ñ œ .ÐEw Ñ (dois lados e o ângulo por
eles formado). Tem-se então que os triângulos são congruentes, isto é, tem-se
w
w
w
w
também lFGl œ lF w G w l, .ÐF Ñ œ .ÐF w Ñ e .ÐG Ñ œ .ÐG w Ñ.
4.14 (Lema Lw AL) Sejam ÐEß Fß GÑ e ÐEw ß F w ß G w Ñ dois triângulos tais que
w
w
lEFl  lEw F w l, lEGl œ lEw G w l e .ÐE Ñ œ .ÐEw Ñ. Tem-se então
ww
w
.ÐG Ñ  .ÐG Ñ.
– 41–
B'
B
A'
A
C'
C
Dem: Seja F ww − ÒEß FÓ tal que lEF ww l œ lEw F w l (cf. a alínea d) de 1.19).
B'
B
B"
A'
A
C'
C
Pelo mesmo resultado, tem-se F ww Á F e F ww Á E. Uma vez que Eß Fß G são
não colineares, G não pertence à recta EF œ EF ww , o que mostra que
Eß F ww G também são não colineares. Tendo em conta a convexidade dos
Û Û
sectores angulares, tem-se F ww − nÖGEß GF×, com F ww não pertencente às
Û
Û
semirrectas GE e GF (por Eß Fß G não serem colineares). Uma vez que os
sectores angulares são cónicos relativamente ao seu vértice, resulta assim do
Û Û
Û Û
axioma b) em 3.17 que .ÐÖGEß GF×Ñ  .ÐÖGEß GF ww ×Ñ. Mas o axioma
LAL (cf. 4.13) garante que os triângulos ÐEß F ww ß GÑ e ÐEw ß F w ß G w Ñ são
concgruentes, e portanto, em particular
w
w
Û Û
Û Û
…
.ÐG w Ñ œ .ÐÖGEß GF ww ×Ñ  .ÐÖGEß GF×Ñ œ .ÐG Ñ
4.15 (Teorema ALA) Sejam ÐEß Fß GÑ e ÐEw ß F w ß G w Ñ dois triângulos tais que
w
w
w
w
lEGl œ lEw G w l, .ÐE Ñ œ .ÐEw Ñ e .ÐG Ñ œ .ÐG w Ñ (um lado e os dois
ângulos adjacentes). Tem-se então que os dois triângulos são congruentes.
Dem: Tendo em conta o axioma LAL (cf. 4.13), o resultado ficará provado
se verificarmos que lEFl œ lEw F w l. Ora, se isso não acontecesse, ou
lEFl  lEw F w l ou lEFl  lEw F w l e, nesse caso, ter-se-ia respectivamente,
– 42–
w
w
w
w
tendo em conta o lema 4.14, .ÐG Ñ  .ÐG w Ñ ou .ÐG Ñ  .ÐG w Ñ,
w
w
contrariando a hipótese .ÐG Ñ œ .ÐG w Ñ.
…
4.16 (Corolário) Se ÐEß Fß GÑ é um triângulo, tem-se lEFl œ lGFl se, e só se,
w
w
.ÐE Ñ œ .ÐG Ñ (dois lados são congruentes se, e só se, os ângulos opostos o
forem).
Dem: Se lEFl œ lGFl, resulta do axioma LAL que os triângulos ÐEß Fß GÑ
w
w
e ÐGß Fß EÑ são congruentes, em particular .ÐE Ñ œ .ÐG Ñ. Reciprocamente,
w
w
se .ÐE Ñ œ .ÐG Ñ, resulta do teorema ALA que os triângulos ÐEß Fß GÑ e
ÐGß Fß EÑ são congruentes, em particular lEFl œ lGFl.
…
4.17 (Defnição) Um triângulo ÐEß Fß GÑ diz-se isósceles em F se verifica as
duas condições equivalentes no corolário precedente. Ele diz-se equilátero se
for isósceles nos três vértices, isto é, se verifica qualquer das seguintes
w
w
w
propriedades equivalentes: lEFl œ lFGl œ lGEl, .ÐE Ñ œ .ÐF Ñ œ .ÐG Ñ.
Ele diz-se escaleno se não for isósceles em nenhum dos vértices.
4.18 Dado um triângulo ÐEß Fß GÑ, chamam-se ângulos externos ao ângulos
w w w
adjacentes a cada um dos ângulos E , F e G .
Existem assim seis ângulos externos, dois correspondentes a cada vértice e os
ângulos externos correspondentes a um mesmo vértice são verticalmente
opostos, em particular com a mesma amplitude. Aliás, tendo em conta 3.19, a
w
amplitude dos ângulos externos de vértice, por exemplo E é #  .ÐE Ñ.
4.19 (Teorema pobre do ângulo externo) Seja ÐEß Fß GÑ um triângulo. Tem-se
w
então que a amplitude dos ângulos externos de vértice G é maior que .ÐE Ñ
w
e que .ÐF Ñ (os ângulos internos não adjacentes).
Dem: Por simetria dos papéis dos vértices, basta mostrarmos que a amplitude
w
dos ângulos externos de vértice G é maior que .ÐF Ñ e, tendo em conta a
igualdade da amplitude dos dois ângulos externos de vértice G , podemos
Û
considerar aquele que é determinado pela semirrecta GF e pela semirrecta
Û
oposta à semirrecta GE.
D
B
B
M
C
A
C
A
– 43–
Seja Q − ÒFß GÓ o ponto médio do par ÐFß GÑ (cf. 1.26) e consideremos na
Û
semirrecta EQ o ponto H definido pela condição de se ter lEHl œ #lEQ l
(cf. a alínea d) de 1.19), ponto para o qual se tem então Q − ÒEß HÓ e
portanto, por 1.25, lEHl œ lEQ l  lQ Hl, donde lEQ l œ lQ Hl.
Û Û
Û Û
Uma vez que os ângulos ÖQ Fß Q E× e ÖQ Gß Q H× são verticalmente
opostos, e portanto com a mesma amplitude, podemos utilizar o axioma LAL
(cf. 4.13) para garantir que os triângulos ÐEß Q ß FÑ e ÐHß Q ß GÑ são
congruentes, e portanto que
w
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐF Ñ œ .ÐÖFEß FG×Ñ œ .ÐÖFEß FQ ×Ñ œ .ÐÖGHß GQ ×Ñ.
Û
Notemos , a recta EG , , œ GE e , a semirrecta oposta. Notemos + a
Û
recta FG e + œ GF . O ângulo externo considerado é assim Ö+ ß , ×. Uma
Û
Û
Û
Û
vez que Q − ,+ , vem EQ § ,+ , em particular H − ,+ e tem-se H Â , ,
uma vez que, por ser Q  , , EQ  , œ ÖE×. Por outro lado, por ser
Û
Û
E − +E œ +, e E  +, H vai pertencer ao semiplano oposto, portanto
Û
Û
Û
H − +, e H  +. Tem-se assim H − ,+  +, œ nÖ+ ß , ×. Podemos
agora aplicar o axioma b) em 3.17 para garantir que
w
Û Û
Û
.ÐF Ñ œ .ÐÖGHß GQ ×Ñ œ .ÐÖGHß + ×Ñ  .ÐÖ+ ß , ×Ñ.
…
w
w
4.20 (Corolário) Seja ÐEß Fß GÑ um triângulo. Então .ÐF Ñ  .ÐG Ñ  #.
w
Dem: Pelo resultado precedente, .ÐF Ñ é menor que a amplitude dos ângulos
w
externos de vértice G , as quais são iguais a #  .ÐG Ñ.
…
4.21 (Lema) Seja ÐEß Fß GÑ um triângulo. Existe então um triângulo
w
w
w
w
w
w
ÐEw ß F w ß G w Ñ tal que .ÐE Ñ  .ÐF Ñ  .ÐG Ñ œ .ÐEw Ñ  .ÐF w Ñ  .ÐG w Ñ e
ww
w
.ÐE Ñ Ÿ "# .ÐE Ñ.
Dem: Como na demonstração de 4.19, seja Q − ÒFß GÓ o ponto médio do
Û
par ÐFß GÑ e consideremos na semirrecta EQ o ponto H definido pela
condição de se ter lEHl œ #lEQ l, ponto para o qual se tem então
Q − ÒEß HÓ e portanto lEHl œ lEQ l  lQ Hl, donde lEQ l œ lQ Hl.
B
A
D
M
C
Û Û
Û Û
Uma vez que os ângulos ÖQ Fß Q E× e ÖQ Gß Q H× são verticalmente
– 44–
opostos, e portanto com a mesma amplitude, podemos utilizar o axioma LAL
(cf. 4.13) para garantir que os triângulos ÐEß Q ß FÑ e ÐHß Q ß GÑ são
congruentes, e portanto que
w
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐF Ñ œ .ÐÖFEß FG×Ñ œ .ÐÖFEß FQ ×Ñ œ .ÐÖGHß GQ ×Ñ,
w
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐÖEFß EQ ×Ñ œ .ÐÖHGß HQ ×Ñ œ .ÐÖHGß HE×Ñ œ .ÐH Ñ.
Tendo em conta a convexidade dos sectores angulares, tem-se
Û Û
Û Û
Q − nÖEFß EG× e Q − nÖGEß GH× e Q não pertence a nenhuma das
rectas EF , EG e GH pelo que, aplicando o axioma b) em 3.17,
w
w
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐE Ñ œ .ÐÖEFß EQ ×Ñ  .ÐÖEQ ß EG×Ñ œ .ÐH Ñ  .ÐÖEHß EG×Ñ,
w
w
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐÖGEß GH×Ñ œ .ÐÖGEß GQ ×Ñ  .ÐÖGHß GQ ×Ñ œ .ÐG Ñ  .ÐF Ñ.
Da
primeira igualdade resulta que ou
w
Û Û
.ÐÖEQ ß EG×Ñ  "# .ÐE Ñ. Além disso, obtemos
w
w
.ÐH Ñ  "# .ÐE Ñ
ou
w
w
w
w
Û Û
Û Û
.ÐE Ñ  .ÐF Ñ  .ÐG Ñ œ .ÐH Ñ  .ÐÖEHß EG×Ñ  .ÐÖGEß GH×Ñ,
pelo que basta tomarmos para ÐEw ß F w ß G w Ñ no primeiro caso o triângulo
ÐHß Gß EÑ e no segundo caso o triângulo ÐEß Gß HÑ.
…
4.22 (A soma dos ângulos internos pobre) Seja ÐEß Fß GÑ um triângulo.
w
w
w
Tem-se então .ÐE Ñ  .ÐF Ñ  .ÐG Ñ Ÿ 2.
Dem: Suponhamos que isso não acontecia. Tinha-se então, para um certo
w
w
w
$  !, .ÐE Ñ  .ÐF Ñ  .ÐG Ñ œ #  $ . Tendo em conta o lema
precedente, podemos construir recursivamente triângulos ÐE8 ß F8 ß G8 Ñ, com
ÐE" ß F" ß G" Ñ œ ÐEß Fß GÑ,
w
w
w
.ÐE8 Ñ  .ÐF8 Ñ  .ÐG8 Ñ œ #  $
w
e .ÐE8 Ñ Ÿ
w
"
#8 .ÐE
w
Ñ. Podemos assim escolher 8 tal que .ÐE8 Ñ  $ , donde
w
w
w
w
w
#  $ œ .ÐE8 Ñ  .ÐF8 Ñ  .ÐG8 Ñ  .ÐF8 Ñ  .ÐG8 Ñ  $ ,
w
w
portanto .ÐF8 Ñ  .ÐG8 Ñ  #, o que é absurdo, tendo em conta o corolário
4.20.
…
4.23 (Corolário) Se ÐEß Fß GÑ é um triângulo, então pelo menos dois dos
w w w
ângulos internos E , F e G são agudos.
Dem: Se isso não acontecesse, dois dos ângulos tinham amplitude maior ou
igual a ", pelo que a soma das suas duas amplitudes seria maior ou igual a # e
portanto a soma das três amplitudes seria maior que #.
…
4.24 (Teorema melhorado do ângulo externo) Seja ÐEß Fß GÑ um triângulo.
Tem-se então que a amplitude dos ângulos externos de vértice G é maior ou
w
w
igual a .ÐE Ñ  .ÐF Ñ (a soma dos ângulos internos não adjacentes).
– 45–
w
w
w
Dem: Tendo em conta 4.22, tem-se .ÐE Ñ  .ÐF Ñ Ÿ #  .ÐG Ñ pelo que
w
tudo o que temos que reparar é que #  .ÐG Ñ é precisamente a amplitude
dos ângulos externos de vértice G .
…
4.25 (Maior lado e maior ângulo) Seja ÐEß Fß GÑ um triângulo. Tem-se então
w
w
que lEFl  lEGl se, e só se, .ÐG Ñ  .ÐF Ñ (a um lado maior opõe-se um
ângulo maior e reciprocamente).
Dem: Suponhamos que lEFl  lEGl. Tendo em conta a alínea d) de 1.19,
podemos considerar H − ÒEß FÓ, distinto de E e de F , tal que lEFl œ lEGl.
A
D
C
B
Considerando agora o triângulo ÐEß Hß GÑ, resulta de 4.16 que
Û Û
Û Û
.ÐÖHEß HG×Ñ œ .ÐÖGEß GH×Ñ.
Û
Û Û
Û
Uma vez que HE e HF são semirrectas opostas de origem H, ÖHEß HG× é
um dos ângulos externos de vértice H do triângulo ÐFß Hß GÑ, resulta de 4.19
que
w
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐF Ñ œ .ÐÖFHß FG×Ñ  .ÐÖHEß HG×Ñ œ .ÐÖGEß GH×Ñ.
Por outro lado, a convexidade dos sectores angulares garante que
Û Û
H − nÖGEß GF× e portanto, como F não pertence às rectas GF e GE e os
sectores angulares são cónicos relativamente ao respectivo vértice,
concluímos do axioma b) em 3.17 que
w
Û Û
Û Û
.ÐÖGEß GH×Ñ  .ÐÖGEß GF×Ñ œ .ÐG Ñ,
w
w
pelo que temos efectivamente .ÐF Ñ  .ÐG Ñ.
w
w
Suponhamos, reciprocamente, que .ÐF Ñ  .ÐG Ñ. Então não pode ser
lEFl  lEGl, porque então, aplicando o anterior ao triângulo ÐEß Gß FÑ,
w
w
vinha .ÐG Ñ  .ÐF Ñ, nem pode ser lEFl œ lEGl, porque então, por 4.16,
w
w
vinha .ÐG Ñ œ .ÐF Ñ. Concluímos assim que lEFl  lEGl.
…
– 46–
4.26 (A perpendicular a uma recta num dos seus pontos) Sejam ! um plano,
< § ! uma recta e S − <. Existe então uma, e uma só recta = § !, com
S − =, tal que = seja perpendicular a < (cf. a definição em 3.23). Diremos que
= é a perpendicular a < pelo ponto S no plano !.
Dem: Sejam < uma das semirectas de < de origem S e < a outra. Seja !
um dos semiplanos de ! de bordo <. Tendo em conta o axioma a) de 3.17,
podemos considerar a única semirrecta = de ! de origem S, contida em !
e com recta = Á <, tal que .ÐÖ< ß = ×Ñ œ " e então, por definição, a recta
= § ! contém S e é perpendicular a <. Quanto à unicidade, suponhamos que
> § ! é uma recta com S − > perpendicular a !. Em particular > Á < e, tendo
em conta a alínea b) em 2.12, > œ >  ! é uma semirrecta de > de origem
S, para a qual se terá .ÐÖ< ß > ×Ñ œ ". Pela parte de unicidade no axioma a)
de 3.17, tem-se assim > œ = , e portanto > œ =.
…
4.27 (Um primeiro lugar geométrico) Sejam ! um plano e E Á F em !.
Tem-se então que o conjunto dos pontos \ − ! tais que l\El œ l\Fl é a
recta = do plano ! perpendicular a < œ EF que contém o ponto médio Q do
par ÐEß FÑ (cf. 1.26).
Dem: Comecemos por lembrar que, como se viu em 1.26, Q é o único ponto
de \ − < tal que l\El œ l\Fl e que Q − ÒEß FÓ. Suponhamos agora \ − =
é tal que \ Á Q , e portanto \ Â <.
X
A
M
B
r
Podemos então considerar os triângulos ÐEß Q ß \Ñ e ÐFß Q ß \Ñ, para os
Û Û
Û Û
quais se tem .ÐÖQ Eß Q \×Ñ œ " œ .ÐÖQ \ß Q F×Ñ, lQ El œ lQ Fl e
lQ \l œ lQ \l pelo que, pelo axioma LAL, aqueles triângulos são
congruentes, e portanto l\El œ l\Fl.
Suponhamos, reciprocamente, que \ − ! é tal que \ Á Q e l\El œ l\Fl,
e portanto \ Â <. Podemos então aplicar 4.16 ao triângulo ÐEß Fß \Ñ para
garantir que
Û Û
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐÖEQ ß E\×Ñ œ .ÐÖEFß E\×Ñ œ .ÐÖFEß F\×Ñ œ .ÐÖFQ ß F\×Ñ
– 47–
e daqui deduzimos, pelo axioma LAL, que os triângulos ÐEß Q ß \Ñ e
Û Û
Û Û
ÐFß Q ß \Ñ são congruentes, e portanto .ÐÖQ Eß Q \×Ñ œ .ÐÖQ \ß Q F×Ñ.
Û Û
Û Û
Uma vez que ÖQ Eß Q \× e ÖQ \ß Q F× são ângulos adjacentes, e portanto
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐÖQ Eß Q \×Ñ  .ÐÖQ \ß Q F×Ñ œ #, segue-se que .ÐÖQ Eß Q \×Ñ œ ",
e portanto Q \ é a recta =, em particular \ − =.
…
4.28 (Perpendicular por um ponto exterior) Sejam < uma recta e \ Â <.
Existe então um, e um só, ponto E − < tal que a recta \E seja perpendicular
à recta < (dizemos que E é o pé da perpendicular de \ para <).
Dem: Comecemos por provar a unicidade, para o que supomos que existiam
E Á F em < tais que as rectas \E e \F fossem ambas perpendiculares a <.
w
w
Considerando o triângulo ÐEß \ß FÑ, vinha assim .ÐE Ñ œ .ÐF Ñ œ ", em
particular, a amplitude dos ângulos externos em F também era ", o que
contrariava o facto de essa amplitude dever ser maior que ", por 4.19.
Passemos agora à prova da existência.
X
r
A
O
Y
s+
Seja ! o plano que contém < e \ e fixemos um ponto S − <, podendo já
supor-se que a recta \S não é perpendicular a <, sem o que se tomava
E œ S. Seja < uma das semirrectas de < de origem S. Tendo em conta o
axioma a) em 3.17, notando ! o semiplano de ! de bordo < que contém \ e
! o semiplano oposto, existe uma semirrecta = de origem S, contida em
! , com = Á <, tal que
Û
.ÐÖ= ß < ×Ñ œ .ÐÖS\ß < ×Ñ.
Tendo em conta a alínea d) em 1.19, podemos considerar ] − = tal que
lS\l œ lS] l. Uma vez que \ß ] não pertencem a < e estão em semiplanos
Û
Û
opostos de ! com bordo <, existe E − Ò\ß ] Ó  <. Vem que E\ e E] são
semirrectas opostas da recta \] e daqui resulta, em particular, que E Á S,
Û
Û
sem o que ÖS\ß < × e ÖS] ß < × œ Ö= ß < × eram ângulos adjacentes com a
mesma amplitude, portanto de amplitude ", contrariando a hipótese de \S
não ser perpendicular a <. Podemos agora considerar os triângulos ÐSß Eß \Ñ
– 48–
e ÐSß Eß ] Ñ, para os quais se tem lS\l œ lS] l e lSEl œ lSEl e os ângulos
Û Û
Û Û
ÖS\ß SE× e ÖS] ß SE× têm a mesma amplitude, uma vez que eles são
Û
Û
Û
ÖS\ß < × e ÖS] ß < × œ Ö= ß < ×, se SE œ < , ou adjacentes destes
Û
ângulos, se SE œ < . Podemos assim aplicar o axioma LAL para garantir
que os triângulos ÐSß Eß \Ñ e ÐSß Eß ] Ñ são congruentes, e portanto que os
Û Û
Û Û
ângulos ÖE\ß ES× e ÖE] ß ES×, têm a mesma amplitude. Uma vez que
estes ângulos são adjacentes, e portanto com a soma das amplitudes igual a #,
Û Û
concluímos que .ÐÖE\ß ES×Ñ œ ", e portanto a recta \E é perpendicular à
recta <.
…
4.29 (O pé está próximo) Sejam < uma recta, \ Â < e E − < o pé da
perpendicular de \ para <. Para cada F − <, com F Á E, tem-se então
l\Fl  l\El (o pé da perpendicular é o ponto de < mais próximo de \ ).
Dem: Considerando o triângulo Ð\ß Fß EÑ, o facto de \E ser perpendicular
w
w
a < œ EF implica que .ÐE Ñ œ ". Tendo em conta 4.23, tem-se .ÐF Ñ  " e
resulta então de 4.25 que l\Fl  l\El.
…
4.30 Dada uma recta < e \ Â <, definimos a distância de \ a <, l\<l  !, por
l\<l œ l\El, onde E é o pé da perpendicular de \ para <. No caso em que
\ − <, pomos l\<l œ !.
4.31 (Longe da vista, longe do pé) Sejam < uma recta, \ Â < e E − < o pé da
perpendicular de \ para <. Dados Fß G − <, tem-se l\Fl  l\Gl se, e só se
lEFl  lEGl e l\Fl œ l\Gl se, e só se lEFl œ lEGl.
Dem: Comecemos por reparar que, se lEFl œ lEGl, então l\Fl œ l\Gl.
Com efeito, isso é evidente no caso em que F œ G e, caso contrário, E é o
ponto médio do par ÐFß GÑ (cf. 1.26) e portanto a igualdade l\Fl œ l\Gl
resulta de 4.27.
Vamos agora mostrar que, se lEFl  lEGl, então l\Fl  l\Gl, podendo já
supor-se que G Á E, sem o que tínhamos uma consequência de 4.29.
Podemos também examinar apenas o caso particular em que F pertence à
Û
semirrecta EG , visto que, caso contrário, aplicávamos esse caso particular ao
w
ponto G dessa semirrecta tal que lEG w l œ lEGl, para o qual, como vimos
atrás, l\G w l œ l\Gl.
X
r
A
C
– 49–
B
O facto de se ter lEFl  lEGl com F e G na mesma semirrecta de origem
E, implica, pela alínea d) de 1.19, que G − ÒEß FÓ, com G diferente de E e
Û Û
de F . Aplicando 4.23 ao triângulo ÐEß Gß \Ñ, onde .(ÖEG ,E\×Ñ œ ",
Û Û
concluímos que .(ÖGE,G\×Ñ  " e portanto, para o ângulo adjacente,
Û Û
.(ÖGF ,G\×Ñ  ". Mais uma vez por 4.23, aplicado agora ao triângulo
Û Û
Û Û
ÐGß Fß \Ñ, concluímos que .(ÖFG ,F\×Ñ  "  .(ÖGF ,G\×Ñ e daqui
deduzimos, por 4.25, que l\Fl  l\Gl, como queríamos.
Aplicando o que acabamos de mostrar com os papéis de F e G trocados
vemos que, se lEFl  lEGl, então l\Fl  l\Gl.
Uma das coisas estabelecidas atrás diz-nos que, se lEFl  lEGl, então
l\Fl  l\Gl. Reciprocamente, se l\Fl  l\Gl, não pode ser
lEFl  lEGl, sem o que l\Fl  l\Gl, nem lEFl œ lEGl, sem o que
l\Fl œ l\Gl, e portanto tem que ser lEFl  lEGl.
Do mesmo modo, se l\Fl œ l\Gl, não pode ser lEFl  lEGl, sem o que
l\Fl  l\Gl, nem pode ser lEFl  lEGl, sem o que l\Fl  l\Gl, e
portanto lEFl œ lEGl.
…
4.32 (Onde está o pé) Sejam < uma recta, \ Â < e E − < o pé da perpendicular
de \ para <. Dado S − <, com S Á E, existe uma, e uma só, semirrecta <
Û
de < de origem S tal que o ângulo ÖS\ß < × seja agudo e tem-se então
E − < .
Dem: Sendo < e < as duas semirrectas de < de origem S, os ângulos
Û
Û
ÖS\ß < × e ÖS\ß < × são adjacentes e com amplitude diferente de " (senão
Û
Û
S seria o pé da perpendicular) pelo que .ÐÖS\ß < ×Ñ  .ÐÖS\ß < ×Ñ œ #,
Û
Û
o que implica que, dos números .ÐÖS\ß < ×Ñ e .ÐÖS\ß < ×Ñ um é maior
que " e o outro é menor que ". Trocando eventualmente os nomes às
Û
semirrectas, podemos chamar < àquela para a qual .ÐÖS\ß < ×Ñ  ", e
Û
portanto .ÐÖS\ß < ×Ñ  ". O facto de se ter E − < vem de que, caso
contrário, tinha-se E − < e então no triângulo ÐEß Sß \Ñ tinha-se
w
Û Û
.ÐE Ñ œ .ÐÖE\ß ES×Ñ œ ",
w
Û Û
Û
.ÐS Ñ œ .ÐÖS\ß SE×Ñ œ .ÐÖS\ß < ×Ñ  ",
…
w w
4.33 (Corolário) Seja ÐEß Fß GÑ um triângulo tal que o ângulos E e F sejam
agudos. Tem-se então que o pé da perpendicular \ , de G para a recta EF ,
pertence ao segmento ÒEß FÓ e é distinto das suas extremidades.
w w
Dem: O facto de \ ser distinto de E e F resulta de que os ângulos E e F
não são rectos. Aplicando duas vezes o resultado precedente vemos agora
Û
Û
que \ pertence simultaneamente às semirrectas EF e FE e portanto
pertence à sua intersecção, igual ao segmento ÒEß FÓ.
…
o que era absurdo, tendo em conta 4.23.
4.34 (Teorema LLL) Sejam ÐEß Fß GÑ e ÐEw ß F w ß G w Ñ dois triângulos tais que
lEFl œ lEw F w l, lFGl œ lF w ß G w l e lGEl œ lG w ß Ew l. Tem-se então que os
– 50–
dois triângulos são congruentes.
C
C'
A
B
A'
B'
Dem: Tendo em conta 4.23, podemos já supor, se necessario fazendo uma
w w
mesma permutação nos vértices dos triângulos, que os ângulos E e F são
ambos agudos. Sejam ! o plano que contém os pontos Eß Fß G , ! o
semiplano de ! de bordo EF que contém G e ! o outro semiplano de !
com o mesmo bordo. Tendo em conta o axioma a) em 3.17, podemos
considerar a única semirrecta = de ! de origem E, com = Á EF , tal que
Û Û
Û
.ÐÖEFß = ×Ñ œ .ÐÖEw F w ß Ew G w ×Ñ. Tendo em conta a propriedade d) em
1.19, podemos considerar o único ponto G ww − = tal que
lEG ww l œ lEw G w l œ lEGl.
C
C'
A
B
A'
C"
B'
s+
Aplicando o axioma LAL, podemos agora concluir que os triângulos
ÐEß Fß G ww Ñ e ÐEw ß F w ß G w Ñ são congruentes, em particular que se tem também
lFG ww l œ lF w G w l œ lFGl. Uma vez que G e G ww são pontos distintos do plano
! (por estarem em semiplanos distintos de bordo EF e não pertencerem a
esta recta), o facto de tanto F como E serem equidistantes de G e G ww
implica, por 4.27, que a recta EF é a perpendicular à recta GG ww que passa
pelo ponto médio Q do par ÐGß G ww Ñ. Em particular Q é o pé da
w
perpendicular de G para a recta EF e portanto, pelo facto de os ângulos E e
– 51–
w
F serem agudos e tendo em conta 4.33, Q − ÒEß FÓ e Q é distinto de E e
de F . Tendo em conta o facto de os sectores angulares serem convexos e
Û
Û
cónicos relativamente aos respectivos vértices, concluímos que GQ œ GG ww
Û Û
está contida no sector angular nÖGEß GF×, sendo distinta das respectivas
Û
Û
semirrectas bordo, e que G ww Q œ G ww G está contida no sector angular
Û
Û
nÖG ww Eß G ww F×, sendo distinta das respectivas semirrectas bordo.
C
C'
A
B
M
A'
C"
B'
s+
Pelo axioma b) em 3.17,
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐÖGEß GF×Ñ œ .ÐÖGEß GQ ×Ñ  .ÐÖGQ ß GF×Ñ,
Û Û
Û
Û
Û
Û
.ÐÖG ww Eß G ww F×Ñ œ .ÐÖG ww Eß G ww Q ×Ñ  .ÐÖG ww Q ß G ww F×Ñ.
Resulta de 4.16 que os triângulos ÐEß Gß G ww Ñ e ÐFß Gß G ww Ñ são isósceles em
E e F , respectivamente, e portanto que
Û Û
Û
Û
Û Û
Û Û
.ÐÖGEß GQ ×Ñ œ .ÐÖGEß GG ww ×Ñ œ .ÐÖG ww Eß G ww G×Ñ œ .ÐÖG ww Eß G ww Q ×Ñ
Û Û
Û
Û
Û Û
Û Û
.ÐÖGFß GQ ×Ñ œ .ÐÖGFß GG ww ×Ñ œ .ÐÖG ww Fß G ww G×Ñ œ .ÐÖG ww Fß G ww Q ×Ñ
C
C'
A
B
M
A'
C"
s+
– 52–
B'
Û Û
Û Û
e portanto .ÐÖGEß GF×Ñ œ .ÐÖG ww Eß G ww F×Ñ. Mais uma vez pelo axioma
LAL, vemos agora que o triângulo ÐEß Fß GÑ é congruente ao triângulo
ÐEß Fß G ww Ñ, e portanto também ao triângulo ÐEw ß F w ß G w Ñ.
…
4.35 (O teorema LAA) Sejam ÐEß Fß GÑ e ÐEw ß F w ß G w Ñ dois triângulos tais que
w
w
w
w
lEFl œ lEw F w l, .ÐF Ñ œ .ÐF w Ñ e .ÐG Ñ œ .ÐG w Ñ. Tem-se então que os
dois triângulos são congruentes.9
C
C'
A
B
A'
B'
Dem: Tendo em conta o teorema ALA (cf. 4.15), o resultado ficará provado
se verificarmos que lFGl œ lF w G w l. Suponhamos que isso não acontecia. Se
necessário trocando o papel dos triângulos, tinha-se assim lFGl  lF w G w l
pelo que, tendo em conta a alínea d) de 1.19, podemos escolher H − ÒF w ß G w Ó,
com H diferente de F w e de G w , tal que lFGl œ lF w Hl.
C'
C
D
A
B
A'
B'
Tendo em conta o axioma LAL, os triângulos ÐEß Fß GÑ e ÐEw ß F w ß HÑ são
congruentes, em particular
Û Û
Û
Û
Û Û
.ÐÖHEw ß HF w ×Ñ œ .ÐÖGEß GF×Ñ œ .ÐÖG w Ew ß G w F w ×Ñ.
Û Û
Mas isto é absurdo, tendo em conta 4.19, uma vez que ÖHEw ß HF w × é um dos
ângulos externos de vértice H do triângulo ÐEw ß Hß G w Ñ, que tem o ângulo
Û
Û
Û Û
ÖG w Ew ß G w F w × œ ÖG w Ew ß G w H× como um dos ângulos internos.
…
9É claro que, se conhecêssemos o resultado que diz que a soma dos ângulo internos de
qualquer triângulo é igual a #, este resultado podia ser deduzido simplesmente da igualw
w
dade .ÐF Ñ œ .ÐF w Ñ, tendo em conta o teorema ALAÞ
– 53–
4.36 (Nota) Repare-se que não devemos esperar a existência de um teorema
LLA, isto é, não é verdade que dados dois triângulos ÐEß Fß GÑ e ÐEw ß F w ß G w Ñ
w
w
tais que lEGl œ lEw G w l, lFGl œ lF w G w l e .ÐF Ñ œ .ÐF w Ñ, os triângulos
tenham que ser congruentes. Um contraexemplo pode ser o sugerido na figura a seguir.
C
C'
A
B
A'
B'
Há, no entanto, casos particulares em que esta conclusão pode ser tirada.
Limitamos-nos a examinar em seguida um desses casos particulares de
utilização mais frequente.
4.37 (Num triângulo rectângulo, aumentando os catetos, aumenta a hipotenusa) Sejam ÐEß Fß GÑ e ÐEw ß F w ß G w Ñ dois triângulos tais que lEFl  lEw F w l,
w
w
lFGl Ÿ lF w G w l e .ÐF Ñ œ .ÐF w Ñ œ ". Então lEGl  lEw G w l.
C
1
A
C'
1
B A'
B'
Û
Dem: Consideremos na semirrecta FG um ponto G ww tal que lFG ww l œ lF w G w l
Û
e na semirrecta FE um ponto Eww tal que lFEww l œ lF w Ew l.
C"
C=C"
A"
C
1
A
B
– 54–
1
A" A
B
Pelo axioma LAL, os triângulos ÐEw ß F w G w Ñ e ÐEww ß Fß G ww Ñ são congruentes,
em particular lEw G w l œ lEww G ww l.
No caso em que lFGl œ lF w G w l vem G œ G ww e, uma vez que E − ÒEww ß FÓ,
com E Á Eww , resulta de 4.31 que lEGl  lEww Gl œ lEww G ww l œ lEw G w l.
No caso em que lFGl  lF w G w l, tem-se E − ÒEww ß FÓ e G − ÒG ww ß FÓ, com
E Á Eww e G Á G ww , pelo que, aplicando duas vezes 4.31, obtemos também
lEGl  lEww Gl  lEww G ww l œ lEw G w l.
…
4.38 (Corolário — Caso de congruência de triângulos rectângulos) Sejam
ÐEß Fß GÑ e ÐEw ß F w ß G w Ñ dois triângulos tais que lEGl œ lEw G w l,
w
w
lFGl œ lF w G w l e .ÐF Ñ œ .ÐF w Ñ œ ". Tem-se então que estes triângulos são
congruentes.
C
1
1
A
C'
B
A'
B'
Dem: Tem que ser lEFl œ lEw F w l visto que, pelo resultado precedente, se
fosse lEFl  lEw F w l, vinha lEGl  lEw G w l, e, se fosse lEFl  lEw F w l, vinha
lEGl  lEw G w l.O resultado é agora uma consequência do teorema LLL (cf.
4.34).
…
4.39 (Desigualdade triangular estrita) Seja ÐEß Fß GÑ um triângulo. Tem-se
então que
lEFl  lEGl  lGFl
(qualquer lado10 é menor que a soma dos outros dois).
Dem: Podemos já supor que lEFl é maior que lEGl e lGFl, sem o que a
desigualdade é trivial (uma das parcelas do segundo membro seria maior ou
igual a lEFl e a outra seria maior que !). Podemos então considerar um
ponto H − ÒEß FÓ, distinto de E e de F , tal que lHFl œ lGFl.
Û Û
Û Û
Tendo em conta 4.16, tem-se .ÐÖGHß GF×Ñ œ .ÐÖHGß HF×Ñ, em
Û Û
Û Û
particular, por 4.23, .ÐÖHGß HF×Ñ  ". Uma vez que ÖHGß HE× é
Û Û
adjacente de ÖHGß HF×, e portanto a soma das respectivas amplitudes é #,
Û Û
segue-se que .ÐÖHGß HE×Ñ  ".
10Reparar
que podemos aplicar o resultado a qualquer triângulo que se obtenha por
permutação dos vértices.
– 55–
C
A
B
D
Mais uma vez por 4.23,
Û Û
Û Û
.ÐÖGHß GE×Ñ  "  .ÐÖHGß HE×Ñ,
pelo que deduzimos de 4.25 que lEGl  lEHl, donde, finalmente,
lEFl œ lEHl  lHFl œ lEHl  lGFl  lEGl  lGFl.
…
4.41 (Desigualdade triangular geral) Sejam Eß Fß G pontos arbitrários. Tem-se
então sempre
lEFl Ÿ lEGl  lGFl,
vindo lEFl œ lEGl  lGFl se, e só se, G − ÒEß FÓ.11
Dem: No caso em que E œ F , o resultado é trivial, uma vez que o primeiro
membro é ! e o segundo é maior que 0, salvo no caso em que G œ E e
G œ F , caso em que esse segundo membro é também !. No caso em que os
três pontos são não colineares, eles definem um triângulo, pelo que temos
uma consequência do resultado precedente, uma vez que não se pode ter
evidentemente G − ÒEß FÓ. No caso em que E Á F mas os três pontos são
colineares, temos uma consequência de 1.25.
4.42 (Corolário) As diferentes funções distância . − Y definem métricas no
conjunto X dos pontos do espaço, todas elas conformemente equivalentes
entre si, e portanto definindo uma mesmo topologia de X (a topologia
canónica de X ).
4.43 (Um segundo lugar geométrico) Sejam ! um plano e < e = duas semirrectas de origem S, com rectas associadas distintas < e =, e consideremos o
sector angular corrrespondente nÖ< ß = ×. Tem-se então que o conjunto dos
pontos \ − nÖ< ß = × tais que l\<l œ l\=l (cf. 4.30) é uma semirrecta >
de ! de origem S, nomeadamente a única semirrecta > de ! de origem S,
Û e com > Á < para a qual se tem
contida no semiplano <=
11Lembrar
que, se E œ F , define-se ÒEß FÓ œ ÖE×, embora este conjunto não seja considerado um segmento de recta.
– 56–
.ÐÖ< ß > ×Ñ œ
"
.ÐÖ< ß = ×Ñ.
#
Dizemos que > é a bissectriz do ângulo Ö< ß = ×.
Dem: A existência e unicidade de uma semirrecta > nas condições do
enunciado é uma consequência do axioma a) em 3.17, resultando de 3.18 que
se tem > § nÖ< ß = × e, evidentemente, > diferente de < e de = .
Observemos também que, pelo axioma b) em 3.17, tem-se
.ÐÖ< ß = ×Ñ œ .ÐÖ< ß > ×Ñ  .ÐÖ> ß = ×Ñ,
donde também
.ÐÖ> ß = ×Ñ œ
"
.ÐÖ< ß = ×Ñ œ .ÐÖ< ß > ×Ñ,
#
em particular .ÐÖ> ß = ×Ñ œ .ÐÖ< ß > ×Ñ  ".
Suponhamos que \ − > . Se \ œ S, tem-se l\<l œ ! œ l\=l, pelo que nos
resta examinar o que acontece se \ Á S , e portanto \ Â < e \ Â =. Sejam
E e F os pés das perpendiculares de \ para < e =, respectivamente, e
reparemos que, por 4.32, E − < e F − = , com E Á S e F Á S.
s+
t+
X
B
O
A
r+
Uma vez que
Û Û
Û Û
.ÐÖS\ß SF×Ñ œ .ÐÖ> ß = ×Ñ œ .ÐÖ< ß > ×Ñ œ .ÐÖSEß S\×Ñ,
Û Û
Û Û
.ÐÖFSß F\×Ñ œ " œ .ÐÖESß E\×Ñß
deduzimos do teorema LAA (cf. 4.35) que os triângulos ÐSß \ß FÑ e
ÐSß \ß EÑ são congruentes, em particular
l\<l œ l\El œ l\Fl œ l\=l.
Suponhamos, reciprocamente, que \ − nÖ< ß = × é tal que l\<l œ l\=l e
tentemos provar que \ − > , para o que podemos já supor que \ Á S, e
portanto o valor comum das distâncias não é ! (<  = œ ÖS×), ou seja, \  <
e \ Â =. Notemos, como antes, E e F os pés das perpendiculares de \ para
– 57–
< e =, respectivamente.
O nosso primeiro problema é mostrar que, como antes, tem-se forçosamente
E − < Ï ÖS× e F − = Ï ÖS×. Suponhamos que isso não acontecia, por
exemplo que F − = .
s+
O
B
t+
Y
X
r+
A
sÛ com \ Â < e que F − = pertence ao semiplano
Uma vez que \ − <=
Û , vai existir ] − <  Ò\ß FÓ. Vem então
oposto com bordo < de <=
l\<l œ l\=l œ l\Fl l\] l l\<l,
o que implica, em particular, que l\Fl œ l\] l, donde ] œ F , e também
que l\] l œ l\<l, donde ] œ E, portanto ] − <  =, isto é, ] œ S , e daqui
resulta que \S œ \E œ \F é simultaneamente perpendicular a < e a =, o
que é absurdo, por < e = serem rectas distintas (cf. 4.26).
Ficou assim estabelecido que se tem efectivamente E − < Ï ÖS× e
F − = Ï ÖS×.
s+
t+
X
B
O
A
r+
Û Û
Û Û
Uma vez que lF\l œ lE\l e .ÐÖFSß F\×Ñ œ " œ .ÐÖESß E\×Ñ,
deduzimos de 4.38 que os triângulos ÐSß \ß EÑ e ÐSß \ß FÑ são congruentes
e portanto que
Û Û
Û
Û Û
Û
.ÐÖ< ß S\×Ñ œ .ÐÖSEß S\×Ñ œ .ÐÖSFß S\×Ñ œ .ÐÖ= ß S\×Ñ.
Uma vez que, pelo axioma b) em 3.17,
– 58–
Û
Û
.ÐÖ< ß = ×Ñ œ .ÐÖ< ß S\×Ñ  .ÐÖ= ß S\×Ñ,
Û
concluímos que .ÐÖ< ß S\×Ñ œ "# .ÐÖ< ß = ×Ñ œ .ÐÖ< ß > ×Ñ donde, pelo
Û
axioma a) em 3.17, S\ œ > , portanto \ − > , como queríamos.
…
4.43 (Euclides I-21) Sejam ÐEß Fß GÑ um triângulo e \ − ÒEß Fß GÓ tal que
\ Á E e \ Â ÒFß GÓ. Tem-se então
l\Fl  l\Gl  lEFl  lEGl,
Û Û
Û Û
.ÐÖ\Fß \G×Ñ  .ÐÖEFß EG×Ñ.
Dem: a) Comecemos por examinar o caso especial em que \ pertence a um
dos segmentos ÒEß FÓ ou ÒEß GÓ, podendo já supor-se que \ − ÒEß FÓ, se
necessário substituindo o triângulo ÐEß Fß GÑ pelo triângulo ÐEß Gß FÑ.
Tendo em conta a desigualde triangular em 4.39, vem
l\Fl  l\Gl  l\Fl  lE\l  lEGl œ lEFl  lEGl
B
X
C
A
Û Û
e, tendo em conta o facto de Ö\Fß \G× ser um dos ângulos externos de
vértice \ do triângulo ÐEß Gß \Ñ, deduzimos de 4.19 que
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐÖ\Fß \G×Ñ  .ÐÖE\ß EG×Ñ œ .ÐÖEFß EG×Ñ.
b) Passemos ao caso em que \ não pertence a nenhum dos segmentos ÒEß FÓ
e ÒEß GÓ.
B
Y
X
C
A
Tendo em conta 4.6, a recta G\ intersecta o lado ÒEß FÓ num ponto ]
distinto de E e de F e vem \ − ÒGß ] Ó, com \ distinto de G e de ] .
– 59–
Aplicando o que já verificámos em a), ao ponto ] , vemos que, pela
desigualdade triangular,
l\Fl  l\Gl  l\] l  l] Fl  l\Gl œ l] Gl  l] Fl  lEFl  lEGl
Û Û
e que, pelo facto de Ö\Fß \G× ser um dos ângulos externos de vértice \ do
triângulo Ð] ß Fß \Ñ,
Û Û
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐÖ\Fß \G×Ñ  .ÐÖ] \ß ] F×Ñ œ .ÐÖ] Gß ] F×Ñ  .ÐÖEFß EG×Ñ,
…
como queríamos.
4.45 (Euclides I-24 — Quem abre as pernas, mesmo se coxo, afasta os pés)
Sejam ÐEß Fß GÑ e ÐEww ß F ww ß G ww Ñ dois triângulos tais que lEFl œ lEww F ww l,
Û
Û
Û Û
lEGl œ lEww G ww l e .ÐÖEFß EG×Ñ  .ÐÖEww F ww ß Eww G ww ×Ñ. Tem-se então
ww ww
lFGl  lF G l.
Dem: Consideremos no semiplano de bordo EG que contém F uma
semirrecta < de origem E, com recta < distinta de EG , tal que
Û
Û
Û
Û Û
.ÐÖ< ß EG×Ñ œ .ÐÖEww F ww ß Eww G ww ×Ñ  .ÐÖEFß EG×Ñ
(cf. o axioma a) em 3.17) e, nessa semirrecta, um ponto F w tal que lEF w l œ
lEww F ww l œ lEFl. Pelo axioma LAL (cf. 4.13), os triângulos ÐEß F w ß GÑ e
ÐEww ß F ww ß G ww Ñ são congruentes, em particular lF w Gl œ lF ww G ww l.
Û
Û Û
Tendo em conta 3.18, tem-se EF w § nÖEFß EG×, com a recta EF w distinta
da recta EF , além de como já dissémos, distinta da recta EG . Examinemos
agora o que se passa em cada uma das três possibilidades sobre a posição de
F w , ilustradas nas figuras seguintes.
B
B
B'
X
B'
C
A
C
A
B
B'
C
A
– 60–
a) F w pertence à recta FG . Tendo em conta a alínea b) de 3.9, tem-se
F w − ÒFß GÓ, com F w distinto de F e de G , donde lF w Gl  lFGl, portanto
lF ww G ww l œ lF w Gl  lFGl.
b) F w não pertence à recta FG e pertence ao semiplano, tendo esta recta
como bordo, oposto àquele que contém E. Neste caso o segmento ÒEß F w Ó
intersecta a recta FG num ponto \ que, pela alínea b) de 3.9, pertence a
ÒFß GÓ e é distinto de F e de G . Tendo em conta o facto de os sectores
angulares serem convexos e cónicos relativamente aos respectivos vértices,
Û
Û Û
Û
Û
Û
Concluímos que F\ œ FG § nÖFEß FF w ×, sendo distinta de FE e FF w , e
Û
Û
Û Û
Û
Û
que F w \ œ F w E § nÖF w Fß F w G×, sendo distinta de F w F e F w G , de onde
resulta, tendo em conta o axioma b) em 3.17, que
Û Û
Û Û
.ÐÖFF w ß FG×Ñ  .ÐÖFF w ß FE×Ñ
Û Û
Û Û
.ÐÖF w Fß F w E×Ñ  .ÐÖF w Fß F w G×Ñ
e portanto, uma vez que, por ser lEF w l œ lEFl, tem-se, tendo em conta 4.16,
Û Û
Û Û
.ÐÖFF w ß FE×Ñ œ .ÐÖF w Fß F w E×Ñ, deduzimos que
Û Û
Û Û
.ÐÖFF w ß FG×Ñ  .ÐÖF w Fß F w G×Ñ.
