Profa. Luciana Chimendes
Universidade Federal de Pelotas
Instituto de Fı́sica e Matemática
Departamento de Matemática e Estatı́stica
2015
i
ÍNDICE
1 CHEGANDO À UNIVERSIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2 MATRIZES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1 Matrizes especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2 Operações com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2.1 Igualdade de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2.2 Matriz transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.3 Adição e subtração de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.4 Produto de uma matriz por um escalar . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.5 Multiplicação de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3 Exercı́cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4 Respostas dos exercı́cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES . . . . . . . . . . . . . .
10
3.1 Equação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.2 Solução de uma equação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.3 Sistemas de Equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.4 Solução de sistemas lineares
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.5 Sistemas e matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.6 Métodos de Solução de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . .
14
3.6.1 Método da Diagonalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.6.2 Forma Escada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.6.3 Posto e nulidade de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.6.4 Escrevendo a solução geral de um sistema linear . . . . . . . . . . . .
19
3.7 Exercı́cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
ii
3.8 Respostas dos exercı́cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4 DETERMINANTES E MATRIZ INVERSA . . . . . . . . . . . .
22
4.1 Cálculo do determinante de 2a ordem . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4.2 Cálculo do determinante de 3a ordem . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.3 Cálculo do determinante de ordem maior . . . . . . . . . . . . .
24
4.4 Propriedades dos determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.5 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.5.1 Cálculo da inversa de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.6 Solução de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.7 Exercı́cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.8 Respostas dos Exercı́cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
5 VETORES
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
5.1.1 Reta orientada: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
5.1.2 Segmento orientado: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
5.1.3 Medida de um segmento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5.1.4 Direção e sentido: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5.2 Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
5.2.1 Operações com Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
5.2.2 Exercı́cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
6 VETORES NO R2 E NO R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
6.1 Vetores no R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
6.2 Vetores no R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
6.3 Operações com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
6.3.1 Adição de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
iii
6.3.2 Produto por escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
6.4 Igualdade de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
6.5 Combinação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
6.6 Vetores linearmente independentes . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
6.7 Expressão cartesiana de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
6.8 Módulo de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
6.9 Vetor unitário (versor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
6.10 Exercı́cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
6.11 Respostas dos exercı́cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
7 PRODUTO DE VETORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
7.1 Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
7.2 Aplicações do produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
7.2.1 Cálculo do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
7.2.2 Cálculo do ângulo entre dois vetores
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
7.2.3 Projeção de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
7.3 Propriedades do produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
7.4
Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
7.5 Aplicações do produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
7.5.1 Cálculo do vetor perpendicular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
7.5.2 Cálculo da área do paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
7.5.3 Verificando se os vetores são paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
7.6 Propriedades do produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
7.7 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
7.8 Aplicações do produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
7.8.1 Verificando se os vetores são coplanares . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
7.8.2 Cálculo do volume do paralelepı́pedo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
iv
7.9 Exercı́cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
7.10 Respostas dos exercı́cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
8 A RETA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
8.1 Equação paramétrica da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
8.2 Equações simétricas da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
8.3 Equações reduzidas da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
8.4 Condição de paralelismo de duas retas . . . . . . . . . . . . . . .
61
8.5 Condição de ortogonalidade de duas retas . . . . . . . . . . . . .
62
8.6 Condição de coplanaridade de duas retas . . . . . . . . . . . . .
62
8.7 Intersecção de duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
8.8 Distância de um ponto a uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
8.9 Distância entre duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
8.10 Exercı́cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
8.11 Respostas dos exercı́cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
9 O PLANO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
9.1 Condição de paralelismo de dois planos . . . . . . . . . . . . . .
69
9.2 Condição de perpendicularismo de dois planos . . . . . . . . . .
70
9.3 Condição de paralelismo entre reta e plano . . . . . . . . . . . .
71
9.4 Condição de perpendicularismo entre reta e plano . . . . . . .
71
9.5 Condições para que uma reta esteja contida num plano . . . .
71
9.6 Intersecção de reta e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
9.7 Intersecção de dois planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
9.8 Exercı́cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
9.9 Respostas dos exercı́cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
10 ESPAÇOS VETORIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
v
10.1 Vetores no Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
10.2 Definição de espaços vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
10.3 Subespaços vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
10.4 Combinação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
10.5 Subespaços gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
10.6 Dependência e independência linear . . . . . . . . . . . . . . . .
82
10.6.1 Definição de independência linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
10.6.2 Verificação de dependência linear no R3 . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
10.7 Base de um espaço vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
10.8 Dimensão de um espaço vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
10.9 Componentes de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
10.10Exercı́cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
10.11Respostas dos exercı́cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
11 TRANSFORMAÇÕES LINEARES . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
11.1 Definição de Transformação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
11.2 Transformações do Plano no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
11.2.1 Expansão (ou contração) uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
11.2.2 Reflexão em torno do eixo x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
11.2.3 Reflexão em torno da origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
11.2.4 Rotação de um ângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
11.2.5 Cisalhamento horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
11.3 Conceitos e teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
11.4 Autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
11.5 Autovalores e autovetores de uma matriz . . . . . . . . . . . . .
101
11.6 Polinômio caracterı́stico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
11.7 Exercı́cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
vi
11.8 Respostas dos exercı́cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
12 CÔNICAS E QUÁDRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
12.1 Cônicas como secções planas do cone . . . . . . . . . . . . . . . .
108
12.2 Estudo da parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
12.2.1 Equação da Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
12.3 Estudo da elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
12.3.1 Equação da elipse de centro na origem do sistema . . . . . . . . . . .
116
12.3.2 Equação da elipse de centro fora da origem do sistema . . . . . . . .
118
12.4 Estudo da circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
12.5 Estudo da hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120
12.6 Equação da hipérbole com centro na origem do sistema . . . .
121
12.7 Quádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
12.8 Exercı́cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
12.9 Respostas dos exercı́cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
1
1
CHEGANDO À UNIVERSIDADE
Bem vindo!
Chegar à universidade representa um fato marcante na vida de todos
os que por ela passam. Não é por acaso que isto acontece. A expectativa de adquirir
novos conhecimento e novas amizades renova as esperanças de um futuro melhor.
Além do mais, não há dúvida: a universidade, apesar de suas deficiências, é um local
onde as pessoas podem passar bons momentos de suas vidas, desde que interessadas
nisso.
Mas para que isso ocorra deve haver uma decisão pessoal firme de
aproveitar integralmente tudo o que a universidade oferece. Conhecer em profundidade a instituição, participando intensamente de suas atividades, é um bom caminho
para alcançar esta meta.
Muita coisa muda ao se passar do curso secundário para o universitário.
Talvez a forma de abordar os ensinamentos recebidos seja a mais importante delas.
De agente passivo, o estudante agora deve passar a agente ativo do processo educacional. Esta transição exige do estudante uma série de alterações no seu comportamento, nem sempre fáceis de serem efetuadas.
Pode-se, nesta nova fase, direcionar e programar mais livremente o seu
aprendizado, com doses de acordo com suas potencialidades ou interesses. Esta
maior liberdade, entretanto, deve ser usufruı́da progressivamente, com maturidade.
Deve-se também aprender a estudar. E isto tanto mais é necessário
quanto mais conscientiza o indivı́duo de que, ao passar para um curso superior,
deixou de ser um aluno - assim entendido aquele que é ensinado - e passou a ser
estudante - que aprende e estuda porque quer, com motivação e sob orientação,
devendo ele próprio agora, tomar muitas das iniciativas.
A bem da verdade, há que se ressaltar que o primeiro objetivo deste
tópico é o de desmistificar a idéia, bastante arraigada ainda no meio universitário,
de que possa existir uma maneira de estudar pouco e aprender muito, cujo método
dispense o trabalho que não se quer ter.
Outro ponto importante que se deseja deixar bem claro, é a incredubilidade dos autores de que se possa conciliar a falta absoluta de tempo para estudar
com os estudos. As duas coisas, levadas ao pé da letra, são inconciliáveis. Quem
pretende efetivamente estudar deve descobrir ou criar o seu tempo para isto.
Texto adaptado de Walter Antonio Bazzo e Luiz Teixeira do Vale Pereira. Introdução à Engenharia. Série didática da UFSC. Florianópolis,1996.
2
Uma mudança importante, que os alunos também devem perceber, é
quanto à relação professor-aluno. Nesta nova fase, o professor passa a ser mais
orientador do que fiscalizador.
Enfim, as mudanças existem e aos poucos você vai percebendo-as e
incorporando-as ao seu comportamento, à medida que aumenta seu convı́vio no meio
universitário. Nosso objetivo então, inicialmente, é nos dispormos a acompanhá-lo
nesse processo, ajudando a superar as dificuldades para obter um bom desempenho
acadêmico. Nesse sentido, além de contar com o professor para auxiliá-lo no estudo
dessa disciplina, você também pode contar com os bolsistas do Projeto GAMA
(Grupo de Apoio em Matemática), cujos horários e locais de atendimento estarão
disponı́veis em wp.ufpel.edu.br/projetogama.
Em relação a disciplina MAT045 - Álgebra Linear e Geometria Analı́tica,
digo que teremos muitas conceitos para abordar, compreender e aplicar, exigindo
assim, de mim e de você, muito ritmo de estudo e dedicação para que as idéias
principais de cada conteúdo sejam realmente aprendidas. Como o conteúdo é extremamente extenso, essas notas de aula visam apresentar um resumo dos tópicos
propostos no programa da disciplina. O texto completo, que deve ser consultado e
estudado para aprofundamento dos tópicos e suas aplicações, encontra-se em
• Boldrini, José et alii. Álgebra Linear. 3ed, São Paulo, Harper & Row
do Brasil, 1980.
• Boulos, P. e Camargo, I., Geometria Analı́tica, um tratamento vetorial.
Prentice Hall, São Paulo, 3ed., 2005.
• Steinbruch, Alfredo & Winterle. Geometria Analı́tica. 2ed. São Paulo,
McGraw-Hill, 1987.
Um grande abraço, bons estudos e um excelente aproveitamento
Profa. Luciana Chimendes
3
2
MATRIZES
Observe o quadro A com a temperatura de três substâncias em diferentes situações:
8h
9h
10h
11h
Substância I
−1.00 C
0.70 C
1.00 C
1.50 C
Substância II
120 C
00 C
−50 C
00 C
Substância III
500 C
450 C
3500 C
300 C
Considerando somente os números organizados em linhas e colunas,
obtemos uma matriz:



A=


.

