Problemas Resolvidos de Física
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 1
CAPÍTULO 9 – SISTEMA DE PARTÍCULAS
21. Encontre a posição do centro de massa de uma placa semicircular homogênea, de raio R.
(Pág. 189)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
y
M
dm,da
dy
R
y
θ
x
Por simetria, deduz-se imediatamente que xCM = 0. O valor de yCM deve ser calculado.
1
yCM =
ydm
M∫
A densidade superficial de massa β é definida por:
M dm
=
β =
A da
M
dm =
da
A
Onde:
A=
π R2
(2)
(3)
2
da = 2 R cos θ dy
(4)
Substituindo-se (3) e (4) em (2):
2M
4M
dm =
2 R cos θ dy
cos θ dy
=
2
πR
πR
Mas:
(5)
1/ 2
  y 2 
=
1 −   
  R  
cos θ =
(1 − sen θ )
2
(1)
1/ 2
(6)
Substituindo-se (6) em (5):
1/ 2
2
4M   y  
dm
=
1 −

π R   R  
dy
(7)
Substituindo-se (7) em (1):
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Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4a Ed. - LTC - 1996.
Cap. 9 – Sistema de Partículas
1
Problemas Resolvidos de Física
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
1/ 2
2
4 R   y 
yCM
y 1 −
=

π R ∫0   R  
(8)
dy
Modificando-se (8) para:
1/ 2
yCM
2
2R R  2 y    y  
=
−
−
1 −

π ∫0  R 2    R  
dy
Podemos identificar o seguinte padrão no integrando:
2 R R ' 1/ 2
yCM = −
f . f dy
π ∫0 ( y ) ( y )
Onde:
2
 y
e
f( y ) = 1 −  
R
A solução da integral acima é:
yCM
3/ 2
2R f( y )
.
=
−
π 3/ 2
yCM =
R
0
f ('y ) =
df ( y )
dy
2
2 2  y 
=
− . 1 −   
π 3   R  
= −
3/ 2 R
2y
R2
4R
=
−
( −13/ 2 )
3π
0
4R
3π
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Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4a Ed. - LTC - 1996.
Cap. 9 – Sistema de Partículas
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