Aplicando enfim 4.25, deduzimos que lF ww G ww l œ lF w Gl  lFGl, também
neste caso.
c) F w não pertence à recta FG e pertence ao semiplano, tendo esta recta
como bordo, que contém E. Por outras palavras, F w pertence ao segmento
triangular ÒEß Fß GÓ e não pertence a nenhum dos lados do triângulo
ÐEß Fß GÑ. Tendo em conta 4.8 e 3.24, tem-se
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐÖF w Eß F w F×Ñ  .ÐÖF w Fß F w G×Ñ  .ÐÖF w Gß F w E×Ñ œ %
e daqui resulta, uma vez que a amplitude de um ângulo é sempre menor que
#, que
Û Û
Û Û
.ÐÖF w Eß F w F×Ñ  .ÐÖF w Fß F w G×Ñ  #.
Por outro lado, pelo axioma b) em 3.17, tem-se
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐÖFEß FF w ×Ñ  .ÐÖFF w ß FG×Ñ œ .ÐÖFEß FG×Ñ  #
e portanto
Û Û
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐÖFEß FF w ×Ñ  .ÐÖFF w ß FG×Ñ  .ÐÖF w Eß F w F×Ñ  .ÐÖF w Fß F w G×Ñ.
Û Û
Û Û
Uma vez que lEF w l œ lEFl, donde, .ÐÖFEß FF w ×Ñ œ .ÐÖF w Eß F w F×Ñ, por
Û Û
Û Û
4.16, deduzimos que .ÐÖFF w ß FG×Ñ  .ÐÖF w Fß F w G×Ñ e portanto, por 4.25,
lF ww G ww l œ lF w Gl  lFGl, também neste caso.
…
– 61–
Vamos agora utilizar resultados sobre a geometria do triângulo para obter
um resultado cuja natureza ultrapassa o âmbito da Geometria Plana,
nomeadamente a possibilidade de definir o ângulo de dois semiplanos
com a mesma recta como bordo. Começamos com um lema ainda da Geometria Plana.
4.46 (Lema) Sejam ! um plano, < § ! uma recta e T ß U − < com T Á U.
Sejam ! e ! os dois semiplanos de ! de bordo < e E − ! Ï < e
F − ! Ï < dois pontos tais que as rectas T E e UF sejam ortogonais a < e
que lT El œ lUFl. Tem-se então:
a) O segmento ÒEß FÓ intersecta a recta < num ponto Q , que é
simultaneamente o ponto médio dos pares ÐEß FÑ e ÐT ß UÑ (cf. 1.26).
b) Os triângulos ÐEß T ß Q Ñ e ÐFß Uß Q Ñ são congruentes.
A
1
P
M
Q
1
B
Dem: O facto de ÒEß FÓ intersectar < num ponto Q é uma consequência de E
e F estarem em semiplanos abertos opostos de ! de bordo <.
Tem-se Q Á U, sem o que EF œ EQ œ EU œ FU e portanto EU era
perpendicular a <, o que contrariava a unicidade de uma perpendicular a <
passando por E e por um ponto de < (cf. 4.28). Tem-se também Q Á T por
simetria dos papéis de E e F .
w
Aplicando 4.23 aos triângulos ÐEß T ß Q Ñ e ÐFß Uß Q Ñ, cujos ângulos T e
w
Û Û
Û Û
U são rectos, deduzimos que os ângulos ÖQ T ß Q E× e ÖQ Uß Q F× são
ambos agudos, em particular não podem ser adjacentes (cf. 3.19). Uma vez
Û
Û
que, por Q pertencer ao segmento ÒEß FÓ, Q E e Q F são semirrectas
Û
Û
opostas, concluímos que as semirrectas Q T e Q U não podem coincidir,
sendo assim também semirrectas opostas, e portanto Q − ÒT ß UÓ. Os ângulos
Û Û
Û Û
ÖQ T ß Q E× e ÖQ Uß Q F× são assim verticalmente opostos, e portanto com
a mesma amplitude (cf. 3.20). Tendo em conta o teorema 4.35 podemos
concluir que os triângulos ÐEß T ß Q Ñ e ÐFß Uß Q Ñ são congruentes e isso
implica que lEQ l œ lFQ l e lT Q l œ lUQ l, o que mostra que Q é simultaneamente o ponto médio dos pares ÐEß FÑ e ÐT ß UÑ.
…
– 62–
4.47 Sejam < uma recta e ! e " dois semiplanos de bordo <, cujos planos
continentes ! e " sejam distintos. Sejam T ß U − < com T Á U, sejam = e
> a semirrectas de ! contidas em ! , de origens T e U respectivamente,
cujas rectas continentes = e > são ortogonais a < (cf. 4.26 e 2.12) e sejam ? e
@ a semirrectas de " contidas em " , de origens T e U respectivamente,
cujas rectas continentes ? e @ são ortogonais a <. Tem-se então
.ÐÖ= ß ? ×Ñ œ .ÐÖ> ß @ ×Ñ.
Dem: Fixemos pontos arbirários E − = , com E Á T , e \ − ? , com
\ Á T . Consideremos as semirrectas > e @ de origem U opostas de > e
@ , que estão assim contidas nos semiplanos ! e " , opostos de ! e de
" , e sejam F − > e ] − @ tais que lUFl œ lT El e lU] l œ lT \l. Tendo
em conta 4.46, o ponto médio Q do par ÐT ß UÑ é simultaneamente o ponto
médio dos pares ÐEß FÑ e Ð\ß ] Ñ.
Û Û
Û Û
Uma vez que os ângulos ÖQ \ß Q E× e ÖQ ] ß Q F× são verticalmente
Û
Û
Û Û
opostos, tem-se .ÐÖQ \ß Q E×Ñ œ .ÐÖQ ] ß Q F×Ñ. De se ter lQ El œ
lQ Fl e lQ \l œ lQ ] l deduzimos assim, do axioma 4.13, que os triângulos
ÐQ ß Eß \Ñ e ÐQ ß Fß ] Ñ são congruentes, e portanto lE\l œ lF] l. Pelo
teorema LLL (4.34), os triângulos ÐEß T ß \Ñ e ÐFß Uß ] Ñ são congruentes.
– 63–
Û Û
Resulta daqui, reparando que os ângulos ÖUFß U] × e Ö> ß @ × são
verticalmente opostos, que
Û Û
Û Û
.ÐÖ= ß ? ×Ñ œ .ÐÖT Eß T \×Ñ œ .ÐÖUFß U] ×Ñ œ .ÐÖ> ß @ ×Ñ,
…
como queríamos.
4.48 Nas condições precedentes, define-se a amplitude do ângulo dos dois
semiplanos ! e " , notada .ÐÖ! ß " ×Ñ, como sendo o valor .ÐÖ= ß ? ×Ñ
correspondente à escolha de um ponto arbitrário T de < e das
correspondentes semirrectas = e ? , valor esse que o resultado precedente
garante não depender de T .
5. Isometrias e Aplicações.
5.1 Seja V § X um conjunto. Diz-se que uma aplicação FÀ V Ä X é isométrica
se, quaisquer que sejam Eß F − V, lFÐEÑFÐFÑl œ lEFl.
5.2 Se FÀ V Ä X é uma aplicação isométrica, então F é injectiva e, sendo
W œ FÐVÑ, F" À W Ä X também é uma aplicação isométrica.
Dem: Se FÐEÑ œ FÐFÑ, vem lEFl œ lFÐEÑFÐFÑl œ !, donde E œ F . Para
Gß H − W, vem lF" ÐGÑF" ÐHÑl œ lFÐF" ÐGÑÑFÐF" ÐHÑÑl œ lGHl. …
5.3 Se FÀ V Ä X é uma aplicação isométrica e Vw § V , então 0ÎVw À Vw Ä X é
trivialmente também uma aplicação isométrica.
5.4 (Aplicações isométricas numa recta) Seja < § X uma recta e seja FÀ < Ä X
uma aplicação isométrica. Tem-se então que FÐ<Ñ é uma recta = § X e,
fixada uma das duas ordens lineares Ÿ de <, existe uma das duas ordens
lineares Ÿ w de = tal que F seja um isomorfismo de ordem, isto é, que se
tenha, para \ß ] − <, FÐ\Ñ Ÿ w FÐ] Ñ se, e só se, \ Ÿ ] .
Dem: Fixemos uma das ordens lineares Ÿ de < e dois pontos distintos
Eß F − <, com E  F . Tem-se então FÐEÑ Á FÐFÑ, pelo que podemos
considerar a única recta = tal que FÐEÑß FÐFÑ − =.
1) Comecemos por mostrar que se tem FÐ<Ñ § =, para o que consideramos
\ − < arbitrário, que podemos já supor distinto de E e de F . Verifica-se
assim uma das três propriedades E  \  F , \  E  F e E  F  \ .
No primeiro caso tem-se \ − ÒEß FÓ donde, tendo em conta 4.41,
lFÐEÑFÐFÑl œ lEFl œ lE\l  l\Fl œ lFÐEÑFÐ\Ñl  lFÐ\ÑFÐFÑl
o que, pelo mesmo resultado, implica que FÐ\Ñ − ÒFÐEÑß FÐFÑÓ, em
particular FÐ\Ñ − =. No segundo caso tem-se E − Ò\ß FÓ portanto
lFÐ\ÑFÐFÑl œ l\Fl œ l\El  lEFl œ lFÐ\ÑFÐEÑl  lFÐEÑFÐFÑl
donde FÐEÑ − ÒFÐ\ÑFÐFÑÓ, em particular FÐ\Ñ − = e no terceiro caso
– 64–
tem-se F − ÒEß \Ó portanto
lFÐEÑFÐ\Ñl œ lEß \l œ lEFl  lF\l œ lFÐEÑFÐFÑl  lFÐFÑFÐ\Ñl
donde FÐFÑ − ÒFÐEÑFÐ\ÑÓ, em particular FÐ\Ñ − =. Em qualquer dos
casos tem-se portanto FÐ\Ñ − =.
2) Vamos agora mostrar que se tem mesmo FÐ<Ñ œ =, para o que
consideramos ] − = arbitrário, que podemos já supor diferente de FÐEÑ.
Tem-se então l] FÐEÑl  ! e, tendo em conta a alínea d) de 1.19, existem
dois pontos \ w ß \ ww − < distintos de E tais que l\ w El œ l\ ww El œ l] FÐEÑl
(um em cada uma das duas semirrectas de < de origem E). Tem-se então que
FÐ\ w Ñ e FÐ\ ww Ñ são dois pontos distintos de = para os quais
lFÐ\ w ÑFÐEÑl œ l\ w El œ l] FÐEÑl œ l\ ww El œ lFÐ\ ww ÑFÐEÑl
pelo que, uma vez que existem apenas dois pontos de = a uma distância
estritamente positiva de FÐEÑ (um em cada semirrecta de origem FÐEÑ),
concluímos que ] œ FÐ\ w Ñ ou ] œ FÐ\ ww Ñ, em qualquer caso ] − FÐ=Ñ.
3) Consideremos agora um sistema de coordenadas 0 À < Ä ‘ tal que, para
\ß ] − ‘, \ Ÿ ] se, e só se, 0 Ð\Ñ Ÿ 0 Ð] Ñ (cf. 1.16). Sendo . − Y tal que
.Ð\ß ] Ñ œ l0 Ð\Ñ  0 Ð] Ñl, vemos agora que, para ^ß [ − =,
l0 ‰ F" Ð^Ñ  0 ‰ F" Ð[ Ñl œ .ÐF" Ð^Ñß F" Ð[ ÑÑ œ .Ð^ß [ Ñ,
portanto 0 ‰ F" À = Ä ‘ é também um sistema de coordenadas e, sendo Ÿ w
a relação de ordem linear em = associada a este, tem-se
FÐ\Ñ Ÿ w FÐ] Ñ Í 0 ‰ F" ÐFÐ\ÑÑ Ÿ 0 ‰ F" ÐFÐ] ÑÑ Í
Í 0 Ð\Ñ Ÿ 0 Ð] Ñ Í \ Ÿ ] ,
…
como queríamos.
5.5 (Corolário) Sejam < § X uma recta, FÀ < Ä X uma aplicação isométrica e
= œ FÐ<Ñ a recta imagem. Dados T ß U − <, com T Á U, tem-se então que F
Û
Û
aplica a semirrecta T U de < sobre a semirrecta FÐT ÑFÐUÑ de = e o segmento
de recta ÒT ß UÓ de < sobre o segmento de recta ÒFÐT Ñß FÐUÑÓ de =.
Dem: Sendo Ÿ a ordem linear de < para a qual T  U, a ordem linear Ÿ w
de = para a qual F é um isomorfismo de ordem é aquela para a qual
FÐT Ñ  FÐUÑ, bastando agora lembrar a definição das semirrectas e dos
segmentos de recta em termos das ordens lineares consideradas (cf. as alíneas
b) e c) de 1.18).
…
5.6 (Aplicações isométricas num plano) Sejam ! § X um plano e FÀ ! Ä X
uma aplicação isométrica. Tem-se então que FÐ!Ñ é um plano " de X .
Dem: Sejam < § ! uma recta fixada e E − ! Ï < um ponto fixado. Sejam !
o semiplano de ! de bordo < que contém E e ! o outro semiplano de ! com
o mesmo bordo. Tendo em conta 5.4, sabemos que = œ FÐ<Ñ é uma recta e a
injectividade de F implica que FÐEÑ Â = e podemos assim definir um plano
" como sendo o único que contém = e FÐEÑ (cf. a alínea a) de 1.8).
– 65–
1) Comecemos por mostrar que se tem FÐ!Ñ § " , ou seja, que, se \ − !,
então FÐ\Ñ − " . Isso é trivial no caso em que \ − <. Vejamos o que sucede
se \ − ! Ï <. Tem-se então que o segmento ÒEß \Ó intersecta < num ponto
T , em particular a recta ET contém o ponto \ e portanto, mais uma vez por
5.4, FÐET Ñ é uma recta que contém o ponto FÐ\Ñ. Mas, uma vez que
FÐET Ñ contém os pontos distintos FÐEÑ e FÐT Ñ em " , ela está contida em
" , em particular FÐ\Ñ − " . Resta-nos examinar o que se passa no caso em
que \ − ! Ï <. Para isso, tomamos F − ! Ï < e, uma vez que já sabemos
que FÐFÑ − " , repetimos o raciocínio anterior: O segmento ÒFß \Ó intersecta
< num ponto U, em particular a recta FU contém o ponto \ e portanto
FÐFUÑ é uma recta que contém o ponto FÐ\Ñ e que contém os pontos
distintos FÐFÑ e FÐUÑ em " , pelo que está contida em " , em particular
FÐ\Ñ − " .
2) Vamos agora mostrar que se tem mesmo FÐ!Ñ œ " , isto é, que, para cada
] − " , existe \ − ! tal que FÐ\Ñ œ ] . Isso é trivial no caso em que ]
pertence à recta = œ FÐ<Ñ. Notemos " o semiplano de " de bordo = que
contém FÐEÑ e " o outro semiplano de " com o mesmo bordo. Vejamos o
que se passa quando ] − " Ï <. Nesse caso o segmento ÒFÐEÑß ] Ó intersecta
a recta = num certo ponto, que será da forma FÐT Ñ, com T − <, e portanto ]
pertence à recta FÐEÑFÐT Ñ, que não é mais do que a imagem por F da recta
ET § !, o que implica que ] é da forma FÐ\Ñ para um certo
\ − ET § !. Resta-nos examinar o que se passa quando ] − " Ï <. Para
isso começamos por fixar um ponto de " Ï =, que já sabemos poder ser
escrito na forma FÐGÑ, para um certo G − !. O segmento ÒFÐGÑß ] Ó
intersecta a recta = num certo ponto, que será da forma FÐUÑ, com U − <, e
portanto ] pertence à recta FÐGÑFÐUÑ, que não é mais do que a imagem por
F da recta GU § !, o que implica que ] é da forma FÐ\Ñ para um certo
\ − GU § !.
…
5.7 (Corolário) Sejam ! § X um plano, FÀ ! Ä X uma aplicação isométrica e
" œ FÐ!Ñ o plano imagem. Dada uma recta < § ! cuja imagem é a recta
= œ FÐ<Ñ § " e sendo ! e ! os semiplanos de ! de bordo <, tem-se então
que FÐ! Ñ e FÐ! Ñ são os semiplanos de " de bordo =.
Dem: A restrição de F é uma bijecção de ! Ï < sobre " Ï = pelo que, notando
µ as relações segmentais nestes dois conjuntos (cf. 2.1), tudo o que temos
que verificar é que, para Eß F − ! Ï <, tem-se E µ F em ! Ï < se, e só se,
FÐEÑ µ FÐFÑ em " Ï =. Ora, isso é uma consequência de se ter
FÐÒEß FÓÑ œ ÒFÐEÑß FÐFÑÓ, tendo em conta 5.5.
…
5.8 (Conservação dos ângulos) Sejam ! § X um plano, FÀ ! Ä X uma aplicação isométrica e " œ FÐ!Ñ o plano imagem. Sendo < e = duas semirrectas
contidas em !, com a mesma origem T e com rectas continentes distintas < e
=, tem-se então que FÐ< Ñ e FÐ= Ñ são duas semirrectas contidas em " com a
mesma origem FÐT Ñ e com rectas continentes distintas FÐ<Ñ e FÐ=Ñ e vem
.ÐÖFÐ< Ñß FÐ= Ñ×Ñ œ .ÐÖ< ß = ×Ñ.
– 66–
Dem: FÐ<Ñ e FÐ=Ñ são rectas distintas de FÐ!Ñ e, tendo em conta 5.5, FÐ< Ñ
e FÐ= Ñ são semirrectas daquelas rectas com origem FÐT Ñ e evidentemente
contidas em " œ FÐ!Ñ. Consideremos pontos E − < e F − = , com E Á T
e F Á T . Tem-se que Eß Fß T são não colineares, e portanto
FÐEÑß FÐFÑß FÐT Ñ são também não colineares e o facto de se ter
lFÐEÑFÐFÑl œ lEFl, lFÐFÑFÐT Ñl œ lFT l, lFÐT ÑFÐEÑl œ lT El,
implica, pelo teorema LLL (cf. 4.34) que os triângulos ÐFÐEÑß FÐFÑß FÐT ÑÑ
e ÐEß Fß T Ñ são congruentes, e portanto
w
w
.ÐÖFÐ< Ñß FÐ= Ñ×Ñ œ .ÐFÐT ÑÑ œ .ÐT Ñ œ .ÐÖ< ß = ×Ñ.
…
5.9 (Aplicações isométricas no espaço) Seja FÀ X Ä X uma aplicação isométrica. Tem-se então FÐX Ñ œ X e diz-se também que F é uma isometria de X .
Dem: Sejam ! § X um plano fixado e E − X Ï ! um ponto fixado. Tendo
em conta 5.6, sabemos que " œ FÐ!Ñ é um plano e a injectividade de F
implica que FÐEÑ Â " . Sejam X o semiespaço de bordo " que contém FÐEÑ
e X o outro semiespaço com o mesmo bordo (cf. 2.11). O que temos que
provar é, que, para cada ] − X , existe \ − X tal que FÐ\Ñ œ ] . Isso é
trivial no caso em que ] pertence ao plano " œ FÐ!Ñ. Vejamos o que se
passa quando ] − X Ï " . Nesse caso o segmento ÒFÐEÑß ] Ó intersecta o
plano " num certo ponto, que será da forma FÐT Ñ, com T − !, e portanto ]
pertence à recta FÐEÑFÐT Ñ, que não é mais do que a imagem por F da recta
ET , o que implica que ] é da forma FÐ\Ñ para um certo \ − ET § X .
Resta-nos examinar o que se passa quando ] − X Ï " . Para isso começamos
por fixar um ponto de X Ï " , que já sabemos poder ser escrito na forma
FÐGÑ, para um certo G − X . O segmento ÒFÐGÑß ] Ó intersecta o plano " num
certo ponto, que será da forma FÐUÑ, com U − !, e portanto ] pertence à
recta FÐGÑFÐUÑ, que não é mais do que a imagem por F da recta GU, o que
implica que ] é da forma FÐ\Ñ para um certo \ − GU § X .
…
5.10 (Corolário) Sejam FÀ X Ä X um isometria e ! § X um plano, cuja imagem
é o plano " œ FÐ!Ñ § X . Sendo X e X os semiespaços de bordo !, tem-se
então que FÐX Ñ e FÐX Ñ são os semiespaços de bordo " .
Dem: A restrição de F é uma bijecção de X Ï ! sobre X Ï " pelo que,
notando µ as relações segmentais nestes dois conjuntos (cf. 2.1), tudo o que
temos que verificar é que, para Eß F − X Ï !, tem-se E µ F em X Ï ! se, e
só se, FÐEÑ µ FÐFÑ em X Ï " . Ora, isso é uma consequência de se ter
FÐÒEß FÓÑ œ ÒFÐEÑß FÐFÑÓ, tendo em conta 5.5.
…
5.11 (O grupo das isometrias) O conjunto das isometrias FÀ X Ä X constitui
um subgrupo do grupo de todas as bijecções X Ä X , em particular
M.X À X Ä X é uma isometria.
Dem: Trata-se de uma consequência imediata da definição de aplicação
isométrica e de as isometrias serem bijectivas.
…
– 67–
5.12 (A inversão relativamente a um ponto) Seja S − X um ponto fixado.
Definimos então uma aplicação 38@S À X Ä X , a que daremos o nome de
inversão relativamente a S, do seguinte modo: 38@S ÐSÑ œ S; para cada
Û
T Á S, consideramos a recta < œ ST , a semirrecta < œ ST e a semirrecta
oposta < e definimos 38@S ÐT Ñ como sendo o único ponto de < para o qual
se tem lS 38@S ÐT Ñl œ lST l. Equivalentemente, para cada T , 38@S ÐT Ñ é o
único ponto tal que S seja o ponto médio de ÐT ß 38@S ÐT ÑÑ.
5.13 (38@S é isometria) Nas condições anteriores, a aplicação 38@S À X Ä X é
uma isometria involutiva, isto é, que verifica 38@S ‰ 38@S œ M.X .
Dem: Comecemos por reparar que o facto de se ter 38@S Ð38@S ÐT ÑÑ œ T ,
para cada T − X é uma consequência imediata da definição, uma vez que a
semirrecta oposta da semirrecta de origem S que contém 38@S ÐT Ñ é a
Û
semirrecta ST . Resta-nos mostrar que, quaisquer que sejam T ß U − X ,
tem-se l38@S ÐT Ñ 38@S ÐUÑl œ lT Ul, o que faremos começando por examinar
casos particulares:
1) A conclusão é trivialmente válida, pelo modo como a aplicação foi
definida, no caso em que T œ S ou U œ S. Supomos assim nas alíneas
seguintes que T Á S e U Á S.
2) Suponhamos que Sß T ß U são colineares e notemos < a recta que os contém. Consideremos um . -sistema de coordenadas de <, 0 À < Ä ‘ de origem
S, isto é, tal que 0 ÐSÑ œ ! (cf. 1.15). Se > − ‘, com > Á !, os pontos 0 " Ð>Ñ
e 0 " Ð>Ñ estão em semirrectas opostas de < de origem S e são tais que
.Ð0 " Ð>Ñß SÑ œ .Ð0 " Ð>Ñß 0 " Ð!ÑÑ œ l>  !l œ l>  !l œ
œ .Ð0 " Ð>Ñß 0 " Ð!ÑÑ œ .Ð0 " Ð>Ñß SÑ,
o que mostra que 38@S Ð0 " Ð>ÑÑ œ 0 " Ð>Ñ, igualdade que é trivialmente
também verificada para > œ !. Vem então
0 Ð38@S ÐT ÑÑ œ 0 Ð38@S Ð0 " Ð0 ÐT ÑÑÑÑ œ 0 Ð0 " Ð0 ÐT ÑÑÑ œ 0 ÐT Ñ
e, do mesmo modo 0 Ð38@S ÐUÑÑ œ 0 ÐUÑ, portanto
.Ð38@S ÐT Ñß 38@S ÐUÑÑ œ l0 Ð38@S ÐT ÑÑ  0 Ð38@S ÐUÑÑl œ
œ l0 ÐT Ñ  0 ÐUÑl œ l0 ÐT Ñ  0 ÐUÑl œ .ÐT ß UÑ,
o que implica que l38@S ÐT Ñ 38@S ÐUÑl œ lT Ul.
3) Examinemos enfim o caso em que Sß T ß U são não colineares e portanto
as rectas < œ ST e = œ SU são distintas. Por construção, os ângulos
Û
Û
Û Û
ÖST ß SU× e ÖS38@S ÐT Ñß S38@S ÐUÑ× são verticalmente opostos, e portanto
com a mesma amplitude e tem-se lS 38@S ÐT Ñl œ lST l e lS 38@S ÐUÑl œ
lSUl pelo que, pelo axioma 4.13, os triângulos ÐSß 38@S ÐT Ñß 38@S ÐUÑÑ e
ÐSß T ß UÑ são congruentes, o que implica, também neste caso, que se tem
l38@S ÐT Ñ 38@S ÐUÑl œ lT Ul.
…
– 68–
5.14 (A inversão relativamente a uma recta) Seja < § X uma recta fixada.
Definimos então uma aplicação 38@< À X Ä X , a que daremos o nome de
inversão relativamente a <, do seguinte modo: Para cada T − <,
38@< ÐT Ñ œ T ; Para cada E  <, consideramos o pé da perpendicular T de E
sobre < (cf. 4.28) e definimos 38@< ÐEÑ œ 38@T ÐEÑ (cf. 5.12).
5.15 (Lema) Nas condições anteriores, seja ! § X um plano tal que < § !.
Tem-se então que a restrição de 38@< a ! é uma aplicação isométrica que
toma valores em !.
Dem: O facto de, para cada E − !, ser 38@< ÐEÑ − ! é evidente no caso em
que E − < e, caso contrário, resulta de que, sendo T o pé da perpendicular de
E sobre <, a recta T E está contida em !, por ter dois pontos distintos T e E
em !. Resta-nos mostrar que, quaisquer que sejam Eß F − !, tem-se
l38@< ÐEÑ 38@< ÐFÑl œ lEFl, o que faremos começando por examinar casos
particulares:
1) O resultado é trivial no caso em que E − < e F − <.
2) Examinemos o caso em que, dos pontos E e F , um pertence a < e o outro
não. Se necessário trocando os papéis de E e F , suponhamos que E − < e
F Â <. Duas situações podem acontecer: Na primeira E é o pé da
perpendicular de F para < e então temos simplesmente
l38@< ÐEÑ 38@< ÐFÑl œ lE 38@E ÐFÑl œ lEFl;
Na segunda, o pé da perpendicular T de F para < é diferente de E e então,
notando F w œ 38@T ÐFÑ, podemos considerar os triângulos ÐEß T ß FÑ e
ÐEß T ß F w Ñ, para os quais, tendo em conta a definição de 38@T ,
Û Û
Û Û
vem .ÐÖT Eß T F×Ñ œ " œ .ÐÖT Eß T F w ×Ñ e lT Fl œ lT F w l. Pelo axioma
LAL (cf. 4.13) os triângulos em questão são congruentes e portanto
l38@< ÐEÑ 38@< ÐFÑl œ lEF w l œ lEFl.
3) Examinemos agora o caso em que E Â < e F Â < têm o mesmo pé da
perpendicular T sobre a recta <. Neste casos, tendo em conta o facto de 38@T
ser uma isometria, vem, mais uma vez
– 69–
l38@< ÐEÑ 38@< ÐFÑl œ l38@T ÐEÑ 38@T ÐFÑl œ lEFl.
4) Examinemos enfim o caso que nos falta, aquele em que E Â < e F Â <
têm pés da perpendicular T e U sobre a recta <, com T Á U. Notemos Ew œ
38@< ÐEÑ œ 38@T ÐEÑ, F w o ponto, de entre F e 38@< ÐFÑ œ 38@U ÐFÑ, que está
no mesmo semiplano ! de ! com bordo < que E e F ww o outro daqueles dois
pontos.
Reparemos que as rectas EEw e F w F ww não se intersectam, tendo em conta a
afirmação de unicidade da definição do pé da perpendicular em 4.28, e daqui
resulta que E e Ew pertencem ao mesmo semiplano de ! de bordo F w F ww que
Û Û
Û Û
T , e portanto que E − nÖUT ß UF w × e Ew − nÖUT ß UF ww ×.
Tendo em conta o axioma b) em 3.17, tem-se assim
– 70–
Û Û
Û Û
Û Û
" œ .ÐÖUT ß UF w ×Ñ œ .ÐÖUT ß UE×Ñ  .ÐÖUEß UF w ×Ñ,
Û Û
Û Û
Û Û
" œ .ÐÖUT ß UF ww ×Ñ œ .ÐÖUT ß UEw ×Ñ  .ÐÖUEw ß UF ww ×Ñ.
Uma vez que, pelo axioma LAL (cf. 4.13) os triângulos ÐT ß Uß EÑ e
ÐT ß Uß Ew Ñ são congruentes, sabemos que lEUl œ lEw Ul e que
Û Û
Û Û
.ÐÖUT ß UE×Ñ œ .ÐÖUT ß UEw ×Ñ e desta última igualdade e das igualdades
Û Û
Û Û
acima destacadas resulta que .ÐÖUEß UF w ×Ñ œ .ÐÖUEw ß UF ww ×Ñ. Aplicando
de novo o axioma LAL, deduzimos agora que lEF w l œ lEw F ww l. Pelo teorema
LLL (cf. 4.34) podemos agora garantir que os triângulos ÐEß Uß F w Ñ e
ÐEw ß Uß F ww Ñ são congruentes, o que implica que
Û Û
Û Û
Û
Û
Û
Û
.ÐÖF w Eß F w F ww ×Ñ œ .ÐÖF w Eß F w U×Ñ œ .ÐÖF ww Ew ß F ww U×Ñ œ .ÐÖF ww Ew ß F ww F w ×Ñ.
Mais uma vez o axioma LAL implica agora que os triângulos ÐF w ß F ww ß EÑ e
ÐF ww ß F w ß Ew Ñ são congruentes, e portanto que lEF ww l œ lEw F w l. As duas
igualdades lEF w l œ lEw F ww l e lEF ww l œ lEw F w l mostram-nos finalmente que,
quer se tenha F œ F w , e portanto 38@< ÐFÑ œ F ww , ou F œ F ww , e portanto
38@< ÐFÑ œ F w , tem-se sempre
l38@< ÐEÑ 38@< ÐFÑl œ lEw 38@< ÐFÑl œ lEFl.
…
5.16 (38@< é isometria) Nas condições de 5.14, a aplicação 38@< À X Ä X é uma
isometria involutiva, isto é, verifica 38@< Ð38@< ÐEÑÑ œ E, para cada E − X ,
Dem: Comecemos por reparar que o facto de se ter 38@< Ð38@< ÐEÑÑ œ E, para
cada E − X resulta de que, afastando já o caso trivial em que E − <, sendo T
o pé da perpendicular de E para <, T é também o pé da perpendicular de
38@T ÐEÑ para <, bastando portanto ter em conta o facto de a simetria
relativamente a T ser uma involução. Resta-nos mostrar que, quaisquer que
sejam Eß F − X , tem-se l38@< ÐEÑ 38@< ÐFÑl œ lEFl, o que faremos começando por examinar casos particulares:
1) Se existir um plano ! tal que < § !, E − ! e F − !, a igualdade
pretendida é uma consequência do lema 5.15.
2) Afastamos de seguida o caso particular referido em 1), o que implica, em
particular, que E Â < e F Â <. No caso em que E e F têm o mesmo pé da
perpendicular T sobre a recta <, ficamos com uma consequência de 38@T ser
uma isometria (cf. 5.13):
l38@< ÐEÑ 38@< ÐFÑl œ l38@T ÐEÑ 38@T ÐFÑl œ lEFl.
4) Passemos enfim ao caso que nos falta e que é o de justificação mais
elaborada, nomeadamente aquele em que E Â < e F Â < têm pés da
perpendicular T e U sobre a recta <, com T Á U e em que, sendo ! o plano
que contém < e E e " o plano que contém < e F , tem-se ! Á " . Notemos !
e " o semiplanos de ! e de " , em ambos os casos com bordo <, tais que
E − ! e F − " e sejam ! e " os semiplanos opostos daqueles.
– 71–
Notemos Ew œ 38@< ÐEÑ œ 38@T ÐEÑ e F w œ 38@< ÐFÑ œ 38@U ÐFÑ.
Consideremos ainda uns pontos auxiliares: Na recta do plano ! que passa por
U e é perpendicular a <, definimos dois pontos \ e \ w , respectivamente em
! e em ! , pela condição de se ter
lU\l œ lU\ w l œ lT El œ lT Ew l,
tendo-se então \ w œ 38@U Ð\Ñ. Notamos ainda Q o ponto médio do par
ÐT ß UÑ e lembramos que, tendo em conta o lema 4.46, Q é também o ponto
médio dos pares ÐEß \ w Ñ e ÐEw ß \Ñ.
Começamos por reparar que, uma vez que 38@U é uma isometria, tem-se
lF\ w l œ lF w \l. Por outro lado, uma vez que as restrições de 38@< a ! e a "
são isometrias, pelo lema 5.15, tem-se também lQ F w l œ lQ Fl e lQ \ w l œ
lQ \l. Pelo teorema LLL (cf. 4.34), concluímos que os triângulos
ÐQ ß Fß \ w Ñ e ÐQ ß F w \Ñ são congruentes, e portanto
Û Û
Û Û
.ÐÖQ Fß Q \ w ×Ñ œ .ÐÖQ F w ß Q \×Ñ.
Û Û
Û Û
Uma vez que os ângulos ÖQ Fß Q \ w × e ÖQ Fß Q E× são adjacentes, e o
Ûw Û
Û
Û
mesmo acontece aos ângulos ÖQ F ß Q \× e ÖQ F w ß Q Ew ×, deduzimos
agora de 3.19 que se tem também
Û
Û
Û Û
.ÐÖQ Fß Q E×Ñ œ .ÐÖQ F w ß Q Ew ×Ñ.
Uma vez que as restrições de 38@< a ! e a " são isometrias, tem-se
– 72–
lQ F w l œ lQ Fl e lQ Ew l œ lQ El e daqui deduzimos, pelo axioma 4.13, que
os triângulos ÐQ ß Eß FÑ e ÐQ ß Ew ß F w Ñ são congruentes, e portanto, vem
l38@< ÐEÑ 38@< ÐFÑl œ lEw F w l œ lEFl, como queríamos.
…
Como aplicação do resultado precedente vamos examinar a noção de
perpendicularidade entre uma recta e um plano.
5.17 Sejam < uma recta e ! um plano e suponhamos que < e ! são concorrentes,
com <  ! œ ÖT ×. Diz-se que < e ! são perpendiculares se a recta < é
perpendicular a todas as rectas ? § ! tais que T − ?.
5.18 (Lema) Sejam < uma recta e ! um plano tais que <  ! œ ÖT ×. Tem-se
então que < e ! são perpendiculares se, e só se, 38@< Ð!Ñ § ! (e portanto
38@< Ð!Ñ œ !).12
Dem: O facto de a condição 38@< Ð!Ñ § ! implicar 38@< Ð!Ñ œ ! é uma
consequência de que, uma vez que 38@< é uma isometria, 38@< Ð!Ñ é um plano
(cf. 5.6). Suponhamos que < e ! são perpendiculares e mostremos que
38@< Ð!Ñ § !, para o que tomamos E − !, que podemos já supor diferente de
T . Tem-se então que a recta T E está contida em !, e portanto é
perpendicular à recta <, o que implica que T é o pé da perpendicular de E
para
<,
donde
38@< ÐEÑ œ 38@T ÐEÑ − T E § !.
Suponhamos,
reciprocamente, que 38@< Ð!Ñ œ !Þ Sendo ? § ! uma recta, com T − ?,
podemos escolher E − ? com E Á T (portanto E Â <) e, sendo U o pé da
perpendicular de E para <, tem-se 38@< ÐEÑ œ 38@U ÐEÑ − !, pelo que U
pertence à recta que contém os pontos distintos E e 38@< ÐEÑ, que está contida
em !, donde U − <  !, portanto U œ T , donde ? œ ET œ EU é
perpendicular a <, o que mostra que < e ! são perpendiculares.
…
5.19 Sejam < e ! uma recta e um plano perpendiculares, com <  ! œ ÖT ×.
Tem-se então que qualquer recta = perpendicular a <, com T − =, está
contida em !; em particular ! é a união de todas as rectas = perpendiculares a
<, com T − =.
Dem: Seja = uma recta perpendicular a <, com T − =. Seja " o plano que
contém as rectas concorrentes < e =, com <  = œ ÖT ×. Como " Á !, porque
Î !, e T − !  " , segue-se que "  ! é uma recta ? (cf. a alínea d) de
<§
1.7), com T − ?. Mas então ? e = são duas rectas de " contendo T e
perpendiculares a < e portanto, por 4.26, ? œ =, donde = § !. O que
acabamos de mostrar mostra que a união de todas as rectas = perpendiculares
a <, com T − =, esta contida em ! e esta união é mesmo ! visto que, para
cada E − !, já com E Á T , a recta ET está contida em ! e contém T e E, e
portanto é perpendicular a <.
…
12A
hipótese de < e ! serem concorrentes é essencial: Lembrar que, se < § !, então
38@< Ð!Ñ œ ! (cf. 5.15) e, no entanto < não é perpendicular a !.
– 73–
5.20 (Condição suficiente de perpendicularidade) Sejam ! um plano, T − ! e
=ß > § ! duas rectas com =  > œ ÖT ×. Se < é uma recta, com T − <,
simultaneamente perpendicular a = e a >, então < é perpendicular a !.
Dem: Comecemos por reparar que não pode ser < § !, tendo em conta 4.26.
Uma vez que T − <  !, segue-se que <  ! œ ÖT ×. Sejam E − = e F − >,
com Eß F Á T . Uma vez que T é então o pé da perpendicular de E e de F
sobre <, segue-se que
38@< ÐEÑ œ 38@T ÐEÑ − = § !,
38@< ÐFÑ œ 38@T ÐFÑ − > § !.
Por outro lado, 38@< ÐT Ñ œ T − !. Uma vez que T ß Eß F não são colineares
e que 38@< é uma isometria involutiva, resulta de 5.4 que 38@< ÐT Ñß 38@< ÐEÑß
38@< ÐFÑ também são não colineares. Tendo em conta 5.6, sabemos que
38@< Ð!Ñ é um plano pelo que, por conter três pontos não colineares de !,
tem-se 38@< Ð!Ñ œ !. Pelo lema 5.18, < e ! são perpendiculares.
…
5.21 (Existência e unicidade do plano perpendicular num ponto duma recta)
Sejam < uma recta e T − <. Existe então um, e um só, plano ! tal que T − !
e < e ! sejam perpendiculares.
Dem: A unicidade resulta de 5.19, uma vez que ! não pode deixar de ser a
união da rectas perpendiculares a < que pasam por T .
Para provar a existência, comecemos por mostrar que se podem considerar
dois planos " e # , com "  # œ <. Para isso tomamos um ponto F  <,
definimos " como sendo o único plano que contém < e F , consideramos um
ponto G Â " (cf. a alínea e) de 1.6) e definimos # como sendo o único plano
que contém < e G ; uma vez que " Á # e que < § "  # , tem-se
efectivamente "  # œ < (cf. as alíneas a) e d) de 1.7).
Sejam agora = § " a recta perpendicular a < com T − = e > § # a recta
perpendicular a < com T − >. Uma vez que =  < œ ÖT × e >  < œ ÖT ×, vem
=  > œ ÖT × pelo que podemos considerar o plano ! que contém = e >. Vem
T − ! e, tendo em conta 5.20, < e ! são perpendiculares.
…
5.22 (Existência e unicidade da recta perpendicular num ponto dum plano)
Sejam ! um plano e T − !. Existe então uma, e uma só, recta < tal que
T − < e < e ! sejam perpendiculares.
Dem: Comecemos por provar a unicidade para o que, supomos que existiam
rectas distintas <ß =, com T − <  = e tanto < como = perpendiculares a !.
Escolhamos E − <, com E Á T e F − =, com F Á T , em particular E e F
não pertencem a ! e Eß Fß T não são colineares (senão < œ =). Seja " o
plano que contém Eß Fß T e que é portanto distinto de ! e contém as rectas <
e =. Uma vez que T − !  " , segue-se que !  " é uma recta >, com T − >.
Por definição < e = são perpendiculares a todas as rectas de ! que passam por
T , em particular são perpendiculares a >, o que é absurdo, tendo em conta
4.26, uma vez que se trata de duas rectas de " .
Passemos agora à prova da existência. Sejam ? e @ duas rectas contidas em !
e tais que ?  @ œ ÖT × (tomar para ? uma recta de ! contendo T e para @
– 74–
uma recta que contenha T e algum ponto de ! não pertencente a ?). Sejam #
e $ os planos que contêm o ponto T e são perpendiculares a ? e a @,
respectivamente (cf. 5.21). Tem-se # Á $ , tendo em conta a unicidade de
uma recta perpendicular a um plano passando por um dos seus pontos, que
demonstrámos no início, e, uma vez que T − #  $ , concluímos que #  $ é
uma recta <, que contém o ponto T (cf. a alínea d) de 1.7). Uma vez que ? é
perpendicular a todas as rectas de # que passam por T , ? é perpendicular a <
e, uma vez que @ é perpendicular a todas as rectas de $ que passam por T , @ é
perpendicular a <. Concluímos agora de 5.20 que < é perpendicular a !.
…
5.23 (Perpendicular a um plano por um ponto exterior) Sejam ! um plano e
\ Â !. Existe então um, e um só, ponto E − ! tal que a recta \E seja
perpendicular ao plano ! (dizemos que E é o pé da perpendicular de \ para
!).
Dem: 1) Comecemos por provar a unicidade, para o que supomos a
existência de dois pontos E Á Ew em ! tais que as rectas \E e \Ew sejam
ambas perpendiculares a !. Tem-se então que, sendo < § ! a recta que
contém E e Ew , vem, por definição de perpendicularidade entre uma recta e
um plano, que as rectas \E e \Ew são ambas perpendiculares a <, o que é
absurdo, tendo em conta 4.28.
2) Vamos, nesta e nas próximas alíneas, provar a existência de um ponto E
nas condições pedidas. Seja F − ! um ponto arbitrário. Se a recta = œ \F
fosse perpendicular a ! a existência estava provada. Vamos assim examinar
o que se passa no caso em que = œ \F não é perpendicular a !.
3) Mostremos a existência de uma recta > § !, com F − >, tal que = e > sejam
perpendiculares.
Para isso, consideramos o plano " perpendicular a = tal que F − " (cf. 5.21),
atendemos a que " Á ! (porque = não é perpendicular a !) e a que
F − !  " , pelo que !  " é uma recta > (cf. a alínea d) de 1.7), que contém
F e está contida em ! e que é perpendicular a =, por estar contida em " que é
um plano perpendicular a =.
– 75–
4) Seja ? § ! a recta perpendicular a > tal que F − ? (cf. 4.26) e reparemos
que = œ \F não é perpendicular a ?, senão =, sendo perpendicular às recta
distintas > e ? de ! que passam por F seria perpendicular a !.
5) Seja # o plano que contém as rectas concorrentes = e ? e seja E o pé da
perpendicular de \ para ? (cf. 4.28), que é diferente de F , por = não ser
perpendicular a ?. Vamos verificar nas próximas alíneas que E é o ponto
procurado, isto é, que a recta @ œ \E que, por construção, é perpendicular à
recta ?, é mesmo perpendicular ao plano !
6) Note-se que a recta @ está contida no plano # , por conter os pontos \ e E
de # . Seja @ a semirrecta de @ de origem E tal que \ − @ . Seja A § # a
recta que contém F e é perpendicular a ? (cf. 4.26) e seja A a semirrecta de
A de origem F que está contida no mesmo semiplano # de # , com bordo ?,
que a semirrecta @ . Fixemos um dos semiplanos ! de !, de bordo ?, e seja
> a semirrecta de > de origem F que está contida em ! . Reparemos que a
recta > é perpendicular ao plano # , por ser perpendicular às rectas
concorrentes = e ? de # (cf. 5.20) e que portanto > é também perpendicular à
recta A de # . Seja D § ! a recta que passa por E e é perpendicular a ? e seja
D a semirrecta de D de origem E que está contida em ! . Tendo em conta
4.47, vemos que
.ÐÖD ß @ ×Ñ œ .ÐÖ> ß A ×Ñ œ ",
– 76–
e portanto a recta @, que já sabíamos ser perpendicular a ?, é também
perpendicular a D . Tendo em conta 5.20, @ é perpendicular ao plano !, como
queríamos.
…
5.24 (A inversão relativamente a um plano) Seja ! § X um plano fixado.
Definimos então uma aplicação 38@! À X Ä X , a que daremos o nome de
inversão relativamente a !, do seguinte modo: Para cada T − !,
38@! ÐT Ñ œ T ; Para cada \  !, consideramos o pé da perpendicular E de
\ sobre ! (cf. 5Þ23) e definimos 38@! Ð\Ñ œ 38@E Ð\Ñ (cf. 5.12).