Assim, chamamos matriz de ordem m por n um quadro de m × n
elementos (números, funções...) dispostos em m linhas e n colunas


a11 a12 a13 . . . a1n
 a21 a22 a23 . . . a2n 


 a31 a32 a33 . . . a3n 
A=

 ..
..
..
.. 
.
.
 .
.
.
.
. 
am1 am2 am3 . . . amn
e representamos a ordem da matriz por A(m, n) ou Am×n ; cada elemento da
matriz por aij , onde o primeiro ı́ndice, i, indica a linha e o segundo, j, a coluna a
que o elemento pertence.
Exemplo 2.1 : indique a ordem, número de linhas, colunas e enumere os elementos
da matriz A representada acima.
2.1
Matrizes especiais
Ao utilizarmos matrizes para representar diversas situações que trabalhamos, ou problemas que resolvemos, observamos que algumas delas apresentam
caracterı́sticas especiais e, assim, também recebem uma denominação especı́fica.
Vejamos algumas delas.
- Matriz linha: é a matriz de ordem 1 × n
[
]
A = a11 a12 a13 . . . a1n .
4
- Matriz coluna: é a matriz de ordem m × 1




A=


a11
a21
a31
..
.




.


am1
- Matriz quadrada: é uma matriz de ordem

a11 a12
 a21 a22


A =  a11 a32
 ..
..
 .
.
an1 an2
n×n
a13
a23
a33
..
.
an3

. . . a1n
. . . a2n 

. . . a3n 
.
. . . .. 
. 
. . . ann
- Matriz diagonal: é uma matriz quadrada que tem os elementos aij = 0
quando i ̸= j


a11 0
0 ... 0
 0 a22 0 . . . 0 



0 a33 . . . 0 
A= 0
.
 ..
..
.. . .
.. 
 .
. . 
.
.
0
0
0 . . . ann
- Matriz identidade: é a matriz diagonal que possui todos elementos igual a um.
Indica-se a matriz identidade por I.
Exemplo 2.2 : construir a matriz identidade de ordem 2 × 2 e 3 × 3.
2.2
Operações com matrizes
Organizado os dados em linhas e colunas, ou seja, em matrizes, podemos
realizar operações entre elas.
2.2.1
Igualdade de matrizes
Duas matrizes A = (aij ) e B = (bij ), de ordem m × n, são iguais se, e
somente se, aij = bij , para todos i, j.
Exemplo 2.3 : dadas as matrizes a seguir, determine os valores de a, b, c para que
elas sejam iguais.
[
] [
]
3 5 −2
3 5 a
=
1 b 4
1 7 c
5
Exemplo 2.4 : determine os valores de x e de y para que A = B, onde A e B são
definidas por
[
]
[
]
2x
3
1/4
3
A=
B=
6 −3
(4 − y) −3
Exemplo 2.5 : calcule os valores de a, b, c para que obtenhamos a igualdade entre
as matrizes C e D.




(−2a − 1)
0 4
−1 0
4
−3 −(b + 1)/3 1  D =  −3 2
1 
C=
2
0
0 0
0 0 (c − 4)
Exemplo 2.6 : calcular m e n para que A = B, onde
[
]
[
]
(2m2 − 2m) −4
4
−4
C=
B=
1
6
1 (n2 − 10)
2.2.2
Matriz transposta
A matriz transposta da matriz A, de ordem m por n, é obtida permutandose as linhas pelas colunas e denotamos essa nova matriz por AT .
Exemplo 2.7 : seja a matriz A. Determine AT e sua ordem.
[
]
−2
0 1/2
A=
0 −5
3
Exemplo 2.8 : a) dada a matriz

1 5 9
B =  5 3 8 ,
9 8 7

determine a matriz B T .
b) O que podemos concluir sobre B e B T ?
Observação: dada uma matriz Am×n , se AT = A, então dizemos que
A é uma matriz simétrica.
Exemplo 2.9 : determine x de modo que a matriz A seja simétrica:
)
(
−2 x2
A=
4 0
6
2.2.3
Adição e subtração de matrizes
A soma de duas matrizes A = (aij ) e B = (bij ), de ordem m × n, é uma
matriz C = (cij ), de mesma ordem, tal que
cij = aij + bij .
A diferença A − B de duas matrizes, de mesma ordem, é uma matriz Dm×n , onde
cada elemento é obtido da forma
dij = aij − bij .
Exemplo 2.10 : dadas as matrizes
]
[
2
5 −7
A=
3 −2
4
determine, se possı́vel: a) A + B;
[
B=
4 3 −2
8 9
1
b)A + B T ;
]
,
c) A − B;
d)B − A.
Exemplo 2.11 : Dadas as matrizes
[
]
[ 2
]
[
]
a−1 3
(a − 2a)
b
−3 0
A=
B=
C=
2
0
−2
−b
4 3
a) calcule A − B;
b) determine os valores de a, b para que A − B = C.
2.2.4
Produto de uma matriz por um escalar
Se k é um escalar, o produto de uma matriz A = (aij ) por esse escalar
é uma matriz B = (bij ), tal que
bij = kaij .
Exemplo 2.12 : considerando a matriz A, indicada abaixo, realize as seguintes
operações: a) B = 5A;
b) C = −2A.
(
)
4 −2
1
A=
3
5 −3
7
2.2.5
Multiplicação de matrizes
O produto de uma matriz Am×n e Bn×p , é uma matriz Cm×p , obtida
através do produto de cada linha de A por cada coluna de B, ou seja os elementos
da matriz produto serão obtidos, por exemplo, da seguinte maneira:
a11 = produto da 1a linha de A pela 1a coluna de B;
a12 = produto da 1a linha de A pela 2a coluna de B;
a13 = produto da 1a linha de A pela 3a coluna de B...
a21 = produto da 2a linha de A pela 1a coluna de B;
a22 = produto da 2a linha de A pela 2a coluna de B;
a23 = produto da 2a linha de A pela 3a coluna de B...
Note que: o produto AB só é possı́vel se o número de linhas de B é
igual ao número de colunas de A:
Figura 2.1:
Exemplo 2.13 : determine A.B, onde
[
A=
2
4 3
1 −1 4
]


1 0
B =  2 1 .
−3 5
Exemplo 2.14 : calcule os produtos: A.X e X.A:
[
]
[ ]
2 7
x
A=
X=
.
3 5
y
8
2.3
Exercı́cios propostos
1. Calcular m e n para que obtenhamos A = B, em cada caso abaixo:
a)
[
8
15
(12 − m)/3 3
A=
b)
[
A=
]
[
B=
(m2 − 40) (n2 + 4)
6
3
8 2n − 3
6
3
]
[
B=
41 13
6 3
]
.
]
.
c)


2
−8

m2
A= 4
0 (−2n + 1)


2
−8
B =  4 (10m − 25)  .
0
(n2 + 2)
2. Dadas as matrizes a seguir, determine, se possı́vel:
a) A + B − C
b) AT + B T
c) (4C − 6B)T
d) A.B
e) AT .B
f) 2C T − AT
]
]
[
[
5 −7 −9
2
3
8
B=
A=
0
4
1
4 −1 −6
[
C=
0 9 8
1 4 6
3. Determine a matriz B tal que A − B = 0.
]
[
−2
1
A=
0 −3
4. Considerando as seguintes matrizes
[
]
[
]
1 6
y+2
0
A=
B=
−3 x
6 x+4
determine:
a) A + B
b) os valores de x e y para que A + B = C
c) A.B
d) os valores de x e y para que A.B = C.
[
C=
−5
6
31 −2
]
]
9
2.4
Respostas dos exercı́cios propostos
1. a) m = -6; n = 9
b) n = -3 ou +3; m -9 ou +9
c) m = 5; n = -1
2. a)
[
7 −13 −9
3 −1 −11
b)

c)

]

7
4
 −4
3 
−1 −5

−30
4
 78 −8 
86 18
d) Não é possı́vel
e)

10
2 −14
 15 −25 −28 
40 −80 −78

f)