5.25 (38@! é isometria) Nas condições anteriores, a aplicação 38@! À X Ä X é
uma isometria involutiva, isto é, verifica 38@! Ð38@! Ð\ÑÑ œ \ , para cada
\ − X,
Dem: Comecemos por reparar que o facto de se ter 38@< Ð38@< Ð\ÑÑ œ \ ,
para cada \ − X resulta de que, afastando já o caso trivial em que \ − !,
sendo E o pé da perpendicular de \ para !, E é também o pé da
perpendicular de 38@E Ð\Ñ para !, bastando portanto ter em conta o facto de
a simetria relativamente a E ser uma involução. Resta-nos mostrar que,
quaisquer que sejam \ß ] − X , tem-se l38@! Ð\Ñ 38@! Ð] Ñl œ l\] l, podendo
já afastar-se o caso trivial em que \ œ ] . Dois casos são possíveis:
1) A recta = œ \] é perpendicular a !, com =  ! œ ÖE×. Nesse caso
tem-se 38@! Ð\Ñ œ 38@E Ð\Ñ e 38@! Ð] Ñ œ 38@E Ð] Ñ, pelo que a igualdade
l38@! Ð\Ñ 38@! Ð] Ñl œ l\] l resulta de 38@E À X Ä X ser uma isometria (cf.
5.13).
2) A recta = œ \] não é perpendicular a !. Nesse caso seja E o pé da
perpendicular de \ para !, se \  !, e E œ \ , se \ − !, e, do mesmo
modo, seja F o pé da perpendicular de ] para !, se ]  !, e F œ ] , se
] − !, e consideremos a recta > œ EF (reparemos que E Á F ). No caso em
que \ Â ! a recta \E, sendo perpendicular a !, é também perpendicular a
> œ EF , pelo que E é também o pé da perpendiicular de \ para >, donde
38@! Ð\Ñ œ 38@E Ð\Ñ œ 38@> Ð\Ñ e esta igualdade vale ainda trivialmente no
caso em que \ − !. Do mesmo modo se vê que 38@! Ð] Ñ œ 38@> Ð] Ñ. A
igualdade l38@! Ð\Ñ 38@! Ð] Ñl œ l\] l é assim uma consequência de
38@> À X Ä X ser uma isometria (cf. 5.16).
…
6. Quadriláteros e Paralelogramos
6.1 Vamos chamar quadrilátero a uma quadra ordenada ÐEß Fß Gß HÑ de pontos
constituindo um conjunto complanar e tal que nenhum dos conjuntos
ÖEß Fß G×, ÖFß Gß H×, ÖGß Hß E× e ÖHß Eß F× seja colinear. As condições
anteriores implicam que os quatro pontos Eß Fß Gß H são todos distintos e
que existe um único plano ! contendo aqueles quatro pontos, a que daremos
o nome de plano do quadrilátero. Chamamos vértices do quadrilátero aos
quatro pontos Eß Fß Gß H, lados deste aos pares ÐEß FÑß ÐFß GÑß ÐGß HÑß
– 77–
ÐHß EÑ ou aos segmentos de recta ÒEß FÓ, ÒFß GÓ, ÒGß HÓ e ÒHß EÓ e ângulos
deste aos ângulos
w
w
Û Û
Û Û
HEF œ ÖEHß EF×, EFG œ ÖFEß FG×,
w
w
Û Û
Û Û
FGH œ ÖGFß GH×, GHE œ ÖHGß HE×,
w w w
w
que serão notados simplesmente E , F , G e H quando o quadrilátero
estiver implícito (comparar com 4.1).
D
B
B
A
D
D
C
C
A
C
B
A
6.2 Diz-se que um quadrilátero ÐEß Fß Gß HÑ, com plano !, é convexo se, para
cada lado, os vértices que o definem pertencem ao mesmo semiplano de !
cujo bordo é a recta definida pelos restantes dois vértices, por outras
palavras, se se verificam as quatro condições seguintes:
1) G e H estão no mesmo semiplano de ! de bordo EF .
2) H e E estão no mesmo semiplano de ! de bordo FG .
3) E e F estão no mesmo semiplano de ! de bordo GH.
4) F e G estão no mesmo semiplano de ! de bordo HE.
6.3 Como consequência imediata da definição precedente, vemos que, apesar de
se tratar de quadriláteros distintos, se ÐEß Fß Gß HÑ é um quadrilátero, o
mesmo acontece aos, obtidos por permutação circular, ÐFß Gß Hß EÑ,
ÐGß Hß Eß FÑ e ÐHß Eß Fß GÑ e, se um destes quatro quadriláteros é convexo,
o mesmo aconte aos outros três (os lados são os mesmos).
Do mesmo modo, se ÐEß Fß Gß HÑ é um quadrilátero, também o é o, obtido
por inversão da ordem, ÐHß Gß Fß EÑ e o primeiro é convexo se, e só se, o
segundo o é (os lados são os mesmos, com a ordem dos vértices invertida).13
Repare-se que, no caso das três figuras acima, temos três quadriláteros,
dos quais só o primeiro é convexo. O segundo transforma-se num
quadrilátero convexo por reordenação dos vértices, por exemplo no
quadrilátero ÐEß Fß Hß GÑ, mas o mesmo já não se consegue fazer com o
terceiro.
O resultado seguinte dá uma caracterização mais simples dos
quadriláteros convexos, que mostra que podemos tomar para os três pri13No
entanto, se ÐEß Fß Gß HÑ é um quadrilátero, apesar de o mesmo acontecer, por
exemplo, a ÐEß Gß Fß HÑ já não é verdade que a convexidade de um tenha alguma coisa a
ver com a convexidade do outro, uma vez que os lados são distintos.
– 78–
meiros vértices pontos arbitrários não colineares e caracterizar a convexidade por uma condição envolvendo apenas o quarto vértice.
6.4 (Caracterização pelo quarto vértice) Sejam Eß Fß G pontos não colineares
e ! o plano que os contém. Dado H − !, tem-se que ÐEß Fß Gß HÑ é um
quadrilátero convexo se, e só se, se verificam as condições seguintes:
Û Û
Û
a) H − nÖFEß FG× e H não pertence a nenhuma das semirrectas FE e
Û
FG .
b) H Â EG e H pertence ao semiplano de ! de bordo EG oposto àquele que
contém F .
A
zona D
C
B
Dem: 1) Comecemos por supor que ÐEß Fß Gß HÑ é um quadrilátero convexo.
D
C
B
A
O facto de H estar no mesmo semiplano de ! de bordo EF que G e de estar
no mesmo semiplano de ! de bordo FG que E diz-nos que
Û Û
H − nÖFEß FG× e o facto de H não pertencer a nenhuma das semirrectas
Û
Û
FE e FG resulta de que EFH e FGH são não colineares, por termos um
quadrilátero. O facto de se ter H Â EG resulta de Gß Hß E serem não
colineares, mais uma vez por termos um quadrilátero. O facto de E estar no
mesmo semiplano de ! de bordo GH que F e estar no mesmo semiplano de
Û Û
! de bordo FG que H implica que E − nÖGFß GH× e, como anteriormente,
Û
pelo facto de termos um quadrilátero, E não pertence às semirrectas GF e
Û
GH. Aplicando a alínea a) do teorema da barra cruzada 3.9, concluímos que
H pertence ao semiplano de ! de bordo EG oposto àquele que contém F .
2) Suponhamos, reciprocamente, que as condições a) e b) do enunciado são
verificadas. Elas implicam, em particular que H não pertence a nenhuma das
– 79–
rectas FG e FE (cf. 3.4) pelo que, uma vez que, por hipótese, H e F não
pertencem à recta EG , concluímos que ÐEß Fß Gß HÑ é um quadrilátero. O
Û Û
facto de H pertencer a nÖFEß FG× mostra que H e E estão no mesmo
semiplano de ! de bordo FG e que H e G estão no mesmo semiplano de !
de bordo FE.
s-
D
C
B
A
Û
Notemos = a semirrecta de origem G oposta à semirrecta GF . O facto de H
estar no mesmo semiplano de ! de bordo FG que E e estar no semiplano de
! de bordo EG oposto ao que contém F , e portanto no mesmo que contém
Û
= , implica que H − nÖGEß = ×. Tendo em conta a alínea d) de 3.9,
Û
Û Û
deduzimos que GE § nÖGHß GF×, em particular E e F estão no mesmo
semiplano de ! de bordo GH. Aplicando a conclusão a que acabamos de
chegar ao quadrilátero ÐGß Fß Eß HÑ, que também verifica as condições a) e
b) no enunciado, vemos que F e G estão no mesmo semiplano de ! de bordo
EH. Terminámos assim a prova de que o quadrilátero ÐEß Fß Gß HÑ é
convexo.
…
6.5 (Nota) Embora não tenhamos de momento intenção de o utilizar, a prova
anterior mostra-nos que, para termos a certeza que um quadrilátero
ÐEß Fß Gß HÑ é convexo, basta verificar as condições 1), 2) e 3) na definição
6.2, a condição 4) sendo portanto uma consequência daquelas três. Com
efeito, apenas utilizámos as condições 1), 2) e 3) para estabelecer as
propriedades a) e b) na parte 1) da demonstração e, na parte 2) desta,
verificámos que as condições a) e b) implicam as alíneas 1), 2), 3) e 4) da
definição.
Pelo contrário, é claro do exemplo na figura seguinte que as condições 1) e
2) não são suficientes para implicar que um quadrilátero é convexo.
A
D
B
– 80–
C
6.6 Dado um quadrilátero ÐEß Fß Gß HÑ, chamamos diagonais aos segmentos de
recta ÒEß GÓ e ÒFß HÓ.
Repare-se que, como se constata imediatamente, um quadrilátero
ÐEß Fß Gß HÑ tem as mesmas diagonais que os quadriláteros ÐFß Gß Hß EÑ,
ÐGß Hß Eß FÑ e ÐHß Eß Fß GÑ, tal como tem as mesmas diagonais
6.7 (Caracterização da convexidade pelas diagonais) Um quadrilátero
ÐEß Fß Gß HÑ, contido no plano !, é convexo se, e só se, as suas diagonais
ÒEß FÓ e ÒGß HÓ são concorrentes (cf. 1.2).
Dem: 1) Comecemos por supor que o quadrilátero ÐEß Fß Gß HÑ é convexo.
Tendo em conta a alínea b) de 6.4, Os pontos F e H estão em semiplanos
opostos de ! de bordo EG , o que implica que o segmento ÒFß HÓ e a recta
EG têm um ponto \ em comum. Aplicando esta conclusão ao quadrilátero
convexo ÐFß Gß Hß EÑ, concluímos que o segmento ÒEß GÓ e a recta FH têm
um ponto ] em comum. Uma vez que, por termos um quadrilátero, as rectas
EG e FH são distintas, e portanto não podem ter mais que um ponto em
comum, concluímos que \ œ ] é o único ponto comum às diagonais ÒEß FÓ
e ÒGß HÓ, e portanto que estas são concorrentes.
2) Suponhamos, reciprocamente, que as diagonais ÒEß FÓ e ÒGß HÓ são concorrentes num ponto \ .
D
C
X
B
A
Û Û
Atendendo a que o sector angular nÖFEß FG× é convexo e cónico
relativamente a F (cf. 3.4) concluímos sucessivamente que o ponto \ , que
Û Û
pertence ao segmento ÒEß GÓ, pertence a nÖFEß FG× e que o ponto H , que
Û
pertence à semirrecta F\ , por \ pertencer a ÒFß HÓ, pertence também a
Û Û
nÖFEß FG×. O facto de o ponto H não pertencer a nenhuma das semirrectas
Û
Û
FE e FG resulta de termos um quadrilátero. Este último facto implica
também que H não pertence à recta EG e o facto de F e H estarem em
semiplanos opostos de ! de bordo EG resulta de \ ser um ponto de EG no
segmento ÒFß HÓ. Podemos agora deduzir de 6.4 que ÐEß Fß Gß HÑ é um
quadrilátero convexo.
…
6.8 Seja ÐEß Fß Gß HÑ um quadrilátero convexo contido no plano !. Tem-se
então que existe um, e um só, conjunto convexo V que contenha os quatro
pontos Eß Fß Gß H e que esteja contido em qualquer conjunto convexo que
contenha esses pontos. Esse conjunto convexo, que chamaremos de segmento
quadrangular associado a ÐEß Fß Gß HÑ e que será notado ÒEß Fß Gß HÓ
– 81–
(comparar com 4.2 e lembrar 4.4 e 4.7), admite as duas caracterizações
seguintes:
D
C
A
B
a) ÒEß Fß Gß HÓ œ ÒEß Fß GÓ  ÒEß Hß GÓ, onde ÒEß Fß GÓ  ÒEß Hß GÓ œ
ÒEß GÓ.
Û Û
Û Û
b) ÒEß Fß Gß HÓ œ nÖFEß FG×  nÖHEß HG×.
Dem: 1) Comecemos por mostrar que ÒEß Fß GÓ  ÒEß Hß GÓ œ ÒEß GÓ. Em
primeiro lugar, tendo em conta a convexidade dos segmentos triangulares,
tem-se ÒEß GÓ § ÒEß Fß GÓ e ÒEß GÓ § ÒEß Hß GÓ, portanto ÒEß GÓ §
ÒEß Fß GÓ  ÒEß Hß GÓ. Por outro lado, lembrando a caracterização dos
segmentos triangulares em 4.2, vemos que, se \ − ÒEß Fß GÓ  ÒEß Hß GÓ,
então \ pertence simultaneamente aos semiplanos de ! de bordo EG que
contêm respectivamente F e H, semiplanos esses que são opostos, pela
Û Û
condição b) em 6.4, pelo que \ − EG , e portanto \ − EG  nÖFEß FG×,
isto é \ − ÒEß GÓ, pela alínea a) de 3.5.
2) Vamos agora verificar que
Û Û
Û Û
ÒEß Fß GÓ  ÒEß Hß GÓ œ nÖFEß FG×  nÖHEß HG×.
Û Û
Tem-se que Eß Fß G − nÖFEß FG× e, tendo em conta a alínea a) de 6.4,
Û Û
Û Û
também H − nÖFEß FG×. Tendo em conta o facto de nÖFEß FG× ser
convexo, deduzimos de 4.7 que
Û Û
Û Û
ÒEß Fß GÓ § nÖFEß FG×, ÒEß Hß GÓ § nÖFEß FG×,
e portanto
Û Û
ÒEß Fß GÓ  ÒEß Hß GÓ § nÖFEß FG×;
Aplicando a mesma conclusão ao quadrilátero convexo ÐGß Hß Eß FÑ,
concluímos que se tem também
Û Û
ÒEß Fß GÓ  ÒEß Hß GÓ § nÖHEß HG×,
donde concluímos que
– 82–
Û Û
Û Û
ÒEß Fß GÓ  ÒEß Hß GÓ § nÖFEß FG×  nÖHEß HG×.
Û Û
Û Û
Suponhamos, reciprocamente, que \ − nÖFEß FG×  nÖHEß HG×. Tendo
em conta o facto de os semiplanos de ! de bordo EG que contêm F e H
serem opostos, \ pertence a um desses semiplanos. No caso de \ pertencer
Û Û
ao semiplano que contém F , o facto de ser \ − nÖFEß FG× implica que
\ − ÒEß Fß GÓ e no caso de \ pertencer ao semiplano que contém H , o facto
Û Û
de ser \ − nÖHEß HG× implica que \ − ÒEß Hß GÓ, em qualquer dos casos
vem \ − ÒEß Fß GÓ  ÒEß Hß GÓ.
3) Tendo em conta o que vimos em 2), podemos definir
Û Û
Û Û
ÒEß Fß Gß HÓ œ ÒEß Fß GÓ  ÒEß Hß GÓ œ nÖFEß FG×  nÖHEß HG×.
A segunda caracterização mostra que se trata de um conjunto convexo, por
ser a intersecção de dois conjuntos convexos, e a primeira caracterização
mostra que se tem Eß Fß Gß H − ÒEß Fß Gß HÓ. Por outro lado, qualquer
conjunto convexo, que contenha Eß Fß Gß H, contém também, por 4.7,
ÒEß Fß GÓ e ÒEß Hß GÓ e portanto contém ÒEß Fß Gß HÓ, tendo em conta a
primeira caracterização. A unicidade de um conjunto nas condições do
enunciado é uma consequência de que, a existirem dois, cada um deles teria
que estar contido no outro, e portanto teriam que ser iguais.
…
6.9 (Paralelogramos sem paralelas) Vamos chamar paralelogramo a um
quadrilátero convexo ÐEß Fß Gß HÑ tal que lEFl œ lGHl e lFGl œ lHEl (os
lados opostos são conguentes).
D
C
A
B
6.10 Seja ÐEß Fß Gß HÑ um paralelogramo. Tem-se então:
w
w
w
w
a) .ÐE Ñ œ .ÐG Ñ e .ÐF Ñ œ .ÐH Ñ (os ângulos opostos são congruentes);
b) Tem-se ÒEß GÓ  ÒFß HÓ œ Ö\×, onde \ é o ponto médio tanto de ÐEß GÑ
como de ÐFß HÑ (as diagonais bissectam-se).
Dem: Considerando a diagonal ÒEß GÓ,
D
C
A
B
– 83–
podemos aplicar o teorema LLL (cf. 4.34) para garantir que os triângulos
w
w
ÐEß Fß GÑ e ÐGß Hß EÑ são congruentes, e portanto que .ÐF Ñ œ .ÐH Ñ,
Û Û
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐÖEGß EH×Ñ œ .ÐÖGEß GF×Ñ, .ÐÖEFß EG×Ñ œ .ÐÖGHß GE×ÑÞ
Aplicando o que acabamos de concluir ao paralelogramo ÐFß Gß Hß EÑ,
w
w
vemos que, considerando também a diagonal ÒFß HÓ, tem-se .ÐE Ñ œ .ÐG Ñ,
Û Û
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐÖFHß FE×Ñ œ .ÐÖHFß HG×Ñ, .ÐÖFGß FH×Ñ œ .ÐÖHEß HF×ÑÞ
Lembremos que, tendo em conta 6.7, tem-se ÒEß GÓ  ÒFß HÓ œ Ö\×, onde \
não pertence a nenhuma das rectas EH e FG , por termos um quadrilátero.
D
C
X
A
B
O facto de se ter lEHl œ lGFl,
Û Û
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐÖEHß E\×Ñ œ .ÐÖEHß EG×Ñ œ .ÐÖGFß GE×Ñ œ .ÐÖGFß G\×Ñ,
Û Û
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐÖHEß H\×Ñ œ .ÐÖHEß HF×Ñ œ .ÐÖFGß FH×Ñ œ .ÐÖFGß F\×Ñ,
implica, pelo teorema ALA (cf. 4.15), que os triângulos ÐEß Hß \Ñ e
ÐGß Fß \Ñ são congruentes, e portanto que lH\l œ lF\l e lE\l œ lG\l, o
que mostra que \ é o ponto médio tanto de ÐEß GÑ como de ÐFß HÑ.
…
6.11 (Existência e construção de paralelogramos) Sejam < e = rectas
concorrentes, com <  = œ Ö\×. Sejam E Á G em < e F Á H em = tais que
lE\l œ lG\l e lF\l œ lH\l (portanto \ é o ponto médio tanto de ÐEß GÑ
como de ÐFß HÑ). Tem-se então que ÐEß Fß Gß HÑ é um paralelogramo.
Dem: As nossas hipóteses implicam, em particular, que \ é diferente de
Eß Fß Gß H e daqui que Fß H Â EG e Eß G Â FH, o que mostra que
ÐEß Fß Gß HÑ é um quadrilátero. O facto de se ter \ − ÒEß GÓ  ÒFß HÓ
implica, por 6.7, que o quadrilátero ÐEß Fß Gß HÑ é convexo. Tem-se
\  EH, uma vez que H  E\ œ EG , e \  FG , uma vez que
G  F\ œ FH. Podemos então considerar os triângulos ÐEß \ß HÑ e
Û Û
Û Û
ÐGß \ß FÑ, para os quais se tem .ÐÖ\Eß \H×Ñ œ .ÐÖ\Gß \F×Ñ (ângulos
verticalmente opostos), l\El œ l\Gl e l\Hl œ l\Fl pelo que o axioma
LAL (cf. 4.13) garante que aqueles triângulos são congruentes, e portanto
que lFGl œ lHEl. A mesma conclusão, aplicada à quadra ÐFß Gß Hß EÑ, que
verifica as mesma hipóteses com os papéis de < e = trocados, implica que
lGHl œ lEFl, pelo que temos efectivamente um paralelogramo.
…
6.12 Note-se que, tal como referimos para os quadriláteros em 6.3, se
ÐEß Fß Gß HÑ é um paralelogramo, o mesmo acontece trivialmente aos,
– 84–
obtidos por permutação circular, ÐFß Gß Hß EÑ, ÐGß Hß Eß FÑ e ÐHß Eß Fß GÑ,
assim como ao obtido por inversão da ordem ÐHß Gß Fß EÑ.
7. Paralelismo e o axioma das paralelas
7.1 Diz-se que duas rectas <ß = § X são estritamente paralelas se <  = œ g e
existe um plano ! § X tal que < § ! e = § !. Diz-se que < e = são paralelas
se < œ = ou < e = são estritamente paralelas.
7.2 (Condição suficiente de paralelismo) Sejam ! § X um plano, > § ! uma
recta e Eß F − >, com E Á F . Sejam ! e ! os dois semiplanos de ! de
bordo >. Sejam <ß = § ! duas rectas, com <  > œ ÖE×, =  > œ ÖF× e
notemos < e = as semirrectas de < e de =, com origens E e F , que estão
contidas em ! e < e = as semirrectas opostas. Suponhamos que
Û
Û
.(ÖEFß < ×)  .ÐÖFEß = ×Ñ œ # ou, o que é equivalente, que se tem
Û
Û
.(ÖEFß < ×) œ .ÐÖFEß = ×ÑÞ Tem-se então que as rectas < e = são
estritamente paralelas.14
t
A
a+
r+
s+
B
Û
Û
Dem: Comecemos por reparar que .(ÖEFß < ×)  .ÐÖFEß = ×Ñ œ # é equiÛ
Û
Û
valente a .(ÖEFß < ×)  .ÐÖFEß = ×Ñ œ # e a .(ÖEFß < ×) œ
Û
.ÐÖFEß = ×Ñ, uma vez que, por termos ângulos adjacentes, tem-se
Û
Û
Û
Û
.(ÖEFß < ×) œ #  .(ÖEFß < ×) e .ÐÖFEß = ×Ñ œ #  .ÐÖFEß = ×Ñ.
Suponhamos que < e = não eram paralelas, e portanto, por serem rectas
distintas e complanares, que <  = œ ÖG×. Vem G  > pelo que, ou G − ! ,
ou G pertence ao semiplano oposto ! . Considerando o triângulo ÐEß Fß GÑ
tem-se então, no primeiro caso,
w
w
Û
Û
.ÐE Ñ  .ÐF Ñ œ .(ÖEFß < ×)  .ÐÖFEß = ×Ñ œ #
Û
Û
ângulos ÖEFß < × e ÖFEß = × são chamados usualmente de internos do mesmo
Û
Û
lado da secante e os ângulos ÖEFß < × e ÖFEß = × são ditos alternos internos.
14Os
– 85–
e, no segundo caso,
w
w
Û
Û
.ÐE Ñ  .ÐF Ñ œ .(ÖEFß < ×)  .ÐÖFEß = ×Ñ œ #
pelo que, em ambos os casos, chegamos a um absurdo, tendo em conta o
corolário 4.20.
…
7.3 (Corolário — Duas rectas perpendiculares a uma terceira) Sejam ! § X
um plano, > § ! uma recta e Eß F − >. Sejam <ß = § ! duas rectas, com
<  > œ ÖE×, =  > œ ÖF×, ambas perpendiculares a >. Tem-se então que as
rectas < e =ão paralelas.
Dem: Se E Á F , trata-se de um caso particular do resultado precedente, se
recordarmos que a perpendicularidade de duas rectas concorrentes é
equivalente ao facto de a medida do ângulo de duas semirrectas ser " e que,
esse facto não se altera quando se substitui alguma, ou ambas as semirrectas
pelas suas opostas. Se E œ F temos o resultado sobre a uniciade de uma
perpendicular a uma recta passando por um ponto dado e contida num dado
plano (cf. 4.26).
…
7.4 (Existência de paralela) Sejam < uma recta e F Â <. Existe então uma recta
= estritamente paralela a < tal que F − =.
Dem: Seja ! o plano que contém < e F . Seja E o pé da perpendicular de F
para < (cf. 4.28). Sendo > § ! a recta EF , podemos considerar uma recta
= § ! com F − = e = perpendicular a > (cf. 5.22). Tendo em conta 7.3, < e =
são estritamente paralelas.
…
7.5 (Porquê “paralelogramo”) Seja ÐEß Fß Gß HÑ um paralelogramo. Tem-se
então que as rectas EF e GH são paralelas e as rectas HE e FG são
paralelas (os lados opostos são paralelos).
Dem: Seja ! o plano que contém os vértices do paralelogramo e consideremos a recta EG , lembrando que, pela alínea b) de 6Þ4, F e H estão em
semiplanos opostos de ! de bordo EG .
D
C
A
B
Tendo em conta o teorema LLL (cf. 4.34), os triângulos ÐEß Fß GÑ e
Û Û
ÐGß Hß EÑ são congruentes, donde, em particular, .ÐÖEGß EF×Ñ œ
Û Û
.ÐÖGEß GH×Ñ. Podemos agora aplicar 7.2 para garantir que as rectas EF e
GH são paralelas e, aplicando esta conclusão ao paralelogramo
ÐFß Gß Hß EÑ, vemos que as rectas FG e HE também são paralelas.
…
– 86–
7.6 (Paralelismo de recta com plano) Diz-se que uma recta < e um plano ! são
estritamente paralelos se <  ! œ g e que < e ! são paralelos se forem
estritamente paralelos ou < § !.
7.7 (Condição de paralelismo de uma recta com um plano) Uma recta < é
paralela a um plano ! se, e só se, existe uma recta = § ! paralela a <. Mais
precisamente, se a recta < é paralela ao plano !, então, para cada T − !,
existe = § !, com T − = e = paralela a !.
Dem: 1) Comecemos por supor a existência de uma recta = § ! tal que <
seja paralela a =. Queremos provar que < é paralela a !, para o que podemos
já afastar o caso em que < § !, deduzindo, em particular, que < Á =. Seja "
um plano contendo < e =. Vem " Á ! (porque < §
/ !) e = § "  !, pelo que
"  ! œ = (cf. as alíneas a) e d) de 1.7). Vem então
<  ! § <  "  ! œ <  = œ g,
o que mostra que < é paralela a !.
2) Suponhamos agora que < é paralela a ! e seja T − ! e tentemos provar a
existência de uma recta = paralela a <, com T − = § !.
Se < § ! e T − <, basta tomar = œ <.
Se < § ! e T Â <, sabemos, por 7.4, que existe = paralela a <, com T − = e
tem que ser = § !, uma vez que ! é o único plano que contém < e T , e
portanto não pode haver outro que contenha < e =.
Î !. vem <  ! œ g, em particular T  <, pelo que podemos considerar
Se < §
o único plano " que contém < e T , plano " que é diferente de !, pelo que,
por ser T − !  " , resulta da alínea d) de 1.7 que !  " é uma recta =, que
contém T e é paralela a <, por ser complanar com < e verificar <  = § <  !
œ gÞ
…
7.8 (Recta e plano perpendiculares a uma recta) Sejam > uma recta, < uma
recta perpendicular a >, com <  > œ ÖT ×, e ! um plano perpendicular a >,
com !  > œ ÖU×. Tem-se então que a recta < é paralela ao plano !.
Dem: Seja " o plano que contém as rectas concorrentes > e <. Uma vez que
Î !, segue-se que existe uma recta = tal
U − !  " e que ! Á " , porque > §
que !  " œ =. Tem-se U − = § ! pelo que, por > ser perpendicular a !, > é
perpendicular a =. As rectas < e = são duas rectas do plano " , ambas
perpendiculares a > pelo que, por 7.3, < e = são paralelas o que, por 7.7,
implica que a recta < é paralela ao plano !.
…
7.9 (Duas rectas perpendiculares a um plano) Sejam ! um plano e <ß = duas
rectas perpendiculares a !. Tem-se então que < e = são rectas paralelas.
Dem: Sejam !  < œ ÖT × e !  = œ ÖU×. Se T œ U, resulta de 5.22 que
< œ =, em particular < e = são paralelas. Suponhamos então que T Á U.
Sejam ? e @ as rectas do plano ! perpendiculares à recta T U e tais que
T − ? e U − @. Notemos " o plano que contém as rectas concorrentes < e
T U. A recta <, sendo perpendicular a !, é perpendicular a ? e a T U pelo que
a amplitude do ângulo entre dois semiplanos de ! e de " de bordo T U é
igual a " (cf. 4.46 e 4.47, o facto de a amplitude ser " faz com que seja
– 87–
indiferente quais os semiplanos considerados). Sendo =w a recta de "
perpendicular a T U e tal que U − =w , tem-se, por 4.47, que =w também é
perpendicular a @, e portanto ao plano ! (cf. 5.20) donde, pela unicidade da
perpendicular a um plano passando por um ponto deste (cf. 5.22), vem
=w œ =, e portanto a recta = também está contida no plano " , que contém <.
Uma vez que < e = são ambas perpendiculares à recta T U de " , deduzimos
de 7.3 que as rectas < e = são paralelas.
…
Vamos agora introduzir um último axioma, aquele que distingue a Geometria Euclidiana da não Euclidiana.
7.10 (Axioma das paralelas) Dada uma recta < e um ponto F Â <, não existe
mais do que uma recta = paralela a <, tal que F − =.15
7.11 (Transitividade do paralelismo) A relação de paralelismo entre rectas é
uma relação de equivalência.
Dem: A relação é trivialmente reflexiva e simétrica. Seja então < uma recta,
simultaneamente paralela às rectas = e >, e provemos que = e > são paralelas,
para o que podemos já supor que = Á >. Seja E − =, com E Â > e seja ! o
único plano que contém E e >. Tendo em conta 7.7, a recta < é paralela ao
plano ! e, pelo mesmo resultado, existe uma recta =w § ! com E − =w e =w
paralela a <. Tendo em conta o axioma das paralelas 7.10, tem-se =w œ =,
portanto = § !. As rectas = e > são assim complanares pelo que, para
verificarmos que são efectivamente paralelas, basta verificar que =  > œ g.
Ora, se isso não acontecesse, existia F − =  >, e éramos conduzidos a um
absurdo pela unicidade da paralela a < que passa por F garantida pelo
axioma das paralelas 7.10.
…
7.12 (Transitividade recta, recta, plano) Se a recta = é paralela ao plano ! e a
recta < é paralela a =, então a recta < é também paralela ao plano !.16
Dem: Tendo em conta 7.7, existe uma recta > § ! tal que = seja paralela a > e
então < também é paralela a >, o que, pelo mesmo resultado, implica que < é
paralela a !.
…
7.13 (Recíproco de 7.2) Sejam < Á = duas rectas paralelas e ! o único plano que
as contém (único por não haver mais que um que contenha a primeira e um
ponto escolhido da segunda). Seja > uma recta tal que >  < œ ÖE× e >  = œ
ÖF×, para a qual se tem assim > § !. Seja ! um dos semiplanos de ! de
bordo > e notemos < e = as semirectas de < e de =, de origens E e F , que
estão contidas em ! e < e = as semirrectas opostas. Tem-se então
15É
claro que, se F − <, tembém existe uma única paralela = a < tal que F − =,
nomeadamente = œ <.
16É claro que, se duas rectas < e = são ambas paralelas a um plano !, < e = não têm que
ser paralelas.
– 88–
Û
Û
.(ÖEFß < ×)  .ÐÖFEß = ×Ñ œ #
(os ângulos internos do mesmo lado da secante são suplementares) e
Û
Û
.(ÖEFß < ×) œ .ÐÖFEß = ×Ñ
(os ângulos alternos internos são iguais).
t
A
a+
r+
s+
B
Dem: Tendo em conta o axioma a) em 3.17, podemos considerar uma semirrecta =w § ! de origem F tal que
Û
Û
.(ÖEFß < ×)  .ÐÖFEß =w ×Ñ œ #
e, sendo =w § ! a recta que contém =w , resulta de 7.2 que as rectas < e =w são
paralelas. Pelo axioma das paralelas, tem-se = œ =w , e portanto = œ =w , de
onde resulta que se tem efectivamente
Û
Û
.(ÖEFß < ×)  .ÐÖFEß = ×Ñ œ #.
Û
Û
Se repararmos que ÖFEß = × e ÖFEß = × são ângulos adjacentes, e portanto
Û
Û
que .ÐÖFEß = ×Ñ œ #  .ÐÖFEß = ×Ñ, a igualdade anterior implica que se
Û
Û
tem também .(ÖEFß < ×) œ .ÐÖFEß = ×Ñ.
…
7.14 (Corolário — recta paralela a uma recta perpendicular a uma recta)
Sejam < uma recta perpendicular à recta > e = uma recta paralela a < e
concorrente com >. Tem-se então que = é perpendicular a >.
Dem: Se < Á =, trata-se de um caso particular do resultado precedente, se
repararmos que o facto de a amplitude do ângulo ser " faz com que sejam
indiferentes quais as semirrectas que se consideram. Se < œ = o resultado é
trivial.
…
7.15 (Recta paralela a uma recta perpendicular a um plano) Sejam < uma
recta perpendicular a um plano ! e = uma recta paralela a <. Tem-se então
que = é perpendicular ao plano !.
Dem: A recta = não é paralela ao plano !, senão < seria paralela a !, por
7.12. Tem-se assim !  = œ ÖT × e podemos considerar a recta =w
perpendicular a ! tal que T − =w . Tendo em conta 7.9, =w tal como = é uma
– 89–
recta paralela a < passando por T , pelo que =w œ =, e portanto = é
perpendicular ao plano !.
…
7.16 (Recta paralela a um plano perpendicular a uma recta) Sejam ! um
plano perpendicular a uma recta < e = uma recta paralela ao plano ! e
concorrente com <. Tem-se então a resta = é perpendicular à recta <.
Dem: Sendo !  < œ ÖT ×, podemos considerar uma recta > paralela a =, tal
que T − > § ! (cf. 7.7). Como < é perpendicular a !, vem < perpendicular a
> e portanto, como = é paralela a > e concorrente com <, resulta de 7.14 que =
é perpendicular a <.
…
7.17 (Teorema do ângulo externo e soma dos ângulos internos) Seja
ÐEß Fß GÑ um triângulo. Tem-se então que a amplitude dos ângulos externos
w
w
de vértice G (cf. 4.18) é igual a .ÐE Ñ  .ÐF Ñ (a soma das amplitudes dos
ângulos internos não adjacentes).17 Em consequência, tem-se também
w
w
w
.ÐE Ñ  .ÐF Ñ  .ÐG Ñ œ #. 18
B
s+
A
b+
C
b-
Dem: Tendo em conta a igualdade da amplitude dos dois ângulos externos de
Û
vértice G , podemos considerar aquele que é determinado pela semirrecta GF
Û
e pela semirrecta , oposta à semirrecta , œ GE. Consideremos o
semiplano ! de bordo , œ EG que contém o ponto F e, tendo em conta o
axioma a) em 3.17, consideremos a semirrecta = de origem G contida em
w
! tal que .ÐÖ, ß = ×Ñ œ .ÐE Ñ. Uma vez que, tendo em conta 4.19,
w
Û
Û
.ÐÖ, ß = ×Ñ œ .ÐE Ñ  .ÐÖ, ß GF×Ñ, resulta de 3.18 que = § nÖ, ß GF×
e portanto, pelo axioma b) em 3.17,
Û
Û
(#)
.ÐÖ, ß GF×Ñ œ .ÐÖ, ß = ×Ñ  .ÐÖ= ß GF×Ñ.
Uma vez que os ângulos Ö, ß = × e Ö, ß = × são adjacentes, vem
17Comparar com 4.19 e 4.24.
18A soma dos ângulos internos
dum triângulo é #, comparar com 4.22.
– 90–
Û
Û Û
.ÐÖGEß = ×Ñ œ .ÐÖ, ß = ×Ñ œ #  .ÐÖ, ß = ×Ñ œ #  .ÐÖEGß EF×Ñ
pelo que, por 7.2, a recta EF é paralela à recta = que contém = . Como o
Û
ponto E, e portanto a semirrecta FE está no semiplano de ! de bordo FG
Û
oposto àquele que contém = (porque = § nÖ, ß GF×), deduzimos de 7.13
w
Û Û
Û
que .ÐÖ= ß GF×Ñ œ .ÐÖFEß FG×Ñ œ .ÐF Ñ. Substituindo na fórmula (#)
w
w
Û
acima, obtemos finalmente .ÐÖ, ß GF×Ñ œ .ÐE Ñ  .ÐF Ñ. A fórmula
w
w
w
Û
.ÐE Ñ  .ÐF Ñ  .ÐG Ñ œ # resulta agora de que os ângulos Ö, ß GF× e
w
Û
Ö, ß GF× œ G são adjacentes, e portanto verificam a igualdade
w
Û
…
.(G ) œ #  .ÐÖ, ß GF×Ñ.
7.18 Seja ÐEß Fß Gß HÑ um quadrilátero convexo. Tem-se então que a soma dos
seus ângulos é igual a %:
w
w
w
w
.ÐE Ñ  .Ð F Ñ  .Ð G Ñ  .ÐH Ñ œ %.
Dem: Seja ! o plano que contém o quadrilátero. O facto de F e G estarem
no mesmo semiplano de ! de bordo EH e de G e H estarem no mesmo
Û Û
semiplano de ! de bordo EF , diz-nos que H − nÖEFß EH×, tendo que H
não pertence a EF nem a EH, por termos um quadrilátero.
D
C
A
B
Podemos assim deduzir do axioma b) em 3.17 que se tem
w
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐE Ñ œ .ÐÖEFß EH×Ñ œ .ÐÖEFß EG×Ñ  .ÐÖEGß EH×Ñ.
Aplicando esta conclusão ao quadrilátero convexo ÐGß Hß Eß FÑ, obtemos
w
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐG Ñ œ .ÐÖGHß GF×Ñ œ .ÐÖGHß GE×Ñ  .ÐÖGEß GF×Ñ.
Por outro lado, aplicando 7.17 aos triângulos ÐEß Fß GÑ e ÐEß Hß GÑ, vemos
que
w
Û Û
Û Û
.ÐF Ñ  .ÐÖGEß GF×Ñ  .ÐÖEFß EG×Ñ œ #,
w
Û Û
Û Û
.ÐH Ñ  .ÐÖEGß EH×Ñ  .ÐÖGHß GE×Ñ œ #.
– 91–
Podemos assim escrever
w
w
w
w
.ÐE Ñ  .Ð F Ñ  .Ð G Ñ  .ÐH Ñ œ
Û Û
Û Û
Û Û
œ .ÐÖEFß EG×Ñ  .ÐÖEGß EH×Ñ  .ÐÖGHß GE×Ñ 
w
w
Û Û
œ  .ÐÖGEß GF×Ñ  .Ð F Ñ  .ÐH Ñ œ
œ #  # œ %.
…
7.19 (Caracterização dos paralelogramos pelo paralelismo) Sejam
Eß Fß Gß H quatro pontos distintos tais que as rectas EF e GH sejam
estritamente paralelas e as rectas FG e HE sejam estritamente paralelas.
Tem-se então que ÐEß Fß Gß HÑ é um paralelogramo.
Dem: O facto de EF e GH serem estritamente paralelas implica a existência
de um plano ! contendo os quatro pontos a o facto de cada terno de pontos
ÐFß Gß HÑ, ÐGß Hß EÑ, ÐHß Eß FÑ e ÐEß Fß GÑ ser não colinear, pelo que
ÐEß Fß Gß HÑ é um quadrilátero. Esse mesmo paralelismo implica que G e H
estão no mesmo semiplano de ! de bordo EF (se a recta GH tem
intersecção vazia com EF , o segmento ÒGß HÓ também não intersecta EF ) e
que E e F estão no mesmo semiplano de ! de bordo GH. Do mesmo modo,
o paralelismo das rectas FG e EH implica que E e H estão no mesmo
semiplano de ! de bordo FG e que F e G estão no mesmo semiplano de !
de bordo HE. Concluímos assim que o quadrilátero ÐEß Fß Gß HÑ é convexo.
D
C
A
B
O facto de termos um quadrilátero convexo implica, pela alínea b) de 6.4,
que F e H estão em semiplanos opostos de ! de bordo EG pelo que o
Û Û
paralelismo das rectas EF e GH implica, por 7.13, que .ÐÖEGß EF×Ñ œ
Û Û
.ÐÖGEß GH×Ñ e o paralelismo das rectas FG e HE implica, pelo mesmo
Û Û
Û Û
resultado, que .ÐÖEGß EH×Ñ œ .ÐÖGEß GF×Ñ. Podemos agora aplicar o
teorema ALA (cf. 4.15) para garantir que os triângulos ÐEß Fß GÑ e
ÐGß Hß EÑ são congruentes e portanto que lEHl œ lFGl e lEFl œ lGHl, o
que mostra que o quadrilátero convexo ÐEß Fß Gß HÑ é um paralelogramo. …
7.20 (Outra caracterização dos paralelogramos) Seja ÐEß Fß Gß HÑ um
quadrilátero convexo tal que as rectas EF e GH sejam paralelas e que
lEFl œ lGHl. Tem-se então que ÐEß Fß Gß HÑ é um paralelogramo.
Dem: O facto de termos um quadrilátero convexo implica, pela alínea b) de
6.4, que F e H estão em semiplanos opostos de ! de bordo EG pelo que o
Û Û
paralelismo das rectas EF e GH implica, por 7.13, que .ÐÖEGß EF×Ñ œ
Û Û
.ÐÖGEß GH×Ñ.
– 92–
D
C
A
B
Tendo em conta o axioma 4.13, os triângulos ÐEß Fß GÑ e ÐGß Hß EÑ são
congruentes e portanto tem-se também lEHl œ lFGl, o que nos permite
concluir que o quadrilátero convexo ÐEß Fß Gß HÑ é um paralelogramo.
…
7.21 (Ainda outra) Seja ÐEß Fß Gß HÑ um quadrilátero convexo tal que as rectas
w
w
EF e GH sejam paralelas e que .ÐH Ñ œ .ÐF Ñ. Tem-se então que
ÐEß Fß Gß HÑ é um paralelogramo.
D
C
A
B
Dem: O facto de termos um quadrilátero convexo implica, pela alínea b) de
6.4, que F e H estão em semiplanos opostos de ! de bordo EG pelo que o
Û Û
paralelismo das rectas EF e GH implica, por 7.13, que .ÐÖEGß EF×Ñ œ
Û Û
.ÐÖGEß GH×Ñ.Podemos então aplicar o teorema LAA (cf. 4.35) para
garantir que os triângulos ÐEß Fß GÑ e ÐGß Hß EÑ são congruentes e portanto
tem-se lEHl œ lFGl e lEFl œ lGHl, o que nos permite concluir que o
quadrilátero convexo ÐEß Fß Gß HÑ é um paralelogramo.
…
7.22 (E mais uma) Seja ÐEß Fß Gß HÑ um quadrilátero convexo tal que os ânw
w
w
w
gulos opostos sejam congruentes, isto é, .ÐE Ñ œ .ÐG Ñ e .ÐH Ñ œ .ÐF ÑÞ
Tem-se então que ÐEß Fß Gß HÑ é um paralelogramo.
D
C
A
B
w
w
w
w
Dem: Tendo em conta 7.18, .ÐE Ñ  .ÐF Ñ  .ÐG Ñ  .ÐH Ñ œ %, portanto
w
w
w
w
#.ÐE Ñ  #.ÐH Ñ œ %, ou seja, .ÐE Ñ  .ÐH Ñ œ #. Uma vez que, por
termos um quadrilátero convexo, F e G estão no mesmo semiplano do plano
do quadrilátero com bordo EH, resulta de 7.13 que as rectas EF e GH são
paralelas. Aplicando esta conclusão ao quadrilátero convexo ÐFß Gß Hß EÑ,
– 93–
que verifica as mesmas hipóteses, vemos que as rectas EH e FG também
são paralelas pelo que, por 7.19, ÐEß Fß Gß HÑ é um paralelogramo.
…
Vamos terminar esta secção examinando mais uma noção de paralelismo,
agora a de paralelismo de dois planos.
7.23 Diz-se que dois planos ! e " são estritamente paralelos se !  " œ g e que
eles são paralelos se forem estritamente paralelos ou ! œ " .
7.24 Sejam ! e " dois planos paralelos. Tem-se então:
a) Se < § ! é uma recta, então < é paralela a " ;
b) Se = é uma recta paralela a " e =  ! Á g, então = § !Þ
Dem: 1) Suponhamos ! œ " . Se < § !, tem-se < § " , e portanto < é paralela
a " . Se = é paralela a " e =  ! Á g, então = é paralela a !, e portanto = § !.
2) Suponhamos que ! é estritamente paralelo a " , portanto que !  " œ g.
Se < § ! é uma recta, tem-se também <  " œ g, e portanto < é paralela a " .
Seja agora = uma recta paralela a " tal que exista T − =  !. Tem-se T Â " ,
Î " , o que implica que =  " œ g. Fixemos um ponto arbitrário
portanto = §
U − " e seja # o plano que contém = e U. Tem-se que # é distinto de ! e de
" , uma vez que T Â " e U Â ! e tem-se T − #  ! e U − #  " , pelo que
existem rectas > e ? tais que > œ #  ! e ? œ #  " .
Tanto = como > são rectas complanares com ? (plano # ) e que não
intersectam ?, a primeira por ser =  " œ g e a segunda por ser > § !, e
portanto também >  " œ g. Uma vez que T − =  >, o axioma das paralelas
(cf. 7.10) garante que = œ >, donde = § !, como queríamos.
…
– 94–
7.25 (Corolário) Sejam ! e " planos paralelos e T − !. Tem-se então que ! é a
união de todas as rectas = paralelas a " tais que T − =.
Dem: Tendo em conta a alínea b) de 7.24, cada recta = paralela a " tal que
T − = está contida em !. Se U − !, podemos considerar um recta < § ! tal
que T ß U − < (a recta T U se T Á U e qualquer recta de ! contendo T se
T œ U) e então, pela alínea a) de 7.24, < é paralela a " .