−2 −2
 15
9 
8 18
3. B = A
4. a)
[
y+3
6
3
2x + 4
]
b) x = 27/2; y = - 8
c)
[
y + 38
24 + 6x
6x − 3y − 6 x2 + 4x
]
d) Os valores de x e y encontrados, não satisfazem todas as equações.
10
3
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
A solução de sistemas lineares é uma ferramenta matemática muito
importante em várias áreas do conhecimento, especialmente quando associada às
matrizes. Nesta unidade, vamos definir o que é uma equação linear, a forma de um
sistema linear, sua classificação e métodos de resolução.
3.1
Equação linear
Ao resolvermos problemas que envolvem incógnitas (que são as variáveis)
a serem determinadas, estamos sempre trabalhando com equações.
Por exemplo, quando queremos descobrir a medida do lado de um
quadrado cuja área adicionada ao dobro do lado é igual a 3, resolvemos a seguinte
equação :
x2 + 2x = 3.
Considerando um segundo exemplo, se queremos determinar a velocidade que um corpo atinge após t segundos, sabendo que partiu a uma velocidade de
2m/s, com uma aceleração constante de 1m/s2 , resolvemos a equação :
v = v0 + at
v = 2+t
v−t = 2
Dessas duas equações, somente a do segundo exemplo é uma equação
linear, pois é da forma
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + . . . + an xn = b,
onde:
• x1 , x2 , x3 , . . . , xn são as variáveis,
• a1 , a2 , a3 , . . . , an são os coeficientes e
• b é o termo independente.
Exemplo 3.1 : classifique as equações em linear ou não-linear
i) 4x + 3y − 2z = 0
ii) 2x − 3y − w = −3
11
√
iii) 3x + 3y x = −4
iv) x2 = 9
v) x1 − 2x2 + 5x3 = 1
3.2
Solução de uma equação linear
Dada uma equação linear a1 x1 +a2 x2 +a3 x3 +...+an xn = 0, procuramos
uma n-upla ordenada (x1 , x2 , x3 , ..., xn ), que torne a igualdade verdadeira. Dizemos
então que (x1 , x2 , x3 , ..., xn ) é solução da equação.
Exemplo 3.2 : Encontre a solução das seguintes equações, se existir:
a) 2x − 7 = 0, ou seja a ̸= 0
b) ax + b = 0, se a = b = 0
c) ax + b = 0, se a = 0 e b ̸= 0
Exemplo 3.3 : Verifique se a tripla ordenada (2, 1, −3) é solução da equação linear
2x − y + z = 1.
3.3
Sistemas de Equações lineares
Na natureza, as coisas estão sempre mudando, se transformando e o
ser humano, para garantir sua sobrevivência e melhorar sua existência, precisa conhecer e dominar estes processos de mudança. Um dos métodos encontrados para se
descrever estas transformações foi o de procurar nestas o que permanece constante
durante a mudança. Vejamos um exemplo:
Sabemos que o hidrogênio (H2 ) reage com o oxigênio (O2 ) para produzir
água (H2 O). Mas quanto de hidrogênio e de oxigênio precisamos? Esta é uma mudança
que
podemos
descrever
do
seguinte
modo:
x moléculas de H2 reagem com y moléculas de O2 produzindo z moléculas de H2 O,
ou esquematicamente
xH2 + yO2 −→ zH2 O.
(3.1)
O que permanece constante nessa mudança?
Como os átomos não são modificados, o número de átomos de cada
elemento no inı́cio da reação deve ser igual ao número de átomos desse mesmo
elemento, no fim da reação. Assim, para o hidrogênio devemos ter 2x = 2z, e para
o oxigênio, 2y = z. Portanto, as nossas incógnitas x, y e z devem satisfazer as
12
equações:
{
2x − 2z = 0
2y − z = 0
Este procedimento que consiste em identificarmos o que permanece
constante na mundança, leva a obtermos um conjunto de equações, ou seja, um
sistema de equações que, em muitos casos são lineares, como no exemplo anterior.
Assim, de forma geral, um sistema de equações lineares com m equações
e n incógnitas é um conjunto de equações do tipo


a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + . . . + a1n xn = b1




 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + . . . + a2n xn = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + . . . + a3n xn = b3

..


.


 a x + a x + a x + ... + a x = b
m1 1
m2 2
m3 3
mn n
m
Evidentemente, você já sabe um pouco como resolver este tipo de sistema, mas quando o número de equações se torna muito grande, ou temos menos
equações do que incógnitas (como no exemplo citado anteriormente), podem surgir
muitas dúvidas, até mesmo sobre a existência ou não de solução para o sistema.
Por outro lado, em sistemas que apresentam mais do que uma solução
é necessário ter-se uma forma clara de se expressar todas elas. Por exemplo, no
sistema apresentado nessa seção, você pode encontrar duas soluções distintas para
(x, y, z) (por exemplo, (1, 1, 1/2) e (2, 2, 1)), mas só o terá resolvido se conseguir
expressar o conjunto de todas as soluções possı́veis. Por isso, nosso objetivo nesse
capı́tulo é estudar um método para a resolução de sistemas lineares em geral. A
técnica que será utilizada pode não ser a melhor no caso de sistemas muito simples,
mas tem a vantagem de poder ser aplicada sempre e ser facilmente mecanizada. É
particularmente útil em sistemas com grande número de incógnitas onde o uso de
calculadoras é inevitável. Em sı́ntese, este método consiste em substituir o sistema
inicial por sistemas cada vez mais simples, sempre ”equivalentes” ao original. Antes
de apresentarmos este método, vamos formalizar alguns conceitos.
3.4
Solução de sistemas lineares
Dizemos que a sequência ordenada (x1 , x2 , x3 , ..., xn ) é solução de um
sistema linear de n variáveis quando é solução de cada uma das equações do sistema.
Exemplo 3.4 : Verifique se (1, −1, 0) é solução dos seguintes sistemas:
13
{
3.5
{
2x + 3y + z = −1
x − 2y − z = 3
3x − y + 2z = 4
2x + 2y + z = 1
Sistemas e matrizes
Lembrando da forma da multiplicação entre matrizes, podemos escrever
o sistema numa forma matricial







a11
a21
a11
..
.
a12
a22
a32
..
.
a13
a23
a33
..
.
am1 am2 am3
. . . a1n
. . . a2n
. . . a3n
..
..
.
.
. . . amn
 
 
 
 
.
 
 
x1
x2
x3
..
.


 
 
 
=
 
 
b1
b2
b3
..
.







bn
xn
ou A.X = B, onde A é a matriz dos coeficientes, X é a matriz das incógnitas e B,
a matriz dos termos independentes.
Uma outra matriz que podemos associar ao sistema é




A=


a11
a21
a11
..
.
a12
a22
a32
..
.
a13
a23
a33
..
.
. . . a1n
. . . a2n
. . . a3n
..
..
.
.
b1
b2
b3
..
.







am1 am2 am3 . . . amn bm
que chamamos matriz ampliada do sistema e que utilizaremos na resolução do sistema a ela associada.
Exemplo 3.5 : escreva a matriz ampliada de cada sistema a seguir
a)

 x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4

x1 − 3x2 − 2x3 = 5
b)

 x=1
4x − y = 4

4y − 3x = −1
14
3.6
Métodos de Solução de Sistemas Lineares
Existem muitos métodos de solução de sistemas lineares, alguns inclusive já conhecidos e trabalhados por você. Aqui apresentaremos o método da
diagonalização, que consiste basicamente em realizar operações elementares na matriz ampliada do sistema, método para o qual daremos maior ênfase, por ser o que
mais utizaremos no nosso estudo. Depois, no próximo capı́tulo, discutiremos o o
método de Krammer, cuja base de solução envolve o cálculo de determinantes.
3.6.1
Método da Diagonalização
O método da diagonalização consiste em transformar o sistema inicial
em outro mais simples, mas equivalente ao original, aplicando operações elementares
em sua matriz ampliada. A forma mais simples da matriz ampliada em que se deseja
chegar é a chamada forma escada, que também definiremos a seguir.
Iniciemos descrevendo as três as operações elementares possı́veis sobre
as linhas de uma matriz:
i) Permuta das i-ésima e j-ésima linhas (Li → Lj )
Exemplo 3.6 : Copie a matriz ampliada do primeiro sistema, apresentado no
exemplo 3.5, e realize a operação elementar L2 → L3 , ou L23
ii) Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não-nulo k (Li → kLi )
Exemplo 3.7 : A partir da matriz obtida no exemplo anterior, realize L2 → −3L2
iii) Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a
j-ésima linha (Li → Li + kLj )
Exemplo 3.8 :
exemplo anterior.
Realize
L3
→
L3 + 2L1 ,
na
matriz
obtida
no
Definição: Se A e B são matrizes m × n, dizemos que B é linha
equivalente a A, se B for obtida de A através de um número finito de operações
elementares sobre as linhas de A. Notação: A → B ou A ∼ B.
Exemplo 3.9 : Escreva a matriz dos coeficientes do segundo sistema, apresentado
no exemplo 3.5, e obtenha uma matriz B, linha equivalente a A, realizando, na
15
sequência indicada, as seguintes operações elementares e registre suas observações
sobre o resultado obtido em cada linha.
a) L2 → L2 − 4L1
b) L3 → L3 + 3L1
c) L2 → −L2
d) L3 → L3 − 4L2
A matriz B obtida no final dessas operações elementares é da forma
escada, conforme poderás observar a partir da definição a seguir.
3.6.2
Forma Escada
Uma matriz m × n é linha reduzida à forma escada se:
a) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1.
b) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma
linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero.
c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas (isto é,
daquelas que possuem pelo menos um elemento não nulo).
d) Se as linhas 1, ..., r são linhas não nulas e se o primeiro elemento não
nulo da linha i ocorre na coluna ki , então k1 < k2 < k3 < ...kr .
Esta última condição impõe a forma escada à matriz, ou seja, o número
de zeros precedendo o primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta a cada
linha, até que sobrem somente linhas nulas, se houver.
Observação: O método de Gauss para resolução de sistemas é um
dos mais adotados quando se faz uso do computador, devido ao menor número de
operações que envolve. Ele consiste em se reduzir a matriz ampliada do sistema por
linha-equivalência a uma matriz que s difere da linha reduzida à forma escada na
condição b), que passa a ser: b’) cada coluna que contém o primeiro elemento não
nulo de alguma linha, tem todos os elementos abaixo desta linha iguais a zero. Uma
vez reduzida a matriz ampliada a esta forma, a solução final do sistema é obtida por
substituição.
Exemplo 3.10 : Verifique se as matrizes a seguir estão na forma escada
a)