…
7.26 (Condição suficiente de paralelismo de planos) Sejam ! e " dois planos
tais que existem duas rectas concorrentes <ß = § !, ambas paralelas a " .
Tem-se então que ! e " são planos paralelos.
Dem: Seja ÖT × œ <  =.
Comecemos por examinar o caso em que T − " : Uma vez que < e =
intersectam " em T , tem que ser < § " e = § " pelo que, tendo em conta a
unicidade de um plano contendo duas rectas concorrentes, vem ! œ " , e
portanto ! e " são paralelos.
Î "e
Podemos assim supor, a partir de agora, que T Â " . Tem-se assim < §
Î " , pelo que <  " œ g e =  " œ g. Queremos mostrar que se tem ainda
=§
! e " paralelos para o que vamos supor, por absurdo que não o eram,
portanto que !  " œ >, para uma certa recta > (cf. a alínea d) de 1.7). Vinha
então <  > œ g e =  > œ g pelo que < e = eram duas rectas concorrentes
ambas paralelas a > (estão todas contidas em !). Chegámos assim a um
absurdo, tendo em conta o axioma das paralelas (cf. 7.10).
…
7.27 (Transitividade recta, plano, plano) Sejam ! e " dois planos paralelos. Se
< é uma recta paralela ao plano !, então < é também paralela ao plano " .
Dem: Tendo em conta 7.7, existe uma recta = § ! tal que < seja paralela a =.
Tendo em conta a alínea a) de 7.24, = é paralela a " e daqui decorre, por
7.12, que < é paralela a " .
…
7.28 (Transitividade do paralelismo de planos) A relação de paralelismo entre
planos é uma relação de equivalência.
Dem: A relação é trivialmente reflexiva e simétrica pelo que nos resta
verificar a tansitividade. Suponhamos então que ! é paralelo a " e que " é
paralelo a # . Consideremos três pontos não colineares Eß Fß G em ! e, a
partir daí, as rectas concorrentes < œ EF § ! e = œ EG § !. Tendo em
conta a alínea a) de 7.24, < e = são paralelas a " e portanto, tendo em conta
7.27, também são paralelas a # . Podemos agora deduzir de 7.26 que ! é
paralelo a # .
…
7.29 (Existência e unicidade de um plano paralelo passando por um ponto)
Sejam " um plano e T um ponto. Existe então um, e um só, plano ! paralelo
a " e tal que T − !.
Dem: A unicidade é uma consequência de 7.25: o plano ! não pode deixar
de ser a união de todas as rectas paralelas a " que passam por T .
Consideremos agora três pontos não colineares Eß Fß G em " e sejam < e = as
rectas que passam por T e são respectivamente paralelas a EF e a EG ,
rectas que são distintas, e portanto concorrentes, sem o que EF e EG eram
– 95–
paralelas a < distintas e passando por E. Sendo ! o plano que contém < e =,
tem-se T − ! e ! é paralelo a " , tendo em conta 7.26.
…
7.30 (Dois planos perpendiculares a uma recta) Sejam ! e " dois planos
perpendiculares a uma recta <. Tem-se então que ! e " são paralelos.
Dem: Seja !  < œ ÖT ×. Sejam T w ß T ww − ! tais que T ß T w ß T ww seja não colineares. Tem-se então que as rectas T T w e T T ww são rectas de ! perpendiculares a < pelo que, tendo em conta 7.8, as rectas T T w e T T ww são ambas
paralelas ao plano " . Pdemos agora deduzir de 7.26 que os planos ! e " são
paralelos.
…
7.31 (Plano paralelo a um plano perpendicular a uma recta) Sejam ! um
plano perpendicular a uma recta < e " um plano paralelo a !. Tem-se então
que o plano " é perpendicular à recta <.
Dem: A recta < não é paralela ao plano " , senão seria também paralela ao
plano ! (cf. 7.27). Tem-se portanto <  " œ ÖT ×, para um certo ponto T , e,
tendo em conta 5.21, podemos considerar o plano " w perpendicular a < tal que
T − " w . Tem-se então que ! e " w são dois planos perpendiculares à recta <
pelo que, por 7.30, ! e " w são planos paralelos e daqui decorre, por 7.28, que
os planos " e " w são paralelos. Uma vez que T − "  " w segue-se que " œ " w ,
e portanto " é perpendicular a <.
…
8. Teorema de Thales e semelhança
8.1 (Lema) Seja ÐEß Fß GÑ um triângulo, seja \ − ÒEß FÓ, distinto de E e de F .
Tem-se então:
1) Existe um único ] − ÒEß GÓ tal que a recta \] seja paralela a FG e então
Û Û
Û Û
] é diferente de E e de G e .ÐÖGFß GE×Ñ œ .ÐÖ] \ß ] E×Ñ.
A
X
Y
C
B
2) Existe um único ^ − ÒGß FÓ tal que a recta ] ^ seja paralela a EF e então
Û Û
Û Û
^ é diferente de F e G e .ÐÖEFß EG×Ñ œ .ÐÖ] ^ß ] G×Ñ.
3) ÐFß ^ß ] ß \Ñ é um paralelogramo, e portanto lF^l œ l\] l e lF\l œ
l^] l. Em particular l\] l  lFGl.
– 96–
A
Y
X
B
Z
C
Dem: 1) Seja ! o plano que contém Eß Fß G . Uma vez que \ Â FG , por ser
EF  FG œ ÖF×, vemos que a única recta <, paralela a FG e contendo \ , é
estritamente paralela a FG , em particular F e G não pertencem a <. Tem-se
também E  <, sem o que < œ EF que não é estritamente paralela a FG .
Podemos assim aplicar o teorema de Pasch 2.17 para garantir que <, que não
intersecta ÒFß GÓ, por ser estritamente paralela a FG , intersecta ÒEß GÓ num
ponto ] , forçosamente distinto de E e de G . Por outras palavras, ] é o único
ponto de ÒEß GÓ tal que \] seja a recta <, isto é, tal que \] seja paralela a
FG . O facto de \ e F estarem no mesmo semiplano de ! de bordo EG
implica, por 7.13, que
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐÖGFß GE×Ñ œ .ÐÖGFß G] ×Ñ œ #  .ÐÖ] \ß ] G×Ñ,
Û Û
Û Û
portanto, considerando o ângulo adjacente, .ÐÖGFß GE×Ñ œ .ÐÖ] \ß ] E×Ñ.
2) Aplicando a primeira parte da conclusão de 1) ao triângulo ÐGß Eß FÑ,
garantimos a existência de um único ^ − ÒGß FÓ tal que a recta ] ^ seja
paralela a EF e então ^ é diferente de F e G . Aplicando a segunda parte da
conclusão de 1) ao triângulo ÐGß Fß EÑ, e uma vez que ] é o único elemento
Û Û
de ÒEß GÓ tal que ^] seja paralelo a FE, concluímos que .ÐÖEFß EG×Ñ œ
Û Û
.ÐÖ] ^ß ] G×Ñ.
3) Tendo em conta 7.19, ÐFß ^ß ] ß \Ñ é um paralelogramo, e portanto
lF^l œ l\] l e lF\l œ l^] l. Em particular, tem-se
lFGl œ lF^l  l^Gl œ l\] l  l^Gl,
…
donde l\] l  lFGl.
8.2 (Lema) Sejam ÐEß Fß GÑ um triângulo e \ − ÒEß FÓ tal que, para um certo
natural 5 #, lEFl œ 5lE\l. Seja ] − ÒEß GÓ o ponto definido pela
condição de \] ser paralela a FG (cf. o lema 8.1). Tem-se então
lEGl œ 5lE] l, lFGl œ 5l\] l.
Dem: 1) Vamos fazer a demonstração por indução em 5 , começando por
examinar o caso em que 5 œ #.
– 97–
A
Y
X
C
B
Tendo em conta o lema 8.1, podemos considerar o ponto ^ − ÒFß GÓ tal que
] ^ seja paralela a EF , o qual é distinto de F e de G , e tem-se lF\l œ
l^] l, lF^l œ l\] l,
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐÖG^ß G] ×Ñ œ .ÐÖGFß GE×Ñ œ .ÐÖ] \ß ] E×Ñ,
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐÖE\ß E] ×Ñ œ .ÐÖEFß EG×Ñ œ .ÐÖ] ^ß ] G×Ñ.
O facto de se ter
#lE\l œ lEFl œ lE\l  lF\l
implica que l^] l œ lF\l œ lE\l. Podemos agora aplicar o teorema 4.35
para garantir que os triângulos ÐEß \ß ] Ñ e Ð] ß ^ß GÑ são congruentes,
donde l] Gl œ lE] l e l^Gl œ l\] l œ lF^l. Podemos daqui deduzir que
lEGl œ lE] l  l] Gl œ #lE] l e lFGl œ lF^l  l^Gl œ #l\] l, como
queríamos.
2) Vamos agora supor o resultado verdadeiro para um certo 5 # e que se
tem lEFl œ Ð5  "ÑlE\l.
A
X
Y
C'
B'
B
C"
C
Consideremos o ponto F w − ÒEß FÓ para o qual se tem lEF w l œ 5lE\l (cf. a
alínea d) de 1.19) e os pontos ] ß G w − ÒEß GÓ definidos pela condição de \]
e F w G w serem rectas paralelas a FG . Consideremos o ponto G ww − ÒFß GÓ
definido pela condição de a recta G w G ww ser paralela a EF . Tendo em conta o
– 98–
lema 8.1, tem-se lFF w l œ lG ww G w l, lFG ww l œ lF w G w l,
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐÖGG ww ß GG w ×Ñ œ .ÐÖGFß GE×Ñ œ .ÐÖ] \ß ] E×Ñ,
Û
Û
Û Û
Û Û
.ÐÖE\ß E] ×Ñ œ .ÐÖEFß EG×Ñ œ .ÐÖG w G ww ß G w G×Ñ.
Uma vez que
Ð5  "ÑlE\l œ lEFl œ lEF w l  lF w Fl œ 5lE\l  lF w Fl,
deduzimos que lE\l œ lFF w l œ lG ww G w l. Deduzimos de 4.35 que os triângulos ÐEß \ß ] Ñ e ÐG w ß G ww ß GÑ são congruentes, e portanto que lE] l œ lG w Gl e
l\] l œ lG ww Gl. Por outro lado, pela hipótese de indução, tem-se
lEG w l œ 5lE] l e lF w G w l œ 5l\] l. Podemos finalmente concluir que
lEGl œ lEG w l  lG w Gl œ 5lE] l  lE] l œ Ð5  "ÑlE] l,
lFGl œ lFG ww l  lG ww Gl œ lF w G w l  lG ww Gl œ 5l\] l  l\] l œ Ð5  "Ñl\] l ,
…
o que termina a demonstração por indução.
8.3 (Versão interior de Thales) Seja ÐEß Fß GÑ um triângulo e seja \ − ÒEß FÓ,
distinto de E. Existe então um único ] − ÒEß GÓ tal que a recta \] seja
paralela a FG , e, sendo +  ! o definido por lE\l œ +lEFl, vem + Ÿ ",
Û Û
Û Û
lE] l œ +lEGl, l\] l œ +lFGl, .ÐÖFGß FE×Ñ œ .ÐÖ\] ß \E×Ñ e
Û Û
Û Û
.ÐÖGFß GE×Ñ œ .ÐÖ] \ß ] E×Ñ.
A
X
Y
C
B
Dem: 1) O facto de se ter +  " é uma consequência imediata de se ter
!  lE\l Ÿ lEFl (cf. a alínea d) de 1.19). No caso em que \ œ F , e
portanto + œ ", G é o único ] − ÒEß GÓ tal que \] é paralelo a FG , uma
vez que FG  EG œ ÖG×, e é trivial que ] œ G verifica todas as condições
do enunciado.
Podemos assim supor em seguida \ Á F , portanto que lE\l  lEFl e que
+  ".
2) A existência e unicidade de ] − ÒEß GÓ tal que \] seja paralela a FG foi
estabelecida no lema 8.1 tal como o foi o facto de ] ser diferente de E e de
Û Û
Û Û
G e a igualdade .ÐÖGFß GE×Ñ œ .ÐÖ] \ß ] E×Ñ. Aplicando a mesma con– 99–
clusão ao triângulo ÐEß Gß FÑ e reparando que \ é o único elemento de
ÒEß FÓ tal que ] \ seja paralela a GF , concluímos que se tem também a
Û Û
Û Û
igualdade .ÐÖFGß FE×Ñ œ .ÐÖ\] ß \E×Ñ.
3) Resta-nos mostrar as igualdades lE] l œ +lEGl, l\] l œ +lFGl. Faremos
essa prova nesta alínea no caso particular em que !  +  " é racional,
portanto da forma + œ :; , onde : e ; são naturais com " Ÿ :  ; , podendo já
afastar-se o caso em que : œ ", caso em que a conclusão está contida no
lema 8.2. Sejam ^ − ÒEß \Ó o ponto para o qual se tem lE^l œ :" lE\l,
portanto também lE^l œ "; lEFl e [ − ÒEß ] Ó o único ponto tal que ^[
seja paralela a.\] , e portanto a FG .
A
W
Z
Y
X
C
B
Aplicando duas vezes o lema 8.2, concluímos que se tem lE] l œ :lE[ l,
l\] l œ :l^[ l, lEGl œ ;lE[ l e lFGl œ ;l^[ l, donde
"
lE] l œ : ‚ lEGl œ +lEGl,
;
"
l\] l œ : ‚ lFGl œ +lFGl.
;
4) Vamos enfim examinar o caso mais geral em que !  +  " é um real
arbitrário. Sejam +w e +ww racionais arbitrários tais que !  +w  +  +ww  ".
A
Y'
X'
X
X"
Y
Y"
C
B
Sejam \ w ß \ ww − ÒEß FÓ, distintos de E e de F os pontos definidos por
lE\ w l œ +w lEFl e lE\ ww l œ +ww lEFl, pontos para os quais se tem assim
– 100–
\ w − ÒEß \Ó e \ − ÒEß \ ww Ó (cf. a alínea d) de 1.19). Sejam ] w ß ] ww − ÒEß GÓ
os únicos pontos para os quais as rectas \ w ] w e \ ww ] ww são paralelas a FG ,
pontos para os quais se tem ] w − ÒEß ] Ó (o único ponto ] w − ÒEß ] Ó tal que
\ w ] w é paralela a \] é um ponto de ÒEß GÓ tal que \ w ] w é paralela a FGÑ e
] − ÒEß ] ww Ó (justificação análoga). Tem-se assim lE] w l  lE] l  lE] ww l e,
tendo em conta o lema 8.1, l\ w ] w l  l\] l  l\ ww ] ww l. Tendo em conta o
caso particular tratado em 3), tem-se lE] w l œ +w lEFl, l\ w ] w l œ +w lFGl,
lE] ww l œ +ww lEFl e l\ ww ] ww l œ +ww lFGl, pelo que sendo ,ß - os números reais
definidos por lE] l œ ,lEFl e l\] l œ -lFGl, tem-se +w  ,  +ww e
+w  -  +ww . Tendo em conta a arbitrariedade dos racionais +w e +ww ,
…
concluímos finalmente que , œ + e - œ +.19
8.4 (Versão completa do recíproco de Thales) Seja ÐEß Fß GÑ um triângulo.
Û
Û
Sejam \ − EF e ] − EG tais que, para um certo +  !, lE\l œ +lEFl e
lE] l œ +lEGl. Tem-se então que a recta \] é paralela à recta FG .
Dem: Comecemos por examinar o caso em que !  + Ÿ ", e portanto
\ − ÒEß FÓ e ] − ÒEß GÓ são diferentes de E. Tendo em conta 8.3, existe um
único ] w − ÒEß GÓ tal que a recta \] w seja paralela a FG e então lE] w l œ
+lEGl œ lE] l, o que implica, por ] e ] w estarema na mesma semirrecta de
origem E, que ] w œ ] , e portanto a recta \] é paralela a FG .
Vejamos agora o que se passa no caso em que +  ". Uma vez que Eß \ß ]
são não colineares, podemos considerar o triângulo ÐEß \ß ] Ñ, para o qual se
Û
Û
tem F − E\ , G − E] , lEFl œ +" lE\l e lEGl œ +" lE] l, onde !  +"  ",
pelo que, aplicando o caso estudado anteriormente, concluímos que a recta
FG é paralela à recta \] .
…
A
C
B
X
Y
Û
8.5 (Versão completa de Thales) Seja ÐEß Fß GÑ um triângulo e seja \ − EF ,
Û
distinto de E. Existe então um único ] − EG tal que a recta \] seja
paralela a FG , e, sendo +  ! o definido por lE\l œ +lEFl, vem
Û Û
Û Û
lE] l œ +lEGl, l\] l œ +lFGl, .ÐÖFGß FE×Ñ œ .ÐÖ\] ß \E×Ñ e
19Um
número real que é menor que todos os racionais maiores que + e maior que todos os
racionais menores que + tem que ser +.
– 101–
Û Û
Û Û
.ÐÖGFß GE×Ñ œ .ÐÖ] \ß ] E×Ñ.
Dem: O caso em que \ − ÒEß FÓ ou, o que é o mesmo, aquele em que + Ÿ ",
já foi estabelecido em 8.3 (em rigor aí apenas se afirmou a unicidade de ]
em ÒEß GÓ, mas não pode haver mais que um ] − EG tal que E] seja
paralela a FG ). Resta examinar o caso em que \ Â ÒEß FÓ, isto é, em que
Û
+  ", caso em que se tem F − ÒEß \Ó e lEFl œ +" lE\l. Sendo ] − EG o
definido por lE] l œ +lEGl, resulta de 8.4 que a recta \] é paralela a FG
e, é claro que ] é mesmo o único elemento da recta EG com esta
Û
propriedade, em particular é o único elemento de EG para o qual isso
acontece. É claro que G é também o único elemento de E] tal que FG seja
paralela a \] , pelo que, aplicando 8.3 ao triângulo ÐEß \ß ] Ñ e ao ponto
Û Û
Û Û
F − ÒEß \Ó
concluímos
que
.ÐÖ\] ß \E×Ñ œ .ÐÖFGß FE×Ñ
e
Û Û
Û Û
.ÐÖ] \ß ] E×Ñ œ .ÐÖGFß GE×Ñ.
…
8.6 Diz-se que dois triângulos ÐEß Fß GÑ e ÐEw ß F w ß G w Ñ são semelhantes se se
w
w
w
w
w
w
tem .ÐE Ñ œ .ÐEw Ñ, .ÐF Ñ œ .ÐF w Ñ e .ÐG Ñ œ .ÐG w Ñ e existe +  ! tal
que lEw F w l œ +lEFl, lF w G w l œ +lFGl e lG w Ew l œ +lGEl. Diz-se então que +
é a razão de semelhança (do primeiro triângulo para o segundo).
8.7 A relação de semelhnça entre triângulos é uma relação de equivalência. Mais
precisamente:
1) Os triângulos ÐEß Fß GÑ e ÐEß Fß GÑ são semelhantes, com razão de
semelhança ".
2) Se ÐEß Fß GÑ e ÐEw ß F w ß G w Ñ são semelhantes, com razão de sememelhança
+  !, então ÐEw ß F w ß G w Ñ e ÐEß Fß GÑ são semelhantes, com razão de semelhança +" .
3) ÐEß Fß GÑ e ÐEw ß F w ß G w Ñ são semelhantes, com razão de semelhança +, e
ÐEw ß F w ß G w Ñ e ÐEww ß F ww ß G ww Ñ são semelhantes, com razão de semelhança , ,
então ÐEß Fß GÑ e ÐEww ß F ww ß G ww Ñ são semelhantes, com razão de semelhança
+,.
Dem: Trata-se de uma consequência imediata da definição.
…
8.8 Dois triângulos ÐEß Fß GÑ e ÐEw ß F w ß G w Ñ são congruentes (cf. a definição
4.11) se, e só se, são semelhantes, com razão de semelhança ".
8.9 (Critério LAL de semelhança) Sejam ÐEß Fß GÑ e ÐEw ß F w ß G w Ñ dois triânw
w
gulos tais que .ÐE Ñ œ .ÐEw Ñ e que exista +  ! tal que lEw F w l œ +lEFl e
w w
lE G l œ +lEGl. Tem-se então que os dois triângulos são semelhantes, com
razão de semelhança +.
Û
Û
Dem: Consideremos \ − EF e ] − EG tais que
lE\l œ lEw F w l œ +lEFl, lE] l œ lEw G w l œ +lEGl.
Tendo em conta o axioma LAL (cf. 4.13), os triângulos ÐEß \ß ] Ñ e
ÐEw ß F w ß G w Ñ são congruentes. Tendo em conta 8.4, a recta \] é paralela à
recta FG e podemos então aplicar 8.5 para garantir que
– 102–
lF w G w l œ l\] l œ +lFGl,
w
w
Û Û
Û Û
.ÐF w Ñ œ .ÐÖ\] ß \E×Ñ œ .ÐÖFGß FE×Ñ œ .ÐF Ñ,
w
w
Û Û
Û Û
.ÐG w Ñ œ .ÐÖ] \ß ] E×Ñ œ .ÐÖGFß GE×Ñ œ .ÐG Ñ,
…
donde o resultado.
8.10 (Critério AA de semelhança) Sejam ÐEß Fß GÑ e ÐE ß F ß G Ñ dois triânw
w
w
w
gulos tais que .ÐE Ñ œ .ÐEw Ñ e .ÐF Ñ œ .ÐF w Ñ. Tem-se então que os dois
triângulos são semelhantes.
Û
Dem: Seja \ − EF tal que lE\l œ lEw F w l. Tendo em conta 8.5, podemos
Û
considerar ] − EG tal que a recta \] seja paralela a FG , e, sendo +  ! o
definido por lE\l œ +lEFl, vem lE] l œ +lEGl, l\] l œ +lFGl,
Û Û
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐÖFGß FE×Ñ œ .ÐÖ\] ß \E×Ñ e .ÐÖGFß GE×Ñ œ .ÐÖ] \ß ] E×Ñ. As
igualdades lE\l œ lEw F w l,
w
w
Û Û
.ÐÖE\ß E] ×Ñ œ .ÐE Ñ œ .ÐEw Ñ,
w
w
Û Û
Û Û
.ÐÖ\] ß \E×Ñ œ .ÐÖFGß FE×Ñ œ .ÐF Ñ œ .ÐF w Ñ,
w
w
w
implicam, pelo teorema ALA (cf. 4.15), que os triângulos ÐEß \ß ] Ñ e
ÐEw ß F w ß G w Ñ são congruentes. Tem-se assim
w
w
Û
Û
Û Û
Û Û
.ÐG Ñ œ .ÐÖGFß GE×Ñ œ .ÐÖ] \ß ] E×Ñ œ .ÐÖG w F w ß G w Ew ×Ñ œ .ÐG w Ñ,
lEw F w l œ lE\l œ +lEFl,
lEw G w l œ lE] l œ +lEGl,
lF w ß G w l œ l\] l œ +lFGl,
o que mostra que os dois triângulos são semelhantes.
…
8.11 (Critério LLL de semelhança) Sejam ÐEß Fß GÑ e ÐEw ß F w ß G w Ñ dois triângulos tais que, para um certo +  !, lEw F w l œ +lEFl, lF w G w l œ +lFGl e
lG w Ew l œ +lGEl. Tem-se então que os dois triângulos são semelhantes.
Dem: Fixemos um ponto arbitrário Eww e duas semirrecta < e = de origem
w
Eww tais que .Ð< ß = Ñ œ .ÐE Ñ. Consideremos pontos F ww − < e G ww − =
tais que lEww F ww l œ lEw F w l œ +lEFl e lEww G ww l œ lEw G w l œ +lEGl. Tendo em
conta o critério LAL de semelhança (cf. 8.9), os triângulos ÐEß Fß GÑ e
ÐEww ß F ww ß G ww Ñ são semelhantes, em particular tem-se também lF ww G ww l œ
+lFGl œ lF w G w l. Tendo em conta o teorema LLL (cf. 4.34), vemos que os
triângulos ÐEw ß F w ß G w Ñ e ÐEww ß F ww ß G ww Ñ são congruentes, em particular
semelhantes e daqui decorre, por transitividade, que ÐEß Fß GÑ e ÐEw ß F w ß G w Ñ
são semelhantes.
…
w
8.12 (Teorema de Pitágoras) Seja ÐEß Fß GÑ um triângulo tal que .ÐE Ñ œ "
(um triângulo rectângulo em E). Tem-se então
– 103–
lFGl# œ lEFl#  lEGl#
(a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa)20.
Dem: Para simplificar o formalismo, vamos fixar . − Y , reparando que nos
bastará provar que se tem .ÐFß GÑ# œ .ÐEß FÑ#  .ÐEß GÑ# , isto é,
+# œ - #  , # , onde, como é habitual, se nota + œ .ÐFß GÑ, - œ .ÐEß FÑ e
, œ .ÐEß GÑ.
w
w
w
w
w
Uma vez que .ÐE Ñ  .ÐF Ñ  .ÐG Ñ œ #, vem .ÐF Ñ  .ÐG Ñ œ ", em
w
w
particular .ÐF Ñ  " e .ÐG Ñ  ". Consideremos o pé da perpendicular H
de E para a recta FG (cf. 4.28) e reparemos que, tendo em conta 4.33,
tem-se H − ÒFß GÓ, com H diferente de F e de G . Notemos B œ .ÐFß HÑ e
C œ .ÐHß GÑ e reparemos que, por ser H − ÒFß GÓ, resulta de 1.25 que
+ œ .ÐFß GÑ œ .ÐFß HÑ  .ÐHß GÑ œ B  C.
A
c
B
x1
1
b
1
D
a
y
C
Reparemos agora que, tendo em conta 8.10, os triângulos ÐHß Fß EÑ e
ÐHß Eß GÑ são ambos semelhantes ao triângulo ÐEß Fß GÑ, no primeiro caso
por ser
Û Û
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐÖHFß HE×Ñ œ " œ .ÐÖEFß EG×Ñ, ÖFHß FE× œ ÖFEß FG×,
e no segundo caso por ser
Û Û
Û Û
Û Û
Û Û
.ÐÖHEß HG×Ñ œ " œ .ÐÖEFß EG×Ñ, ÖGHß GE× œ ÖGEß GF×.
Da primeira semelhança deduzimos que B- œ +- a da segunda que
Deduzimos destas duas igualdades que - # œ B+ e , # œ C+, donde
C
,
œ +, .
- #  , # œ B+  C+ œ ÐB  CÑ+ œ +# ,
…
como queríamos.
w
8.13 (Corolário) Seja ÐEß Fß GÑ um triângulo tal que .ÐE Ñ  " (respectivaw
mente .ÐE Ñ  "). Tem-se então lFGl#  lEFl#  lEGl# (respectivamente
20Lembrar
que, por exemplo, lFGl é a família dos .ÐFß GÑ, indexada nas distâncias
. − Y . A notação lFGl# refere-se asim, naturalmente à família dos .ÐFß GÑ# .
Analogamente, o segundo membro é uma soma de duas famílias indexadas em . − Y e,
como tal, é naturalmente uma família indexada em . − Y .
– 104–
lFGl#  lEFl#  lEGl# ). Em consequência, se ÐEß Fß GÑ é um triângulo tal
w
que lFGl# œ lEFl#  lEGl# , então .ÐE Ñ œ ".
Dem: Escolhamos um ponto Ew arbitrário e duas semirrectas < e = de
origem Ew tais que .Ð< ß = Ñ œ ". Escolhamos pontos F w − < e G w − =
tais que lEw F w l œ lEFl e lEw G w l œ lEGl e reparemos que, por 8.12, tem-se
w
w
lF w G w l# œ lEw F w l#  lEw G w l# . Supondo que .ÐE Ñ  " œ .ÐEw Ñ (respectivaww
w
mente que .ÐE Ñ  " œ .ÐE Ñ), resulta de 4.44 que lFGl  lF w G w l (respectivamente que lFGl  lF w G w l) e portanto
lFGl#  lF w G w l# œ lEw F w l#  lEw G w l# œ lEFl#  lEGl#
(respectivamente
lFGl#  lF w G w l# œ lEw F w l#  lEw G w l# œ lEFl#  lEGl# ).
Por fim, se ÐEß Fß GÑ é um triângulo tal que lFGl# œ lEFl#  lEGl# , então,
w
w
pelo que vimos atrás, não pode ser .ÐE Ñ  " nem .ÐE Ñ  ", e portanto
w
vem .ÐE Ñ œ ".
…
9. Outros resultados sobre isometrias; Translações e vectores
9.1 Seja S − X fixado e consideremos a inversão relativamente a S,
38@S À X Ä X, que sabemos ser uma isometria (cf. 5.12 e 5.13). Tem-se então:
a) Para cada recta < § X , tem-se que = œ 38@S Ð<Ñ é uma recta paralela a <,
tendo-se = œ < se, e só se, S − <.
b) Para cada plano ! § X , tem-se que " œ 38@S Ð!Ñ é um plano paralelo a !,
tendo-se " œ ! se, e só se, S − !.
Dem: a) Seja < § X uma recta. Já sabemos que = œ 38@S Ð<Ñ é uma recta (cf.
5.4). No caso em que S − <, podemos considerar T Á S em < e então, por
construção 38@S ÐT Ñ − < pelo que a recta =, contendo os pontos distintos
S œ 38@S ÐSÑ e 38@S ÐT Ñ tem que ser igual a <, em particular paralela a <.
Resta-nos mostrar que, se S Â <, < e = são estritamente paralelas. Em
primeiro lugar, sendo T e U pontos distintos de <, podemos considrar o
plano ! que contém Sß T ß U e, por construção, vem ainda
38@S ÐT Ñß 38@S ÐUÑ − !, o que implica que as rectas < e =, tendo cada uma
um par de pontos distintos em !, estão contidas em !, e portanto são
complanares. Note-se que se tem ainda S Â =, sem o que, lembrando que
38@S ‰ 38@S œ M.X ,
S œ 38@S ÐSÑ − 38@S Ð=Ñ œ 38@S Ð38@S Ð<ÑÑ œ <.
Se < e = não fossem estritamente paralelas, existia V − <  = e então, por
construção,
– 105–
38@S ÐVÑ − SV  38@S Ð<Ñ œ SV  = œ ÖV×,
o que era absurdo, uma vez que V Á S e S é trivialmente o único ponto fixo
de 38@S .
b) Seja ! § X um plano. Já sabemos que " œ 38@S Ð!Ñ é um plano (cf. 5.6).
No caso em que S − !, podemos considerar T ß U − ! tais que Sß T ß U
sejam não colineares (dados três pontos não colineares, basta tomar um deles,
T , que seja diferente de S e depois um segundo, U, que não pertença à recta
ST ) e então, considerando as rectas concorrentes < œ ST e = œ SU,
contidas em !, tem-se que " œ 38@S Ð!Ñ contém as rectas concorrentes
< œ 38@S Ð<Ñ e = œ 38@S Ð=Ñ, pelo que " œ !, em particular " é paralelo a !.
Resta-nos mostrar que, se S Â !, ! e " são estritamente paralelos. Note-se
que se tem ainda S  " , sem o que, lembrando que 38@S ‰ 38@S œ M.X ,
S œ 38@S ÐSÑ − 38@S Ð" Ñ œ 38@S Ð38@S Ð!ÑÑ œ !.
Se ! e " não fossem estritamente paralelos, existia V − !  " e então, por
construção,
38@S ÐVÑ − SV  38@S Ð!Ñ œ SV  " œ ÖV×,
o que era absurdo, uma vez que V Á S e S é o único ponto fixo de 38@S . …
9.2 (Isometrias de uma recta com um ponto fixo) Sejam < § X uma recta e
FÀ < Ä X uma aplicação isométrica tal que FÐ<Ñ § < e que, para um certo
S − <, FÐSÑ œ S. Tem-se então que, ou F œ M.< , ou F é a restrição a < da
inversão 38@S .
Em particular, se existir T − <, com T Á S, tal que FÐT Ñ œ T (se existirem
dois pontos fixos), tem-se F œ M.< .
Dem: Tendo em conta 5.4, FÐ<Ñ é uma recta, e portanto FÐ<Ñ œ <. Tendo em
conta 5.5, sendo < e < as duas semirrectas de < de origem S, FÐ< Ñ e
FÐ< Ñ são semirrectas de < œ FÐ<Ñ de origem S œ FÐSÑ, pelo que duas
coisas podem acontecer: Ou FÐ< Ñ œ < e FÐ< Ñ œ < , ou FÐ< Ñ œ < e
FÐ< Ñ œ < . Em qualquer dos casos, para cada \ − <, tem-se
lFÐ\ÑSl œ lFÐ\ÑFÐSÑl œ l\Sl.
Vejamos o que sucede no caso em que FÐ< Ñ œ < e FÐ< Ñ œ < . Nesse
caso, para cada \ Á S em <, FÐ\Ñ pertence à mesma semirrecta de origem
S que \ , pelo que, por ser lFÐ\ÑSl œ l\Sl, tem-se FÐ\Ñ œ \ , o que
mostra que F œ M.< .
Vejamos o que sucede no caso em que FÐ< Ñ œ < e FÐ< Ñ œ < . Nesse
caso, para cada \ Á S em <, FÐ\Ñ pertence à semirrecta de origem S
oposta à que contém \ , pelo que, por ser lFÐ\ÑSl œ l\Sl, tem-se
FÐ\Ñ œ 38@S Ð\Ñ, o que mostra que F é a restrição de 38@S a <.
No caso em que existe T Á S em < tal que FÐT Ñ œ T , tem-se
FÐT Ñ Á 38@S ÐT Ñ, pelo que F não é a restrição a < de 38@S , e portanto
F œ M.< .
…
– 106–
9.3 (Corolário) Sejam < § X uma recta e Fß GÀ < Ä X duas aplicações
isométricas tais que existam S Á T em < com FÐSÑ œ GÐSÑ e
FÐT Ñ œ GÐT Ñ. Tem-se então F œ G.
Dem: Tendo em conta 5.2 e 5.4, = œ FÐ<Ñ e > œ GÐ<Ñ são rectas e F e G são
bijecções de < sobre estas rectas. Uma vez que = e > contêm os pontos
distintos FÐSÑ œ GÐSÑ e FÐT Ñ œ GÐT Ñ, tem-se = œ >. Podemos assim
considerar a aplicação isométrica G" ‰ FÀ < Ä <, para a qual se tem
G" ‰ FÐSÑ œ S e G" ‰ FÐT Ñ œ T , pelo que G" ‰ F œ M.< , o que
implica que G œ F.
…
9.4 (Isometrias dum plano com dois pontos fixos distintos) Sejam ! § X um
plano e FÀ ! Ä X uma aplicação isométrica tal que FÐ!Ñ § ! e que existam
E Á F em ! com FÐEÑ œ E e FÐFÑ œ F . Tem-se então que, ou F œ M.! ,
ou, notando < œ EF, F é a restrição a ! da inversão 38@< (cf. 5.14).
Em particular, se existir G − !, com G  < tal que FÐGÑ œ G (se existirem
três pontos fixos não colineares), tem-se F œ M.! .
Dem: Tendo em conta 5.6, FÐ!Ñ é um plano, e portanto FÐ!Ñ œ !. Sendo
< œ EF , resulta de 5.4 que FÐ<Ñ é uma recta, a qual vai conter os pontos
FÐEÑ œ E e FÐFÑ œ F , o que implica que FÐ<Ñ œ < e, tendo em conta 9.2,
que a restrição de F a < é a aplicação identidade de <. Tendo em conta 5.7,
sendo ! e ! os dois semiplanos de ! de bordo <, tem-se que FÐ! Ñ e
FÐ! Ñ são os dois semiplanos de FÐ!Ñ œ ! de bordo FÐ<Ñ œ <, pelo que
duas coisas podem acontecer: Ou FÐ! Ñ œ ! e FÐ! Ñ œ ! , ou
FÐ! Ñ œ ! e FÐ! Ñ œ ! . Em qualquer dos casos, para cada \ − ! Ï <,
podemos considerar o pé da perpendicular E de \ sobre < (cf. 4.28) e então
o facto de a recta E\ ser perpendicular a < implica, por 5.8, que a recta
FÐEÑFÐ\Ñ, igual a EFÐ\Ñ, é perpendicular a FÐ<Ñ œ < (em particular
E\ œ EFÐ\Ñ) e portanto E é também o pé da perpendicular de FÐ\Ñ sobre
<, tendo-se além disso
lFÐ\ÑEl œ lFÐ\ÑFÐEÑl œ l\El.
Vejamos o que sucede no caso em que FÐ! Ñ œ ! e FÐ! Ñ œ ! . Nesse
caso, para cada \ − ! Ï <, \ e FÐ\Ñ estão no mesmo semiplano de ! de
bordo <, e portanto estão na mesma semirrecta de E\ œ EFÐ\Ñ de origem
E (cf. a alínea b) de 2.12), o que, por ser lFÐ\ÑEl œ l\El, implica que
FÐ\Ñ œ \ . Tem-se assim F œ M.! .
Vejamos o que sucede no caso em que FÐ! Ñ œ ! e FÐ! Ñ œ ! . Nesse
caso, para cada \ − ! Ï <, \ e FÐ\Ñ estão em semiplanos opostos de ! de
bordo <, e portanto estão em semirrectas opostas de E\ œ EFÐ\Ñ de
origem E (cf. a alínea b) de 2.12), o que, por ser lFÐ\ÑEl œ l\El, implica
que FÐ\Ñ œ 38@E Ð\Ñ œ 38@< Ð\Ñ. Tem-se assim que F é a restrição a ! de
38@< .
No caso em que existe G − ! Ï < tal que FÐGÑ œ G , tem-se trivialmente
FÐGÑ Á 38@< ÐGÑ, pelo que F não é a restrição de 38@< a !, e portanto
F œ M.! Þ
…
– 107–
9.5 (Corolário) Sejam ! § X um plano e Fß GÀ ! Ä X duas aplicações
isométricas tais que existam Eß Fß G em !, não colineares, com
FÐEÑ œ GÐEÑ, FÐFÑ œ GÐFÑ e FÐGÑ œ GÐGÑ. Tem-se então F œ G.
Dem: Tendo em conta 5.2 e 5Þ6, " œ FÐ!Ñ e # œ GÐ!Ñ são planos e F e G
são bijecções de ! sobre estes planos. Uma vez que " e # contêm os pontos
não colineares FÐEÑ œ GÐEÑ, FÐFÑ œ GÐFÑ e FÐGÑ œ GÐGÑ, tem-se
" œ # . Podemos assim considerar a aplicação isométrica G" ‰ FÀ ! Ä !,
para a qual se tem G" ‰ FÐEÑ œ E, G" ‰ FÐFÑ œ F e G" ‰ FÐGÑ œ G ,
pelo que G" ‰ F œ M.! , o que implica que G œ F.
…
9.6 (Isometrias do espaço com três pontos fixos não colineares) Seja
FÀ X Ä X uma isometria tal que existam Eß Fß G − X não colineares tais que
FÐEÑ œ E, FÐFÑ œ F e FÐGÑ œ G . Tem-se então que, ou F œ M.X , ou,
notando ! o plano que contém Eß Fß G , F œ 38@! (cf. 5.24).
Em particular, se existir H Â ! tal que FÐHÑ Á H (se existirem quatro
pontos fixos não complanares), tem-se F œ M.X .
Dem: Tendo em conta 5.9, tem-se FÐX Ñ œ X . Sendo ! o plano que contém os
pontos Eß Fß G , resulta de 5.6 que FÐ!Ñ é um plano, o qual vai conter os
pontos FÐEÑ œ E, FÐFÑ œ F e FÐGÑ œ G , o que implica que FÐ!Ñ œ ! e,
tendo em conta 9.4, que a restrição de F a ! é a aplicação identidade de !.
Tendo em conta 5.10, sendo X e X os dois semiespaços de bordo ! (cf.
2.11), tem-se que FÐX Ñ e FÐX Ñ são os dois semiespaços de X de bordo
FÐ!Ñ œ !, pelo que duas coisas podem acontecer: Ou FÐX Ñ œ X e
FÐX Ñ œ X , ou FÐX Ñ œ X e FÐX Ñ œ X .
Em qualquer dos casos, para cada \ − X Ï !, podemos considerar o pé da
perpendicular E de \ sobre ! (cf. 5.23). O facto de a recta \E ser
perpendicular ao plano !, implica que, escolhando duas rectas distintas
<ß = § ! com \ − <  =, \E é perpendicular a < e a =, e portanto, tendo em
conta 5.8, a recta FÐ\ÑE œ FÐ\ÑFÐEÑ é perpendicular às rectas FÐ<Ñ œ < e
FÐ=Ñ œ =, o que implica, por 5.20, que a recta FÐ\ÑE é também perpendicular ao plano ! (em particular, por 5.22, FÐ\ÑE œ \E) e portanto E é
também o pé da perpendicular de FÐ\Ñ sobre !, tendo-se, além disso
lFÐ\ÑEl œ lFÐ\ÑFÐEÑl œ l\El.
Vejamos o que sucede no caso em que FÐX Ñ œ X e FÐX Ñ œ X . Nesse
caso, para cada \ − X Ï !, \ e FÐ\Ñ estão no mesmo semiespaço de X de
bordo !, e portanto estão na mesma semirrecta de E\ œ EFÐ\Ñ de origem
E (o segmento Ò\ß FÐ\ÑÓ não intersecta !, e portanto não contém E), o que,
por ser lFÐ\ÑEl œ l\El, implica que FÐ\Ñ œ \ . Tem-se assim F œ M.! .
Vejamos o que sucede no caso em que FÐX Ñ œ X e FÐX Ñ œ X . Nesse
caso, para cada \ − X Ï !, \ e FÐ\Ñ estão em semiespaços opostos de X de
bordo !, e portanto estão em semirrectas opostas de E\ œ EFÐ\Ñ de
origem E (o segmento Ò\ß FÐ\ÑÓ intersecta !, necessariamente no ponto E),
o que, por ser lFÐ\ÑEl œ l\El, implica que FÐ\Ñ œ 38@E Ð\Ñ œ 38@! Ð\Ñ.
Tem-se assim F œ M.! .
– 108–
No caso em que existe H − X Ï ! tal que FÐHÑ œ H, tem-se trivialmente
FÐHÑ Á 38@! ÐHÑ, pelo que F não é igual a 38@! , e portanto F œ M.X Þ
…
9.7 (Corolário) Sejam Fß GÀ X Ä X duas isometrias tais que existam Eß Fß Gß H
não complanares, com FÐEÑ œ GÐEÑ, FÐFÑ œ GÐFÑ, FÐGÑ œ GÐGÑ e
FÐHÑ œ GÐHÑ. Tem-se então F œ G.
Dem: Tendo em conta 5.2 e 5.9, FÐX Ñ œ GÐX Ñ œ X . Podemos assim
considerar a aplicação isométrica G" ‰ FÀ X Ä X , para a qual se tem
G" ‰ FÐEÑ œ E, G" ‰ FÐFÑ œ F , G" ‰ FÐGÑ œ G e G" ‰ FÐHÑ œ H,
pelo que G" ‰ F œ M.X , o que implica que G œ F.
…
Vamos agora definir outras isometrias do espaço, as translações, por um
processo que, embora pareça talvez artificial, tem a vantagem de não
exigir definições diferenciadas para as imagens dos diferentes tipos de
pontos. Estudaremos a seguir como propriedades, outras caracterizações
alternativas, mais intuitivas mas que necessitam de separar os diferentes
tipos de pontos.
9.8 Sejam Eß F − X e notemos Q o ponto médio do par ÐEß FÑ (cf. 1.26).
Definimos então a translação associada ao par ÐEß FÑ, 7FßE À X Ä X como
sendo a isometria 7FßE œ 38@Q ‰ 38@E (composta de duas isometrias).
9.9 Nas condições anteriores, para cada recta < § X , = œ 7FßE Ð<Ñ é uma recta
paralela a < e, para cada plano ! § X , " œ 7FßE Ð!Ñ é um plano paralelo a !.
Dem: Trata-se de uma consequência de 9.1 e da transitividade da relação de
paralelismo entre rectas e entre planos (cf. 7.11 e 7.28).
…
9.10 Para E œ F , a isometria 7EßE À X Ä X é a aplicação identidade IdX .
Dem: Uma vez que o ponto médio de ÐEß EÑ é E e que 38@E À X Ä X é uma
involução, obtemos 7EßE œ 38@E ‰ 38@E œ M.X .
…
9.11 Tem-se 7FßE ÐEÑ œ F.
Dem: O resultado é trivial se E œ F e, caso contrário, basta reparar que,
sendo Q o ponto médio de ÐEß FÑ, tem-se 38@Q ÐEÑ œ F , donde
7FßE ÐEÑ œ 38@Q Ð38@E ÐEÑÑ œ 38@Q ÐEÑ œ F.
…
9.12 (Teorema do paralelogramo) Sejam E Á F em X . Para cada Ew  EF,
tem-se então que 7FßE ÐEw Ñ œ F w , onde F w é o único ponto de X tal que
ÐEß Fß F w ß Ew Ñ seja um paralelogramo.
A
B
B'
A'
Dem: Seja ! o plano que contém Eß Fß Ew Þ
– 109–
Comecemos por mostrar que, sendo 7FßE ÐEw Ñ œ F w , ÐEß Fß F w ß Ew Ñ é um
paralelogramo. Em primeiro lugar, lembrando que 7FßE À X Ä X é uma
isometria, em particular injectiva, e que 7FßE ÐEÑ œ F , concluímos que
F Á F w e, tendo em conta 9.9, que FF w œ 7FßE ÐEEw Ñ é uma recta paralela a
EEw , em particular está contida em !, sendo mesmo estritamente paralela,
uma vez que F  EEw , já que Ew  EF .21 Em particular, podemos já
concluir que os pontos Eß Fß F w ß Ew são todos distintos. Notemos
\ œ 38@E ÐEw Ñ − ! e reparemos que F w  EEw œ \Ew , pelo que Ew ß F w ß \
são não colineares. Notemos Q o ponto médio de ÐEß FÑ, tendo-se portanto
F w œ 38@Q Ð\Ñ.
X
M
A
B
B'
A'
Tem-se assim que E é o ponto médio de Ð\ß Ew Ñ e Q é o ponto médio de
Ð\ß F w Ñ, e portanto E − Ò\ß Ew Ó, Q − Ò\ß F w Ó, l\El œ "# l\ß Ew l e l\Q l œ
"
w
# l\F l. Tendo em conta o recíproco do teorema de Thales em 8.4, concluímos que a recta EQ œ EF é paralela a Ew F w , sendo mesmo estritamente
paralela, por ser Ew  EF . Podemos agora aplicar 7.19 para concluir que
ÐEß Fß F w ß Ew Ñ é efectivamente um paralelogramo.
Resta-nos provar a unicidade de F w nas condições do enunciado, para o que
supomos que F ww − X é tal que ÐEß Fß F ww ß Ew Ñ seja um paralelogramo. Uma
vez que, tendo em conta 7.5, Ew F ww , tal como Ew F w é paralela a EF e contém
Ew , o axioma das paralelas implica que Ew F w œ Ew F ww . O facto de termos
paralelogramos implica que lEw F w l œ lEFl œ lEw F ww l e que F w e F ww estão
ambos no semiplano de ! de bordo EEw que contém F e portanto estão
ambos na mesma semirrecta de Ew F w œ Ew F ww de origem Ew . Concluímos
daqui finalmente que F ww œ F w , o que prova a unicidade pretendida.
…
O resultado precedente não caracteriza completamente a translação
7FßE À X Ä X uma vez que apenas nos diz o que é a imagem por esta
isometria dos pontos Ew que não pertencem a < œ EF . O próximo
resultado dá uma caracterização da imagem por 7FßE dos pontos que estão
21Também
podíamos concluir que lFF w l œ lEEw l, mas não utilizamos esse facto para
provar que temos um paralelogramo.
– 110–
em < œ EF , que infelizmente tem um espírito completamente diferente
do anterior.
9.13 Sejam E Á F em X e consideremos na recta < œ EF a ordem linear Ÿ
para a qual E  F (cf. 1.16). Para cada Ew − <, tem-se então que
7FßE ÐEw Ñ œ F w , onde F w é o único ponto de < tal que Ew  F w e
lEw F w l œ lEFl. Se 0 À < Ä ‘ é um sistema de coordenadas e se + œ 0 ÐEÑ,
, œ 0 ÐFÑ e +w œ 0 ÐEw Ñ, tem-se 0 ÐF w Ñ œ +w  Ð,  +ÑÞ
Dem: Seja 0 À < Ä ‘ um sistema de coordenadas. Lembrando a caracterização de 38@G ÐHÑ como o único ponto tal que G seja o ponto médio de
ÐHß 38@G ÐHÑÑ (cf. 5.12), assim como a caracterização do ponto médio em
termos dum sistema de coordenadas em 1.26, vemos que, sendo + œ 0 ÐEÑ,
, œ 0 ÐFÑ e +w œ 0 ÐEw Ñ, tem-se 0 ÐQ Ñ œ +,
# ,
0 Ð38@E ÐEw ÑÑ œ +  Ð+w  +Ñ œ #+  +w
(uma vez que
Ð#++w Ñ+w
#
œ +), e portanto
0 Ð7FßE ÐEw ÑÑ œ 0 Ð38@Q Ð38@E ÐEw ÑÑÑ œ
+,
+,
œ
 Ð#+  +w 
Ñ œ +w  Ð,  +Ñ
#
#
(reparar que "# ÐÐ#+  +w Ñ  Ð+w  Ð,  +ÑÑÑ œ +,
# ). Escolhendo agora o
sistema de coordenadas de forma a definir a ordem linear Ÿ (cf. 1.16),
tem-se +  , , donde
0 Ð7FßE ÐEw ÑÑ œ +w  Ð,  +Ñ  +w œ 0 ÐEw Ñ,
portanto Ew  7EßF ÐEw Ñ, e, por outro lado
lEw 7FßE ÐEw Ñl œ l0 Ð7FßE ÐEw ÑÑ  0 ÐEw Ñl œ ,  + œ lEFl.
Quanto à unicidade de um ponto F w nas condições de 7FßE ÐEw Ñ, basta reparar
que a condição de se ter Ew  F w implica que F w está numa certa semirrecta
de < de origem Ew e que, numa tal semirrecta, existe um único ponto a uma
distância dada de Ew .
…
As duas propriedades precedentes, apesar de terem um espírito distinto,
permitem apresentar uma propriedade do valor da translação 7FßE ÐEw Ñ
(onde E Á F ) que, embora não o defina univocamente, é válida tanto no
caso em que Ew − EF como naquele em que Ew  EF .
9.14 Sejam Eß F − X , com E Á F , e Ew − X . Notando então F w œ 7FßE ÐEw Ñ,
tem-se lEw F w l œ lEFl e as rectas EF e Ew F w são paralelas. Em particular,
para cada Ew − X , 7FßE ÐEw Ñ Á Ew (a translação não tem pontos fixos).
Dem: No caso em que Ew  EF , a caracterização de F w œ 7FßE ÐEw Ñ em 9.12
– 111–
diz-nos que EFF w Ew é um paralelogramo e portanto, por definição,
lEw F w l œ lEFl e, tendo em conta 7.5, as rectas EF e Ew F w são paralelas. No
caso em que Ew − EF , a caracterização de F w œ 7FßE ÐEw Ñ em 9.13 diz-nos
que lEw F w l œ lEFl  !, em particular F w Á Ew , e que F w − EF , portanto
Ew F w œ EF , em particular EF e Ew F w são rectas paralelas.
…
9.15 (Norma de uma translação) Suponhamos fixada uma função distância
. − Y . Dada uma translação 7 , definimos a .-norma de 7 (ou simplesmente
norma de 7 , se . estiver implícito) como sendo o número real .ÐEw ß 7 ÐEw ÑÑ,
com Ew ponto arbitrário de X , número real que não depende de Ew , tendo em
conta 9.14 e o facto de 7EßE ser a aplicação identidade. A norma referida será
notada m7 m. , ou simplesmente m7 m se . estiver implícito.
9.16 Dadas duas funções distância .ß . w − Y , tais que . w œ -. , para um certo
-  !, tem-se, para cada translação 7 , m7 m.w œ -m7 m. .
9.17 (Propriedades da norma) Suponhamos fixada uma função distância
. − Y . Tem-se então:
a) m7FßE m œ .ÐEß FÑ.
b) m7 m !, sendo m7 m œ ! se, e só se, 7 œ M.X .
Dem: A alínea a) resulta da definição e do facto de se ter 7FßE ÐEÑ œ F . A
alínea b) resulta de a) e de se ter M.X œ 7EßE .
…
9.18 (Um lema elementar mas útil) Seja ! § X um plano. Existem então
pontos Eß Fß Gß H não complanares, nenhum deles pertencente a !.
Dem: Seja E Â ! (se não existisse, todo o conjunto seria complanar). Seja "
o plano paralelo a ! tal que E − " (cf. 7.29), plano esse que é mesmo
estritamente paralelo por ser E Â !. Consideremos sucessivamente um ponto
F − " tal que F Á E e um ponto G − " tal que G Â EF (se não existisse,
todo o subconjunto de " seria colinear). Tem-se assim que Eß Fß G − " são
não colineares e Eß Fß G Â !, por ! e " serem estritamente paralelos.
Escolhamos um ponto arbitrário \ − ! e escolhamos enfim H − \E,
distinto de \ e E (por exemplo o ponto médio do par Ð\ß EÑ). Tem-se que
\E não está contida em ! nem em " , donde \E  ! œ Ö\× e
\E  " œ ÖE× e daqui resulta que H  ! e H  " , portanto Eß Fß Gß H são
não complanares.
…
9.19 (Lema) Sejam Eß F − X , com E Á F , Ew − X e F w œ 7FßE ÐEw Ñ. Dado Eww
 Ew F w , tem-se então 7FßE ÐEww Ñ œ 7F w ßEw ÐEww Ñ.
B"
A"
B'
A'
Dem: Notemos F ww œ 7FßE ÐEww Ñ. Tendo em conta 9.14, Tem-se F w Á Ew ,
– 112–
F ww Á Eww e as rectas Ew F w e Eww F ww são ambas paralelas à recta EF , logo
paralelas entre si (cf. 7.11), sendo mesmo estritamente paralelas, uma vez
que Eww  Ew F w . Em particular, os pontos Ew ß F w ß Eww ß F ww são todos distintos.
Por outro lado, tendo em conta 9.9, a recta F w F ww œ 7FßE ÐEw Eww Ñ é paralela à
recta Ew Eww , portanto estritamente paralela, uma vez que F w  Ew Eww , já que
Eww  Ew F w . Podemos assim aplicar 7.19 para garantir que ÐEw ß F w ß F ww ß Eww Ñ é
um paralelogramo o que, por 9.12, implica que F ww œ 7F w ßEw ÐEww Ñ.
…
9.20 (Teorema Fundamental das Translações) Sejam Eß Fß Ew − X e F w œ
7FßE ÐEw Ñ. Tem-se então 7FßE œ 7F w ßEw .
Dem: No caso em que E œ F , tem-se 7FßE œ M.X , portanto F w œ Ew , donde
7F w ßEw œ M.X œ 7FßE . Suponhamos agora que E Á F . Tendo em conta o
lema 9.19, as isometrias 7FßE ß 7F w ßEw À X Ä X coincidem no complementar de
Ew F w em X . Uma vez que esse complementar contém quatro pontos não
colineares (aplicar o lema 9.18, depois de considerar um plano arbitrário !
…
contendo Ew F w ), deduzimos de 9.7 que 7FßE œ 7F w ßEw .
9.21 (Corolário) Dados pontos Ew ß F w − X, existe uma, e uma só, translação
7 À X Ä X tal que 7 ÐEw Ñ œ F w , a saber a translação 7F w ßEw .
Dem: Já sabemos que a translação 7F w ßEw aplica Ew em F w (cf. 9.11) e o
resultado precedente diz-nos que qualquer translação 7FßE que verifique essa
propriedade é igual a 7F w ßEw .
…
9.22 (A inversa duma translação) Dados Eß F − X , tem-se que a isometria
inversa da translação 7FßE À X Ä X é a translação 7EßF À X Ä X .
Dem: No caso em que E œ F , o resultado é trivial, uma vez que 7EßE é a
identidade, e portanto inversa de si mesmo. Suponhamos assim que E Á F .
Tudo o que temos que mostrar é que a isometria 7EßF ‰ 7FßE À X Ä X é a
identidade. Comecemos por considerar Ew  EF . Tendo em conta 9.12,
tem-se 7FßE ÐEw Ñ œ F w , onde F w é o único ponto de X tal que ÐEß Fß F w ß Ew Ñ
seja um paralelogramo.
A
B
B'
A'
Mas então ÐFß Eß Ew ß F w Ñ também é um paralelogramo (cf. 6.12, passando
pelo paralelogramo ÐEw ß F w ß Fß EÑ), pelo que, mais uma vez pelo esmo
resultado,
tem-se
Ew œ 7EßF ÐF w Ñ,
portanto
7EßF ‰ 7FßE ÐEw Ñ œ Ew .
Considerando agora quatro pontos não complanares E"w ß E#w ß E$w ß E%w não
pertencentes a EF (aplicar 9.18, depois de considerar um plano arbitrário !
– 113–
contendo EF ), verificamos que a isometria 7EßF ‰ 7FßE tem quatro pontos
fixos não complanares e portanto, por 9.6, 7EßF ‰ 7FßE œ M.X .22
…
9.23 (Outra caracterização da inversa duma translação) Sejam < uma recta e
0 À < Ä ‘ um sistema de coordenadas. Dados Eß F − <, tem-se que a inversa
da translação 7FßE À X Ä X é a translação 7F w ßE À X Ä X , onde F w œ 38@E ÐFÑ, e
portanto F w também pode ser caracterizado pela condição de E ser o ponto
médio do par ÐFß F w Ñ ou pela de se ter
0 ÐF w Ñ œ 0 ÐEÑ  Ð0 ÐFÑ  0 ÐEÑÑ œ #0 ÐEÑ  0 ÐFÑ.
"
œ 7EßF . Tendo em conta 9.20 e
Dem: Tendo em conta 9.22, tem-se 7FßE
"
9.13, vem também 7FßE œ 7F w ßE , donde F w œ 7EßF ÐEÑ, portanto
0 ÐF w Ñ œ 0 ÐEÑ  Ð0 ÐEÑ  0 ÐFÑÑ œ #0 ÐEÑ  0 ÐFÑ.
w
ÐF Ñ
Desta igualdade sai que 0 ÐEÑ œ 0 ÐFÑ0
o que, por 1.26, implica que E é
#
w
o ponto médio de ÐFß F Ñ, ou seja, que F w œ 38@E ÐFÑ.
…
9.24 (Lema) Sejam Eß F − X e Q o ponto médio do par ÐEß FÑ. Tem-se então
38@Q ‰ 38@E œ 7FßE œ 38@F ‰ 38@Q .
Dem: Sabemos que 7FßE œ 38@Q ‰ 38@E e que 7EßF œ 38@Q ‰ 38@F .
Podemos então aplicar 9.22 para garantir que
M.X œ 7EßF ‰ 7FßE œ 38@Q ‰ 38@F ‰ 38@Q ‰ 38@E ,
donde, lembrando que as inversões relativamente a um ponto são involutivas,
38@F ‰ 38@Q œ 38@F ‰ 38@Q ‰ M.X œ
œ 38@F ‰ 38@Q ‰ 38@Q ‰ 38@F ‰ 38@Q ‰ 38@E œ
œ 38@Q ‰ 38@E .
…
9.25 (A composta de duas translações) Sejam 7 ß 5 À X Ä X duas translações.
Tem-se então que 5 ‰ 7 À X Ä X é uma translação. Em consequência, se 7 œ
7FßE e 5 œ 7GßF , tem-se 5 ‰ 7 œ 7GßE .
Dem: Sejam Eß F − X tais que 7 œ 7FßE . Tendo em conta 9.20, existe G − X
tal que 5 œ 7GßF , nomeadamente G œ 5 ÐFÑ. Sejam Q o ponto médio do par
ÐEß FÑ e Q w o ponto médio do par ÐFß GÑ. Tendo em conta 9.24 e o facto de
as inversões relativamente a um ponto serem involutivas, tem-se
5 ‰ 7 œ 38@Q w ‰ 38@F ‰ 38@F ‰ 38@Q œ 38@Q w ‰ 38@Q ,
o que mostra que 5 ‰ 7 é uma translação, nomeadamente a translação 7Q ww ßQ ,
22Esta
parte do argumento também podia ser substituída pela verificação directa,
utilizando 9.13 depois de fixar um sistema de coordenadas da rcta EF , de que, para
Ew − EF , ainda se tem 7EßF ‰ 7FßE ÐEw Ñ œ Ew
– 114–
onde Q ww œ 38@Q w ÐQ Ñ (uma vez que Q w é então o ponto médio do par
ÐQ ß Q ww Ñ). O facto de se ter também 5 ‰ 7 œ 7GßE resulta mais uma vez de
9.20, uma vez que 5 ‰ 7 ÐEÑ œ 5 ÐFÑ œ G .
…
9.26 (Corolário) O conjunto das translações 7 À X Ä X é um subgrupo do grupo
Ä
das isometrias X Ä X . Esse subgrupo será notado X Þ
Dem: Trata-se de uma consequência de 9.10, 9.22 e 9.25.
…
9.27 (Outras propriedades da norma) Suponhamos fixada uma função
distância . − Y . A norma das translações tem então, além das propriedades
a) e b) em 9.17, ainda as propriedades:
c) m7 " m œ m7 m.
d) m5 ‰ 7 m Ÿ m5 m  m7 mÞ
Dem: A alínea c) vem de que tem
m7 " m œ .Ð7 ÐEw Ñß 7 " Ð7 ÐEw ÑÑÑ œ .Ð7 ÐEw Ñß Ew Ñ œ m7 m.
Quanto a d), temos, pela desigualdade triangular em 4.41,
m5 ‰ 7 m œ .Ð5 Ð7 ÐEw ÑÑß Ew Ñ Ÿ .Ð5 Ð7 ÐEw ÑÑß 7 ÐEw ÑÑ  .Ð7 ÐEw Ñß Ew Ñ œ m5m  m7 m.
…
9.28 (Precomutatividade) Sejam Eß Fß Ew − X . Então 7FßE ÐEw Ñ œ 7Ew ßE ÐFÑ.
Dem: No caso em que E œ F , tem-se 7FßE ÐEw Ñ œ Ew œ 7Ew ßE ÐFÑ e, naquele
em que E œ Ew , tem-se 7FßE ÐEw Ñ œ F œ 7Ew ßE ÐFÑ.
Tratemos agora o caso em que E Á F e E Á Ew . Há duas situações
possíveis:
1) Suponhamos que Ew − < œ EF , e portanto também F − EEw œ <. Tendo
em conta 9.13, tem-se então 7FßE ÐEw Ñ − < e 7Ew ßE ÐFÑ − < e, tomando um
sistema de coordenadas 0 À < Ä ‘ e pondo + œ 0 ÐEÑ, , œ 0 ÐFÑ e - œ 0 ÐGÑ,
vem
0 Ð7FßE ÐEw ÑÑ œ +w  Ð,  +Ñ œ ,  Ð+w  +Ñ œ 0 Ð7Ew ßE ÐFÑÑ,
donde 7FßE ÐEw Ñ œ 7Ew ßE ÐFÑ.
2) Suponhamos que Ew  EF , portanto também F  EEw . Tendo em conta
9.12, tem-se 7FßE ÐEw Ñ œ F w , onde F w é o único ponto de X tal que
ÐEß Fß F w ß Ew Ñ seja um paralelogramo.
A
B
B'
A'
Mas então ÐEß Ew ß F w ß FÑ também é um paralelogramo (cf. 6.12, passando
pelo paralelogramo ÐEw ß F w ß Fß EÑ) o que, pelo mesmo resultado, garante que
7Ew ßE ÐFÑ œ F w .
…
– 115–
Ä
9.29 (Comutatividade do grupo X das translações) Quaisquer que sejam as
translações 5 ß 7 À X Ä X , tem-se 5 ‰ 7 œ 7 ‰ 5 .
Dem: Sejam Eß F − X tais que 7 œ 7FßE e seja Ew − X tal que 5 œ 7Ew ßE ,
nomeadamente Ew œ 5 ÐEÑ (cf. 9.20).
t
A
s
A'
B
s
t
B'
Sendo F w œ 7FßE ÐEw Ñ, vem, por 9.20, 7 œ 7F w ßEw e, tendo em conta 9.28,
tem-se também F w œ 7Ew ßE ÐFÑ, donde 5 œ 7F w ßF . Podemos agora aplicar 9.25
para garantir que
5 ‰ 7 œ 7F w ßF ‰ 7FßE œ 7F w ßE œ 7F w ßEw ‰ 7Ew ßE œ 7 ‰ 5 .
…
9.30 (Translações duma recta e dum plano) Seja 7 À X Ä X uma translação.
Dada uma recta < (respectivamente um plano !), diz-se que 7 é uma
translação da recta < (respectivamente translação do plano !) se se tem
7 Ð<Ñ § < (respectivamente 7 Ð!Ñ § !).
Repare-se que M.X é trivialmente uma translação de qualquer recta e de
qualquer plano.
9.31 (Notações alternativas) 1) Às translações X Ä X daremos também o nome
de vectores livres, ou simplesmente vectores. Quando usamos este ponto de
vista (notação vectorial), é costume usar, para notar um vector, uma letra
encimada de uma seta, como, por exemplo Ä
?Þ
Ä
2) Dados Eß F − X a translação 7FßE , que aplica E em F , será notada EF . A
uma translação de uma recta < (respectivamente de um plano !) dá-se
também o nome de vector da recta < (respectivamente vector do plano !).
3) Sendo 7 œ Ä
? e 5 π
@ duas translações (vectores), a translação 5 ‰ 7 œ
7 ‰ 5 será notada Ä
? Ä
@ . A propriedade em 9.25 pode assim ser escrita na
Ä
Ä
Ä
forma EF  FG œ EG .
4) A translação identidade M.X será representada, em notação vectorial, por
Ä
Ä
Ä
! . Tem-se assim ! œ EE , para cada E − X .
5) Se Ä
? é a notação vectorial para a translação 7 , a translação inversa 7 "
Ä. Trata-se assim do simétrico de Ä
será notada ?
? relativamente à estrutura
ÄÑ œÄ
de grupo abeliano dos vectores (translações), ou seja, Ä
?  Ð?
!. A
Ä
Ä
propriedade em 9.22 pode assim ser escrita na forma EF œ FE.
6) Se Ä
? é a notação vectorial para a translação 7 , para cada E − X o valor
Ä
7ÐEÑ é notado também E Ä
? . Tem-se assim E  EF œ F .
– 116–
Ä
7) Dados Eß F − X , o vector EF é por vezes notado F  E, esta notação
sendo explicada pelo facto de se tratar do único vector Ä
? tal que E Ä
? œF
(cf. 9.21).
8) As propriedades das normas em 9.17 e 9.27 tomam o aspecto mais habiÄ
Ä
Äm !, sendo m?
Äm œ ! se, e só se, Ä
tual: a) mEFm œ .ÐEß FÑ; b) m?
? œ !;
Äm œ m?
Äm; d) m?
Ä Ä
Äm  m@
Äm.
c) m?
@ m Ÿ m?
Ä
9) Um vector Ä
? œ EF é frequentemente representado numa figura por um
segmento de extremidades E e F , com uma seta colocada em F (uma
“flecha”). Essa representação já foi aliás utilizada na figura atrás, na demonstração de 9.29.
Ä
9.32 Seja < uma recta. Se E − <, um vector EF é um vector da recta < se, e só
se, F − <. O conjunto dos vectores da recta < é um subgrupo próprio do
Ä
grupo comutativo X das translações, que notaremos Ä
< , e que contém estritaÄ
mente o subgrupo trivial Ö! ×.
A um conjunto da forma Ä
< , para alguma recta <, damos o nome de recta
vectorial ou o de direcção. Como sinónimo de uma expressão Ä
? −Ä
<,
Ä
Ä
também diremos que < é uma direcção do vector ? . Dizemos também que
Ä
< é a direcção da recta <.
Ä
Ä
Dem: Se EF é um vector da recta <, então F œ EFÐEÑ − <. ReciproÄ Ä
camente, se F − <, então, ou F œ E e EF œ ! œ M.X é trivialmente um
Ä
vector de <, ou F Á E e então, para cada Ew − <, tem-se EFÐEw Ñ − <, pela
Ä
Ä
caracterização em 9.13, o que mostra que EFÐ<Ñ § <, ou seja, EF é um
Ä
vector de <. Já referimos que ! œ M.X é trivialmente um vector (translação)
Ä
de <. Fixemos E − <. Se Ä
? ßÄ
@ são vectores de <, tem-se Ä
? œ EF , com
Ä
Ä
Ä œ FE
F π
? ÐEÑ − <, donde, por 9.22, ?
@ œ FG ,
é um vector de <, e Ä
Ä
com G π
@ ÐFÑ − <, donde, tendo em conta 9.25, Ä
? Ä
@ œ EG é um vector
Ä
de <. Ficou assim provado que < é efectivamente um subgrupo do grupo
Ä
comutativo X dos vectores, sendo um subgrupo próprio, uma vez que não
Ä
Ä
contém os vectores EG , com G Â <. O facto de Ä
< conter estritamente Ö! ×
Ä Ä
resulta de que, sendo F Á E em <, EF Á ! pertence aÄ
<.
…
9.33 Dadas duas rectas < e =, tem-se Ä
< π
= se, e só se as rectas < e = são
Ä
Ä
Ä
paralelas e, caso contrário, tem-se <  = œ Ö! ×. Em particular, seÄ
< eÄ
= são
Ä
Ä
Ä
Ä
rectas vectoriais tais que < § = , então < œ = .
Podemos assim dizer que duas rectas são paralelas se, e só se, têm a mesma
direcção.
Dem: Suponhamos que < e = são paralelas. Se < œ = tem-se evidentemente
Ä
< π
= . Caso contrário < e = são estritamente paralelas e, para mostrarmos
que Ä
< π
= , basta, por simetria dos papéis das duas rectas, mostrar que
Ä
Ä
< §Ä
= . Seja então Ä
? −Ä
< , que podemos já supor diferente de ! , portanto
– 117–
Ä
Ä
? œ EF , com E Á F em <. Tendo em conta 9.20 e 9.12, escolhendo então
Ä
Ew − =, tem-se também Ä
? œ Ew F w , onde F w é o único ponto de X tal que
ÐEß Fß F w ß Ew Ñ seja um paralelogramo, tendo-se então que Ew F w é uma recta
que, tal como =, contém Ew e é paralela a < œ EF , portanto, pelo axioma das
Ä
paralelas 7.10, Ew F w œ =, donde F w − = e Ä
? œ Ew F w − Ä
= , como queríamos.
Ä
Ficou assim provado queÄ
< π
= , em particularÄ
< Ä
= π
< Á Ö! ×.
Ä
Ä
Suponhamos agora que Ä
< Ä
= Á Ö! ×, portanto que existe Ä
? Á ! emÄ
< Ä
=.
Ä
Ä
Ä
w
w
w w
Existem então E Á F em < e E Á F em = tais que ? œ EF œ E F . Em
particular,
Ä
Ä
F w œ Ew F w ÐEw Ñ œ EFÐEw Ñ,
donde, por 9.14 a recta < œ EF é paralela à recta = œ Ew F w .
…
Ä
9.34 (Corolário) Dada um vector Ä
? Á ! , existe uma, e uma só recta vectorial
Ä
< tal que Ä
? −Ä
< , por outras palavras Ä
? admite uma única direcção Ä
<.
Ä
Ä
Dizemos que < é a recta vectorial gerada pelo vector Ä
? Á ! ou que Ä
< éa
Ä
direcção do vectorÄ
? Á !.
Ä
É claro que o vector ! admite qualquer direcção Ä
< , pelo que não se pode
Ä
falar de a direcção do vector ! .
Dem: A unicidade decorre do resultado precedente. Quanto à existência,
Ä
sendo Ä
? œ EF , com E Á F , basta tomar < œ EF (cf. 9.32).
…
9.35 Diz-se que um conjunto (ou família) de vectores é colinear se existir uma
recta vectorial Ä
< ao qual todos eles pertençam (comparar com 1.2), por
outras palavras, se todos admitirem uma direcção comum. Como
propriedades desta noção temos:
1) O conjunto vazio ou um conjunto com um único vector é sempre colinear.
Ä
Ä
2) Se Ä
? œ ! ou Ä
@ œ ! , então Ä
? eÄ
@ são colineares.
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
3) Se ? Á ! e @ Á ! , então ? e Ä
@ são colineares se, e só se, as rectas
vectoriais que eles determinam (cf. 9.34) coincidem, isto é, se, e só se, têm a
mesma direcção.
Ä
Ä
4) Se Ä
? œ EF e Ä
@ œ EG , então Ä
? eÄ
@ são colineares se, e só se, Eß Fß G
são colineares.
Dem: As propriedades 1), 2) e 3) são triviais. Quanto a 4), se tivermos em
conta a conclusão de 2) e o facto de dois pontos serem sempre colineares,
vemos que basta examinar o caso em que E Á F e E Á G . Se Eß Fß G forem
colineares, existe uma recta < tal que Eß Fß G − < e então Ä
? −Ä
< eÄ
@ −Ä
<,
Ä
Ä
Ä
Ä
pelo que ? e @ são colineares. Reciprocamente, se ? e @ são colineares,
então, sendo < œ EF e = œ EG , tem-se Ä
< π
= , pelo que, tendo em conta
9.33, < e = são paralelas e portanto, por terem o ponto E em comum, tem-se
< œ = e Eß Fß G são colineares.
…
– 118–
Ä
9.36 Seja ! um plano. Se E − !, um vector EF é um vector do plano ! se, e só
se, F − !. O conjunto dos vectores do plano ! é um subgrupo próprio do
Ä
grupo comutativo X dos vectores, que notaremos Ä
! , e que contém estritamente cada subgrupo, Ä
< , com < recta contida em !.
A um conjunto da forma Ä
! , para algum plano !, damos o nome de plano
vectorial.
Ä
Ä
Dem: Se EF é um vector do plano !, então F œ EFÐEÑ − !. ReciproÄ Ä
camente, se F − !, então, ou F œ E e EF œ ! œ M.X é trivialmente um
Ä
vector de !, ou F Á E e então, para cada Ew − !, tem-se EFÐEw Ñ − !, pela
caracterização em 9.13 se Ew − EF e pela caracterização em 9.12 se
Ä
Ä
Ew  EF , o que mostra que EFÐ!Ñ § !, ou seja, EF é um vector de !. Já
Ä
referimos que ! œ M.X é trivialmente um vector (translação) de !. Fixemos
Ä
E − !. Se Ä
? ßÄ
@ são vectores de !, tem-se Ä
? œ EF , com F œ Ä
? ÐEÑ − !,
Ä
Ä
Ä
Ä
donde, por 9.22, ? œ FE é um vector de !, e @ œ FG , com
Ä
G π
@ ÐFÑ − !, donde, tendo em conta 9.25, Ä
? Ä
@ œ EG é um vector de
!. Ficou assim provado que Ä
! é efectivamente um subgrupo do grupo
Ä
comutativo X dos vectores e o facto de ser um subgrupo próprio resulta de
Ä
que, sendo G Â !, EG Â Ä
! . No caso em que < § ! é uma recta, podemos
Ä
escolher E − < e então, para cada Ä
? −Ä
< , tem-se Ä
? œ EF , com
F π
? ÐEÑ − < § !, portanto Ä
? −Ä
! e, por outro lado, podemos escolhar
Ä
Ä
Ä
Ä
G − ! Ï < e então @ œ EG − ! e @ ÂÄ
< , o que mostra que Ä
! contém estriÄ
tamente < .
…
Ä
Ä
9.37 Dados uma recta < e um plano !, tem-se < § ! se, e só se, a recta < é
paralela ao plano !. Naquele caso Ä
< está contido estritamente em Ä
! e, no
Ä
Ä
Ä
caso contrário, tem-se <  ! œ Ö! ×. Em particular, um mesmo conjunto não
pode ser simultaneamente recta vectorial e plano vectorial.
Dem: Suponhamos que a recta < é paralela ao plano !. Existe assim uma
recta = § ! tal que as rectas < e = sejam paralelas (cf. 7.7) e então, tendo em
conta 9.33 e 9.36, tem-se Ä
< π
= §Ä
! , onde esta inclusão é estrita, em partiÄ
Ä
Ä
Ä
cular <  ! œ < Á Ö! ×.
Ä
Ä
Suponhamos agora queÄ
< Ä
! Á Ö! ×, portanto que existe Ä
? Á ! emÄ
< Ä
!.
Ä
Ä
Ä
w
w
w w
Existem então E Á F em < e E Á F em ! tais que ? œ EF œ E F . Em
particular, sendo = œ Ew F w § !, tem-se Ä
? −Ä
< Ä
= donde, por 9.33, as rectas
< e = são paralelas o que, mais uma vez por 7.7, implica que a recta < é
paralela ao plano !.
…
Ä
9.38 Dados dois planos ! e " , tem-se Ä
! œ " se, e só se ! e " são paralelos.
Ä
Caso contrário, existe uma recta < tal que !  " œ < e Ä
!  " œÄ
< Em
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
particular se !. e " são planos vectoriais com ! § " , então ! œ " .
– 119–
Dem: Suponhamos que os planos ! e " são paralelos. Para mostrarmnos que
Ä
Ä
Ä
! œ " , basta mostrarmos que Ä
! § " , tendo em conta a simetria do papéis
Ä
de ! e " . Seja então Ä
? −Ä
! , podendo já supor-se Ä
? Á ! . Tem-se então Ä
? œ
Ä
EF , com Eß F − !, e portanto, sendo < œ EF que é uma recta contida em
Ä
!, e portanto paralela a " (cf. a alínea a) de 7.24), tem-se Ä
? −Ä
< § " (cf.
Ä
9.37). Ficou assim provado que Ä
! § " , como queríamos.
Suponhamos reciprocamente que os planos ! e " não são paralelos. Tem-se
assim ! Á " e !  " Á g, pelo que existe uma recta < tal que !  " œ < (cf.
a alínea d) de 1.7). O facto de se ter < § ! e < § " implica que Ä
< §Ä
! e
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
< § " (cf. 9.36), portanto < § !  " . Seja ? − !  " arbitrário. Fixado
Ä
E − <, tem-se E − ! e E − " , pelo que, sendo F tal que Ä
? œ EF , tem-se
Ä
F − ! e F − " (cf. 9.36), ou seja F − <, o que implica que Ä
? œ EF −Ä
<
Ä Ä
Ä
Ä
Ä
(cf. 9.32). Ficou assim provado que !  " œ < , em particular ! Á "
(lembrar que, por 9.36,Ä
< está contido estritamente em Ä
!.
…
Ä
Ä
Ä
Ä
9.39 (Primeira soma directa) Sejam < e = duas rectas vectoriais, com < Á = .
Existe então um único plano vectorial Ä
! tal queÄ
< §Ä
! eÄ
= §Ä
! e tem então
Ä
Ä
Ä
lugar a soma directa de grupos comutativos ! œ < Š = .
Dem: Fixemos E − < e reparemos que, se necessário substituindo = pela
recta paralela a = que passa por E (o que não altera a recta vectorialÄ
= , tendo
em conta 9.33), pode-se já supor que se tem também E − =. Uma vez que
< Á =, por ser Ä
< ÁÄ
= , as rectas < e = são concorrentes e podemos assim
considerar o único plano ! tal que < § ! e = § !. Tem-se então Ä
< §Ä
! e
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
= § ! , portanto, por ! ser um subgrupo, <  = § ! , inclusão que também
Ä
pode ser escrita na formaÄ
< ŠÄ
= §Ä
! , uma vez que se temÄ
< Ä
= œ Ö! × (cf.
Ä
9.33). Seja agora Ä
A −Ä
! arbitrário, portanto Ä
A œ EG , para um certo G − !.
Seja <w a recta paralela a < tal que G − <w , recta para a qual <w § ! (se G − <,
<w œ <, se G  <, ! é o único plano que contém < e G ).
r'
r
A
C
B
s
A recta <w não é paralela a =, senão < também o era, pelo que, por se tratar de
duas rectas do plano !, <w e = são concorrentes, portanto <w  = œ ÖF×, para
Ä
Ä Ä
um certo F − !. Tem-se então que Ä
? œ FG − <w œÄ
< ,Ä
@ œ EF −Ä
= e
Ä
Ä
Ä
Ä
A œ EG œ EF  FG œ Ä
@ Ä
?,
– 120–
o que mostra que se tem efectivamente Ä
! π
< ŠÄ
=.
Ä
Ä
Ä
Quanto à unicidade, se " é um plano vectorial tal que Ä
< § " eÄ
= § ", o
Ä
Ä
facto de " ser um subgrupo implica que Ä
! π
< ŠÄ
= § " e portanto, tendo
Ä
em conta 9.38, Ä
! œ ".
…
Ä
Ä
9.40 (Corolário) Se ? e @ são vectores não colineares, então existe um único
plano vectorial Ä
! tal que Ä
? −Ä
! eÄ
@ −Ä
!.
Ä
Ä
Ä
Ä
Dem: Tem que ser ? Á ! e @ Á ! e, sendoÄ
< eÄ
= as únicas rectas vectoriais
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
tais que ? − < e @ − = , dizer que ? − ! e Ä
@ −Ä
! equivale a dizer que
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Î ! , então Ä
! œ Ö! ×, e
< § ! e = § ! (lembrar que, por 9.37, se < §
< Ä
Ä
analogamente para = ).
…
9.41 Diz-se que um conjunto (ou família) de vectores é complanar se existir um
plano vectorial Ä
! ao qual todos eles pertençam (comparar com 1.2). Como
propriedades desta noção temos:
1) O conjunto vazio ou um conjunto com um ou dois vectores é sempre
complanar.
2) Se Ä
? eÄ
@ são vectores colineares, então, qualquer que seja o vector Ä
A , os
Ä
vectores ? ,Ä
@ eÄ
A são complanares.
3) Se Ä
? eÄ
@ são não colineares e Ä
! é o único plano vectorial que os contém
(cf. o corolário 9.40), então Ä
? ßÄ
@ ßÄ
A são complanares se, e só se, Ä
A −Ä
!.
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
4) Se ? œ EF , @ œ EG e A œ EH, então ? ß @ ß A são complanares se, e só
se, Eß Fß Gß H são complanares.
Dem: Para a propriedade 1), basta repararmos que qualquer recta vectorial
está contida num plano vectorial e, no caso de dois vectores não colineares,
termos em conta o corolário 9.40. Quanto a 2), sendo Ä
< uma recta vectorial
que contenha Ä
? eÄ
@ eÄ
= uma recta vectorial que contenha Ä
A , existe sempre
um plano vectorial Ä
! que contenha Ä
< eÄ
= (trivialmente se Ä
< π
= e por 9.39
caso contrário). A propriedade 3) é trivial. Verifiquemos enfim a propriedade
4). Se Eß Fß Gß H são complanares, existe um plano ! que os contém e então
Ä
Ä
Ä
Ä
! , o que mostra que estes três
? œ EF , Ä
@ œ EG e Ä
A œ EH pertencem a Ä
vectores são complanares. Suponhamos, reciprocamente, que os três vectores
são complanares. Se Ä
? eÄ
@ são colineares, já vimos, na alínea 4) de 9.35, que
existe uma recta < tal que Eß Fß G − < e então, sendo ! um plano que
contenha < e H (cf. a alínea a) de 1.8, se H Â <, caso contrário qualquer
plano que contenha <), tem-se Eß Fß Gß H − ! e os quatro pontos são
complanares. Se Ä
? eÄ
@ não são colineares, o resultado citado diz-nos que
Eß Fß G não são colineares, pelo que existe um único plano ! que contém
estes três pontos e portanto Ä
! é o único plano vectorial que contém Ä
? eÄ
@
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
(cf. 9.40) pelo que, por ? ß @ ß A serem complanares, tem-se A − ! , donde
H − ! e portanto Eß Fß Gß H são complanares.
…
Ä
Ä
9.42 (Segunda soma directa) Sejam ! um plano vectorial e < uma recta vectoÄ
ÎÄ
rial tais queÄ
< §
! . Tem então lugar a soma directa X œ Ä
! ŠÄ
<.
– 121–
Ä
Dem: Tendo em conta 9.37, tem-se Ä
! Ä
< œ Ö! ×, o que nos permite utilizar
a notação Ä
! ŠÄ
< , e < e ! não são paralelos, portanto !  < œ ÖE×, para um
Ä
Ä
certo E − X . Seja Ä
A − X arbitrário e seja G − X tal que Ä
A œ EG . Seja <w a
recta paralela a < tal que G − <w .
Tem-se ainda que <w não é paralela a ! (cf. 7.12) e portanto <w  ! œ ÖF×,
para um certo F − X . Tem-se então
Ä
Ä
Ä
Ä
A œ EG œ EF  FG ,
Ä
Ä Ä
onde EF − Ä
! e FG − <w œÄ
< , o que mostra que se tem efectivamente
Ä Ä Ä
X œ! Š<.
…
Ä
Ä
Ä
9.43 (Corolário) Sejam ? ß @ ß A três vectores não complanares. Em particular
Ä
Ä
estes vectores são diferentes de ! e, sendoÄ
< ßÄ
= ß > as rectas vectoriais que os
Ä
Ä
contêm, tem-se X œÄ
< ŠÄ
= Š>.
Dem: Tendo em conta a alínea 2) de 9.41 e a alínea 1) de 9.35, Ä
? eÄ
@ são
Ä
Ä
Ä
não colineares, em particular diferentes de ! . Sendo < e = as rectas
vectoriais que contêm Ä
? eÄ
@ , respectivamente, tem-se Ä
< ÁÄ
= portanto, por
Ä
Ä
Ä
9.39, sendo ! o único plano vectorial que contém < e = , tem-se Ä
! π
< ŠÄ
=.
Ä Ä
Î ! , senão Ä
Mas > §
? ßÄ
@ ßÄ
A eram complanares, e portanto, tendo em conta
9.42, vem
Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä
X œ ! Š > œ Ð< Š = Ñ Š > œ < Š = Š > .
Vamos agora verificar como se pode definir uma noção de sentido para os
vectores não nulos. Começamos, para isso, por definir uma relação de
equivalência na classe dos pares ordenados de pontos distintos de X ,
relação a cujas classe de equivalência vamos chamar sentidos.
– 122–
…
9.44 Consideremos a relação µ na classe dos pares ordenados ÐEß FÑ de pontos
distintos de X definida por ÐEß FÑ µ ÐGß HÑ se, e só se, a isometria (transÛ
Û
lação) 7GßE aplica a semirrecta EF sobre a semirrecta GH (lembrar que,
Û
tendo em conta 5.4 e 5.5, 7GßE aplica a semirrecta EF da recta EF sobre
uma semirrecta da recta 7GßE ÐEFÑ de origem 7GßE ÐEÑ œ G ). Tem-se então:
a) A relação µ é de equivalência.
b) Dados pontos E Á F e G , tem-se ÐEß FÑ µ ÐGß HÑ, com H œ 7GßE ÐFÑ.
Ä
Ä Ä
Se EF œ GH Á ! , então ÐEß FÑ µ ÐGß HÑ.
c) Se ÐEß FÑ µ ÐGß HÑ, então as rectas EF e GH são paralelas.
d) Se E é diferente de F e de F w , então ÐEß FÑ µ ÐEß F w Ñ se, e só se, F e F w
estão numa mesma semirrecta de origem E (em particular, as rectas EF e
EF w coincidem).
Dem: a) O facto de se ter ÐEß FÑ µ ÐEß FÑ é uma consequência de 7EßE ser a
Û
identidade e aplicar assim a semirrecta EF sobre ela mesma. Supondo que
Û
ÐEß FÑ µ ÐGß HÑ, a translação 7GßE aplica a semirrecta EF sobre a
Û
semirrecta GH e portanto a sua inversa que, tendo em conta 9.22, é 7EßG ,
Ä
Û
aplica GH sobre EF , o que mostra que ÐGß HÑ µ ÐEß FÑ. Por fim, se
ÐEß FÑ µ ÐGß HÑ e ÐGß HÑ µ ÐIß J Ñ a translação 7GßE aplica a semirrecta
Û
Û
Û
EF sobre a semirrecta GH e a translação 7IßG aplica a semirrecta GH sobre
Û
a semirrecta IJ pelo que, tendo em conta 9.25, 7IßE œ 7IßG ‰ 7GßE aplica a
Û
Û
semirrecta EF sobre a semirrecta IJ , isto é, ÐEß FÑ µ ÐIß J Ñ.
b) Uma vez que G œ 7GßE ÐEÑ, se H œ 7GßE ÐFÑ então a translação 7GßE
Û
aplica a recta EF sobre a recta GH e a semirrecta EF sobre a semirrecta
Ä
Ä Ä
Û
GH, o que mostra que ÐEß FÑ µ ÐGß HÑ. Supondo que EF œ GH Á ! , em
particular E Á F e G Á H, tem-se H œ 7FßE ÐGÑ (cf. 9.21) portanto, por
9.28, vem também H œ 7GßE ÐFÑ donde, como acabamos de verificar,
ÐEß FÑ µ ÐGß HÑ.
Û
c) Uma vez que a isometria 7GßE aplica a semirrecta EF sobre a semirrecta
Û
Û
Û
GH, a imagem da recta EF , que contém EF , é uma recta que contém GH, e
portanto é a recta GH. Basta agora lembrarmos que, por 9.9, a imagem por
7GßE da recta EF é uma recta paralela a EF .
d) Trata-se de uma consequência imediata da definição e do facto de a
…
translação 7EßE ser a identidade.
9.45 Vamos chamar sentido em X a uma classe de equivalência de pares ordenados ÐEß FÑ de pontos distintos de X para a relação µ definida em 9.44. A
classe de equivalência do par ordenado ÐEß FÑ será notada ÒÐEß FÑÓµ .
9.46 Chamamos direcção de um sentido ÒÐEß FÑÓ à recta vectorial Ä
< associada
µ
à recta < œ EF , recta vectorial essa que está bem definida uma vez que,
tendo em conta a alínea c) de 9.44, se ÒÐEß FÑÓµ œ ÒÐGß HÑÓµ , então as rectas
< œ EF e = œ GH são paralelas, e portantoÄ
< π
=.
– 123–
9.47 Cada direcçãoÄ
< é direcção de dois, e só dois, sentidos.
Dado um sentido, chamamos sentido oposto ao outro sentido que tem a
mesma direcção que o primeiro.
Dem: Fixemos E − < e sejam Fß F w − < distintos de E e em semirrectas de <
distintas de origem E. Tem-se então que que ÒÐEß FÑÓµ e ÒÐEß F w ÑÓµ são
sentidos cuja direcção é Ä
< e são sentidos distintos uma vez que 7EßE é a
Û
identidade e aplica assim a semirrecta EF sobre ela mesma, que é distinta da
Û
semirrecta EF w . Suponhamos, enfim que ÒÐGß HÑÓµ é um sentido cuja
Ä
direcção é < , e portanto que = œ GH é uma recta paralela a <. Podemos
então considerar F ww œ 7EßG ÐHÑ, tendo-se portanto que a translação 7EßG
Û
Û
aplica a semirrecta GH sobre a semirrecta EF ww , donde ÒÐGß HÑÓµ œ
ÒÐEß F ww ÑÓµ e portanto a recta EF ww também é paralela a <, logo igual a < por
ter o ponto E em comum. Tem-se assim que F ww pertence a uma das
Û
Û
Û
Û
Û
semirrectas EF ou EF w , ou seja EF ww é uma das semirrectas EF ou EF w e
ww
portanto, mais uma vez por 7EßE ser a identidade, ÒÐGß HÑÓµ œ ÒÐEß F ÑÓµ é
um dos sentidos ÒÐEß FÑÓµ ou ÒÐEß F w ÑÓµ .