1 0 0 0
A =  0 1 −1 0 
0 0 0 0
16
Figura 3.1:
b)
3.6.3

0 2 1
B =  1 0 −3 
0 0 0

c)

0 1 −3 0 1
0 0 
C= 0 0 0
0 0 0 −1 2
d)

0 1 −3 0 2
D= 0 0 0 1 2 
0 0 0 0 0


Posto e nulidade de uma matriz
A forma escada de uma matriz nos permite definir dois conceitos importantes para se analisar se um sistema possui solução: o posto e a nulidade de
uma matriz.
Definição: Dada uma matriz Am×n , seja Bm×n a matriz linha reduzida
à forma escada, linha equivalente a A. O posto de A, denotado por p, é o número
de linhas não nulas de B. A nulidade é o número n − p.
Exemplo 3.11 : encontre o posto e a nulidade de A, onde
17


1
2 1 0
0 3 5 
A =  −1
1 −2 1 1
Exemplo 3.12 : a) se interpretarmos a matriz A dada acima como sendo a matriz
ampliada de um sistema linear, escreva o sistema linear que ela representa.
b) escreva o sistema que a matriz linha reduzida a forma escada
representa.
Exemplo 3.13 : a) encontre o posto e a nulidade de B, onde

2 −1 3
 1
4 2 

B=
 1 −5 1 
4 16 8

b) escreva o sistema linear associada à matriz B;
c) escreva o sistema linear associado à matriz linha reduzida à forma
escada.
Observação: O sistema do exercı́cio anterior possui equações redundantes. A terceira e a quarta equações (que se tornam nulas no final do processo)
podem ser desprezadas. Isto significa que o sistema inicial (associada à matriz B de
ordem 4×2), é equivalente ao sistema obtido pela matriz na forma escada (matriz de
ordem 2 × 2). Dizemos também que as duas primeiras equações são independentes
e que as demais são dependentes destas. Ainda segundo esta terminologia, denominamos posto de uma matriz ao número de linhas independentes desta. Você pode
observar que uma linha será dependente de outra (isto é, será igual a zero no final do
processo de redução) se ela puder ser escrita como soma de produtos destas outras
linhas por constantes: ela é combinação linear das outras. Por exemplo, na matriz
B podemos dizer que a primeira e a segunda linhas são independentes, enquanto
que a terceira e a quarta são combinações lineares das duas primeiras linhas.
Você viu assim que o posto da matriz ampliada de um sistema nos dá o
número de equações independentes deste. Este fato também nos ajuda a verificarmos
se um sistema tem solução, ou seja, veremos que o posto também está relacionado
com o número de soluções de um sistema.
18
De acordo com o número de soluções de um sistema, podemos classificálo como
Figura 3.2:
O teorema a seguir, relaciona o posto de uma matriz com o seu número
de soluções.
Teorema:
i) Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se, o
posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes.
ii) Se as duas matrizes tem o mesmo posto p e p = n, a solução será única.
iii) Se as duas matrizes têm o mesmo posto p e p < n, podemos escolher n − p
incógnitas (grau de liberdade do sistema), e as outras p incógnitas serão
dadas em função destas.
Notação: Chamaremos pc = posto da matriz dos coeficientes e
pa = posto da matriz ampliada.
Exemplo 3.14 : Dadas as matrizes linha reduzida à forma escada de uma matriz
ampliada, indique o posto da matriz dos coeficientes, da matriz ampliada, o grau de
liberdade e classifique o sistema.
19


1 0 0
3
a)  0 1 0 −2 
0 0 1
2
[
b)


1 0 7 −10
62 
c)  0 1 5
0 0 0
2
3.6.4
1 0 7 −10
0 1 5 −6
]


1 0 −10 −2 −10
7
1
4 
d)  0 1
0 0
0
0
0
Escrevendo a solução geral de um sistema linear
Vimos até aqui, que é possı́vel resolver sistemas de equações lineares
através de matrizes. Vamos então registrar os procedimentos que realizaremos, considerando como exemplo, o sistema proposto no inı́cio do capı́tulo, relativo à quantidade de hidrogênio e oxigênio necessária para formar a água:
{
2x − 2z = 0
2y − z = 0
1. Escrevemos a matriz ampliada associada ao sistema.
2. Usando operações elementares, reduzimos a matriz à forma escada.
3. Concluı́mos se o sistema possui solução, aplicando o teorema que
relaciona o posto da matriz com o número de soluções.
4. Escrevemos o sistema equivalente obtido a partir da matriz reduzida
à forma escada.
5. Se o sistema tiver alguma variável livre (grau de liberdade), chamamos
essas variáveis de λ e escrevemos o sistema equivalente ao original, obtido no final
do processo de redução.
6. Podemos também obter a solução básica, atribuindo valores 1 e zero
para os parâmetros λ.
Exemplo 3.15 : Resolver o sistema
{
x + 2y + z + t = 0
x + 3y − z + 2t = 0
Observamos que sistemas indeterminados resultam em soluções que são
conjuntos de pontos (x, y), (x, y, z)... Estes conjuntos de pontos podem representar retas, planos ou outros conjuntos de pontos. Nosso objetivo é saber identificar,
20
quando possı́vel, estes tipos de conjuntos e isto será realizado nos próximos capı́tulos,
depois de estudarmos os determinantes, que possuem importantes aplicações associadas a matrizes quadradas.
3.7
Exercı́cios propostos
Resolva os seguintes sistemas de equações lineares.
1)
{
3x + 5y = −1
9y + 4x = −6
2)

 4a − b − 3c = 15
3a − 2b + 5c = −7

2a + 3b + 4c = 7
3)

 x + 2y + 3z = 10
3x + 4y + 6z = 23

3x + 2y + 3z = 10
4)

 2x1 + 3x2 + 4x3 = 27
x1 − 2x2 + 3x3 = 15

3x1 + x2 + 7x3 = 42
5) Foram estudados três tipos de alimentos. Fixada a mesma quantidade (1 g) determinou-se que:
i) o alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 3 unidades de vitamina B e 4 unidades
de vitamina C;
ii) o alimento II tem 2, 3 e 5 unidades respectivamente, das vitaminas A, B e C;
iii) o alimento III tem 3 unidades de vitamina A, 3 unidades de vitamina C e não
contém vitamina B.
Se são necessárias 11 unidades de vitamina A, 9 de vitamina B e 20 de
vitamina C, encontre todas as possı́veis quantidades dos alimentos I, II e III, que
fornecem a quantidade de vitaminas desejada.
21
3.8
Respostas dos exercı́cios propostos
1. Possı́vel e determinado: x = 3 e y = -2
2. Possı́vel e determinado: a = 3; b = 3; c = -2
3. Impossı́vel
4. Possı́vel e indeterminado: x1 = −
2
3
x2 = x3 − ;
7
7
17
90
x3 + ;
7
7
x3 é livre.
Ou, na forma matricial


x1
 x2 
x3


−17/7
= λ  2/7 
1

+

90/7
 −3/7 
0
5. Sejam x, y e z as quantidades de alimentos I, II, III respectivamente.
Então
x = −5 + 3z; y = 8 − 3z onde
5
8
≤z≤
3
3
22
4
DETERMINANTES E MATRIZ INVERSA
A solução de sistemas lineares, por meio de matrizes, já era conhecida
desde a antiguidade (250 a. C.) e o uso de determinantes estava associado a estes
cálculos, conforme podemos notar nos exemplos a seguir.
No sistema linear ax = b, com a ̸= 0, a solução é da forma x =
Observe que o denominador é um número associado a matriz [a].
b
.
a
No caso de um sistema linear 2 × 2,
{
a11 x1 + a12 x2 = b1
a21 x1 + a22 x2 = b2
resolvendo-o, desde que as operações sejam possı́veis, obtém-se a solução
x1 =
b1 a22 − b2 a12
b2 a11 − b1 a21
e x2 =
.
a12 a22 − a12 a21
a12 a22 − a12 a21
Observe que os denominadores são iguais e estão associados à matriz
dos coeficientes do sistema
[
a11 a12
a21 a22
]
.
Isto ocorre para sistemas n × n e iremos estudar esses números que
aparecem nos denominadores das soluções dos sistemas e que estão associados o às
matrizes quadradas, que são chamados de determinante.
Assim a toda matriz quadrada A está associado um número, que chamaremos determinante de A e que representaremos por det A ou |A| , cujo cálculo
estudaremos a seguir.
4.1
Cálculo do determinante de 2a ordem
Para calcular o determinante de uma matriz A, de ordem 2×2, fazemos
o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da
diagonal secundária. Assim
detA = a11 a22 − a12 a21 .
23
Exemplo 4.1 : dada a matriz
[
A=
7 5
2 3
]
,
determine o valor de det A.
Exemplo 4.2 : resolva a equação
6x 2 3x x = −12.
4.2
Cálculo do determinante de 3a ordem
Para calcular o determinante de uma matriz A, de ordem 3 × 3, vamos
utilizar a regra de Sarrus, que consiste em realizar os seguintes procedimentos:
10 ) Repetimos as duas primeiras colunas à direita da matriz A.
20 ) Multiplicamos os três elementos da diagonal principal, bem como os três
elementos de cada paralela a essa diagonal, mantendo o sinal de cada
produto.
30 ) Multiplicamos os três elementos da diagonal secundária, bem como os de cada
paralela a essa diagonal, trocando o sinal de cada produto.
40 ) Somamos todos os produtos obtidos.
Exemplo 4.3 : dada a matriz B abaixo, determine o valor do det B.


2
4 3
B =  1 −5 7 
−3 8 9
Exemplo 4.4 : resolva a equação
1
−1
1
−1 (5 − x)
−1
1
−1
(3 − x)
=0
Exemplo 4.5 : determine o valor de x de modo que det B = 8, onde


3 2 x
B =  1 −2 x 
2 −1 x
24
4.3
Cálculo do determinante de ordem maior
Para matrizes de ordem maior que n = 3, usaremos o desenvolvimento
de Laplace, que é uma fórmula de recorrência que permite calcular o determinante
de uma matriz de ordem n, a partir dos determinantes das submatrizes quadradas
de ordem n − 1. Para entendermos o procedimento, observemos que, para o caso de
uma matriz A, de ordem 3 × 3, temos
a11 a12 a13 |A| = a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11 a22 a33 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 .
Mas esta soma pode ser escrita de uma outra forma
= a11 (a22 a33 − a23 a32 ) − a12 (a21 a33 + a23 a31 ) + a13 (a21 a32 − a22 a31 ),
ou ainda, usando determinantes de segunda ordem, para os termos que
estão nos parênteses, obtendo
|A| = a11 |A11 | − a12 |A12 | + a13 |A13 | =
3
∑
(−1)1+j a1j |A1j |
j=1
onde A1j é a submatriz da inicial, de onde a primeira linha e a j-ésima coluna foram
retiradas. Neste caso, dizemos que o determinante foi desenvolvido pela primeira
linha.
De forma geral, para uma matriz A, de ordem n × n, o cálculo do
determinante de A é então dado pela fórmula
n
∑
detA =
(−1)i+j aij |Aij |.
j=1
Observação: ao número ∆ij = (−1)i+j |Aij | (que é o determinante
afetado pelo sinal (−1)i+j da submatriz Aij ), chamamos cofator ou complemento
algébrico do elemento aij . Observe que na fórmula dada, o determinante foi ”desenvolvido” pela i-ésima linha. Uma forma análoga é válida para as colunas.
Exemplo 4.6 : calcule det A, onde


−1 2 3 −4
 4 2 0
0 

A=
 −1 2 −3 0 
2 5 3
1
R : 372
25
Exemplo 4.7 : calcule |B|, onde


1 −2 3
1 −1 
B= 2
−2 −1 2
R:5
Exemplo 4.8 : verifique o que ocorre com o determinante da matriz anterior, se
realizarmos antes a seguinte operação nas linhas da matriz B: L3 → L3 + L2 .
4.4
Propriedades dos determinantes
O exemplo anterior nos mostra que o determinante apresenta algumas
propriedades:
1) detA = detAT ; daı́ inferimos que as propriedades que são válidas para linhas
também o são para colunas.
2) Se A tem uma linha (ou uma coluna) de zeros, então detA = 0; a razão disso é
que em cada termo da somatória há um elemento da linha (ou coluna).
3) Trocando-se entre si duas linhas (ou colunas) de A, obtém-se −|A|, ou seja,
o determinante troca de sinal, isto porque alteramos a paridade do
número de inversões dos ı́ndices e, portanto trocamos o sinal dos termos.
4) Se A tem duas linha idênticas (ou colunas), então detA = 0; isto porque se
trocarmos as posições das linhas que são iguais, a matriz, e portanto,
o determinante permanecerão os mesmos. Por outro lado, pela propriedade anterior, o determinante deve trocar de sinal e, portanto, a
única possibilidade é que o determinante seja nulo.
5) Se multiplicarmos uma linha (ou uma coluna) da matriz A, por um número
k, então o determinante fica multiplicado por esse número, ou seja,
obtemos k detA.
6) O determinante não se altera se somarmos a uma linha outra linha multiplicada
por uma constante (operações elementares).
7) det (A . B) = det A . det B.
Exemplo 4.9 : escolha matrizes de ordem 2 × 2 e verifique cada uma das propriedades enunciadas acima. Repita o procedimento escolhendo agora matrizes de
ordem 3 × 3.
Tendo estudado o cálculo de determinantes e suas propriedades, vamos agora aplicá-los em duas situações: encontrar a matriz inversa de uma matriz
quadrada e resolver sistemas lineares de ordem n × n.
26
4.5
Matriz Inversa
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n × n, se existir uma matriz
quadrada B, de mesma ordem, que satisfaça a condição AB = BA = I, onde I é a
matriz identidade, dizemos que B é a matriz inversa de A e representamos por
A−1 :
AA−1 = A−1 A = I .
Exemplo 4.10 : dadas as matrizes abaixo, verifique se B = A−1 .
[
]
[
]
8 5
2 −5
A=
B=
3 2
−3 8
Dada uma matriz quadrada A, procuraremos a partir de agora determinar se ela tem inversa e quem seria essa matriz. Estudaremos dois métodos para
determinar a inversa de uma matriz: por meio de operações elementares (já vistas no
capı́tulo anterior) e por meio de determinante. Para isso, vamos precisar de algumas
definições que apresentamos agora.
Matriz inversı́vel: é uma matriz quadrada An×n que possui matriz
inversa.
Matriz singular: é uma matriz quadrada An×n que tem determinante
igual a zero: detA = 0.
Teorema: Uma matriz quadrada A admite uma inversa se, e somente
se, det A ̸= 0.
IMPORTANTE:
Assim se o detA = 0, podemos concluir que a matriz não é
inversı́vel, ou seja, uma matriz singular não tem inversa.
Exemplo 4.11 : quais das matrizes abaixo não são inversı́veis?


[
]
[
]
0 2
0
−1 2
5 10
1 
A=
B=
C= 1 6
0 4
2 4
−3 4 −3
Matriz dos cofatores: é uma matriz formada com os cofatores da
matriz original e denotamos por
A = [∆ij ].
27
Exemplo 4.12 : dada a matriz:


2 1 0
A =  −3 1 4 
1 6 5
verifique que


−19 19 −19
A =  −5 10 −11 
4 −8 5
Matriz adjunta: é a matriz transposta da matriz dos cofatores de A
T
e denotamos por adj A = A .
Exemplo 4.13 :
a) escreva a matriz adjunta de A, apresentada no exemplo anterior;
b) calcule det A;
c) calcule A . adj A;
A partir desse exemplo, podemos observar que
A . adj A = -19 I = (det A) I.
Esse resultado não é um caso isolado e é expresso no seguinte teorema,
que nos fornece uma ferramenta para calcularmos então a matriz inversa de A.
Teorema: A . adj A = (det A) I.
4.5.1
Cálculo da inversa de uma matriz
Aqui apresentaremos duas formas de se obter a inversa de uma matriz: por meio de determinantes e por operações elementares. Na primeira forma,
partimos do teorema da seção anterior e escrevemos
A.adj A = (det A).I
adj A
= I
A.
det A
de onde concluı́mos que
A−1 =
1
.adj A.
det A
28
Exemplo 4.14 : determine a inversa das matrizes


2 1 0
a)A =  −3 1 4 
1 6 5
[
b) B =
2 3
1 4
]
Na segunda forma, utiliza-se o fato de que a mesma sucessão finita de
operações elementares que transformam uma matriz quadrada A na matriz identidade I, transforma a matriz I na matriz A−1 , inversa de A.
Assim, de forma prática, para determinarmos a matriz inversa de A
realizamos os seguintes procedimentos:
1. colocamos ao lado da matriz A a matriz identidade I;
2. transformamos, por meio de operações elementares, a matriz A na matriz identidade;
3. simultaneamente, as mesmas operações que realizamos em A, efetuamos
na matriz I que está à direita;
4. a matriz obtida à direita é a matriz A−1 .
Exemplo 4.15 : determine a matriz inversa da matriz a seguir e das matrizes do
exemplo anterior, utilizando operações elementares:


[
]
1 −3
1
7 6
3 −1 
N =  −2
M=
3 4
−1
2 −1
4.6
Solução de sistemas
Conforme comentamos no capı́tulo anterior, podemos utilizar determinantes para resolver sistemas lineares. Este método é conhecido como método de
Cramer e o descrevemos brevemente a seguir.
Este é um método restrito, pois resolve apenas sistemas de ordem n×n,
ou seja, que envolvem matrizes quadradas. Isto decorre do fato de que a base
do método consiste em utilizar o cálculo de determinantes, que só é possı́vel para
matrizes quadradas.
Considere A, uma matriz de ordem n × n, a matriz dos coeficientes e
B, a matriz dos termos independentes associadas a um sistema. Denotaremos Ai a
29
matriz obtida a partir de A, trocando sua i-ésima coluna pela matriz B. A solução
única x de Ax = B tem componentes da forma
xi =
detAi
.
detA
Exemplo 4.16 : use a regra de Cramer para resolver o sistema
{
3x1 − 2x2 = 6
−5x1 + 4x2 = 8
R : x1 = 20 x2 = 27
4.7
Exercı́cios propostos
Considere as seguintes matrizes para resolver os exercı́cios de 1 a 5.