…
Ä
Ä
9.48 Dado um vector Ä
? Á ! , com Ä
? œ EF , chamamos sentido de Ä
? ao sentido
ÒÐEß FÑÓµ , sentido esse que está vem definido, tendo em conta a alínea b) de
9.44.
Repare-se que, como decorre das definições em 9.34 e 9.46, a direcção de um
Ä
vector Ä
? Á ! é igual à direcção do sentido de Ä
?.
Ä
Ä tem a mesma direcção mas sentido
9.49 Dado um vector Ä
? Á ! , o vector ?
Ä
distinto do de ? (por outras palavras, tem sentido oposto ao de Ä
? ) e portanto,
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
sendo < a direcção de ? qualquer vector @ − < Ï Ö! × tem o sentido de Ä
? ou
Ä.
o de ?
Ä
Dem: Escolhendo E − <, tem-se Ä
? œ EF , para um certo F − <, e então,
Äw
Ä œ EF
tendo em conta 9.23, tem-se ?
, onde F w œ 38@E ÐFÑ é um ponto de
< na semirrecta de < oposta à que contém F e portanto Ä
< é também a
Ä e o seu sentido ÒÐEß F w ÑÓ é distinto do sentido ÒÐEß FÑÓ de
direcção de ?
µ
µ
Û
Ä
? (a translação 7EßE œ M.X aplica a semirecta EF sobre ela mesma, que é
Ä
Û
diferente de EF w ). Por fim, qualquer vectorÄ
@ Á ! emÄ
< tem que ter um dos
dois sentidos cuja direcção é Ä
< (cf. 9.47), e portanto o seu sentido tem que
Ä.
ser o de Ä
? ou o de ?
…
9.50 (Caracterização dos vectores por sentido e comprimento) Suponhamos
fixada uma função distância . − Y . Dado um sentido ÒÐEß FÑÓµ e um real
Ä Ä
+  ! existe um, e um só, vector Ä
? − X Ï Ö! × com aquele sentido e tal que
Äm œ +.
m?
Ä
Dem: Fixado E, qualquer vector Ä
? Á ! pode escrever-se de maneira única
Ä
na forma EF w , com F w Á E e um tal vector tem o sentido ÒÐEß FÑÓµ se, e só
– 124–
Û
Û
se, a translação 7EßE œ M.X aplicar a semirrecta EF sobre a semirrecta EF w
Û
ou seja, se, e só se, F w pertence à semirrecta EF . Ficamos assim reduzidos
Û
ao facto conhecido que existe um, e um só elemento F w da semirrecta EF tal
que .ÐEß F w Ñ œ +.
…
Como acontece com qualquer grupo abeliano, com notação aditiva, o
conjunto dos vectores livres fica a ser automaticamente um módulo sobre
o anel ™ dos inteiros, onde a acção de ™ associa a cada 8 − ™ e a cada
Ä. Lembramos que o vector 8?
Ä, com 8 !, pode
vector Ä
? um vector 8?
Ä
Ä
Ä
Ä Ä
ser definido indutivamente por ! ? œ ! e Ð8  "Ñ? œ 8?
? (em partiÄ
Ä
Ä
Ä (para 8 œ !
cular " ? œ ? ) e que, para 8 Ÿ !, define-se 8? œ Ð8Ñ?
Ä
as duas caracterizações dão o mesmo resultado, nomeadamente ! ), em
Ä
Ä
Ä œ Ð"Ñ?
Ä. Lembremos ainda que se tem 8! œ ! , para cada
particular ?
8 − ™.
O nosso próximo objectivo é mostrar que o conjunto dos vectores livres
tem mesmo uma estrutura de espaço vectorial real, cuja soma é a definida
anteriormente. A multiplicação pelos reais estende então automaticamente
a multiplicação pelos inteiros referida atrás.
Ä, produto do real
9.51 Sejam Ä
? um vector e + − ‘. Define-se então um vector +?
Ä
+ pelo vector ? , do seguinte modo:
Ä
Ä œÄ
a) Se + œ ! ou Ä
? œ ! , então +?
!.
Ä
Ä é o único vector com o
b) Se +  ! e Ä
? Á ! , então, fixado . − Y , +?
Ä
Ä
Ä
mesmo sentido que ? e tal que m+? m. œ +m? m. (constata-se então que, para
Äm w œ +m?
Äm w , pelo que o resultado não
cada . w − Y , tem-se ainda m+?
.
.
depende da fixação de . ).
Ä
Ä é o único vector com o
c) Se +  ! e Ä
? Á ! , então, fixado . − Y , +?
Ä
Ä
Ä
sentido oposto ao de ? e tal que m+? m. œ l+lm? m. (constata-se então que,
Äm w œ l+lm?
Äm w , pelo que o resultado não
para cada . w − Y , tem-se ainda m+?
.
.
depende da fixação de . ).
9.52 Como consequência imediata da definição anterior, vemos que, fixada uma
função distância . − Y e considerando a norma associada, tem-se, para cada
Ä
Ä
Äm œ l+lm?
Äm.
? − X e + − ‘, m+?
9.53 (Lema) Fixemos uma função distância . − Y e seja < uma recta e 0 À < Ä ‘
um . -sistema de coordenadas com origem S − <, portanto com 0 ÐSÑ œ !.
Ä
Ä
Dados vectores Ä
? ßÄ
@ −Ä
< , comÄ
? œ SE eÄ
@ œ SF , tem-se então:
Ä
Ä œ SEw , onde 0 ÐEw Ñ œ 0 ÐEÑ;
a) Tem-se ?
Ä
b) Tem-se Ä
? Ä
@ œ SG , onde 0 ÐGÑ œ 0 ÐEÑ  0 ÐFÑ;
Ä
Ä œ SH
c) Para cada + − ‘, tem-se +?
, onde 0 ÐHÑ œ +0 ÐEÑ.
Dem: a) Temos uma consequência de 9.23, tendo em conta o facto de ser
0 ÐSÑ œ !.
– 125–
Ä
b) Começamos por reparar que b) é trivial no caso em que Ä
? œ ! (ou seja,
Ä
E œ S) ou Ä
@ œ ! (ou seja, F œ S) pelo que basta examinar o caso em que
Ä
Ä
Ä
Ä
? Á! eÄ
@ Á ! . Tendo em conta 9.20, tem-se também Ä
@ œ EG , onde
G œ 7ES ÐFÑ, e portanto, por 9.13,
0 ÐGÑ œ 0 ÐFÑ  Ð0 ÐEÑ  0 ÐSÑÑ œ 0 ÐEÑ  0 ÐFÑ.
Basta agora atendermos que se tem, por 9.25,
Ä
Ä
Ä
Ä
? Ä
@ œ SE  EG œ SG .
c) Começamos por reparar que a conclusão é trivial no caso em que + œ !
Ä
(vem H œ S) e naquele em que Ä
? œ ! (vem E œ S, donde 0 ÐHÑ œ ! e
Ä
H œ S). Podemos assim supor já que se tem + Á ! e Ä
? Á ! . Supondo que
+  !, 0 ÐHÑ e 0 ÐEÑ têm o mesmo sinal ou seja, por ser 0 ÐSÑ œ !, H e E
Ä
Ä
estão na mesma semirrecta de origem S e portanto os vectores SH e SE
têm o mesmo sentido, pelo que, por ser
Ä
mSHm. œ .ÐSß HÑ œ l0 ÐHÑ  0 ÐSÑl œ l0 ÐHÑl œ +l0 ÐEÑl œ
Ä
œ +l0 ÐEÑ  0 ÐSÑl œ + .ÐSß EÑ œ +mSEm. ,
Ä
Ä
Ä. Supondo agora que +  !, 0 ÐHÑ e
tem-se efectivamente SH œ + SE œ +?
0 ÐEÑ têm sinais distintos ou seja, por ser 0 ÐSÑ œ !, H e E estão em semirÄ
Ä
rectas opostas de origem S e portanto os vectores SH e SE têm sentidos
opostos, pelo que, por ser
Ä
mSHm. œ .ÐSß HÑ œ l0 ÐHÑ  0 ÐSÑl œ l0 ÐHÑl œ l+ll0 ÐEÑl œ
Ä
œ l+ll0 ÐEÑ  0 ÐSÑl œ l+l .ÐSß EÑ œ l+lmSEm. ,
Ä
Ä
Ä.
tem-se efectivamente SH œ + SE œ +?
…
9.54 (Primeiras propriedades da multiplicação pelos reais) Dados +ß , − ‘ e
Ä
Ä
? ßÄ
@ − X que sejam colineares, tem-se:
Ä Ä Ä
Ä;
a) 0 †Ä
? œ ! , + † ! œ ! , " †Ä
? π
? e Ð"Ñ †Ä
? œ ?
Ä
Ä
Ä
b) Ð+  ,Ñ? œ +?  ,? ;
Ä œ +Ð,?
ÄÑ;
c) Ð+,Ñ?
Ä
Ä
Ä  +@
Ä.
d) +Ð?  @ Ñ œ +?
Dem: As propriedades em a) resultam imediatamente da definição em 9.51.
Para as restantes alíneas, fixemos um função distância . − Y , uma recta < tal
que Ä
? ßÄ
@ −Ä
< e um . -sistema de coordenadas 0 À < Ä ‘ com origem S − < e
Ä
Ä
consideremos Eß F − < tais que Ä
? œ SE eÄ
@ œ SF . Aplicando as diferentes
Äw Ä
Ä
Ä œ SE
conclusões do lema 9.53, vemos que se tem +?
e ,? œ SEww , com
Ä
Ä  ,?
Ä œ SG , com 0 ÐGÑ œ
0 ÐEw Ñ œ +0 ÐEÑ e 0 ÐEww Ñ œ ,0 ÐEÑ, donde +?
– 126–
Ä  ,?
Ä œ Ð+  ,Ñ?
Ä. Do
+0 ÐEÑ  ,0 ÐEÑ œ Ð+  ,Ñ0 ÐEÑ, o que mostra que +?
Ä ww
Ä œ SE
mesmo modo, de ser ,?
, com 0 ÐEww Ñ œ ,0 ÐEÑ, deduzimos que
Ä
Ä
ÄÑ œ
ww
+Ð,? Ñ œ SH, com 0 ÐHÑ œ +0 ÐE Ñ œ +,0 ÐEÑ, o que mostra que +Ð,?
Ä
Ä. Quanto a d), sabemos que Ä
Ð+,Ñ?
? Ä
@ œ EG , com 0 ÐGÑ œ 0 ÐEÑ  0 ÐFÑ,
Ä
Ä
Ä
w
w
donde +Ð?  @ Ñ œ EG , com 0 ÐG Ñ œ +0 ÐGÑ œ +0 ÐEÑ  +0 ÐFÑ e, por
Äw Ä
Ä
Ä œ SE
outro lado, +?
e +@ œ SF w , com 0 ÐEw Ñ œ +0 ÐEÑ e 0 ÐF w Ñ œ +0 ÐFÑ
Äw
Ä  +@
Ä œ EG
Ä Ä
donde resulta finalmente que +?
œ +Ð?
@ Ñ.
…
Ä
9.55 (Espaço vectorial) O conjunto X dos vectores do espaço, com a soma de
vectores e a multiplicação de um vector por um número real atrás definidas, é
um espaço vectorial.
Dem: A única propriedade que nos falta estabelecer é a igualdade
Ä Ä
Ä  +@
Ä, no caso em que os vectores Ä
+Ð?
@ Ñ œ +?
? eÄ
@ não são colineares,
Ä
em particular são ambos diferentes de ! . Podemos também já supor que
Ä Ä Ä
+  !, uma vez que a igualdade se reduz a ! œ !  ! , no caso em que
+ œ !, e que o caso em que +  ! se reduz àquele em que +  !, tendo em
conta que se +  !, pode-se escrever
Ä Ä
Ä Ä
Ä Ä
ÄÑ  Ð@
ÄÑÑ œ
Ð+ÑÐ?
@ Ñ œ +ÐÐ"ÑÐ?
@ ÑÑ œ +ÐÐ?
@ ÑÑ œ +ÐÐ?
Ä
Ä
Ä
Ä
œ +Ð? Ñ  +Ð@ Ñ œ +ÐÐ"Ñ? Ñ  +ÐÐ"Ñ@ Ñ œ
Ä  Ð+Ñ@
Ä.
œ Ð+Ñ?
Depois de termos mostrado que basta considerar o caso em que +  !,
reparemos agora que basta considerar o caso em que !  +  ". Com efeito,
se + œ " a igualdade pretendida é trivial (Ä
? Ä
@ π
? Ä
@ ) e, se tivermos
provado a igualdade no caso em que +  " vemos que, para +  ", tem-se
"
+  ", e portanto
" Ä
" Ä
" Ä
" Ä
Ä Ä
+Ð?
@ Ñ œ +ÐÐ +Ñ?
 Ð +Ñ@
Ñ œ +Ð Ð+?
Ñ  Ð+@
ÑÑ œ
+
+
+
+
" Ä Ä
" Ä Ä
Ä  +@
Ä.
œ +Ð Ð+?
 +@ ÑÑ œ Ð+ ÑÐ+?
 +@ Ñ œ +?
+
+
Passemos então à demonstração no caso em que +  ". Escolhamos pontos
Ä
Ä
Eß F tais que Ä
? œ EF e um ponto G tal queÄ
@ œ FG . O facto de Ä
? eÄ
@ não
serem colineares implica que Eß Fß G não são colineares e tam-se então
Ä
Ä œ E\
+?
, onde \ − ÒEß FÓ é distinto de E e de F e definido pela condição
de se ter lE\l œ +lEFl. Podemos então aplicar o lema 8.1 para considerar o
único ponto ] − ÒEß GÓ tal que a recta \] seja paralela a FG , ponto esse
que é diferente de E e de G , e o único ponto ^ − ÒGFÓ tal que a recta ] ^
seja paralela a EF , ponto esse que é diferente de F e de G , tendo-se então
que ÐFß ^ß ] ß \Ñ é um paralelogramo.
– 127–
A
Y
X
B
Z
C
Pelo teorema de Thales em 8.3, tem-se também lF^l œ l\] l œ +lFGl e
Ä
Ä
lE] l œ +lEGl, a última igualdade implicando que E] œ +EG e a primeira
Ä
Ä
Ä. Por outro lado, tendo em conta 9.12 e 9.20, tem-se
que F^ œ +FG œ +@
Ä
Ä
Ä
Ä. Podemos agora escrever, tendo
F^ œ \] , e portanto também \] œ +@
Ä
Ä
Ä Ä Ä
em conta 9.25, EG œ EF  FG œ ?  @ , donde
Ä
Ä
Ä
Ä Ä
Ä  +@
Ä.
+Ð?
@ Ñ œ E] œ E\  \] œ +?
…
9.56 Se < § X é uma recta, então a correspondente recta vectorial Ä
< é um
Ä
subespaço vectorial de dimensão " de X e qualquer subespaço vectorial de
Ä
dimensão " de X é deste tipo.
Dem: Fixemos uma função distância . − Y e seja 0 À < Ä ‘ um . -sistema de
Ä
coordenadas com origem S − ‘. Uma vez que, para cada E − ‘, SE −Ä
< e
Ä
Ä
Ä
que qualquer vector ? − < se escreve de modo único na forma SE, com
E − <, podemos definir uma bijecção :ÀÄ
< Ä ‘ pela condição de, para cada
Ä
Ä
Ä
? œ SE se ter :Ð? Ñ œ 0 ÐEÑ. Tendo em conta 9.53, a bijecção :" À ‘ ÄÄ
<
é linear, o que implica queÄ
< é, tal como ‘, um espaço vectorial de dimensão
Ä
". Por fim, se Z fosse um espaço vectorial de dimensão ", podíamos
Ä
Ä
considerar uma base Ä
@ de Z e pondo Ä
@ œ EF , com E Á F , podemos
Ä
considera a recta < œ EF para a qual se temÄ
@ −Ä
< , donde Z §Ä
< e portanto,
Ä Ä
por se tratar de espaços com a mesma dimensão, Z œ < .
…
Ä
9.57 Se ! § X é um plano, então o correspondente plano vectorial ! é um
Ä
subespaço vectorial de dimensão # de X e qualquer subespaço vectorial de
Ä
dimensão # de X é deste tipo.
Dem: Sejam Eß Fß G três pontos não colineares de !. Podemos então
considerar as rectas concorrentes < œ EF e = œ EG contidas em !, tendo
assim que as rectas vectoriais associadas Ä
< eÄ
= estão contidas em Ä
! e são
distintas. Tendo em conta 9.39, tem lugar a soma directa de grupos
comutativos Ä
! π
< ŠÄ
= , pelo que, uma vez que estes são espaços vectoriais
Ä
de dimensão ", ! é um subespaço vectorial de dimensão #. Por outro lado, se
– 128–
Ä
Z fosse um subespaço vectorial de dimensão #, podíamos considerar uma
Ä
base Ä
@ ßÄ
A de Z , que eram assim não colineares e portanto, por 9.40, existia
Ä
um plano vectorial Ä
! contendo Ä
@ eÄ
A , de onde duduzimos que Z § Ä
!,
Ä
donde Z œ Ä
! , por se tratarem de subespaços vectoriais com a mesma
…
dimensão.
Ä
9.58 O espaço vectorial X tem dimensão $.
Dem: Sejam Eß Fß Gß H pontos não complanares de X . Tendo em conta 9.41,
Ä
Ä
Ä
os vectores Ä
? œ EF , Ä
@ œ EG e Ä
A œ EH são não complanares e portanto,
Ä
por 9.43, sendo Ä
<,Ä
= e > as rectas vectoriais que contêm aqueles três
Ä
Ä
vectores, tem lugar a soma directa X π
< ŠÄ
= Š > de subgrupos abelianos
Ä
que são subespaços vectoriais de dimensão ", o que mostra que X é um
espaço vectorial de dimensão $.
…
Vamos agora examinar alguns exemplos de utilização da Álgebra Linear
Ä
de X ao estudo da Geometria.
9.59 (Caracterização vectorial dos pontos da recta) Sejam < uma recta e Eß F
dois pontos distintos de <. Tem-se então que os pontos \ − < são
Ä
Ä
exactamente aqueles para os quais se tem E\ œ > EF , para um certo > − ‘.
Û
Um tal > é então único e, sendo < œ EF e < a semirrecta oposta de origem
E, tem-se \ − < se, e só se, > ! e \ − < se, e só se, > Ÿ !.
Dem: Sabemos que os pontos \ − < são exactamente aqueles para os quais
Ä
E\ −Ä
< pelo que a primeira afirmação, tal como aquela sobre a unicidade de
Ä
> resulta simplesmente de que EF é um vector não nulo, e portanto uma base
do subespaço vectorial Ä
< de dimensão ". Afastando agora o caso trivial em
que \ œ E, que pertence a ambas as semirrectas e para o qual > œ !, vemos
Ä
Ä
que \ − < se, e só se, os vectores E\ e EF têm o mesmo sentido o que,
tendo em conta a definição da multiplicação dos vectores pelos números reais
em 9.51, equivale a >  !.
…
9.60 (Combinações afins de pontos) Sejam ÐE4 Ñ4−N uma família finita de
pontos e Ð>4 Ñ4−N uma família de números reais tal que ! >4 œ ". Existe então
um, e um só, ponto \ , que notaremos ! >4 E4 com a propriedade de, para
4
Ä
Ä
qualquer ponto S, se ter S\ œ ! >4 SE4 .
4
4
Dem: A unicidade de um ponto \ nas condições pedidas é imediata. Para
provarmos a existência, o que temos que repararar é que, escolhendo S e
Ä
Ä
definindo \ pela condição de se ter S\ œ ! >4 SE4 , então dado outro
4
– 129–
ponto Sw , tem-se
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Sw \ œ Sw S  S\ œ " >4 Sw S  " >4 SE4 œ
4
4
Ä
Ä
Ä
œ " >4 ÐSw S  SE4 Ñ œ " >4 Sw E4 .
4
…
4
9.61 (Nota) É comum utilizar notações alternativas para ! >4 E4 (quando se tem
! >4 œ ") que são claramente entendidas como sinónimas. Ninguém terá
4
4
dúvidas em entender, por exemplo, o que queremos significar ao escrever
=E  >F (se =  > œ ") ou =" E"  â  =8 E8 (se ="  â  =8 œ ").
Note-se que, como caso particular trivial, tem-se E œ "E.
9.62 (Caracterização afim dos pontos duma recta, duma semirrecta e dum
segmento de recta) Sejam < uma recta e Eß F dois pontos distintos de <.
Tem-se então que os pontos \ − < são exactamente aqueles para os quais se
tem \ œ =E  >F , com =  > œ ", os reais =ß > estando então univocamente
determinados por \ . Tem-se então E œ "E  !F , F œ !E  "F e, para \
Û
Û
com a decomposição referida, \ − EF se, e só se, > !, \ − FE se, e só
se, = ! (ou, o que é equivalente, > Ÿ ") e portanto \ − ÒEß FÓ se, e só se,
> ! e = ! (ou, o que é equivalente, > − Ò!ß "Ó).
Dem: A caracterização dos pontos \ − < como os que se podem escrever na
forma \ œ =E  >F , com =  > œ ", e a unicidade de uma tal decomposição
resultam de 9.59, uma vez que, escolhendo como ponto auxiliar o ponto E,
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
aquela igualdade é equivalente a E\ œ =EE  >EF , isto é a E\ œ >EF ,
igualdade que, para cada \ é verificada para um único >, o qual determina =
pela condição = œ "  >. É evidente que "E  !F œ "E œ E e que
Û
!E  "F œ "F œ F . O facto de se ter \ − EF se, e só se, > ! é uma
consequência de 9.59 uma vez que, como já referido, \ œ =E  >F é
Ä
Ä
equivalente a E\ œ >EF . Por simetria dos papéis de E e F , tem-se
Û
\ − FE se, e só se, = !, o que é equivalente a > Ÿ ", por ser > œ "  =Þ
Por fim, sabemos que \ − ÒEß FÓ se, e só se, \ pertence simultaneamente às
Û
Û
semirrectas EF e FE, o que é equivalente a > ! e = !, e portanto
também a > − Ò!ß "Ó uma vez que, como já referido, = ! é equivalente a
> Ÿ ".
…
9.63 (Caracterização vectorial dos pontos do plano) Sejam ! um plano, < § !
uma recta, G − ! Ï < e notemos ! o semiplano de ! de bordo < que contém
G e ! o outro semiplano com o mesmo bordo. Sejam Eß F pontos distintos
de <. Tem-se então que os pontos \ − ! são exactamente os pontos de X
para os quais se pode escrever
– 130–
Ä
Ä
Ä
E\ œ = EF  > EG ,
com =ß > − ‘. Um tal par de números reais Ð=ß >Ñ é então único e tem-se
\ − < se, e só se, > œ !, \ − ! se, e só se, > ! e \ − ! se, e só se,
> Ÿ !.
Dem: Sabemos que os pontos \ − ! são exactamente aqueles para os quais
Ä
E\ − Ä
! pelo que a primeira afirmação, assim como a unicidade do par
Ä
Ä
Ð=ß >Ñ, resultam de que, por 9.35, EF e EG são vectores não colineares, logo
linearmente independentes, do espaço vectorial Ä
! de dimensão #, e portanto
uma base deste espaço. A caracterização dos pontos \ − < em 9.59
mostra-nos que, para um tal ponto \ , tem-se \ − < se, e só se, > œ !. Seja
Ä
Ä
Ä
agora \ − ! Ï <, portanto E\ œ = EF  > EG com > Á !. Tendo em conta
a caracterização dos segmentos de recta em 9.62, os pontos ] − ÒGß \Ó são
aqueles para os quais, para um certo ? − Ò!ß "Ó,
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
E] œ Ð"  ?ÑEG  ?E\ œ Ð"  ?  ?>ÑEG  ?=EF .
Se >  !, tem-se, para todo o ? − Ò!ß "Ó, "  ?  ?>  ! portanto ] Â <, o
que mostra que o segmento de recta ÒGß \Ó não intersecta <, e portanto \
está no mesmo semiplano de bordo < que G , ou seja, \ − ! . Suponhamos
"
agora que >  !. Podemos então considerar o valor ? œ ">
− Ò!ß "Ó, para o
qual se tem "  ?  ?> œ !, pelo que o ponto ] − ÒGß \Ó definido por
Ä
Ä
Ä
E] œ Ð"  ?ÑEG  ?E\ pertence a <, o que mostra que G e \ estão em
…
semiplanos opostos de bordo <, ou seja, \ − ! .
9.64 (Corolário) Sejam ! um plano e Eß Fß G três pontos não colineares de ! e
Û
Û
consideremos as semirrectas < œ EF e = œ EG de origem E e o
correspondente sector angular nÖ< ß = × § !. Tem-se então que um ponto
Ä
Ä
Ä
\ − !, com E\ œ ?EF  @ EG , pertence a nÖ< ß = × se, e só se, ? ! e
@ !.
Dem: Trata-se de uma consequência de 9.63, se nos lembrarmos que
nÖ< ß = × é a intersecção do semiplano de ! de bordo EF que contém G
com o semiplano de ! de bordo EG que contém F .
…
9.65 (Caracterização afim dos pontos dum plano, dum semiplano, dum
sector angular e dum segmento triangular) Sejam ! um plano e Eß Fß G
três pontos não colineares de !. Tem-se então que os pontos \ − ! são
exactamente aqueles para os quais se tem
\ œ =E  >F  ?G,
com =  >  ? œ " e, para cada ponto \ nessas condições, o triplo Ð=ß >ß ?Ñ
fica univocamente determinado. Além disso, para um ponto \ nessas
condições, tem-se que \ pertence à recta EF se, e só se ? œ !, \ pertence
ao semiplano de ! de bordo EF que contém G se, e só se, ? !, \ pertence
– 131–
Û Û
ao sector angular nÖEFß EG× se, e só se, > ! e ? ! e \ pertence ao
segmento triangular ÒEß Fß GÓ se, e só se, = !ß > ! e ? !.
Dem: A caracterização dos pontos \ − ! como os que se podem escrever na
forma \ œ =E  >F  ?G , com =  >  ? œ ", e a unicidade de uma tal
decomposição resultam de 9.63, uma vez que, escolhendo como ponto
auxiliar o ponto E, aquela igualdade é equivalente a
Ä
Ä
Ä
Ä
E\ œ =EE  >EF  ?EG ,
Ä
Ä
Ä
isto é a E\ œ >EF  ?EG , igualdade que, para cada \ é verificada para
um único par Ð>ß ?Ñ, o qual determina = pela condição = œ "  >  ?. As
condições referidas no enunciado para que \ pertença à recta EF , ao
Û Û
semiplano de ! de bordo EF que contém G e ao sector angular nÖEFß EG×
resultam das correspondentes condições em 9.63 e 9.64 e a condição para
que \ pertença ao segmento triangular ÒEß Fß GÓ resulta de que isso é
Û Û
equivalente a \ pertencer simultaneamente ao sector angular nÖEFß EG× e
ao semiplano de ! de bordo FG que contém E.
…
9.66 (Caracterização vectorial dos pontos do espaço) Sejam ! um plano e
H Â ! e notemos X o semiespaço de bordo ! que contém H e X o outro
semiespaço com o mesmo bordo (cf. 2.11). Sejam Eß Fß G pontos não
Ä
colineares de !. Tem-se então que, para cada \ − X , o vector E\ escreve-se
de modo único na forma
Ä
Ä
Ä
Ä
E\ œ = EF  > EG  ? EH,
tendo-se então que \ − ! se, e só se, ? œ !, \ − X se, e só se, ? ! e
\ − X se, e só se, ? Ÿ !.
Dem: Uma vez que Eß Fß Gß H são não complanares, resulta de 9.41 que os
Ä Ä
Ä
vectores EF , EG e EH são não complanares, portanto linearmente indepenÄ
dentes, logo uma base de X , o que mostra que, para cada ponto \ , o vector
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
E\ escreve-se de modo único na forma E\ œ = EF  > EG  ? EH, com
=ß >ß ? − ‘. O facto de se ter \ − ! se, e só se, ? œ ! é uma consequência da
caracterização dos pontos de ! em 9.63. Seja agora \ − X Ï !, portanto
Ä
Ä
Ä
Ä
E\ œ = EF  > EG  ? EH com ? Á !. Tendo em conta a caracterização
dos segmentos de recta em 9.62, os pontos ] − ÒHß \Ó são aqueles para os
quais, para um certo @ − Ò!ß "Ó,
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
E] œ Ð"  @ÑEH  @E\ œ Ð"  @  @?ÑEH  @=EF  @>EG .
Se ?  !, tem-se, para todo o @ − Ò!ß "Ó, "  @  @?  ! portanto ] Â !, o
que mostra que o segmento de recta ÒGß \Ó não intersecta !, e portanto \
está no mesmo semiespaço de bordo ! que G , ou seja, \ − X . Suponhamos
"
agora que ?  !. Podemos então considerar o valor @ œ "?
− Ò!ß "Ó, para o
qual se tem "  @  @? œ !, pelo que o ponto ] − ÒGß \Ó definido por
– 132–
Ä
Ä
Ä
E] œ Ð"  @ÑEH  @E\ pertence a !, o que mostra que G e \ estão em
semiespaços opostos de bordo !, ou seja, \ − X .
…
9.67 (Caracterização afim dos pontos do espaço e dum semiespaço) Sejam !
um plano e H Â ! e notemos X o semiespaço de bordo ! que contém H e
X o outro semiespaço com o mesmo bordo. Sejam Eß Fß G pontos não
colineares de !. Tem-se então que qualquer ponto \ − X se escreve de modo
único na forma
\ œ =E  >F  ?G  @H,
com =  >  ?  @ œ ", tendo-se \ − ! se, e só se, @ œ !, \ − X se, e só
se, @ ! e \ − X se, e só se, @ Ÿ !.
Dem: O facto de qualquer ponto \ − X se poder escrever na forma
\ œ =E  >F  ?G  @H, com =  >  ?  @ œ ", e a unicidade de uma tal
decomposição resultam de 9.66, uma vez que, escolhendo como ponto
auxiliar o ponto E, aquela igualdade é equivalente a
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
E\ œ =EE  >EF  ?EG  @EH,
Ä
Ä
Ä
Ä
isto é a E\ œ >EF  ?EG  @EH, igualdade que, para cada \ é verificada
para um único triplo Ð>ß ?ß @Ñ, o qual determina = pela condição
= œ "  >  ?  @. As condições referidas no enunciado para que \ pertença
a !, a X e a X resultam das correspondentes condições em 9.66.
…
10. Ângulo de vectores, ortogonalidade, produto interno.
10.1 Existe uma única aplicação .
? eÄ
@ não
s que a cada par de vectores Ä
Ä
Ä
colineares (em particular não nulos) associa .
sÐ? ß @ Ñ − Ó!ß #Ò tal que, sempre
Ä
Ä
Û Û
ÄßÄ
que Ä
? œ EF e Ä
@ œ EG , se tenha .
@ Ñ œ .ÐÖEFß EG×Ñ (cf. 3.16).
sÐ?
ÄßÄ
Dizemos que .
@ Ñ é a amplitude do ângulo dos vectores Ä
? eÄ
@.
sÐ?
Dem: A unicidade de uma aplicação .
s nas condições pedidas é uma
consequência de que, fixado E, existem pontos únicos F e G tais que
Ä
Ä
Û
Û
Ä
? œ EF e Ä
@ œ EG e então Eß Fß G são não colineares, pelo que EF e EG
são semirrectas com a mesma origem determinando rectas distintas. Para
terminar a demonstração, tudo o que temos que verificar é que, se for
Ä
Ä
Ä
Ä
também
? œ Ew F w
e
@ œ Ew G w ,
então
tem-se
Û
Û Û
w w Û
w w
.ÐÖEFß EG×Ñ œ .ÐÖE F ß E G ×Ñ. Ora, por 9.28, uma vez que
F w œ 7FßE ÐEw Ñ, tem-se também F w œ 7Ew E ÐFÑ e, do mesmo modo
G w œ 7Ew E ÐGÑ e, evidentemente, Ew œ 7Ew E ÐEÑ. Tendo em conta o facto de
7Ew E À X Ä X ser uma isometria, deduzimos agora de 5.8 que se tem
Û Û
Û Û
…
efectivamente .ÐÖEFß EG×Ñ œ .ÐÖEw F w ß Ew G w ×Ñ.
– 133–
10.2 Extendemos a definição anterior definindo, quando Ä
? eÄ
@ são vectores não
Ä
Ä
nulos colineares, a amplitude do ângulo .
sÐ? ß @ Ñ œ !, se os vectores tiverem
ÄßÄ
o mesmo sentido, e .
@ Ñ œ #, se os vectores tiverem sentidos diferentes.
sÐ?
10.3 Quaisquer que sejam os vectores não nulos Ä
? ßÄ
@ e +  !, tem-se:
Ä
Ä
Ä
Ä
a) .
sÐ? ß @ Ñ œ .
sÐ@ ß ? Ñ;
ÄßÄ
ÄßÄ
b) .
@Ñ œ .
@ Ñ;
sÐ+?
sÐ?
Ä
Ä
ÄßÄ
c) .
@ Ñ.
sÐ? ß @ Ñ œ #  .
sÐ?
Dem: A alínea a) resulta trivialmente das definições em 10.1 e 10.2. Quanto
a b), no caso em que os vectores são colineares, temos uma consequência de
Ä
Ä terem o mesmo sentido e, no caso em que não são colineares, basta
? e +?
Äw
Ä
Ä
Ä œ EF
repararmos que, sendo Ä
? œ EF e Ä
@ œ EG , tem-se +?
, onde, por
Äw
Ä
Ûw
Û
EF ter o mesmo sentido que EF , as semirrectas EF e EF coincidem.
Qanto a c), no caso em que os vectores são colineares, temos uma
Ä terem sentidos opostos e, no caso em que não são
consequência de Ä
? e ?
Ä ww
Û
Ä œ EF
colineares, basta repararmos que se tem ?
, onde as semirrectas EF
Û
Û Û
Û Û
e EF w são opostas, e portanto os ângulos ÖEFß EG× e ÖEF ww ß EG× são
adjacentes.
…
10.4 (Nota) Os resultados precedentes tornam possível definir, sem dificuldade,
a amplitude do ângulo de duas semirrectas, não necessariamente com a
mesma origem, de tal modo que quando elas tenham a mesma origem e
tenham rectas continentes distintas, se reencontre a noção em 3.16.
10.5 Dizemos que dois vectores Ä
? eÄ
@ são ortogonais, ou perpendiculares, e
Ä
Ä
Ä
escrevemos ? ¼ @ , se pelo menos um deles for ! ou, sendo ambos não
ÄßÄ
nulos, for .
@ Ñ œ ".
sÐ?
10.6 A relação de ortogonalidade verifica as seguintes condições:
a) Se Ä
? ¼Ä
@ , entãoÄ
@ ¼Ä
?;
Ä
Ä
Ä.
b) Se ? ¼ @ , então, para cada + − ‘, Ä
? ¼ +@
Dem: Trata-se de uma consequência imediata de 10.3 se repararmos que,
Ä
Ä
ÄßÄ
afastando já os casos triviais em queÄ
? œ ! ouÄ
@ œ ! , se .
@ Ñ œ ", então
sÐ?
Ä
Ä
Ä
Ä
tem-se também .
sÐ? ß @ Ñ œ #  .
sÐ? ß @ Ñ œ ", donde, para +  !,
Äß +@
ÄÑ œ .Ð?
ÄßÄ
Äß +@
ÄÑ œ .
Äß @
ÄÑ œ " e, para
.
@ Ñ œ ", para +  !, .
sÐ?
sÐ?
sÐ?
Ä
Ä œ ! , donde Ä
Ä.
+ œ !, +@
? ¼ +@
…
Ä
10.7 (O complementar ortogonal de um conjunto) Seja T § X um conjunto
de vectores. Define-se então o complementar ortogonal de T como sendo o
Ä
? − X tais que Ä
? ¼Ä
@ para qualquerÄ
@ − T.
conjunto T¼ dos vectores Ä
10.8 Tem-se:
Ä
a) Para cada T, ! − T¼ ;
b) Se T § U , então T¼ ¨ U ¼ ;
Ä
c) g¼ œ X
– 134–
Ä
Ä
d) Ö! ×¼ œ X
Ä
Ä
e) X ¼ œ Ö! ×.
Ä
Dem: As alíneas a) e d) resultam de se ter ! ¼Ä
@ , para todo o Ä
@ . As alíneas
Ä
b) e c) são triviais. A alínea e) resulta de a) e de que, se Ä
? Á ! , então não se
Ä
ÄßÄ
…
temÄ
? ¼Ä
? (.
? Ñ œ !) e portanto Ä
? Â X ¼.
sÐ?
10.9 (O complementar ortogonal de um vector não nulo e de uma recta
Ä
vectorial) Sejam Ä
? Á ! um vector eÄ
< a única recta vectorial tal que Ä
? −Ä
<
Ä
Ä
Ä
¼
¼
(cf. 9.34). Tem-se então que Ö? × œ < é um plano vectorial ! , para o qual
Ä
se tem X π
< ŠÄ
! . Mais precisamente, escolhendo T − <, pode-se tomar
para ! o plano perpendicular a < que passa por T (cf. 5.21).
Dem: Uma vez que Ä
< é um espaço vectorial de dimensão " que contém o
Ä com
vector não nulo Ä
? , segue-se que todo o vector de Ä
< é da forma +?
Ä
+ − ‘ e portanto qualquer vector ortogonal a ? é ortogonal a todos os
Ä×¼ œÄ
vectores deÄ
< , o que mostra que se tem Ö?
< ¼ . Escolhamos T − <, seja
Ä
U − < tal que Ä
? œ T U e seja ! o plano perpendicular a < que passa por T .
Cada vector Ä
@ −Ä
! é perpendicular a Ä
? visto que, supondo-o já diferente de
Ä
Ä
Ä
! , tem-se @ œ T E, com E − ! distinto de T e então as rectas T E e
ÄßÄ
T U œ < são perpendiculares (cf. 5.17), em particular .
@ Ñ œ ".
sÐ?
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Reciprocamente, se @ − X é perpendicular a ? , então @ − ! visto que,
Ä
Ä
supondo já Ä
@ Á ! , podemos escrever Ä
@ œ T F , para um certo F − X e então
a recta T F é perpendicular à recta T U œ < donde, por 5.19, T F § !, em
Ä
particular Ä
@ œ T F −Ä
! . Ficou assim provado que Ä
! π
< e o facto de ter
Ä Ä Ä
lugar a soma directa X œ < Š ! resulta, por exemplo, de 9.42, uma vez que
Ä
Ä
Ä
< Ä
! œ Ö! ×, já que um vector diferente de ! nunca é perpendicular a si
mesmo.
…
Ä
10.10 (Corolário) O complementar ortogonal de qualquer conjunto T § X é um
Ä
Ä
Ä
subespaço vectorial de X , e portanto é Ö! ×, ou X , ou uma recta vectorial Ä
<,
ou um plano vectorial Ä
!.
Ä
Dem: Já sabemos que g¼ œ X e, se T Á g, T¼ é trivialmente a intersecção
Ä×¼ , com Ä
dos Ö?
? − T e portanto, sendo uma intersecção de subespaços
Ä
vectoriais é um subespaço vectorial. Basta agora reparar que, uma vez que X
tem dimensão $, os seus subespaços vectoriais só podem ter dimensão !, ", #
Ä
ou $, no primeiro caso sendo igual a Ö! ×, no segundo sendo uma recta
Ä
vectorial < (cf. 9.56), no terceiro sendo um plano vectorial (cf. 9.57) e no
Ä
quarto sendo igual a X .
…
10.11 (O complementar ortogonal de um plano vectorial) Dado um plano
vectorial Ä
! , tem-se que Ä
! ¼ é uma recta vectorial Ä
< , para a qual se tem
Ä Ä Ä
X œ ! Š < . Mais precisamente, escolhendo T − !, pode-se tomar para < a
– 135–
recta perpendicular a ! que passa por T (cf. 5.22).
Dem: Escolhamos T − ! e seja < a recta perpendicular a ! que passa por T .
Ä
Cada vector Ä
@ −Ä
< é ortogonal a Ä
! , visto que, supondo já Ä
@ Á ! , podemos
Ä
escrever Ä
@ œ T U com U − < distinto de T e então Ä
@ é ortogonal a qualquer
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
vector ? − ! visto que, supondo já ? Á ! , tem-se Ä
? œ T E, para um certo
E − ! distinto de T e então a recta T E está contida em ! portanto, por
ÄßÄ
definição, < œ T U é perpendicular a T E, em particular .
@ Ñ œ ".
sÐ?
Ä
Suponhamos, reciprocamente, que Ä
@ − X é ortogonal a Ä
! e mostremos que
Ä
Ä
Ä
@ −Ä
< , para o que podemos já supor Ä
@ Á ! , portanto Ä
@ œ T U, para um
certo U − X distinto de T . Para cada recta = § ! com T − =, podemos
Ä
considerar E − = distinto de T e então Ä
@ é ortogonal ao vector T E − Ä
!,
pelo que a recta <w œ T U é perpendicular à recta = œ T E. Ficou assim
provado que <w é perpendicular a todas as rectas de ! que passam por T , ou
seja <w é perpendicular ao plano ! o que, por 5.22, implica que <w œ <, e
Ä
Ä
portanto Ä
@ œ T U −Ä
< . O facto de se ter X œ Ä
! ŠÄ
< é uma consequência de
10.9, uma vez que ! é o plano perpendicular a < que passa por T .
…
Vamos agora definir o produto interno de vectores do espaço, associado a
uma função distância que se suporá fixada. Começamos, para isso, por
considerar o caso mais simples em que os vectores são colineares.
10.12 Consideremos fixada uma função distância . − Y e notemos
Äm a norma m?
Äm dum vector Ä
simplesmente m?
? , associada a . (cf. 9.15 e a
.
alínea 8) em 9.31). Dados dois vectores colineares Ä
? eÄ
@ , definimos o seu
Ä
Ä
Ä
produto interno Ø? ß @ Ù. − ‘, ou simplesmente Ø? ßÄ
@ Ù − ‘, se . estiver
implícito, do seguinte modo:
Ä
Ä
ÄßÄ
1) Se Ä
? œ ! ouÄ
@ œ ! , definimos Ø?
@ Ù œ !;
Ä
Ä
Ä
Ä
2) Se ? Á ! e @ Á ! tiverem o mesmo sentido (cf. 9.48), definimos
ÄßÄ
Ämm@
Äm.
Ø?
@ Ù œ m?
Ä
Ä
3) Se Ä
? Á ! eÄ
@ Á ! tiverem sentidos opostos (cf. 9.48 e 9.47), definimos
ÄßÄ
Ämm@
Äm.
Ø?
@ Ù œ m?
10.13 Dadas duas funções distância .ß . w − Y , com . w œ -. , para um certo
ÄßÄ
-  !, tem-se, quaisquer que sejam os vectores colineares Ä
? ßÄ
@ , Ø?
@ Ù. w œ
# ÄÄ
- Ø? ß @ Ù. .
Dem: Trata-se de uma consequência imediata da definição, tendo em conta a
correspondente propriedade para as normas em 9.16.
…
10.14 (Corolário) Consideremos fixada uma função distância . − Y . Qualquer
ÄßÄ
Äm# .
que seja o vector Ä
? , tem-se Ø?
? Ù œ m?
Ä
Ä
Dem: Se ? Á ! , temos uma consequência da alínea 2) da definição. Se
Ä
Ä
? œ ! , ambos os membros da igualdade são !.
…
– 136–
10.15 (Lema) Consideremos fixada uma função distância . − Y e sejam < uma
recta e 0 À < Ä ‘ um d-sistema de coordenadas de origem S − <. Quaisquer
Ä Ä
que sejam Eß F − <, tem-se então ØSE ß SFÙ œ 0 ÐEÑ0 ÐFÑ.
Dem: Uma vez que 0 ÐSÑ œ !, a igualdade anterior é trivial no caso em que
Ä
Ä Ä
um dos vectores SE e SF é ! (tem-se então E œ S ou F œ S ). Afastando
já este caso trivial reparamos que se tem
Ä
mSEm œ .ÐSß EÑ œ l0 ÐEÑ  0 ÐSÑl œ l0 ÐEÑl
Ä
e, do mesmo modo, mSFm œ l0 ÐFÑl pelo que, para concluirmos o resultado,
Ä
Ä
basta repararmos que os vectores SE e SF têm o mesmo sentido se, e só se,
E e F pertencem à mesma semirrecta de < de origem S , o que, uma vez que
0 transporta uma das ordens lineares de < sobre a ordem usual de ‘, é
equivalente a 0 ÐEÑ e 0 ÐFÑ terem o mesmo sinal, ou seja, o seu produto ser
positivo.
…
10.16 (Bilinearidade do produto interno numa recta vectorial) Consideremos
fixada uma função distância . − Y . Dada uma recta <, a aplicação
Ä
ÄßÄ
ÄßÄ
< ‚Ä
< Ä ‘ que a Ð?
@ Ñ associa Ø?
@ Ù é bilinear e simétrica.
Dem: Seja 0 À < Ä ‘ um . -sistema de coordenadas de origem S − <. Sejam
Ä
Ä
Ä
? ,Ä
@ eÄ
@ w vectores deÄ
< e + − ‘. Podemos então escrever Ä
? œ SE,Ä
@ œ SF
Ä
ÄßÄ
ÄßÄ
eÄ
@ w œ SF w , para pontos Eß Fß F w − <. A igualdade Ø?
@ Ù œ Ø@
? Ù resulta
imediatamente da caracterização do produto interno no lema 10.15. Tendo
em conta esse mesmo lema, assim como o lema 9.53:
Ä
1) Tem-seÄ
@ Ä
@ w œ SF ww , onde 0 ÐF ww Ñ œ 0 ÐFÑ  0 ÐF w Ñ, portanto
ÄßÄ
Ø?
@ Ä
@ w Ù œ 0 ÐEÑÐ0 ÐFÑ  0 ÐF w ÑÑ œ 0 ÐEÑ0 ÐFÑ  0 ÐEÑ0 ÐF wÑ œ
ÄßÄ
ÄßÄ
œ Ø?
@ Ù  Ø?
@ w Ù.