[
]
[
]
2
1
1
3 −2 −4
2 5
6
4
5 −2  D =  2
5 −1 
A=
B=
C= 0
4 3
−3 −2
1 −3
4
0
6
1
1. Calcule:
a) det A
b) |B|
d) det D
e) 2|A| − |B| + 3|C| + |D|
c) det C
f) 1/|A|
2. Quais matrizes não são inversı́veis? Justifique.
3. Calcule (A.B) e det (A.B).
4. Verifique se a igualdade é verdadeira: det(C.D) = detC.detD.
5. Determine:
a) A−1
b) C −1 .
6. Resolva as seguintes equações:
a)
5 1 3
3x 0 1
7x 2 1
b)
x+3 x+1 x+4
4
5
3
9
10
7
c)
2 x 2
1 1 x
1 1 6
= 100
= −7
= −3
30
7. Determine a adjunta e a inversa da matriz


2
1
3
1 
A =  1 −1
1
4 −2
8. Determine a inversa da matriz
[
C=
]
6 2
11 4
.
9. Resolva os sistemas de ordem n × n, propostos no capı́tulo anterior,
pela regra de Cramer.
4.8
Respostas dos Exercı́cios Propostos
1. a) -14; b) 0; c) 21; d) -11; e) 24
2. A matriz B, pois det B = 0.
3. det(A.B) = 0
[
A.B =
−3 15
−2 10
]
4. É verdadeira.
[
5.
A
6. a) x = 5
7.
−1
=
−3/14 5/14
2/7 −1/7
b) x = 1
c) x = 3 ou x = 5


−2 14
4
1 
adj A =  3 −7
5 −7 −3
[
8.
C
−1
=
]

A−1

−2 14
4
1 
3 −7
1 
=
14
5 −7 −3
2
−1
−11/2 3
]
.
31
5
VETORES
Ao abordarmos a solução de sistemas, em capı́tulos anteriores, observamos que para sistemas possı́veis, de ordem m × n:
• se o sistema era determinado, tı́nhamos uma única solução, formada
por uma n-upla ordenada (x1 , x2 , x3 , . . . , xn );
• se o sistema era indeterminado, a solução consistia de um conjunto
infinito de pontos, descrito por uma expressão matemática.
Nosso objetivo então, a partir de agora, é entender, e se possı́vel visualizar, o que essa n-upla ordenada ou esse conjunto infinito de pontos representam.
Para chegarmos nessas representações, precisamos ter algumas noções sobre vetores,
que são inicialmente apresentadas neste capı́tulo, e também operações com esses
vetores, que segue-se também no capı́tulo posterior.
Uma grandeza fı́sica, como massa, temperatura ou energia cinética,
é completamente definida por um único número real e é chamada de grandeza
escalar ou simplesmente escalar.
Há entretanto, outras grandezas que precisam da dimensão, direção e
sentido para serem caracterizadas: são as grandezas vetoriais, que são representadas por vetores. Imagine, por exemplo, uma força atuando sobre um corpo (figura
5.1). Para descrevê-la precisamos determinar sua intensidade, direção e sentido.
Força é um exemplo tı́pico de grandeza que é representada por vetor. Outros exemplos são velocidade e deslocamento. Nesta unidade, desenvolveremos o conceito de
vetor de uma forma bem ampla, de modo que, por exemplo, soluções de sistemas
de equações lineares, matrizes, funções... também possam ser representados como
vetores.
Figura 5.1:
Para representar geometricamente as grandezas vetoriais que ocorrem
na vida real, os conceitos da geometria euclidiana no plano e no espaço fornecem
32
os elementos ideais para estudar os vetores nestes ambientes. As propriedades
matemáticas de vetores que são estudadas com as representações geométricas permitem estender o conceito de vetor, posteriormente, para ambientes mais abstratos,
chamados espaços vetoriais, que constituem uma ferramenta essencial para o entendimento da Matemática e suas aplicações em outros ramos da Ciência.
Sendo assim, nessa unidade, apresentamos inicialmente definições preliminares que nos ajudarão a definir um vetor e, a seguir, iniciamos o estudo de
propriedades, representação e operações com vetores.
5.1
5.1.1
Definições
Reta orientada:
Uma reta r é orientada quando se fixa nela um sentido de percurso,
considerado positivo e indicado por uma seta.
Figura 5.2:
O sentido oposto é negativo. Uma reta orientada é denominada eixo.
5.1.2
Segmento orientado:
Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, sendo o primeiro chamado origem e o segundo, extremidade do segmento.
−→
Representamos o segmento por AB ou AB e, geometricamente, por uma seta que
caracteriza visualmente o sentido do segmento.
Figura 5.3:
33
NOTA
• dizemos que um segmento é nulo quando a origem coincide com a
extremidade;
• se AB é um segmento orientado, então BA é seu oposto.
5.1.3
Medida de um segmento:
É o comprimento, ou o módulo do segmento relacionado com uma
unidade de medida pré-fixada. Indicamos a medida de um segmento por AB ou
−→
|AB|.
Figura 5.4:
5.1.4
Direção e sentido:
Dois segmentos orientados, não nulos, AB e CD têm a mesma direção
se suas retas suportes são paralelas ou coincidentes (figura 5.5).
Observação: Só podemos comparar os sentidos de segmentos que posssuem a mema direção.
Figura 5.5:
Exemplo 5.1 : Um exemplo simples pode ser dado pelo conceito de velocidade de
uma partı́cula que se desloca ao longo de uma curva.
Supondo o caso simples da curva ser retilı́nea, considere um ponto A
que se desloca em linha reta com velocidade de 4km/h dirigindo-se a um ponto B
situado sobre a reta (figura 5.6).
34
Figura 5.6:
Ao conceito de velocidade no ponto A está associado não apenas o
número real 4 (unidade = km/h), mas a direção da reta r(A, B) onde ocorre o
deslocamento e o sentido de percurso.
Considere outro ponto X se deslocando sobre a mesma reta, no mesmo
sentido de percurso de A e com mesma taxa de variação do espaço percorrido em
relação à unidade de tempo, 4km/h no caso (figura 5.7). Podemos dizer que A e X
Figura 5.7:
se deslocam à mesma velocidade.
Se o ponto X estiver se deslocando sobre a mesma reta, mas no sentido
de B para A, a 4km/h (figura 5.8), não temos mais a mesma velocidade, mas sim,
vetores velocidades com sentidos opostos, apesar de terem a mesma direção e a
mesma intensidade.
Figura 5.8:
O conceito de velocidade de uma partı́cula, como uma grandeza vetorial,
fica ainda mais claro se considerarmos uma trajetória curvilı́nea.
Vamos considerar, sobre uma trajetória curvilı́nea, os pontos A e X,
ambos se deslocando a 4km/h, dirigindo-se para B, como na figura (5.9). Neste
caso, o vetor velocidade em A e o vetor velocidade em X possuem em comum
apenas o escalar 4 (km/h) que representa o valor numérico da sua intensidade,
35
Figura 5.9:
mas não possuem a mesma direção. Como vimos, sem direção em comum, nem se
compara o sentido. A taxa de variação do vetor velocidade por unidade de tempo é
sentida, neste caso, como o vetor aceleração normal, na direção normal à trajetória,
que se estuda na Fı́sica.
5.2
Vetor
A representação geométrica das grandezas vetoriais, os vetores, é feita
−→
através do conceito de segmento orientado. Um vetor AB, representado por um
segmento AB é o conjunto de todos os segmentos orientados que possuem a mesma
direção, sentido e comprimento de AB.
Algumas definições importantes:
• Vetores iguais: são aqueles representados por segmentos eqüipolentes:
mesma direção, sentido e comprimento.
• Vetor nulo: é formado pelo conjunto dos segmentos nulos que são
eqüipolentes entre si.
−→
→
→
• Vetores opostos: se −
v ou AB são vetores, seus opostos serão: −−
v , ou
−→
BA ou (A − B).
• Vetor unitário: aquele que possui comprimento de medida igual a uma
unidade.
36
→
• Versor: o versor de um vetor −
v é um vetor unitário de mesma direção
→
e sentido que −
v.
• Vetores colineares: quando tiverem a mesma direção e pertencerem a
uma mesma reta ou a retas paralelas (veja figura(5.10)).
• Vetores coplanares: quando dois ou mais vetores pertencerem a um
mesmo plano.
Figura 5.10:
5.2.1
Operações com Vetores
• Adição de dois vetores: usamos a regra do paralelogramo, que con→
→
siste em tomar os vetores −
u e−
v como lados de um paralelogramo. A
soma é a diagonal do paralelogramo formado.
→
→
→
→
Exemplo 5.2 : Construa −
u +−
v e−
u −−
v , dos vetores indicados na
figura (5.11).
• Adição de três ou mais vetores: neste caso, usamos a regra do
polı́gono, que consiste em ir adicionando cada vetor sempre a extremidade do último vetor adicionado. Obtemos o vetor resultante unindo a
origem do primeiro vetor coma extremidade do último.
→
→
→
→
−
→
u +−
v +−
w e−
u −→
v −−
w , dos vetores
Exemplo 5.3 : Represente −
indicados na figura (5.11).
• Multiplicação de um número real por um vetor: dado um vetor
−
→
→
−
v e um número real k ̸= 0, dizemos que o produto −
p = k→
v é um
vetor com as seguintes caracterı́sticas:
37
Figura 5.11:
→
→
p é a mesma de −
v;
– a direção de −
−
→
→
– o sentido será o mesmo de v se k > 0 e será o contrário de −
v se
k < 0.
→
−
→
Exemplo 5.4 : determine os seguintes vetores representados por 2−
u ; −2→
u ; 12 −
v,
usando os vetores da figura (5.11).
5.2.2
Exercı́cios propostos
1. Dados os vetores representados na figura (5.12) abaixo, determine o
vetor resultante nas seguintes operações:
→
→
a) −
u +−
v
−
→
−
b) →
u −−
v +→
w
−
→
c) −3→
u −−
w
−
→
−
d) →
w +−
u −→
v
→
→
→
→
e) −
w +−
u +−
v +−
x
Figura 5.12:
38
2. Verifique quais dos seguintes vetores são colineares:
Figura 5.13:
3. Represente o versor e o oposto de cada um dos vetores representados
na figura (5.14).
Figura 5.14:
−→
4. Dado o vetor AB representado na figura abaixo, determine
−→
−→
a) o vetor 14 AB
b) o vetor −AB
−→
−→
c) o vetor BA
d) o vetor − 12 AB
−→
e) o vetor 2BA
Figura 5.15:
39
6
VETORES NO R2 E NO R3
Na unidade anterior, estudamos os vetores do ponto de vista geométrico,
e no caso, eles eram representados por um segmento de reta orientado. Agora
vamos abordar uma outra forma de representá-los: os segmentos orientados estarão
relacionadocoms com os sistemas de eixos cartesianos do plano R2 , figura (6.1a) e
do espaço R3 , figura (6.1b).
Figura 6.1:
6.1
Vetores no R2
O conjunto R2 = R × R = {(x, y)/x, y ∈ R} é interpretado como sendo
o plano cartesiano XOY , conforme mostra a figura (6.1a).
Figura 6.2:
40
→
Qualquer vetor −
v considerado neste plano tem como origem a origem
do sistema (que é o ponto O = (0, 0)). Assim, cada ponto P do plano é a extremidade
de um vetor.
Exemplo 6.1 :
o
ponto
P (x, y)
−→
−
→
−
→
v = OP e escreve-se v = (x, y), figura (6.2).
caracteriza
o
vetor
Exemplo 6.2 : represente, no plano, os vetores determinados pelos seguintes pontos:
−−→
−
→
→
a) −
v1 = OP1 , onde P1 = (1, 3).
−−→
−
→
→
b) −
v2 = OP2 , onde P2 = (−1, 2).
−−→
−
→
→
c) −
v3 = OP3 , onde P3 = (−1, −1).
−−→
−
→
→
d) −
v4 = OP4 , onde P4 = (2, −2).
6.2
Vetores no R3
De forma análoga, no espaço, o ponto P (x, y, z) caracteriza um vetor
−→
−
→
v = OP , que tem origem na origem do sistema e extremidade no ponto P , figura
(6.3).
Figura 6.3:
Exemplo 6.3 : represente os vetores determinados pelos seguintes pontos:
−−→
−
→
→
a) −
v1 = OP1 , onde P1 = (1, 4, 2).
−−→
−
→
→
v2 = OP2 , onde P2 = (−1, −3, −2).
b) −
41
6.3
Operações com vetores
Abordaremos duas operações com vetores que resultam num novo vetor:
a adição de vetores e o produto de um número real por um vetor, também chamado
produto por escalar.
6.3.1
Adição de vetores
−−→
−−→
→
→
Sejam dois vetores −
u = OP1 = (x1 , y1 ) e −
v = OP2 = (x2 , y2 ). Definimos a soma de dois vetores como sendo:
−
→
−
u +→
v = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ).
De forma semelhante,
no R3 , definimos a
soma de dois vetores
−
−
→
−
−
→
−
→
−
→
u = OP1 = (x1 , y1 , z1 ) e v = OP2 = (x2 , y2 , z2 ), como sendo:
→
−
→
u +−
v = (x1 , y1 , z1 ) + (x2 , y2 , z2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ).
Exemplo 6.4 : dados
os
−
→
w = (0, −1, −2), determine:
→
→
a) −
u +−
v
6.3.2
vetores
→
→
b) −
v +−
w
−
→
→
u = (−1, 0, 2), −
v = (1, 2, 3) e
→
−
→
c) −
w +→
u +−
v
Produto por escalar
→
Seja k um número real. Definimos o produto de k pelo vetor −
u como
sendo:
→
k−
u = k(x1 , y1 ) = (kx1 , ky1 ).
→
k−
u = k(x1 , y1 , z1 ) = (kx1 + ky1 , kz1 ).
Exemplo 6.5 : considerando os vetores do exemplo 4, determine:
→
−
a) 2−
u +→
v
6.4
→
→
b) −−
v + 3−
w
→
→
c) −4−
w + −2−
u.
Igualdade de vetores
→
→
Dizemos que dois vetores −
v1 = (x1 , y1 , z1 ) e −
v2 = (x2 , y2 , z2 ) são iguais
se cada uma de suas ordenadas forem iguais:
−
→
→
v1 = −
v2
se
x 1 = x2 ;
y1 = y2 ;
z1 = z2 .
42
Exemplo 6.6 : Determine o valor de m de modo que os vetores (m+2, −5, 3)
e (m, −5, m + 1) sejam iguais.
6.5
Combinação linear
Quando realizamos as operações do exercı́cio 2.5, observamos que cada
uma delas resultou em um novo vetor. Assim, dizemos que esse novo vetor é uma
−
combinação linear dos vetores dados. Por exemplo, se chamarmos →
v1 o novo vetor
−
→
−
→
−
→
−
→
→