Ä
Ä œ SG
2) Tem-se +@
, onde 0 ÐGÑ œ +0 ÐFÑ, portanto
Ä
Ä
ÄßÄ
Ø? ß +@ Ù œ 0 ÐEÑ0 ÐGÑ œ +0 ÐEÑ0 ÐFÑ œ +Ø?
@ Ù.
Ficou assim provada a linearidade na segunda variável a a linearidade na primeira variável resulta daquela e da simetria do produto interno.
…
10.17 (O produto interno de vectores arbitrários) Consideremos fixada uma
Ä
função distância . − Y . Sejam Ä
? eÄ
@ dois vectores arbitrários de X . DefiÄßÄ
ÄßÄ
ne-se então o produto interno Ø?
@ Ù. − ‘ (ou simplesmente Ø?
@ Ù) do
seguinte modo:
Ä
Ä
ÄßÄ
1) Se Ä
? œ ! , então Ø?
@Ù œ !.
Ä
2) Se Ä
? Á ! , considera-se a única recta vectorial Ä
< que contém Ä
?,
Ä Ä
considera-se a aplicação linear 1Ä
< À X Ä < , primeira projecção associada à
Ä
soma directa X π
< ŠÄ
< ¼ (cf. 10.9) e define-se
– 137–
ÄßÄ
Äß 1Ä Ð@
ÄÑÙ.
Ø?
@ Ù œ Ø?
<
Repare-se que esta definição extende a definição apresentada anteriormente
para o caso dos vectores colineares. Com efeito, isso acontece trivialmente
Ä
Ä
no caso em que Ä
? œ ! e, se Ä
? Á ! , basta repararmos que, se Ä
? eÄ
@ são
Ä
Ä
Ä
Ä
colineares, tem-se @ − < , e portanto 1Ä
Ð@
Ñ
œ
@
.
<
10.18 Dadas duas funções distância .ß . w − Y , com . w œ -. , para um certo
Ä
-  !, tem-se, quaisquer que sejam os vectores Ä
? ßÄ
@ − X,
ÄßÄ
ÄßÄ
Ø?
@ Ù w œ - # Ø?
@Ù .
.
.
Dem: Trata-se de uma consequência imediata da definição e da correspondente propriedade para o caso dos vectores colineares em 10.13.
…
10.19 (Comutatividade do produto interno) Consideremos fixada uma função
Ä
distância . − Y . Quaisquer que sejam os vectores Ä
? ßÄ
@ − X , tem-se
Ä
ÄßÄ
ÄßÄ
Ø@
? Ù œ Ø?
@ Ù. Além disso, no caso em que Ä
? eÄ
@ são diferentes de ! ,
ÄßÄ
ÄßÄ
ÄßÄ
tem-se Ø?
@ Ù  ! se .
@ Ñ  " (cf. 10.1 e 10.2), Ø?
@ Ù œ ! se
sÐ?
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
.
sÐ? ß @ Ñ œ " e Ø? ß @ Ù  ! se .
sÐ? ß @ Ñ  ".
Dem: Comecemos por reparar que decorre imediatamente da definição em
Ä
Ä
ÄßÄ
10.17 que se tem Ø?
@ Ù œ !, sempre que Ä
? œ ! ou Ä
@ œ ! (no segundo
Ä
caso, fora da situação trivial em que Ä
? œ ! , tem-se, por linearidade,
Ä Ä
1Ä
< Ð! Ñ œ ! ). Basta assim demonstrar a igualdade do enunciado no caso em
Ä
Ä
que Ä
? Á ! eÄ
@ Á ! . No caso em que os vectores Ä
? eÄ
@ são colineares, a
comutatividade já foi estabelecida em 10.16 e, tendo em conta 10.2 e 10.12,
ÄßÄ
ÄßÄ
ÄßÄ
ÄßÄ
sabemos que, ou .
@ Ñ œ ! e Ø?
@ Ù  !, ou .
@ Ñ œ # e Ø?
@ Ù  !.
sÐ?
sÐ?
Examinemos agora o caso em que Ä
? eÄ
@ não são colineares. Escolhamos um
Ä
Ä
ponto S e sejam Eß F tais que Ä
? œ SE e Ä
@ œ SF . Sejam < e = as rectas
SE e SF , respectivamente.
ÄßÄ
Se .
@ Ñ œ ", os vectores Ä
? eÄ
@ são pependiculares, pelo que o facto de se
sÐ?
Ä
Ä
Ä Ä
ÄÄ
¼
ter @ − <
(cf. 10.9) implica que 1Ä
< Ð@ Ñ œ ! , e portanto Ø? ß @ Ù œ
Ä
Ä
Ø? ß 1Ä
< Ð@ ÑÙ œ ! e, por simetria dos papéis dos dois vectores, tem-se também
ÄßÄ
Ø@
? Ù œ !.
Û Û
ÄßÄ
Suponhamos agora que .
@ Ñ  ", portanto que o ângulo ÖSEß SF× é
sÐ?
agudo. Sejam T o pé da perpendicular de E para a recta s œ SF e U o pé da
perpendicular de F para a recta < œ SE (cf. 4.28), pontos que são distintos
de S, por SE e SF não serem perpendiculares, e que, tendo em conta 4.32
Û
Û
pertencem respectivamente às semirrectas SF e SE.
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
O facto de se terÄ
@ œ SF œ SU  UF , com SU −Ä
< e UF perpendicular a
Ä
Ä
Ä
Ä
SU, e portanto a Ä
< , implica que SU œ 1Ä
< Ð@ Ñ e, do mesmo modo, ST œ
Ä
1Ä
= Ð? Ñ. Podemos assim concluir que
– 138–
Ä
ÄßÄ
Äß SUÙ
Ø?
@ Ù œ Ø?
œ .ÐSß EÑ ‚ .ÐSß UÑ  !,
Ä
Ä
Ä
Ä
Ø@ ß ? Ù œ Ø@ ß ST Ù œ .ÐSß FÑ ‚ .ÐSß T Ñ  !.
P
B
O
A
Q
Û Û
Û Û
Û Û
Mas, uma vez que ÖSEß ST × œ ÖSFß SU× e .ÐÖUSß UF×Ñ œ " œ
Û Û
.ÐÖT Sß T E×Ñ, o teorema 8.10 garante que os triângulos ÐUß Sß FÑ e
.ÐSßEÑ
ÐT ß Sß EÑ são semelhantes, e daqui deduzimos que .ÐSßFÑ
.ÐSßUÑ œ .ÐSßT Ñ , donde
ÄßÄ
ÄßÄ
Ø?
@ Ù œ .ÐSß EÑ ‚ .ÐSß UÑ œ .ÐSß FÑ ‚ .ÐSß T Ñ œ Ø@
? Ù.
ÄßÄ
Examinemos enfim o caso em que .
@ Ñ  ", portanto em que o ângulo
sÐ?
Û Û
ÖSEß SF× é obtuso. Sejam T o pé da perpendicular de E para a recta
s œ SF e U o pé da perpendicular de F para a recta < œ SE, pontos que são
distintos de S, por SE e SF não serem perpendiculares, e que, tendo em
Û
Û
conta 4.32 pertencem respectivamente às semirrectas opostas a SF e a SE.
B
Q
A
O
P
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
O facto de se terÄ
@ œ SF œ SU  UF , com SU −Ä
< e UF perpendicular a
Ä
Ä
Ä
Ä
SU, e portanto a Ä
< , implica que SU œ 1Ä
< Ð@ Ñ e, do mesmo modo, ST œ
Ä
1Ä
= Ð? Ñ. Podemos assim concluir que
Ä
ÄßÄ
Äß SUÙ
Ø?
@ Ù œ Ø?
œ .ÐSß EÑ ‚ .ÐSß UÑ  !,
Ä
Ä
Ä
Ä
Ø@ ß ? Ù œ Ø@ ß ST Ù œ .ÐSß FÑ ‚ .ÐSß T Ñ  !.
Û Û
Û Û
Mas, uma vez que .ÐÖSEß ST ×Ñ œ .ÐÖSFß SU×Ñ, por se tratar de ângulos
– 139–
Û Û
Û Û
verticalmente opostos, e .ÐÖUSß UF×Ñ œ " œ .ÐÖT Sß T E×Ñ, o teorema
8.10 garante que os triângulos ÐUß Sß FÑ e ÐT ß Sß EÑ são semelhantes, e
.ÐSßEÑ
daqui deduzimos que .ÐSßFÑ
.ÐSßUÑ œ .ÐSßT Ñ , donde
ÄßÄ
ÄßÄ
Ø?
@ Ù œ .ÐSß EÑ ‚ .ÐSß UÑ œ .ÐSß FÑ ‚ .ÐSß T Ñ œ Ø@
? Ù.
…
10.20 (Corolário) Consideremos fixada uma função distância . − Y . Dois
Ä
ÄßÄ
vectores Ä
? ßÄ
@ − X são ortogonais se, e só se, Ø?
@ Ù œ !.
Ä
Dem: Se os vectores forem ambos diferentes de ! , a conclusão já foi referida
Ä
em 10.19. Se um dos vectores for ! tem-se, por definição e pela comutatiÄ
Ä
vidade, Ø? ß @ Ù œ ! e os vectores são, por definição, ortogonais (cf. 10.5). …
10.21 (Bilinearidade do produto interno) Consideremos fixada uma função
Ä Ä
ÄßÄ
ÄßÄ
distância . − Y . A aplicação X ‚ X Ä ‘, Ð?
@ Ñ È Ø?
@ Ù, é bilinear.
Dem: Tendo em conta a comutatividade em 10.19, basta mostrarmos que,
ÄßÄ
para cada Ä
? − X fixado, a aplicação Ä
@ È Ø?
@ Ù é linear. Ora, isso é trivial
Ä
Ä
se ? œ ! , por termos uma aplicação identicamente nula, e, no caso em que
Ä
Ä
? Á ! , consideramos a recta vectorial Ä
< que contém Ä
? e atendemos a que,
Ä
Ä
Ä
Ä
por se ter Ø? ß @ Ù œ Ø? ß 1Ä
Ð@
ÑÙ
,
a
linearidade
é
consequência
da linearidade
<
Ä Ä
da projecção ortogonal 1Ä À X Ä < e da bilinearidade em 10.16.
…
<
10.22 (A norma de uma projecção ortogonal) Consideremos fixada uma
função distância . − Y . Sejam Ä
< uma recta vectorial, Ä
! π
< ¼ o plano
Ä Ä
vectorial complementar ortogonal e 1Ä
< À X Ä < a projecção associada à soma
Ä Ä Ä
Ä
directa X œ < Š ! (cf. 10.9). Para cada vector Ä
? − X , tem-se então
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä Ä
m1Ä
< Ð? Ñm Ÿ m? m, tendo-se m1Ä
< Ð? Ñm œ m? m se, e só se, ? − < .
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä Ä
Dem: Tem-se ? œ @  A , com @ œ 1Ä
< Ð? Ñ − < e A − ! , e portanto
Ä
Ä
Ø@ ß AÙ œ !. Resulta daqui que
Äm# œ Ø?
ÄßÄ
Ä Ä
ÄßÄ
ÄÄ
m?
? Ù œ Ø@
AßÄ
@ Ä
AÙ œ Ø@
@ Ä
AÙ  ØAß
@ Ä
AÙ œ
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
#
#
œ Ø@ ß @ Ù  Ø@ ß AÙ  ØAß @ Ù  ØAß AÙ œ m@ m  mAm ,
Äm# m@
Äm# , tendo-se m?
Äm# œ m@
Äm# se, e só se, mAm
Ä # œ !, isto é,
portanto m?
Ä
Ä
Ä
Ä
A œ ! , isto é, ? − < .
…
Ä
Ä
10.23 Dados dois vectores não nulos ? e @ , fica bem definido um número real
ÄßÄ
cosÐ?
@ Ñ, pela condição de se ter, qualquer que seja a função distância
. − Y,
ÄßÄ
Ø?
@ Ù.
ÄßÄ
cosÐ?
@Ñ œ Ä Ä .
m? m. m@ m.
Dem: Tudo o que temos que reparar é que, dadas duas funções distância
– 140–
.ß . w − Y , existe -  ! tal que . w œ -. e então, tendo em conta 10.13 e 9.16,
ÄßÄ
ÄßÄ
ÄßÄ
Ø?
@ Ù. w
- # Ø?
@ Ù.
Ø?
@ Ù.
œ
œ
…
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Äm .
m? m w m@ m w
-m? m -m@ m
m? m m@
.
.
.
.
.
.
10.24 A função cos, no conjunto dos pares de vectores não nulos, verifica as
seguintes propriedades:
ÄßÄ
ÄßÄ
a) cosÐ?
@ Ñ œ cosÐ@
? Ñ;
Äß +Ä
ÄßÄ
b) Se +  !, então cosÐ?
@ Ñ œ cosÐ?
@ Ñ;
Ä
Ä
Ä
c) Se +  !, então cosÐ? ß + @ Ñ œ cosÐ? ßÄ
@ Ñ;
ÄßÄ
ÄßÄ
d) cosÐ?
@ Ñ − Ò"ß "Ó, sendo cosÐ?
@ Ñ œ " se, e só se, Ä
? eÄ
@ têm o mesmo
ÄßÄ
sentido (em particular são colineares) e cosÐ?
@ Ñ œ " se, e só se, Ä
? eÄ
@
têm sentidos opostos (em particular são colineares).
ÄßÄ
e) cosÐ?
@ Ñ œ ! se, e só se, os vectores Ä
? eÄ
@ são ortogonais.
Dem: Fixemos uma função distância . − Y Þ A alínea a) é uma consequência
directa da simetria do produto interno. Quanto a b) e a c) basta repararmos
que, tendo em conta a bilinearidade do produto interno e 9.52, tem-se, para
cada + Á !
Äß +@
ÄÙ
ÄßÄ
Ø?
+ Ø?
@Ù
+
Äß +Ä
ÄßÄ
cosÐ?
@Ñ œ Ä Ä œ
œ
cosÐ?
@ Ñ.
Ä
Ä
l+l m? mm@ m
l+l
m? mm+ @ m
Quanto a d), tem-se, por definição, sendoÄ
< a recta vectorial que contém Ä
?, e
tendo em conta 10.22,
ÄßÄ
Äß 1Ä Ð@
ÄÑÙl œ l„m?
Ämmß 1Ä Ð@
ÄÑml Ÿ m?
Ämm@
Äm,
lØ?
@ Ùl œ lØ?
<
<
ÄßÄ
Ämm@
Äm se, e só se, Ä
tendo-se lØ?
@ Ùl œ m?
@ −Ä
< isto é, Ä
? eÄ
@ são colineares,
Ä
Ä
Ä
Äm, se Ä
e, nesse caso, sabemos, por definição que Ø? ß @ Ù œ m? mm@
? eÄ
@ têm o
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
mesmo sentido, e Ø? ß @ Ù œ m? mm@ m, se ? e @ têm sentidos opostos. A
conclusão de e) resulta imediatamente de 10.20.
…
ÄßÄ
10.25 Para cada par de vectores não nulos Ä
? ßÄ
@ , define-se sinÐ?
@ Ñ − Ò!ß "Ó por
ÄßÄ
ÄßÄ
sinÐ?
@ Ñ œ É"  cos# Ð?
@ Ñ.
ÄßÄ
ÄßÄ
Por definição, tem-se sempre sin# Ð?
@ Ñ  cos# Ð?
@ Ñ œ ".
10.26 (Teorema Pitagoróide) Sejam Eß Fß G três pontos, com F e G distintos
de E. Dada uma função distância . − Y , tem-se então
Ä Ä
.ÐFß GÑ# œ .ÐEß FÑ#  .ÐEß GÑ#  #.ÐEß FÑ.ÐEß GÑcosÐEFß EGÑ.
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Dem: Uma vez que EF  FG œ EG , vem FG œ EG  EF . Lembrando
Ä Ä
Ä Ä
que cosÐEFß EGÑ œ ØEFßEGÙ
Ä
Ä , podemos agora escrever
mEFmmEGm
– 141–
Ä
Ä Ä
Ä
Ä
Ä Ä
.ÐFß GÑ# œ mFGm# œ ØFGß FGÙ œ ØEG  EFß EG  EFÙ œ
Ä Ä
Ä Ä
Ä Ä
Ä Ä
œ ØEGß EGÙ  ØEGß EFÙ  ØEFß EGÙ  ØEFß EFÙ œ
Ä
Ä
Ä Ä
œ mEFm#  mEGm#  #ØEFß EGÙ œ
Ä
Ä
Ä Ä
Ä
Ä
œ mEFm#  mEGm#  #mEFmmEGmcosÐEFß EGÑ œ
Ä Ä
œ .ÐEß FÑ#  .ÐEß GÑ#  #.ÐEß FÑ.ÐEß GÑcosÐEFß EGÑ,
como queríamos.
10.27 SejamÄ
? ßÄ
@ eÄ
? w ßÄ
@ w dois pares de vectores não nulos. Tem-se então
ÄßÄ
Äw ßÄ
ÄßÄ
Äw ßÄ
.
@Ñ œ .
@ w Ñ Ê cosÐ?
@ Ñ œ cosÐ?
@ w Ñ,
sÐ?
sÐ?
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
w Äw
w Äw
.
sÐ? ß @ Ñ  .
sÐ? ß @ Ñ Ê cosÐ? ß @ Ñ  cosÐ? ß @ Ñ.
…
(cf. as definições de ângulo de vectores em 10.1 e 10.2).
Dem: Fixemos uma função distância . − Y . Tendo em contas as alíneas a) e
b) de 10.3 e as alíneas a) e b) de 10.24, vemos que, se necessário substituindo
Ä
" Ä " Ä " Äw " Äw
? ßÄ
@ ßÄ
? w ßÄ
@ w respectivamente por m?m
Ä ? ß m@m
Ä @ ß m?
Äw m ? ß m@
Äw m @ , o que não altera
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
w Äw
w Äw
os valores de cosÐ? ß @ Ñß cosÐ? ß @ Ñß .
sÐ? ß @ Ñß .
sÐ? ß @ Ñ, podemos já supor
Äm œ m@
Äm œ m?
Äw m œ m@
Äw m œ ".
que se tem m?
Se repararmos que Ä
? ßÄ
@ são colineares e do mesmo sentido (respectivamente
ÄßÄ
colineares e com sentidos opostos) se, e só se, cosÐ?
@ Ñ œ 1 (respectivaÄ
Ä
Ä
Ä
mente cosÐ? ß @ Ñ œ 1) se, e só se .
sÐ? ß @ Ñ œ 0 (respectivamente
ÄßÄ
ÄßÄ
.
@ Ñ œ #) e que, se Ä
? ßÄ
@ são não colineares, "  cosÐ?
@Ñ  " e
sÐ?
Ä
Ä
!.
Ð?
ß
@
Ñ

#
(cf.
10
Þ
1
,
10.2
e
a
alínea
d)
de
10.24
)
assim
como
nos
s
Ä
w Äw
factos análogos para ? ß @ , constatamos que basta provar as implicações
apenas no caso em que tento Ä
? ßÄ
@ como Ä
? w ßÄ
@ w são não colineares.
Ä Ä
Ä
Ä
Escolhamos pontos Eß Fß G tais que ? œ EF e @ œ EG e pontos Ew ß F w ß G w
Ä
Ä
tais que Ä
? w œ Ew F w e Ä
@ w œ Ew G w . Temos assim dois triângulos ÐEß Fß GÑ e
w
w
w
ÐE ß F ß G Ñ com .ÐEß FÑ œ .ÐEß GÑ œ " e .ÐEw ß F w Ñ œ .ÐEw ß G w Ñ œ ", pelo
que a igualdade em 10.26 dá
Ä Ä
.ÐFß GÑ# œ #  #cosÐEFß EGÑ,
Ä Ä
.ÐF w ß G w Ñ# œ #  #cosÐEw F w ß Ew G w Ñ.
Û Û
Û Û
ÄßÄ
Äw ßÄ
Se .
@Ñ œ .
@ w Ñ, vem .ÐÖEFß EG×Ñ œ .ÐÖEw F w ß Ew G w ×Ñ donde,
sÐ?
sÐ?
pelo axioma 4.13, os triângulos são congruentes, em particular .ÐFß GÑ œ
.ÐF w ß G w Ñ o que, pelas fórmulas anteriores, implica que
Ä Ä
Ä Ä
ÄßÄ
Äw ßÄ
cosÐ?
@ Ñ œ cosÐEFß EGÑ œ cosÐEw F w ß Ew G w Ñ œ cosÐ?
@ w Ñ.
Û Û
Û Û
ÄßÄ
Äw ßÄ
Se .
@Ñ  .
@ w Ñ, vem .ÐÖEFß EG×Ñ  .ÐÖEw F w ß Ew G w ×Ñ donde, por
sÐ?
sÐ?
4.45, .ÐFß GÑ  .ÐF w ß G w Ñ o que, mais uma vez pelas fórmulas acima,
– 142–
implica que
Ä Ä
Ä Ä
ÄßÄ
Äw ßÄ
cosÐ?
@ Ñ œ cosÐEFß EGÑ  cosÐEw F w ß Ew G w Ñ œ cosÐ?
@ w Ñ.
…
s À Ò!ß #Ó Ä Ò"ß "Ó pela condição de se
10.28 Fica bem definida uma aplicação cos
ter, quaisquer que sejam os vectores não nulos Ä
? ßÄ
@,
Ä
Ä
Ä
Ä
s Ð.
cos
sÐ? ß @ ÑÑ œ cosÐ? ß @ Ñ. 23
Dem: Trata-se de uma consequência da primeira implicação em 10.27, desde
que reparemos que, para cada + − Ò!ß #Ó, existem vectores não nulos Ä
? ßÄ
@ tais
ÄßÄ
que .
@ Ñ œ +. Ora, para + œ ! e + œ # basta tomar um vector não nulo
sÐ?
Ä e, para + − Ó!ß #Ò,
arbitrário Ä
? e tomar respectivamente Ä
@ π
? eÄ
@ œ ?
podemos tomar duas semirrectas < / s com a mesma origem E, com rectas
correspondentes < Á = tais que .ÐÖ< ß = ×Ñ œ + (cf. o axioma a) em 3.17) e
escolhendo então F − < e G − = , ambos distintos de E, tem-se, com
Ä
Ä
Ä
ÄßÄ
? œ EF eÄ
@ œ EG , .
@ Ñ œ .ÐÖ< ß = ×Ñ œ +.
…
sÐ?
s À Ò!ß #Ó Ä Ò"ß "Ó é contínua, estritamente decrescente e
10.29 A aplicação cos
s Ð!Ñ œ ", cos
s Ð"Ñ œ ! e cos
s Ð#Ñ œ ". Tem-se ainda,
sobrejectiva. Tem-se cos
s Ð#  +Ñ œ cos
s Ð+Ñ.
para cada + − Ò!ß #Ó, cos
Dem: O facto de ela ser estritamente decrescente é uma consequência da
segunda implicação em 10.27. Consideremos agora uma função distância
. − Y e, em duas semirrectas perpendiculares < e = com a mesma origem
E, dois pontos F − < e G − = com .ÐEß FÑ œ .ÐEß GÑ œ ". Sendo
Ä
Ä
Ä
ÄßÄ
Äm œ mAm
Ä œ ". Dado
? œ EF e Ä
A œ EG , tem-se assim Ø?
AÙ œ ! e m?
agora , − Ò"ß "Ó, podemos tomar - œ È"  , # e, tomando o vector Ä
@ œ
Ä  -A
Ä, vem
,?
Äm# œ Ø@
ÄßÄ
Ä  -Aß
Ä ,?
Ä  -AÙ
Ä œ
m@
@ Ù œ Ø,?
Ä
Ä
Ä
ÄÄ
# ÄÄ
œ , Ø? ß ? Ù  ,-Ø? ß AÙ  ,-ØAßÄ
? Ù  - # ØAß
AÙ œ
# Ä
# Ä #
#
#
œ , m? m  - mAm œ ,  - œ "
e, por outro lado,
ÄßÄ
Äß ,?
Ä  -AÙ
Ä œ ,Ø?
ÄßÄ
Äß Ä
Äm# œ , ,
Ø?
@ Ù œ Ø?
? Ù  -Ø?
AÙ œ ,m?
donde
ÄßÄ
Ø?
@Ù
ÄßÄ
ÄßÄ
s Ð.
cos
@ ÑÑ œ cosÐ?
@ Ñ œ Ä Ä œ ,.
sÐ?
m? mm@ m
23A
razão do símbolo ^ em cima de cos é a necessidade de distinguirmos esta função da
função cosÀ ‘ Ä Ò"ß "Ó dos analistas (cf. o apêndice 1). Veremos adiante uma relação
entre estas duas funções.
– 143–
s À Ò!ß #Ó Ä Ò"ß "Ó resulta de um teorema
A continuidade da função cos
elementar de Análise Real que garante que toda a função real cujo domínio é
um intervalo de ‘, que seja crescente ou decrescente (mesmo que apenas no
sentido lato) e cuja imagem seja um intervalo de ‘, é uma aplicação
s , basta repararmos
contínua. Quanto aos valores indicados para a função cos
que
ÄßÄ
ÄßÄ
ÄßÄ
s Ð!Ñ œ cos
s Ð.
cos
? ÑÑ œ cosÐ?
? Ñ œ Ø?
? Ù œ ",
sÐ?
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
s
s
cosÐ"Ñ œ cosÐ.
AÙ œ !,
sÐ? ß AÑÑ œ cosÐ? ß AÑ œ Ø? ß Ä
Äß ?
ÄÑ œ cosÐ?
Äß ?
ÄÑ œ Ø?
Äß ?
ÄÙ œ ".
s Ð#Ñ œ cos
s Ð.
cos
sÐ?
s Ð#  +Ñ œ cos
s Ð+Ñ é verdadeira, por inspecção directa dos
A igualdade cos
valores, nos casos em que + œ ! e + œ #. Mostremo-la então para + − Ó!ß #Ò.
Para isso, retomando as notações do início da demonstração, seja G w na
semirrecta < de origem E oposta de < e também com .ÐEß G w Ñ œ ",
Ä œ EßÄG w . Seja > uma semirrecta de origem E tal que
tendo-se assim ?

.ÐÖ< ß > ×Ñ œ + (cf. o axioma a) em 3.17) e reparemos que, por 3.19, tem-se
Ä
.ÐÖ< ß > ×Ñ œ #  +. Seja H − > tal que .ÐEß HÑ œ " e sejaÄ
D œ EH , para
Äm œ ". Podemos então escrever
o qual se tem assim mD
ÄßÄ
ÄßÄ
ÄßÄ
ÄßÄ
s Ð#  +Ñ œ cos
s Ð.
cos
D ÑÑ œ cosÐ?
D Ñ œ Ø?
D Ù œ Ø?
Dٜ
sÐ?
ÄßÄ
ÄßÄ
s Ð.
s Ð+Ñ.
œ cosÐ?
D Ñ œ cos
D ÑÑ œ cos
…
sÐ?
s À Ò!ß #Ó Ä Ò!ß "Ó, por
10.30 Definimos também uma aplicação contínua sin
s Ð+Ñ œ É"  cos
s # Ð+Ñ.
sin
É claro que, por construção, tem-se, para todo o + − Ò!ß #Ó,
#
s Ð+Ñ œ ".
s # Ð+Ñ  sin
cos
s,
Além disso, das propriedades correspondentes em 10.29, para a função cos
deduzimos que
s Ð!Ñ œ !,
sin
s Ð"Ñ œ ",
sin
s Ð#  +Ñ œ sin
s Ð+Ñ,
sin
s Ð#Ñ œ !
sin
e da definição em 10.25 deduzimos que, para Ä
? eÄ
@ vectores não nulos,
ÄßÄ
ÄßÄ
s Ð.
sin
@ ÑÑ œ sinÐ?
@ Ñ.
sÐ?
10.31 (O cosseno da soma) Sejam +ß , − Ò!ß #Ó tais que +  , − Ò!ß #Ó. Tem-se
então
s Ð+Ñsin
s Ð,Ñ.
s Ð+  ,Ñ œ cos
s Ð+Ñcos
s Ð,Ñ  sin
cos
– 144–
Dem: O resultado é verdadeiro se + œ !, uma vez que se reduz a fórmula
s Ð,Ñ,
s Ð,Ñ œ " ‚ cos
s Ð,Ñ  ! ‚ sin
cos
e, por simetria dos papéis, ele é também verdadeiro se , œ !. No caso em que
+  , œ #, portanto , œ #  +, uma vez que vem
#
s Ð+Ñsin
s Ð,Ñ œ cos
s Ð+Ñ œ " œ cos
s Ð+Ñcos
s Ð,Ñ  sin
s # Ð+Ñ  sin
s Ð+  ,Ñ.
cos
Resta-nos verificar o resultado no caso em que +  !, ,  ! e +  ,  #.
Fixemos um ponto E e uma semirrecta < de origem E e consideremos uma
semirrecta = de origem E tal que .ÐÖ< ß = ×Ñ œ +  , e, sendo < a recta
que contém < , uma semirrecta > de origem E contida no mesmo
semiplano de bordo < que a semirrecta = e tal que .ÐÖ< ß > ×Ñ œ +. Tendo
em conta 3.18, tem-se > § nÖ< ß = ×, com > distinta de < e de = , e
portanto, pelo axioma b) em 3.17, .ÐÖ> ß = ×Ñ œ , .
t+
s+
C
D
v
b w
a
A
u
B r+
Fixada uma função distância . − Y , escolhamos pontos F − < , G − = e
Ä
H − > tais que .ÐEß FÑ œ .ÐEß GÑ œ .ÐEß HÑ œ ". Pondo Ä
? œ EF , Ä
@ œ
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
EG e A œ EH, tem-se assim m? m œ m@ m œ mAm œ " e, tendo em conta
Ä  .Ä
9.64, tem-se Ä
A œ -?
@ , com -  ! e .  ! (se algum fosse !, H estaria
numa das semirrectas < e = ). Reparemos agora que se pode escrever
ÄÄ
Ä  .Ä
Ä  .Ä
ÄßÄ
ÄßÄ
" œ ØAß
AÙ œ Ø-?
@ ß -?
@ Ù œ - # Ø?ß ?Ù  . # Ø@
@ Ù  #-.Ø?
@Ù œ
s Ð+  ,Ñ.
œ - #  . #  #-. cos
Por outro lado, vem também
ÄÄ
Ä  .Ä
ÄßÄ
s Ð+Ñ œ ØAß
s Ð+  ,Ñ
cos
? Ù œ Ø-?
@ ßÄ
? Ù œ -  .Ø@
? Ù œ -  . cos
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
s Ð,Ñ œ ØAß @ Ù œ Ø-?  . @ ß @ Ù œ .  -Ø? ß @ Ù œ .  - cos
s Ð+  ,Ñ,
cos
donde sai, por um lado,
s Ð+Ñcos
s Ð,Ñ œ -.  -. cos
s # Ð+  ,Ñ  Ð- #  . # Ñcos
s Ð+  ,Ñ,
cos
e, por outro lado,
– 145–
s # Ð+Ñ œ "  cos
s # Ð+Ñ œ "  - #  . # cos
s # Ð+  ,Ñ  #-. cos
s Ð+  ,Ñ œ
sin
#
#
#
#
s Ð+  ,Ñ  . Ð"  cos
s Ð+  ,ÑÑ œ
œ "  -  .  #-. cos
s # Ð+  ,Ñ
s # Ð+  ,ÑÑ œ . # sin
œ "  "  . # Ð"  cos
tal como
s # Ð,Ñ œ "  cos
s # Ð,Ñ œ "  . #  - # cos
s # Ð+  ,Ñ  #-. cos
s Ð+  ,Ñ œ
sin
#
#
#
#
s Ð+  ,Ñ  - Ð"  cos
s Ð+  ,ÑÑ œ
œ "  -  .  #-. cos
s # Ð+  ,Ñ,
s # Ð+  ,ÑÑ œ - # sin
œ "  "  - # Ð"  cos
portanto
s Ð+Ñ œ . sin
s Ð+  ,Ñ,
sin
s Ð,Ñ œ - sin
s Ð+  ,Ñ.
sin
Podemos agora escrever
s Ð+Ñsin
s Ð,Ñ œ
s Ð+Ñcos
s Ð,Ñ  sin
cos
s # Ð+  ,Ñ œ
s # Ð+  ,Ñ  Ð- #  . # Ñcos
s Ð+  ,Ñ  -. sin
œ -.  -. cos
s # Ð+  ,Ñ  Ð- #  . # Ñcos
s Ð+  ,Ñ œ
œ #-. cos
#
#
s Ð+  ,ÑÑ œ cos
s Ð+  ,Ñ.
s Ð+  ,ÑÐ-  .  #- . cos
œ cos
…
10.32 (Corolário) Seja + − Ò!ß "Ó. Tem-se então
#
s Ð+Ñ œ #cos
s Ð#+Ñ œ cos
s # Ð+Ñ  sin
s # Ð+Ñ  ".
cos
10.33 (Corolário) Seja , − Ò!ß #Ó. Tem-se então
s Ð,Ñ
,
"  cos
s Ð ÑœÊ
cos
.
#
#
Dem: Do corolário anterior podemos deduzir que
,
s Ð,Ñ œ #cos
s # Ð Ñ  ",
cos
#
portanto
s Ð,Ñ
,
"  cos
s #Ð Ñ œ
cos
,
#
#
bastando enfim atender a que, por ser
,
#
s Ð #, Ñ 0Þ
Ÿ ", tem-se cos
…
10.34 (Relação entre os cossenos e senos geométrico e analítico) Seja
+ − Ò!ß #Ó. Tem-se então
– 146–
s Ð+Ñ œ cosÐ
cos
1+
s Ð+Ñ œ sinÐ 1+ Ñ,
Ñ, sin
#
#
onde nos segundos membros estão as funções trigonométricas definidas
analiticamente no apêndice 1.
Dem: Começamos por notar que, se para um certo + − Ò!ß #Ó se verifica a
primeira igualdade do enunciado, então também se verifica a segunda. Com
efeito, tem-se 1#+ − Ò!ß 1Ó, donde sinÐ 1#+ Ñ ! e, tendo em conta a definição
s Ð+Ñ e Ap1.8, tem-se então
de sin
1+
1+
s Ð+Ñ œ É"  cos
s # Ð+Ñ œ Ê"  cos# Ð Ñ œ sinÐ Ñ
sin
#
#
Reparemos agora que a primeira igualdade, e portanto a segunda, é válida
s Ð2Ñ œ " œ cosÐ1Ñ. Suponhamos a primeira
para + œ #, uma vez que cos
igualdade, e portanto a segunda é válida para um certo + − Ò!ß #Ó. Uma vez
que 1%+ − Ò!ß 1# Ó, e portanto cosÐ 1%+ Ñ !, resulta de 10.33 e da fórmula
análoga em Ap1.12,
"  cosÐ 1+
s Ð+Ñ
1+
+
"  cos
# Ñ
s Ð ÑœÊ
cos
œÊ
œ cosÐ Ñ,
#
#
#
%
pelo que a primeira igualdade, e portanto a segunda, é também válida para +# .
Resulta daqui, por indução, que, para cada 8 !, a primeira igualdade, e
portanto a segunda, é válida para cada + da forma ##8 . Observamos agora que,
se a primeira igualdade, e portanto a segunda, é válida para valores
+ß , − Ò!ß #Ó tais que +  , − Ò!ß #Ó a primeira igualdade, e portanto a
segunda, é também válida para +  , , uma vez que podemos escrever, tendo
em conta 10.31 e Ap1.11
s Ð+Ñsin
s Ð,Ñ œ
s Ð+  ,Ñ œ cos
s Ð+Ñcos
s Ð,Ñ  sin
cos
1+
1,
1+
1,
1Ð+  ,Ñ
œ cosÐ ÑcosÐ Ñ  sinÐ ÑsinÐ Ñ œ cosÐ
Ñ.
#
#
#
#
#
Resulta daqui, por indução em :, que, para cada 8 ! e cada " Ÿ : Ÿ #8 , a
primeira igualdade, e portanto a segunda, é válida para + œ #:
#8 . Mas o
conjunto dos + desta forma é denso em Ò!ß #Ó e portanto, uma vez que ambos
os membros da primeira igualdade são funções contínuas de +, concluímos
que esta, e portanto a segunda, são válidas para qualquer + − Ò!ß #Ó.
…
s À Ò!ß #Ó Ä ‘ são deriváveis em todos os
s ß sin
10.35 (Corolário) As funções cos
pontos e tem-se
1 s
s w Ð+Ñ œ  sin
cos
Ð+Ñ,
#
s w Ð+Ñ œ 1 cos
s Ð+Ñ.
sin
#
Dem: Trata-se de uma consequência de 10.34, tendo em conta as fórmulas de
derivação em Ap1.10.
…
– 147–
10.36 (Corolário) Para além da propriedade em 10.31, valem ainda as seguintes:
a) Sejam +ß , − Ò!ß #Ó tais que +  , − Ò!ß #Ó. Tem-se então
s Ð+  ,Ñ œ sin
s Ð+Ñcos
s Ð,Ñ.
s Ð,Ñ  cos
s Ð+Ñsin
sin
b) Sejam , Ÿ + em Ò!ß #Ó. Tem-se então
s Ð+Ñsin
s Ð,Ñ,
s Ð+  ,Ñ œ cos
s Ð+Ñcos
s Ð,Ñ  sin
cos
s Ð+  ,Ñ œ sin
s Ð+Ñcos
s Ð,Ñ.
s Ð,Ñ  cos
s Ð+Ñsin
sin
Dem: Trata-se de uma consequência de 10.34, tendo em conta as fórmulas
em Ap1.11 e Ap1.9.
…
10.37 (Corolário) Suponhamos que ! Ÿ + Ÿ ". Tem-se então:
s Ð+Ñ, sin
s Ð"  +Ñ œ cos
s Ð"  +Ñ œ sin
s Ð+Ñ.
cos
Suponhamos que " Ÿ + Ÿ #. Tem-se então
s Ð+Ñ, sin
s Ð+  "Ñ œ cos
s Ð+  "Ñ œ sin
s Ð+Ñ.
cos
Dem: Trata-se de uma consequência das fórmulas na alínea b) de 10Þ36.
…
10.38 (Trigonometria do triângulo rectângulo) Seja ÐEß Fß GÑ um triângulo
Ä Ä
tal que .
sÐÖFEß FG×Ñ œ " (um triângulo rectângulo em F ). Fixada uma
função distância . − Y , tem-se então
C
B
A
Ä Ä
Ä Ä
.ÐEß FÑ
.ÐGß FÑ
cosÐEFß EGÑ œ
, sinÐEFß EGÑ œ
.
.ÐEß GÑ
.ÐEß GÑ
Ä
Ä
Ä Ä
Ä
Dem: Vem EG œ EF  FG , onde, por ser .
sÐÖFEß FG×Ñ œ " e
Ä
Ä
Ä Ä
EF œ FE, tem-se também .
sÐÖEFß FG×Ñ œ " (cf. 10.3). Concluímos
Ä
Ä
Ä
daqui que, sendo < œ EF , tem-se FG −Ä
< ¼ , e portanto EF œ 1Ä
< ÐEGÑ.
Ä Ä
Deduzimos daqui que ØEFß EGÙ œ .ÐEß FÑ# , e portanto
Ä Ä
Ä Ä
ØEFß EGÙ
.ÐEß FÑ#
.ÐEß FÑ
cosÐEFß EGÑ œ Ä
Ä œ .ÐEß FÑ.ÐEß GÑ œ .ÐEß GÑ ,
mEFmmEGm
donde a primeira igualdade do enunciado. Aplicando o que acabamos de
– 148–
deduzir ao triângulo ÐGß Fß EÑ, resulta que
Ä Ä
.ÐGß FÑ
.ÐGß FÑ
cosÐGFß GEÑ œ
œ
,
.ÐGß EÑ
.ÐEß GÑ
bastando agora reparar que, uma vez que a soma das amplitudes dos ângulos
internos dum triângulo é igual a #, tem-se
Ä Ä
Ä Ä
.
sÐÖGFß GE×Ñ œ "  .
sÐÖEFß EG×Ñ,
donde, tendo em conta 10.37,
Ä Ä
Ä Ä
Ä Ä
Ä Ä
s Ð.
s Ð.
sinÐEFß EGÑ œ sin
sÐÖEFß EG×ÑÑ œ cos
sÐÖGFß GE×ÑÑ œ cosÐGFß GEÑ,
…
o que nos dá a segunda igualdade do enunciado.
10.39 Seja ÐEß Fß GÑ um triângulo e consideremos fixada uma função distância
. − Y . Seja Q o pé da perpendicular de G para a recta EF (cf. 4.28).
Tem-se então
Ä Ä
.ÐGß Q Ñ œ .ÐFß GÑ sinÐFEß FGÑ.
Û Û
Dem: Separemos três casos, conforme o ângulo ÖFEß FG× seja recto, agudo
ou obtuso.
C
C
A
B=M A
M B A
C
B M
No caso em que o ângulo em questão é recto, tem-se F œ Q e
Ä Ä
Ä Ä
sinÐFEß FGÑ œ É"  cos# ÐFEß FGÑ œ ",
pelo que a igualdade é trivial. No caso em que o ângulo é agudo, resulta de
Ä
Û
Û
4.32 que Q − FE, portanto FE œ FQ , pelo que, aplicando 10.38 ao
triângulo ÐFß Q ß GÑ,
Ä Ä
Û Û
Û Û
s Ð.ÐÖFEß
s Ð.ÐÖFQ
sinÐFEß FGÑ œ sin
FG×ÑÑ œ sin
ß FG×ÑÑ œ
Ä Ä
.ÐGß Q Ñ
œ sinÐFQ ß FGÑ œ
,
.ÐFß GÑ
donde a igualdade do enunciado. Por fim, examinemos o caso em que o
ângulo é obtuso. Resulta de 4.32 que Q pertence à semirrecta de EF de
– 149–
Ä
origem F oposta a FE, pelo que, aplicando 10.38 ao triângulo ÐFß Q ß GÑ,
Ä Ä
Û Û
Û Û
s Ð.ÐÖFEß
s Ð#  .ÐÖFQ
sinÐFEß FGÑ œ sin
FG×ÑÑ œ sin
ß FG×ÑÑ œ
Ä
Ä
Û
Û
s Ð.ÐÖFQ ß FG×ÑÑ œ sinÐFQ ß FGÑ œ .ÐGß Q Ñ ,
œ sin
.ÐFß GÑ
o que implica, mais uma vez, a igualdade do enunciado.
…
10.40 (Corolário — Lei dos senos) Seja ÐEß Fß GÑ um triângulo e
consideremos fixada uma função distância . − Y . Tem-se então
.ÐFß GÑ
.ÐEß GÑ
.ÐEß FÑ
Ä Ä œ
Ä Ä œ
Ä Ä .
sinÐEFß EGÑ
sinÐFEß FGÑ
sinÐGEß GFÑ
Dem: Aplicando 10.40 aos triângulos ÐEß Fß GÑ e ÐFß Eß GÑ, vemos que,
sendo Q o pé da perpendicular de G para a recta EF , tem-se
Ä Ä
Ä Ä
.ÐFß GÑ sinÐFEß FGÑ œ .ÐGß Q Ñ œ .ÐEß GÑ sinÐEFß EGÑ,
donde a primeira igualdade do enunciado. A segunda resulta de aplicar a
primeira ao triângulo ÐFß Gß EÑ.
…
11. Geometria da Circunferência.
11.1 Em toda esta secção vamos supor fixada uma função distância . − Y e um
plano !. Dados G − ! e 3  !, define-se a circunferência V de centro G e
raio 3 como sendo o conjunto dos pontos \ − ! tais que .ÐGß \Ñ œ 3. Esta
circunferência será também notada V3 ÐGÑ.
11.2 (Lema) Seja V a circunferência de centro G e raio 3 e seja T Á G em !.
Tem-se então que na recta < œ GT existem dois, e só dois pontos Eß F em V
e, para esses pontos, tem-se .ÐT ß EÑ Á .ÐT ß FÑ.
Ä
Dem: Vem mGT m œ .ÐGß T Ñ œ + Á !. Um ponto \ − ! pertence à recta <
Ä
Ä
se, e só se, G\ œ ? GT , para um certo ? − ‘ e, para um tal ponto, tem-se
Ä
Ä
\ − V se, e só se, 3 œ mG\m œ l?lmGT m œ l?l+, isto é, se, e só se, l?l œ +3 ,
o que mostra que há efectivamente dois, e só dois pontos \ nessas
condições, nomeadamente os pontos Eß F definidos por
Ä
Ä
3 Ä
3 Ä
GE œ GT , GF œ  GT .
+
+
Tem-se então
– 150–
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
3
3
.ÐT ß EÑ œ mT Em œ mGE  GT m œ mÐ  "ÑGT m œ l  "lmGT m œ l3  +l,
+
+
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
3
3
.ÐT ß FÑ œ mT Fm œ mGF  GT m œ mÐ  "ÑGT m œ l  "lmGT m œ l3  +l ,
+
+
pelo que só se teria .ÐT ß EÑ œ .ÐT ß FÑ se fosse 3  + œ 3  + ou
3  + œ 3  +, o que não pode acontecer, por ser 3 Á ! e + Á !.
…
11.3 O centro e o raio de uma circunferência V estão bem definidos.
Dem: Se V é uma circunferência de centro G e raio 3, o lema precedente
mostra que, para cada T Á G , V não é uma circunferência de centro T (tem
dois pontos E e F a distâncias distintas de T ) e o facto de V ser um conjunto
não vazio (por exemploß também pelo lema precedente) implica que V não é
circunferência com nenhum raio distinto de 3.
…
11.4 Dada uma circunferência V, de centro G e raio 3, diz-se que um ponto
E − ! está no interior da circunferência (respectivamente no exterior da
circunferência) se .ÐGß EÑ  3 (respectivamente .ÐGß EÑ  3Ñ.24
Por exemplo, o próprio centro G está no interior da circunferência.
11.5 Seja V uma circunferência de centro G e raio 3. Sejam H um ponto no
interior da circunferência e < uma recta com H − <. Tem-se então que a recta
< tem dois, e só dois, pontos Eß F pertencentes a V.
Dem: No caso em que G − <, temos uma consequência de 11.2. tomando
para T qualquer ponto de < distinto de G .
r
C
B
A
D
M
Supomos então que G Â < e consideramos o pé da perpendicular Q de G
para < (cf. 4.28). Tendo em conta 4.29, tem-se .ÐGß Q Ñ Ÿ .ÐGß HÑ  3.
Tendo em conta o teorema de Pitágoras 8.12, para um ponto \ − <, distinto
de Q , tem-se .ÐGß \Ñ# œ .ÐGß Q Ñ#  .ÐQ ß \Ñ# , pelo que \ − V se, e só
se, .ÐGß \Ñ œ 3 se, e só se, .ÐQ ß \Ñ œ È3#  .ÐGß Q Ñ# , o que mostra que
há efectivamente dois, e só dois, pontos \ nessas condições, um em cada
uma das semirrectas de < de origem Q .
…
11.6 Seja V uma circunferência de centro G e raio 3. Sejam Eß F pontos
distintos de V e < a recta EF . Tem-se então que <  V œ ÖEß F× e o conjunto
dos pontos de < que estão no interior de V é ÒEß FÓ Ï ÖEß F×.
24As
palavras “interior” e “exterior” não são usadas aqui no seu sentido topológico.
– 151–
Dem: Comecemos por examinar o caso em que G − <, caso em que, por ser
.ÐGß EÑ œ 3 œ .ÐGß FÑ, G é o ponto médio do par ÐEß FÑ, em particular
G − ÒEß FÓ (cf. 1.26). Tendo em conta a alínea d) de 1.19 um ponto \ − <
está no interior de V, isto é, verifica .ÐGß \Ñ  3 se, e só se, pertence a
ÒGß FÓ Ï ÖF× ou pertence a ÒGß EÓ Ï ÖE×, isto é, se, e só se, pertence a
ÒEß FÓ Ï ÖEß F×. Tendo em conta 11.5, E e F são os únicos pontos de V na
recta <.
Passemos agora ao caso em que G Â < e seja Q o pé da perpendicular de G
para < (cf. 4.28). Tendo em conta 4.29, tem-se .ÐGß Q Ñ  .ÐGß FÑ œ 3,
portanto Q está no interior de V, o que implica já, por 11.5, que E e F são
os únicos pontos de < em V. Além disso, por 4.27, e uma vez que .ÐGß EÑ œ
3 œ .ÐGß FÑ, Q é o ponto médio do par ÐEß FÑ, em particular Q − ÒEß FÓ
(cf. 1.26).
r
C
B
A
X
M
Tendo em conta 4.31, um ponto \ − < está no interior de V, isto é, verifica
.ÐGß \Ñ  3 œ .ÐGß FÑ œ .ÐGß EÑ se, e só se. .ÐQ ß \Ñ  .ÐQ ß FÑ œ
.ÐQ ß EÑ o que, mais uma vez pela alínea d) de 1.19, é equivalente a \
pertencer a um dos conjuntos ÒQ ß FÓ Ï ÖF× ou ÒQ ß EÓ Ï ÖE×, o que equivale
a \ pertencer a ÒEß FÓ Ï ÖEß F×.
…
11.7 (Recta tangente a uma circunferência) Seja V uma circunferência de
centro G e raio 3. Sejam E − V e < uma recta com E − <. Tem-se então que
V  < œ ÖE× (caso em que se diz que a recta < é tangente a V em E) se, e só
se, a recta < é perpendicular à recta GE se, e só se, a recta < não tem pontos
no interior de V.
A
C
– 152–
r
Dem: Comecemos por supor que a recta < é perpendicular à recta GE, em
particular que E é o pé da perpendicular de G para <. Tendo em conta 4.29,
para cada \ − < com \ Á E tem-se .ÐGß \Ñ  .ÐGß EÑ œ 3, portanto
\  V e \ não está no interior de V; ficou assim provado que V  < œ ÖE× e
que < não tem pontos no interior de V.
Suponhamos, reciprocamente, que < não é perpendicular a GE. Se G − <,
então G é um ponto de < no interior de V. Se G Â <, podemos considerar o pé
da perpendicular Q de G sobre <, tendo-se Q Á E donde, por 4.29,
.ÐQ ß GÑ  .ÐEß GÑ œ 3, o que mostra que < tem o ponto Q que é interior a
V. Em qualquer dos casos, a existência em < de um ponto interior a V
assegura, por 11.5 que <  V é um conjunto com dois elementos, em
particular é diferente de ÖE×.
…
11.8 Seja V uma circunferência de centro G e raio 3. Em cada semirrecta < de
origem G , existe um, e um só ponto em V e existem pontos tanto no interior
de V como no exterior de V.
Dem: Trata-se de uma consequência imediata da alínea d) de 1.19.
…
11.9 Seja V uma circunferência de centro G e raio 3. Seja < uma recta que não
tem nenhum ponto em V. Tem-se então que todos os pontos de < estão no
exterior de V.
Dem: Basta atender a que, se < tivesse um ponto no interior de V, então tinha
dois pontos em V (cf. 11.5).
…
A
C
r
11.10 Seja V uma circunferência de centro G e raio 3. Seja E um ponto exterior
a V e seja < a recta perpendicular à recta GE e que contém o ponto E.
Tem-se então que todos os pontos de < são pontos exteriores a V. Além disso,
qualquer recta = cujos pontos sejam todos exteriores a V pode ser obtida deste
modo.
Dem: Por definição, E é o pé da perpendicular de G para < pelo que, tendo
em conta 4.29, para cada \ − <, tem-se .Ð\ß GÑ .Ð\ß EÑ  3, portanto
\ está no exterior de V. Reciprocamente, se = é uma recta cujos pontos estão
todos no exterior de V, podemos considerar o pé da perpendicular F de G
para = e então F está no exterior a V e = é a recta perpendicular a GF que
contém o ponto F .
…
– 153–
11.11 (Intersecção de duas circunferências) Sejam G Á G w em ! e notemos
+ œ .ÐGß G w Ñ. Sejam 3  ! e 3w  ! e consideremos as circunferências V, de
centro G e raio 3, e Vw , de centro G w e raio 3w . Tem-se então:
a) Se l3  3w l  +  3  3w , então V  Vw é um conjunto com dois elementos.
C
C'
b) Se + œ l3  3w l ou + œ 3  3w , então V  Vw é um conjunto com um único
elemento.
C
C C'
C'
c) Se +  l3  3w l ou +  3  3w , então V  Vw œ g.
C
CC'
C'
Dem: Seja H − ! tal que GH seja ortogonal a GG w e que .ÐGß HÑ œ ".
Ä
Ä
Notemos Ä
? œ GG w eÄ
@ œ GH, vectores para os quais se tem assim
ÄßÄ
Äm# œ +# , Ø@
ÄßÄ
Äm# œ ", Ø?
ÄßÄ
Ø?
? Ù œ m?
@ Ù œ m@
@ Ù œ !.
Podemos considerar uma correspondência biunívoca entre pontos \ do plano
! e pares Ð,ß -Ñ de números reais, que cada \ associa o par Ð,ß -Ñ definido
Ä
pela condição de se ter G\ œ ,Ä
?  -Ä
@.
– 154–
X
D
v
C
u
C'
Ä
Ä
Ä
Ä
Para um tal ponto \ , tem-se G\ œ Ä
?  G w \ , donde G w \ œ G\ Ä
? œ
Ä
Ä
Ð,  "Ñ ?  - @ e tem-se
Ä
ÄßÄ
ÄßÄ
ÄßÄ
mG\m# œ Ø,Ä
?  -Ä
@ ß ,Ä
?  -Ä
@ Ù œ , # Ø?
? Ù  - # Ø@
@ Ù  #,-Ø?
@Ù œ
# #
#
œ, + e, do mesmo modo,
Ä
mG w \m# œ Ð,  "Ñ# +#  - # .
A condição de se ter \ − V  Vw é assim equivalente à de os correspondentes
,ß - verificarem as condições
3# œ , # +#  - #
#
3w œ Ð,  "Ñ#  - # .
Subtraindo membro a membro estas igualdades vemos que estas condições
são equivalentes às condições
3# œ , # +#  - #
#
3#  3w œ Ð#,  "Ñ+# ,
a segunda das quais é equivalente a
,œ
3#  3w #  +#
.
#+#
Substituindo este valor de , na primeira condição do sistema atrás, vemos
assim que o número de pontos \ em V  Vw é igual ao número de reais - para
os quais se tem
3# œ Ð
3#  3w #  +# # #
Ñ +  -#,
#+#
isto é,
- # œ 3# 
Ð3 #  3 w #  + # Ñ #
%+#
– 155–
que é sucessivamente equivalente a
-# œ
c# œ
-# œ
-# œ
-# œ
Ð#3+Ñ#  Ð3#  3w #  +# Ñ#
,
%+#
Ð#3+  3#  +#  3w # ÑÐ#3+  3#  +#  3w # Ñ
,
%+#
#
#
ÐÐ3  +Ñ#  3w ÑÐ3w  Ð3  +Ñ# Ñ
,
%+#
Ð3  +  3w ÑÐ3  +  3w ÑÐ3w  3  +ÑÐ3w  3  +Ñ
,
%+#
ÐÐ3  3w Ñ#  +# ÑÐ+#  Ð3  3w Ñ# Ñ
.
%+#
Uma vez que, por ser 3  ! e 3w  !, tem-se Ð3  3w Ñ#  Ð3  3w Ñ# , vai
existir um, e um só, - que verifica a igualdade anterior se, e só se, o segundo
membro é ! (a solução é então - œ !) isto é, se, e só se + œ l3  3w l ou
+ œ 3  3w , vão existir dois, e só dois, - que verificam a igualdade (um
simétrico do outro) se, e só se o segundo membro é maior que !, isto é, se, e
só se, l3  3w l  +  3  3w e não vai existir nenhum - que verifica a
igualdade, caso contrário.
…
11.12 Dada uma circunferência V, de centro G e raio 3, diz-se que dois pontos
Eß F − V são diametralmente opostos se são distintos e a recta EF contém
G.
Repare-se que, dado E − V, existe um, e um só, F − V tal que E e F sejam
diametralmente opostos, nomeadamente o ponto de EG  V distinto de E (cf.
11.5).
11.13 (Ângulo inscrito num diâmetro) Sejam V uma circunferência, de centro
G e raio 3, e Eß F − V dois pontos diametralmente opostos. Para cada ponto
Ä
Ä
H − V, distinto de E e de F , tem-se então que os vectores HE e HF são
ortogonais.
Ä
Dem: Sendo Ä
? œ GE, o facto de se ter .ÐEß GÑ œ 3 œ .ÐFß GÑ com
Ä
Ä œ GF
E Á F , implica que ?
. Sendo agora H − V, distinto de E e de F ,
Ä
em particular com .ÐGß HÑ œ 3, obtemos, pondo Ä
A œ GH,
D
w
A
u
C
– 156–
B
-u
Ä Ä
Ä Ä
Ä Ä
ÄßÄ
Äß Ä
ÄÄ
ÄÄ
ØHEß HFÙ œ Ø?
Aß ?
AÙ œ Ø?
? Ù  Ø?
AÙ  ØAß
? Ù  ØAß
AÙ œ
#
#
œ 3  3 œ ! ,
Ä
Ä
o que mostra que os vectores HE e HF são ortogonais.
…
11.14 (Ângulo inscrito no caso não trivial) Sejam V uma circunferência, de
centro G e raio 3, e Eß F − V dois pontos distintos, não diametralmente
opostos. Para cada ponto H − V, distinto de E e de F , tem-se então:
Û Û
1) Se H Â nÖGEß GF×, então
"
Û Û
Û Û
.ÐÖHEß HF×Ñ œ .ÐÖGEß GF×Ñ.
#
Û Û
2) Se H − nÖGEß GF×, então
"
Û Û
Û Û
.ÐÖHEß HF×Ñ œ #  .ÐÖGEß GF×Ñ.
#
D
A
x/2
w
C
v
u x
C
B
A
u
x
v
w
B
2-x/2
D
Ä
Ä
Ä
Dem:25 Notemos Ä
? œ GE, Ä
@ œ GF e Ä
A œ GH, vectores para os quais se
Äm œ m@
Äm œ mAm
Ä œ 3. Uma vez que Eß Fß G são não colineares,
tem assim m?
Ä
Ä
os vectores ? ß @ são também não colineares, e portanto uma base do plano
vectorial Ä
! associado ao plano !. Existem assim +ß , − ‘ tais que
Ä
A œ +Ä
?  ,Ä
@
Û Û
e, tendo em conta 9.64, tem-se H − nÖGEß GF× se, e só se, + ! e , !,
caso em que se tem mesmo +  ! e ,  ! (senão H pertenceria a uma das
Û
Û
semirrectas GE e GF e teria que ser respectivamente E ou F por estar à
Û Û
mesma distância de G que estes), e portanto H Â nÖGEß GF× se, e só se,
+  ! ou ,  !.
Notemos
25Também
existe uma demonstração puramente geométrica e intuitivamente mais clara
deste resultado, que evita os detalhes algébricos mas que exige que se examinem separadamente várias situações possíveis “para a figura”.
– 157–
Ä Ä
Û Û
ÄßÄ
B œ .ÐÖGEß GF×Ñ œ .
@ Ñ − Ó!ß #Ò.
sÐGEß GFÑ œ .
sÐ?
ÄÄ
Ø?ß@Ù
ÄßÄ
" ÄÄ
s ÐBÑ œ cos
s Ð?
Tem-se assim cos
@ Ñ œ m?mm@m
Ä Ä œ 3# Ø? ß @ Ù , por outras palavras,
Ä
Ä
s ÐBÑ, e daqui deduzimos uma relação fundamental entre os
Ø? ß @ Ù œ 3# cos
coeficientes +ß , : De
ÄÄ
Ä  ,@
Äß +?
Ä  ,@
ÄÙ œ +# Ø?
ÄßÄ
ÄßÄ
ÄßÄ
3# œ ØAß
AÙ œ Ø+?
? Ù  , # Ø@
@ Ù  #+,Ø?
@Ù œ
s ÐBÑ,
œ +# 3#  , # 3#  #+, 3# cos
deduzimos que
(*)
s ÐBÑ œ ".
+#  , #  #+, cos
s ÐBÑÑ, onde
Daqui se deduz, em particular, que Ð+  ,Ñ# œ "  #+,Ð"  cos
Û Û
s ÐBÑ  ! e portanto, se H − nÖGEß GF×
"  cos
, tem-se +  ! e ,  !,
Û Û
donde +  ,  ", e, se H Â nÖGEß GF×, tem-se +  ! ou ,  !, donde
+  ,  " (reparar que +  ,  l+  ,l e que a desigualdade é trivial se um
dos números + e , for menor que ! e o outro menor ou igual a ! porque então
é mesmo +  ,  !).
Reparemos agora que, uma vez que
ÄßÄ
ÄßÄ
ÄßÄ
s ÐBÑÑ,
Ø?
AÙ œ +Ø?
? Ù  ,Ø?
@ Ù œ 3# Ð+  , cos
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
#
s ÐBÑÑ,
Ø@ ß AÙ œ +Ø@ ß ? Ù  ,Ø@ ß @ Ù œ 3 Ð,  +cos
s ÐBÑ œ #cos
s Ð B# Ñ  ", obtemos
e que cos
Ä Ä
Ä Ä
ÄßÄ
Äß Ä
ÄÄ
ÄÄ
ØHEß HFÙ œ Ø?
AßÄ
@ Ä
AÙ œ Ø?
@ Ù  Ø?
AÙ  ØAß
@ Ù  ØAß
AÙ œ
# s
s ÐBÑ  ,  +cos
s ÐBÑ  "Ñ œ
œ 3 ÐcosÐBÑ  +  , cos
B
s ÐBÑÑ œ #3# Ð"  +  ,Ñcos
s # Ð Ñ.
œ 3# Ð"  +  ,ÑÐ"  cos
#
Analogamente,
Ä
Ä Ä
ÄßÄ
ÄÄ
Äß Ä
mHEm# œ Ø?
AßÄ
? Ä
AÙ œ Ø?
? Ù  ØAß
AÙ  #Ø?
AÙ œ
#
s
œ #3 Ð"  +  , cosÐBÑÑ,
Ä
Ä Ä
ÄßÄ
ÄÄ
Äß Ä
mHFm# œ Ø@
AßÄ
@ Ä
AÙ œ Ø@
@ Ù  ØAß
AÙ  #Ø@
AÙ œ
#
s ÐBÑÑ,
œ #3 Ð"  ,  +cos
donde, aplicando várias vezes a fórmula fundamental (*) e, de novo, a
s ÐBÑ œ #cos
s Ð B# Ñ  ",
igualdade cos
– 158–
Ä
Ä
s ÐBÑ  ,  , cos
s ÐBÑ  +# cos
s ÐBÑ 
mHEm# mHFm# œ %3% Ð"  +  +cos
#
# s
s ÐBÑÑ œ
œ  , cosÐBÑ  +,  +, cos
B
# B
%
s Ð Ñ  #, cos
s # Ð Ñ  +# cos
s ÐBÑ 
œ %3 Ð"  #+cos
#
#
"
"
"
s ÐBÑ  +,  cos
s ÐBÑ  +# cos
s ÐBÑ  , # cos
s ÐBÑÑ œ
œ  , # cos
#
#
#
B
B
"
s # Ð Ñ  #, cos
s # Ð Ñ  +# cos
s ÐBÑ 
œ %3% Ð"  #+cos
#
#
#
"
"
s ÐBÑ  +,  cos
s ÐBÑ œ
œ  , # cos
#
#
B
B
B
"
s # Ð Ñ  #, cos
s # Ð Ñ  +# cos
s # Ð Ñ  +# 
œ %3% Ð"  #+cos
#
#
#
#
" #
"
# B
# s # B
s Ð Ñ Ñœ
œ  , cos Ð Ñ  ,  +,  cos
#
#
#
#
B
# B
# B
% "
#
s Ð Ñ  #, cos
s Ð Ñ  + cos
s #Ð Ñ 
œ %3 Ð  #+cos
#
#
#
#
"
# B
# s # B
s ÐBÑ  +,  cos
s Ð ÑÑ œ
œ  , cos Ð Ñ   +, cos
#
#
#
B
B
B
s # Ð Ñ  #, cos
s # Ð Ñ  +# cos
s #Ð Ñ 
œ %3% Ð#+cos
#
#
#
B
B
B
s # Ð Ñ  #+, cos
s # Ð Ñ  cos
s # Ð ÑÑ œ
œ  , # cos
#
#
#
% s # B
#
#
œ %3 cos Ð ÑÐ"  +  ,  #+  #,  #+,Ñ œ
#
% s # B
œ %3 cos Ð ÑÐ"  +  ,Ñ# .
#
Reparando que ! 
B
#
s Ð B# Ñ  !, deduzimos que
 ", e portanto cos
Ä
Ä
B
s Ð Ñl"  +  ,l,
mHEmmHFm œ #3# cos
#
e portanto
Ä Ä
ØHEß HFÙ
B
s Ð Ñ,
Ä
Ä œ „cos
#
mHEmmHFm
Û Û
onde o sinal é  quando +  ,  ", isto é, H Â nÖGEß GF×, e é  quando
Û Û
+  ,  ", isto é, H − nÖGEß GF×, tendo-se assim no primeiro caso
Û Û
Û Û
.ÐÖHEß HF×Ñ œ B# e, no segundo .ÐÖHEß HF×Ñ œ #  B# .
…
11.15 (Potência de um ponto relativamente a uma circunferência) Seja V
uma circunferência, de centro G e raio 3. Dado um ponto T − !, chama-se
potência de T relativamente a V ao número real PotV ÐT Ñ œ .ÐGß T Ñ#  3# .
Repare-se que, por definição, tem-se que PotV ÐT Ñ œ ! se, e só se, T − V,
– 159–
PotV ÐT Ñ  ! se, e só se, T está no interior de V e PotV ÐT Ñ  ! se, e só se, T
está no exterior de V.
11.16 Seja V uma circunferência, de centro G e raio 3. Sejam T − ! e < uma
recta contida em !, com T − <. Suponhamos que <  V œ ÖEß F×, com Eß F
não necessariamente distintos (admitimos assim que < possa ser tangente a
V). Tem-se então
Ä Ä
PotV ÐT Ñ œ ØT Eß T FÙ œ „.ÐT ß EÑ.ÐT ß FÑ,
onde o sinal é  se T está no exterior de V e é  se T está no interior de V.
B
B
A
C
P
P
A
C
Dem:26 Podemos afastar já o caso trivial em que T − V, visto que então
tem-se T œ E ou T œ F e os três membros da igualdade são iguais a !.
Ä Ä
Reparemos agora que basta mostrarmos que se tem PotV ÐT Ñ œ ØT Eß T FÙ,
uma vez que a outra igualdade resulta então da definição do produto interno
de vectores colineares e do facto de a potência ser positiva ou negativa
conforme o ponto T esteja no exterior ou no interior de V.
Ä
Ä
Notemos Ä
A œ GT , Ä
? œ GE e procuremos uma caracterização para os
pontos F que pertencem a <  V, isto é, para aqueles para os quais se tem
Ä
Ä
.ÐGß FÑ œ 3 e EF œ +ET , para um certo + − ‘ (para + œ ! temos o ponto
Ä
E). Notando Ä
@ œ GF , procuramos os valores de + − ‘ tais que, sendo
Ä
Ä
Ä
Ä
ÄßÄ
@  ? œ +ÐA  ? Ñ, tem-se Ø@
@ Ù œ 3# , ou seja,
Ä  +ÐA
Ä Ä
Ä Ä
3# œ Ø?
? ÑßÄ
?  +ÐA
? ÑÙ œ
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
# Ä ÄÄ Ä
œ Ø? ß ? Ù  #+Ø? ß A  ? Ù  + ØA  ? ß A  ? Ù œ
ÄßÄ
Ä Ä
œ 3#  #+Ø?
A Ä
? Ù  +# ØA
? ßÄ
A Ä
? Ù,
pelo que obtivémos uma equação em + que tem a solução
ÄßÄ
#Ø?
A Ä
?Ù
+œ Ä ÄÄ Ä ,
ØA  ? ß A  ? Ù
26Como
em 11.14, é também possível apresentar uma demonstração alternativa com um
espírito geométrico e não analítico.
– 160–
como única solução que pode ser distinta da solução + œ !. Para esse valor
de +, tem-se então
Ä Ä
Ä Ä
Ä Ä
Ä Ä
Ä Ä
ØT Eß T FÙ œ Ø?
AßÄ
@ Ä
AÙ œ Ø?
Aß Ð@
? Ñ  ÐA
? ÑÙ œ
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
Ä
œ ØA  ? ß A  ? Ù  + ØA  ? ß A  ? Ù œ
Ä Ä
Äß Ä
œ ØA
? ßÄ
A Ä
? Ù  #Ø?
A Ä
?Ù œ
Ä
Ä
Ä
Ä
œ ØA  ? ß A  ? Ù œ
ÄÄ
ÄÄ
ÄßÄ
ÄßÄ
œ ØAß
AÙ  ØAß
? Ù  Ø?
AÙ  Ø?
?Ù œ
Ä
#
#
œ mAm  3 œ PotV ÐT Ñ.
…
Apêndice 1: As funções trigonométricas dos Analistas.
Ap1.1 (Diferenciabilidade do limite) Sejam I e J espaços vectoriais de
dimensão finita, Y § I um aberto e Ð08 Ñ8− uma família de funções de
classe G " , 08 À Y Ä J , tal que existam aplicações 0 À Y Ä J e
-À Y Ä PÐIà J Ñ tais que 08 ÐBÑ Ä 0 ÐBÑ, para cada B − Y , e que
H08 B Ä -B uniformemente para B − Y . Tem-se então que 0 À Y Ä J é de
classe G " e, para cada B − Y , H0B œ -B .
Dem: Comecemos por notar que, uma vez que cada H08 À Y Ä PÐIà J Ñ é
contínua e que o limite uniforme da aplicações contínuas é uma aplicação
contínua, podemos concluir que -À Y Ä PÐIà J Ñ é uma aplicação contínua.
Seja B! − Y arbitrário. Seja $  ! arbitrário. Seja <  ! tal que a bola aberta
F< ÐB! Ñ esteja contida em Y e que, para cada B − F< ÐB! Ñ, m-B  -B! m Ÿ #$ .
Pela convergência uniforme, seja 8! tal que, sempre que 8 8! e B − Y ,
mH08 B  -B m Ÿ $# . Para cada 8 8! e B − F< ÐB! Ñ, tem-se assim
mH08 B  -B! m Ÿ mH08 B  -B m  m-B  -B! m Ÿ $ .
Podemos agora aplicar o teorema da média à aplicação :À F< ÐB! Ñ Ä J ,
definida por :ÐBÑ œ 08 ÐBÑ  -B! ÐBÑ, para a qual se tem
mH:B m œ mH08 B  -B! m Ÿ $ ,
para deduzir que, para cada 8 8! e B − F< ÐB! Ñ,
m08 ÐBÑ  08 ÐB! Ñ  -B! ÐB  B! Ñm œ m:ÐBÑ  :ÐB! Ñm Ÿ $ mB  B! m,
pelo que, passando ao limite em 8, vem também
m0 ÐBÑ  0 ÐB! Ñ  -B! ÐB  B! Ñm œ m:ÐBÑ  :ÐB! Ñm Ÿ $ mB  B! m,
o que mostra que 0 é diferenciável em B! e com H0B! œ -B! .
– 161–
…
Ap1.2 Tendo em conta a convergência uniforme da série, em qualquer bola de
centro !, deduzimos do resultado anterior que tem lugar uma aplicação de
classe G " ß expÀ ‚ Ä ‚, a aplicação exponencial, definida por
"
"
"
expÐDÑ œ /D œ "  D  D #  D $  D %  â,
#
$x
%x
aplicação para a qual se tem expw ÐDÑ œ expÐDÑ e que, portanto, é mesmo de
classe G _ .
Ap1.3 A aplicação exponencial verifica as seguintes propriedades:
a) expÐ!Ñ œ ",
b) expÐDÑ ‚ expÐDÑ œ ", em particular tem-se expÐDÑ Á !;
c) expÐD  AÑ œ expÐDÑ ‚ expÐAÑ.
Dem: A conclusão de a) resulta de substituir D por ! na expressão da série
definidora. Para provarmos b), consideramos uma função :À ‚ Ä ‚ definida
por :ÐDÑ œ expÐDÑ ‚ expÐDÑ e reparamos que, tendo em conta a expressão
da derivada da função exp, sai
:w ÐDÑ œ expÐDÑ ‚ expÐDÑ  expÐDÑ ‚ expÐDÑ œ !
pelo que a função : é constante, portanto :ÐDÑ œ :Ð!Ñ œ ". Para provarmos
c), consideremos A − ‚ fixado e definamos uma função <À ‚ Ä ‚ por
<ÐDÑ œ
expÐDÑ ‚ expÐAÑ
.
expÐD  AÑ
Obtemos então
<w ÐDÑ œ
expÐDÑ ‚ expÐAÑ ‚ expÐD  AÑ  expÐDÑ ‚ expÐAÑ ‚ expÐD  AÑ
œ!
expÐD  AÑ#
pelo que a função < é constante e portanto <ÐDÑ œ <Ð!Ñ œ
implica que expÐD  AÑ œ expÐDÑ ‚ expÐAÑ.
expÐAÑ
expÐAÑ
œ ", o que
…
Ap1.4 A restrição da aplicação exponencial a ‘ é um difeomorfismo
estritamente crescente de ‘ sobre Ó!ß _Ò.
Dem: Começamos por notar que, para cada > !, o facto de termos uma
série de termos reais latamente positivos implica que expÐ>Ñ "  !, assim
como expÐ>Ñ "  >, o que implica que lim expÐ>Ñ œ _. Para cada
>Ä_
> Ÿ !, o facto de se ter > ! e expÐ>Ñ œ exp"Ð>Ñ implica que expÐ>Ñ  ! e
que
lim expÐ>Ñ œ !. O facto de a restrição de exp a ‘ ser estritamente
>Ä_
crescente resulta de que expw Ð>Ñ œ expÐ>Ñ  !. O conhecimento dos limites
de exp quando > Ä _ e quando > Ä _ implica agora que o
contradomínio de exp é Ó!ß _Ò e portanto que exp é uma bijecção
estritamente crescente de ‘ sobre Ó!ß _Ò e o facto de se ter expw Ð>Ñ Á !
implica, pelo teorema da função inversa, que a função inversa de exp é
…
também de classe G _ .
– 162–
Ap1.5 Define-se a função logaritmo neperiano lnÀ Ó!ß _Ò Ä ‘ como sendo o
difeomorfismo inverso do difeomorfismo expÀ ‘ Ä Ó!ß _Ò, difeomorfismo
para o qual se tem lnw Ð=Ñ œ "= .
Dem: Pelo teorema da função inversa, tem-se
lnw Ð=Ñ œ
"
"
"
œ
œ .
expw ÐlnÐ=ÑÑ
expÐlnÐ=ÑÑ
=
…
Ap1.6 Para cada complexo D , tem-se expÐDÑ œ expÐDÑ. Em consequência, se
D œ D , isto é, se D œ ,3, para um certo , − ‘, então lexpÐDÑl œ ".
Dem: A primeira afirmação resulta da série definidora da aplicação
exponencial, tendo em conta o facto de a conjugação ser uma aplicação linear
real e o de o conjugado de um produto ser o produto dos conjugados (e
portanto, por indução, o conjugado de uma potência de expoente 8 é a
potência de expoente 8 do conjugado). Quando D œ D , podemos assim
escrever
lexpÐDÑl# œ expÐDÑ ‚ expÐDÑ œ expÐDÑ ‚ expÐDÑ œ ".
…
Ap1.7 Definimos funções trigonométricas cosß sinÀ ‘ Ä ‘, pela igualdade
expÐ3>Ñ œ cosÐ>Ñ  sinÐ>Ñ 3.
Ap1.8 Tendo em conta Ap1.6, tem-se lexp3>Ñl œ ", portanto, para cada >,
cos# Ð>Ñ  sin# Ð>Ñ œ ",
em particular cos# Ð>Ñ Ÿ " e sin# Ð>Ñ Ÿ ", isto é, cosÐ>Ñ − Ò1ß "Ó e sinÐ>Ñ −
Ò"ß "Ó.
Ap1.9 Lembrando que expÐ3>Ñ œ expÐ3>Ñ œ expÐ3>Ñ, podemos escrever
cosÐ>Ñ  sinÐ>Ñ 3 œ cosÐ>Ñ  sinÐ>Ñ 3,
portanto
cosÐ>Ñ œ cosÐ>Ñ, sinÐ>Ñ œ sinÐ>Ñ.
Ap1.10 Por derivação da igualdade cosÐ>Ñ  sinÐ>Ñ 3 œ expÐ3>Ñ, obtemos
cosw Ð>Ñ  sinw Ð>Ñ 3 œ 3 expÐ3>Ñ œ sinÐ>Ñ  cosÐ>Ñ 3,
portanto
cosw Ð>Ñ œ sinÐ>Ñ,
– 163–
sinw Ð>Ñ œ cosÐ>Ñ.
Ap1.11 Da fórmula expÐ3Ð=  >ÑÑ œ expÐ3=Ñ ‚ expÐ3>Ñ, deduzimos que
cosÐ=  >Ñ  sinÐ=  >Ñ 3 œ ÐcosÐ=Ñ  sinÐ=Ñ 3ÑÐcosÐ>Ñ  sinÐ>Ñ 3Ñ œ
œ ÐcosÐ=ÑcosÐ>Ñ  sinÐ=ÑsinÐ>ÑÑ  ÐcosÐ=ÑsinÐ>Ñ  sinÐ=ÑcosÐ>ÑÑ 3,
de onde deduzimos as fórmulas
cosÐ=  >Ñ œ cosÐ=ÑcosÐ>Ñ  sinÐ=ÑsinÐ>Ñ,
sinÐ=  >Ñ œ sinÐ=ÑcosÐ>Ñ  cosÐ=ÑsinÐ>Ñ.
Ap1.12 Como casos particulares de Ap1.11, temos, tendo em conta Ap1.8,
cosÐ#>Ñ œ cos# Ð>Ñ  sin# Ð>Ñ œ #cos# Ð>Ñ  " œ "  #sin# Ð>Ñ,
sinÐ#>Ñ œ #sinÐ>ÑcosÐ>Ñ.
e portanto também, pondo > œ #= ,
=
"  cosÐ=Ñ
cosÐ Ñ œ „Ê
.
#
#
Ap1.13 Partindo da série definidora da aplicação exponencial, vemos que, com a
convenção !! œ ",
cosÐ>Ñ  sinÐ>Ñ 3 œ expÐ3>Ñ œ "
_
5œ!
"
Ð3>Ñ5 œ
5x
_
" #8 #8
"
œ"
3 > "
3#8" >#8" œ
Ð#8Ñx
Ð#8

"Ñx
8œ!
8œ!
_
œ"
_
8œ!
_
Ð"Ñ8 #8
Ð"Ñ8 #8"
> "
>
3,
Ð#8Ñx
Ð#8  "Ñx
8œ!
pelo que, comparando as partes reais e as partes imaginárias, obtemos a
séries definidoras das funções trigonométricas,
cosÐ>Ñ œ "
_
8œ!
_
sinÐ>Ñ œ "
8œ!
Ð"Ñ8 #8
>#
>%
>'
> œ "     â,
Ð#8Ñx
#x %x 'x
Ð"Ñ8 #8"
>$
>&
>(
>
œ >     â.
Ð#8  "Ñx
$x &x (x
Ap1.14 (Algumas avaliações das funções trigonométricas) Tem-se cosÐ!Ñ œ "
e sinÐ!Ñ œ !. Para cada ! Ÿ > Ÿ ", tem-se cosÐ>Ñ "# e sinÐ>Ñ &' >. Tem-se
cosÐ#Ñ  !.
Dem: Os valores das funções trigonométricas em ! resultam imediatamente
da substituição nas séries. Suponhamos agora que ! Ÿ > Ÿ ". Tem-se então
que cosÐ>Ñ e sinÐ>Ñ são também caracterizados pelas séries de termos
latamente positivos
– 164–
>#
>%
>'
>)
>"!
ÑÐ  ÑÐ 
Ñâ
#x
%x 'x
)x "!x
>$
>&
>(
>*
>""
sinÐ>Ñ œ Ð>  Ñ  Ð  Ñ  Ð 
Ñâ
$x
&x (x
*x ""x
cosÐ>Ñ œ Ð" 
de onde deduzimos que
>#
"
"
" œ ,
#
#
#
>$
>#
"
&
sinÐ>Ñ >  œ >Ð"  Ñ >Ð"  Ñ œ >.
'
'
'
'
cosÐ>Ñ " 
Em particular, tem-se sinÐ"Ñ &' , donde, por Ap1.12,
cosÐ#Ñ œ "  # sin# Ð"Ñ Ÿ " 
&!
 !.
$'
…
Ap1.15 Existe um mínimo >! para o conjunto dos > ! tais que cosÐ>Ñ œ !,
tendo-se "  >!  #, tendo-se então cosÐ>Ñ  !, para cada ! Ÿ >  >! .
Dem: A existência de ! Ÿ >  # tal que cosÐ>Ñ œ ! é uma consequência de se
ter cosÐ!Ñ œ "  ! e cosÐ#Ñ  !. O conjuntos do > ! tais que cosÐ>Ñ œ ! é
assim fechado não vazio e minorado pelo que admite um mínimo (o seu
ínfimo) >! . O facto de se ter >!  # resulta de que, como referimos, existe um
elemento >  # no conjunto referido e o facto de se ter >!  " resulta de que,
para cada ! Ÿ > Ÿ ", tem-se cosÐ>Ñ "#  !. O facto de se ter cosÐ>Ñ  !,
para cada ! Ÿ >  >! , resulta de que a existir um tal > com cosÐ>Ñ Ÿ !,
podíamos aplicar mais uma vez o teorema do valor intermédio para garantir a
existência de = − Ò!ß >Ó tal que cosÐ=Ñ œ !, o que contrariava o facto de >! ser
o mínimo nessas condições.
…
Ap1.16 Definimos o número real 1 como sendo o dobro do número real >!
referido em Ap1.15. Tem-se assim, por aquele resultado, #  1  %.27
Ap1.17 A restrição da função sin ao intervalo Ò!ß 1# Ó é uma bijecção estritamente
crescente deste intervalo sobre o intervalo Ò!ß "Ó e a restrição da função cos ao
intervalo Ò!ß 1# Ó é uma bijecção estritamente decrescente deste intervalo sobre
o intervalo Ò!ß "Ó. Em particular, cosÐ 1# Ñ œ ! e sinÐ 1# Ñ œ ".
Dem: Por definição de 1, tem-se cosÐ 1# Ñ œ ! e cosÐ>Ñ  !, para cada
> − Ò!ß 1# Ò. Uma vez que sinw Ð>Ñ œ cosÐ>Ñ, segue-se que a restrição de sin a
Ò!ß 1# Ó é estritamente crescente, em particular injectiva, e, por ser sinÐ!Ñ œ !,
tem-se sinÐ>Ñ  !, para cada > − Ó!ß 1# Ó. Da igualdade sin# Ð 1# Ñ  cos# Ð 1# Ñ œ ",
resulta que sin# Ð 1# Ñ œ ", e portanto sinÐ 1# Ñ œ ". A imagem da restrição da
função sin a Ò!ß 1# Ó é o intervalo Ò!ß "Ó, visto que contém esse intervalo, pelo
27É
uma informação um pouco pobre, mas é melhor do que nada…
– 165–
teorema do valor intermédio, e está contida nesse intervalo, por ser
estritamente crescente. Uma vez que cosw Ð>Ñ œ sinÐ>Ñ, tem-se, para cada
> − Ó!ß 1# Ó, cosw Ð>Ñ  !, o que implica que a restrição de cos a Ò!ß 1# Ó é
estritamente decrescente, em particular injectiva e com valores no intervalo
Ò!ß "Ó. Como antes, o teorema do valor intermédio garante que a imagem por
cos do intervalo Ò!ß 1# Ó é precisamente o intervalo Ò!ß "Ó.
…
Ap1.18 a) As igualdades cosÐ 1# Ñ œ ! e sinÐ 1# Ñ œ " podem ser traduzidas por
expÐ 1# 3Ñ œ 3.
b) De a) resulta que expÐ13Ñ œ expÐ 1# 3Ñ# œ 3# œ " (fórmula de Euler), o
que pode ser traduzido por cosÐ1Ñ œ " e sinÐ1Ñ œ !.
c) De a) também resulta que expÐ $#1 3Ñ œ expÐ 1# 3Ñ$ œ 3$ œ 3, o que pode
ser traduzido por cosÐ $#1 Ñ œ ! e sinÐ $#1 Ñ œ ".
d) De b) resulta que expÐ#13Ñ œ expÐ13Ñ# œ Ð"Ñ# œ " œ expÐ!Ñ, o que
pode ser traduzido por cosÐ#1Ñ œ " œ cosÐ!Ñ e sinÐ#1Ñ œ ! œ sinÐ!Ñ.
Ap1.19 As funções cosß sinÀ ‘ Ä Ò"ß "Ó são periódicas, admitindo #1 como
período positivo mínimo.
Dem: Comecemos por reparar que, de se ter
expÐ(>  #1)3Ñ œ expÐ>3Ñ ‚ expÐ#13Ñ œ expÐ>3Ñ ‚ " œ expÐ>3Ñ,
podemos escrever
cosÐ>  #1Ñ œ cosÐ>Ñ, sinÐ>  #1Ñ œ sinÐ>Ñ,
o que mostra que #1 é um período de ambas as funções. Uma vez que estas
têm restrições injectivas ao intervalo Ò!ß 1# Ó, não podem admitir período
menor ou igual a 1# . Sendo contínuas admitem assim um período positivo
mínímo que tem que ser submúltiplo inteiro de #1. Se #1 não fosse o período
positivo mínimo, ele teria assim que ser 1. Mas as igualdades cosÐ!Ñ œ " e
cosÐ1Ñ œ " mostram que 1 não é período de cos e as igualdades sinÐ 1# Ñ œ "
e sinÐ 1#  1Ñ œ sinÐ $#1 Ñ œ " mostram que 1 não é período de sin.
…
Ap1.20 Tem-se cosÐ 1#  >Ñ œ sinÐ>Ñ e sinÐ 1#  >Ñ œ cosÐ>Ñ.
Dem: Podemos escrever
1
1
expÐÐ  >Ñ3Ñ œ expÐ 3Ñ ‚ expÐ>3Ñ œ 3 ‚ expÐ>3Ñ,
#
#
ou seja,
cosÐ
1
1
 >Ñ  sinÐ  >Ñ 3 œ 3 ‚ ÐcosÐ>Ñ  sinÐ>Ñ 3Ñ œ
#
#
œ sinÐ>Ñ  cosÐ>Ñ 3,
…
donde o resultado.
– 166–
Ap1.21 Tem-se cosÐ1  >Ñ œ cosÐ>Ñ e sinÐ1  >Ñ œ sinÐ>Ñ.
Dem: Podemos escrever
expÐÐ1  >Ñ3Ñ œ expÐ13Ñ ‚ expÐ>3Ñ œ " ‚ expÐ>3Ñ,
ou seja
cosÐ1  >Ñ  sinÐ1  >Ñ 3 œ ÐcosÐ>Ñ  sinÐ>Ñ3Ñ œ
œ cosÐ>Ñ  sinÐ>Ñ 3,
donde o resultado.
Ap1.22 A restrição da função sin ao intervalo Ò 1# ß 1Ó é uma bijecção estritamente
decrescente daquele intervalo sobre o intervalo Ò!ß "Ó e a restrição da função
cos ao intervalo Ò 1# ß 1Ó é uma bijecção estritamente decrescente daquele
intervalo sobre o intervalo Ò"ß !Ó.
Dem: Trata-se de uma consequência de Ap1.17 e de Ap1.21, se repararmos
que a aplicação > È 1  > é uma bijecção estritamente decrescente de Ò 1# ß 1Ó
sobre Ò!ß 1# Ó (com inversa definida pela mesma fórmula) e que a aplicação
= È = é uma bijecção estritamente decrescente de Ò!ß "Ó sobre Ò"ß !Ó (mais
uma vez com inversa definida pela mesma fórmula).
…
Ap1.23 Tem-se, tendo em conta a periodicidade de sin e cos e as fórmulas em
Ap1.9,
cosÐ#1  >Ñ œ cosÐ>Ñ œ cosÐ>Ñ,
sinÐ#1  >Ñ œ sinÐ>Ñ œ sinÐ>Ñ.
Ap1.24 A restrição da função sin ao intervalo Ò1ß $#1 Ó é uma bijecção estritamente
decrescente deste intervalo sobre o intervalo Ò"ß !Ó. A restrição da função
cos ao intervalo Ò1ß $#1 Ó é uma bijecção estritamente crescente deste intervalo
sobre o intervalo Ò"ß !Ó.
Dem: Trata-se de uma consequência de Ap1.22 e de Ap1.23, se repararmos
que a aplicação > È #1  > é uma bijecção estritamente decrescente de
Ò1ß $#1 Ó sobre Ò 1# ß 1Ó (com inversa definida pela mesma fórmula) e que a
aplicação = È = é uma bijecção estritamente decrescente de Ò!ß "Ó sobre
Ò"ß !Ó (mais uma vez com inversa definida pela mesma fórmula).
…
Ap1.25 A restrição da função sin ao intervalo Ò $#1 ß #1Ó é uma bijecção estritamente crescente deste intervalo sobre o intervalo Ò"ß !Ó. A restrição da
função cos ao intervalo Ò $#1 ß #1Ó é uma bijecção estritamente crescente deste
intervalo sobre o intervalo Ò!ß "Ó.
Dem: Trata-se de uma consequência de Ap1.17 e de Ap1.23, se repararmos
que a aplicação > È #1  > é uma bijecção estritamente decrescente de
Ò $#1 ß #1Ó sobre Ò!ß 1# Ó (com inversa definida pela mesma fórmula) e que a
aplicação = È = é uma bijecção estritamente decrescente de Ò!ß "Ó sobre
Ò"ß !Ó (mais uma vez com inversa definida pela mesma fórmula).
…
– 167–
Ap1.26 Seja W § ‚ o conjunto dos complexos de módulo ". Tem então lugar
uma bijecção de Ò!ß #1Ò sobre W , definida por
> È expÐ3>Ñ œ cosÐ>Ñ  sinÐ>Ñ 3.
Dem: Já verificámos em Ap1.6 que esta aplicação toma valores em W . Para
verificarmos que se trata de uma bijecção sobre W , basta decompormos
Ò!ß #1Ò como união de subconjuntos E5 , " Ÿ 5 Ÿ ), disjuntos dois a dois, tais
que a restrição da aplicação a cada E5 seja uma bijecção sobre um
subconjunto F5 de W , com os F5 disjuntos dois a dois e de união W .
Definimos, para isso,
E" œ Ö!×,
1
E# œ Ó!ß Ò,
#
1
E$ œ Ö ×,
#
1
E% œ Ó ß 1Ò,
#
E& œ Ö1×,
$1
E' œ Ó1ß Ò,
#
$1
E( œ Ö ×,
#
$1
E) œ Ó ß #1Ò,
#
F" œ Ö"×,
F# œ ÖD œ +  ,3 − W ± +  ! • ,  !×,
F$ œ Ö3×,
F% œ ÖD œ +  ,3 − W ± +  ! • ,  !×,
F& œ Ö"×,
F' œ ÖD œ +  , 3 − W ± +  ! • ,  !×,
F( œ Ö3×,
F) œ ÖD œ +  ,3 − W ± +  ! • ,  !×.
Reparando que, para D œ +  ,3 − W , se + œ !, então , œ „" e, se , œ !,
então + œ „", constatamos que os conjuntos F5 são efectivamente disjuntos
dois a dois de união W . Reparando, por outro lado, que, se +  ,3 − W , com
+ œ cosÐ>Ñ, resulta de Ap1.8 que , œ „sinÐ>Ñ, deduzimos das propriedades
Ap1.17, Ap1.22, Ap1.24 e Ap1.25 que as restrições da aplicação do enun…
ciado a cada E5 é efectivamente uma bijecção de E5 sobre F5 .
– 168–