−
obtido de 2 u + v , temos que v1 é combinação linear de u e v :
−
→
→
→
v 1 = 2−
u +−
v,
onde 2 e 1 são os escalares.
De forma geral:
→
−
→
→
v = a1 −
v1 + a2 −
v2
→
→
Exemplo 6.7 : faça a combinação linear dos vetores −
u = (2, −1) e −
v = (6, −3):
→
→
→
→
→
→
→
−
→
a) −
w = 2−
u − 3−
v b) −
w = 2−
u +−
v c) −
w = 3→
u −−
v .
Observação: No terceiro exemplo, obtivemos uma combinação linear
em que os escalares são a1 = 3 e a2 = −1, ou seja são diferentes de zero, mas
→
−
o resultado foi zero. Nesse caso, dizemos que os vetores −
u e →
v são linearmente
dependentes. Esta é a definição que vamos desenvolver a seguir.
6.6
Vetores linearmente independentes
Vimos anteriormente como fazer a combinação linear de dois vetores.
De forma análoga, podemos fazer a combinação linear de n vetores. Aqui estamos
interessados em observar se é possı́vel tornar essa combinação linear igual a zero sem
−
→
−
−
que todos os escalares sejam zero. Assim, dados n vetores →
v1 , −
v2 , →
v3 ,..., →
vn , dizemos
que eles são linearmente independentes (LI) se a combinação linear deles for
nula somente quando todos os escalares forem iguais a zero:
→
−
−
→
vn = 0
v3 + ... + an −
v2 + a3 →
v1 + a2 →
a1 −
a1 = a2 = a3 = a4 = ... = an = 0.
Observação: Se algum dos escalares aj for diferente de zero, dizemos que os vetores
são linearmente dependentes (LD). Dados dois vetores, podemos determinar se
eles são linearmente dependentes de uma forma mais prática: observando que um é
combinação linear do outro (que também significa que são colineares)
43
−
→
−
v1 = k →
v2
obtemos assim
(x1 , y1 , z1 ) = k(x2 , y2 , z2 ) ⇒
x1
y1
z1
=
=
=k
x2
y2
z2
e podemos concluir que a razão entre suas ordenadas dá sempre o mesmo valor k.
Exemplo 6.8 : Verifique se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes ou independentes:
a) {(-5,3),(15,-9)}
b) {(-5,3,2),(0,-1,2), (1,1,1)}
6.7
Expressão cartesiana de um vetor
→
Quando escrevemos um vetor −
v como combinação linear de um conjunto de vetores linearmente independentes, os escalares {aj } recebem o nome de
−
coordenadas do vetor →
v em relação ao conjunto de vetores dados.
→
Ao representarmos o vetor −
v1 = (1, 3),em exemplos anteriores, estamos
→
→
usando as coordenadas (1,3) em relação a um conjunto de vetores {−
u1 , −
u2 }. Que
conjunto é este?
(1, 3) = 1(
, ) + 3(
, )
Na prática, os vetores desse conjunto são escolhidos de forma que sejam
LI’s e este conjunto é chamado de base. Quando os vetores dessa base são unitários
e perpendiculares entre si, dizemos que essa base é ortonormal.
No R2 , a base ortonormal mais utilizada é:
−
→
i = (1, 0)
−
→
j = (0, 1).
No R3 , a base ortonormal mais utilizada é:
−
→
i = (1, 0, 0)
−
→
j = (0, 0, 1)
−
→
k = (0, 0, 1).
Assim a expressão cartesiana de um vetor em relação a suas coordenadas e base do espaço é expressa por:
44
−
→
−
→
−
→
v = x i + y j , no R
2
e
−
→
−
→
−
→
−
→
v = x i + y j + z k , no R3 .
6.8
Módulo de um vetor
−→
→
A distância da origem até o ponto P (x, y), que define o vetor −
v = OP ,
→
−
é chamado módulo do vetor −
v (ou comprimento) e denotamos por |→
v |.
Usando o teorema de Pitágoras, obtemos uma expressão para calcular
→
o comprimento do vetor −
v , do R2
Figura 6.4:
de onde obtemos
√
→
|−
v | = x2 + y 2 .
→
Da mesma forma, se −
v não tem sua origem na origem do sistema,
o seu comprimento é calculado pela expressão
√
−→
|AB| = |B − A| = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .
Analogamente, para vetores do R3 , calculamos o comprimento de um
vetor pela expressão
√
−→
|AB| = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1)2 .
45
Figura 6.5:
Exemplo 6.9 : determine o comprimento de cada vetor:
→
a) −
v = (2, −1)
−→
b) AB, onde A = (0, 1, 2) e B = (−1, 2, 1)
−→
c) BA, onde A = (0, −1, 4) e B = (−5, 1, 0).
Exemplo 6.10 : determine a distância de cada ponto, representado a seguir, até a
origem:
Figura 6.6:
46
6.9
Vetor unitário (versor)
−
−
Para cada vetor →
v, →
v =
̸ 0, podemos calcular um vetor unitário, pa−
→
ralelo a v , chamado de versor:
−
→
v
−
→
v = −
(6.1)
→
|v|
Exemplo 6.11 : determine o versor de cada vetor do exemplo 5.9.
6.10
Exercı́cios propostos
−
1. Determinar o valor de m e n para os quais os vetores →
u = (2, 3, m) e
−
→
v = (n, −6, 2) sejam colineares.
→
−
−
→
2. Qual o valor de x que torna os vetores →
u = (3, −x, 2) e −
v =3i +
→
→
− −
2 j + k linearmente dependentes?
→
→
→
u = (1, −1, 3), −
u = (2, 1, 3) e −
w = (−1, −1, 4):
3. Dados os vetores −
→
→
→
a) determine o vetor −
u + 2−
v − 3−
w
→
b) mostrar que o vetor −
w não é combinação linear
−
→
→
−
dos vetores u e v .
→
4. Escrever o vetor −
r = (5, −3, −2) como combinação linear dos vetores
−
→
→
→
u = (1, 2, 4), −
v = (3, −1, 2) e −
w = (2, 5, 6).
5. Verifique se os vetores abaixo são linearmente dependentes ou independentes:
→
→
a) −
u = (3, 4, −1) e −
v = (−1, 2, 1)
−
→
→
b) →
u = (5, 6, 3), −
v = (2, 1, 3) e −
w = (3, 1, 4)
−
→
−
→
c) u = (1/3, 5/4) e v = (2/3, 5/2)
−
→
→
d) →
u = (4, −9, 11), −
v = (2, 1, 1) e −
w = (3, −4, 6)
6. Calcular o valor de m para que os vetores sejam linearmente dependentes:
a) (2, -1, 1), (1, 2, -3) e (3, -4, m)
b) (0, m, 0)
c) (1, 3, 5) e (2, 1+m, 10)
7. Sendo os vetores
→
− −
→
−
→
u =3i − j
→
−
−
→
−
→
v =5j +4 i
47
→
−
−
→
w = −3 j ,
→
determine o vetor −
x , de modo que
−
→
→
−
−
→
→
−
−
→
3x − w =2v − u + x.
2
6.11
Respostas dos exercı́cios propostos
1. m = -1
e n = -4
2. Não existe.
3. a) (8, 4, -3)
→
→
→
→
4. −
r = −3−
u + 2−
v +−
w
5. a) LI b) LI c) LD d) LD
6. a) m = 5 b) m = 0 c) m = 5
→
7. −
x = (2, 16/5, 0)
48
7
PRODUTO DE VETORES
Até agora, trabalhamos somente com a adição, subtração de vetores e
multiplicação por um escalar. Pretendemos então, nessa unidade, definir o produto
de vetores. Vamos trabalhar com o produto escalar, o produto vetorial e o produto
misto. Estes produtos de vetores têm importantes aplicações na Geometria e na
Fı́sica.
7.1
Produto escalar
−
→ →
−
→
−
→
−
→
→
−
−
→
→
Dados dois vetores −
u = x 1 i + y 1 j + z1 k e −
v = x2 i + y2 j + z2 k ,
→
→
ou seja, −
u = (x1 , y1 , z1 ) e −
v = (x2 , y2 , z2 ), chamamos de produto escalar dos
−
→
→
−
vetores u e v o número real definido por:
−
→
→
u .−
v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 .
→
− →
−
→
→
−
−
→
−
→
→
−
→
Exemplo 7.1 : sejam os vetores −
v1 = 3 i − 5 j + 8 k e −
v2 = 4 i − 2 j − k ,
determine:
→
−
a) −
v1 . →
v2
−−−→
→
b) −
v1 .−2v2
−
→
−
→ −
→
−
−
→
→
Exemplo 7.2 : sejam os vetores −
u = 4i +αj e →
v = α i + 2 j e os pontos
−→
→
→
A = (4, −1) e B = (3, 2), determinar o valor de α tal que −
u .(−
v + AB) = 14.
7.2
7.2.1
Aplicações do produto escalar
Cálculo do trabalho
A aplicação fı́sica mais simples do uso do produto escalar é fornecida
pelo conceito de trabalho. Lembramos que o trabalho W realizado por uma força
constante F exercida ao longo da trajetória de uma partı́cula numa distância d é
dado por
W = Fd
(7.1)
−
→
Mas se a força for um vetor constante F apontando em alguma direção (e sentido)
diferente da linha de movimento de P a Q, determinamos o trabalho por
→
→
−
−
→ −
→ −
Exemplo 7.3 : calcule o trabalho realizado pela força F = 2 i −5 j +3 k , quando
seu ponto de aplicação move-se de P a Q, onde P = (1, 2, −2) e Q = (3, −1, 1).
49
Figura 7.1:
7.2.2
Cálculo do ângulo entre dois vetores
→
→
Se −
u e −
v são vetores não nulos, então o ângulo θ formado entre os
vetores será calculado pela seguinte expressão
→
−
→
u .−
v
cos θ = −
→
−
→ ,
| u || v |
onde 0 ≤ θ ≤ π. Observamos que nessa expressão vamos obter o valor do cosseno
do ângulo e a partir deste número é que iremos concluir qual é o ângulo θ formado
entre os vetores. Assim, por exemplo, se obtivermos:
• cos θ = 1, então o ângulo θ = 0o
• cos θ = −1, então o ângulo θ = 180o
√
• cos θ = 3/2, então o ângulo θ = 30o
√
• cos θ = 2/2, então o ângulo θ = 45o
• cos θ = 1/2, então o ângulo θ = 60o
• cos θ = 0, então o ângulo θ = 90o .
Este último resultado é de fundamental importância do produto escalar
para a geometria, pois nos permite, de um modo muito simples, determinar se dois
vetores são ou não perpendiculares:
−
→
→
u e−
v são perpendiculares
se, e somente se, o produto
−
→
escalar é zero: →
u .−
v =0
50
→
→
Exemplo 7.4 : verifique se os vetores −
u e−
v são perpendiculares:
→
→
a) −
u = (1, 1, 4) e −
v = (−1, 2, 2)
−
→ →
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
→
b) −
u = −2 i + 3 j − 2 k e −
v =− i +2j +4k.
→
Exemplo 7.5 : sabendo que o vetor −
u = (2, 1, −1) forma um ângulo de 60o com o
−→
vetor AB determinado pelos pontos A(3, 1, −2) e B(4, 0, m), calcular o valor de m.
Exemplo 7.6 : provar que o triângulo ABC, de vértices A(2, 3, 1) , B(2, 1, −1) e
C(2, 2, −2) é um triângulo retângulo.
−
→ →
−
→ −
−
→
−
→
→
→
Exemplo 7.7 : dados os vetores −
v = i −2j +2k e −
u = c k − i , determine
o valor de c para que os vetores sejam perpendiculares.
7.2.3
Projeção de um vetor
→
→
Sejam os vetores −
u,−
v , não-nulos, e o ângulo θ entre eles. Pretendemos
−
→
→
→
calcular o vetor w que representa a projeção de −
u sobre −
v . A figura a seguir ilustra
as duas situações possı́veis, podendo ser θ um ângulo agudo (conforme mostra a
figura(7.2 a)) ou um ângulo obtuso (conforme mostra a figura(7.2 b)).
Figura 7.2:
→
−
→
O vetor −
w , que é a projeção de →
u sobre −
v , é determinado pela seguinte
expressão
−
→
w =
(−
)
→→
−
u.v
→
|−
v |2
−
→
v
51
→
Exemplo 7.8 : determine a projeção pedida considerando os vetores −
u = (2, 3, 4)
→
e−
v = (1, −1, 0)
→ é a projeção de −
→
−
a) −
w
u sobre →
v
1
→ é a projeção de −
→
−
b) −
w
v sobre →
u.
2
Exemplo 7.9 : sejam os pontos A(1, 2, −1), B(−1, 0, −1) e C(2, 1, 2), pede-se: a)
mostrar que o triãngulo ABC é retângulo em A;
b) calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC.
7.3
Propriedades do produto escalar
→
→
→
Quaisquer que sejam os vetores −
u, −
v e−
w e o escalar m, o produto
escalar apresenta as seguintes propriedades:
→
→
1. −
u .−
v >0
→
→
→
u .−
u = 0, somente se −
u =0
2. −
→
→
→
→
3. −
u .−
v =−
v .−
u (é comutativa)
→
→
→
→
−
→
−
u .(−
v +−
w) = −
u .→
v +−
u .→
w (é distributiva em relação a adição)
4. −
→
→
−
→
→
→
5. (m−
u ).−
v = m(→
u .−
v)=−
u (m−
v)
→
→
→
6. −
u .−
u = |−
u |2
Exemplo 7.10 : escolha vetores do R2 e verifique as propriedades acima. Repita
o procedimento, escolhendo agora vetores do R3 .
7.4
Produto Vetorial
Muitos problemas de Geometria recaem na determinação de um vetor
→
→
simultaneamente perpendicular a dois vetores dados −
u e−
v (figura 7.3).
Uma das formas usuais para determinar este vetor é o produto ve−
→
→
−
→
torial de u e −
v , denotado por →
u ×−
v . O produto vetorial é muito diferente do
−
→
−
→
→
→
→
→
produto escalar u . v . Basta uma distinção: −
u ×−
v é um vetor, enquanto −
u .−
v é
um número.
Vamos então, inicialmente, definir esse novo produto, depois descreveremos suas propriedades e algumas aplicações.
52
Figura 7.3:
−
→ →
−
→
−
→
−
→
−
→
→
Assim, dados os vetores −
u = x1 i + y1 j + z1 k e −
v = x2 i + y2 j +
−
→
z3 k , o produto vetorial é definido por
−
→ −
→ −
→
i
j
k −
→
−
u ×→
v = x1 y1 z1 .
x y z 2
2
2
→
−
→ −
→
→
Exemplo 7.11 : dados os vetores −
w = (5, 4, 3) e −
v = i + k , determine:
→
−
a) −
u ×→
v
7.5
→
−
b)−
v ×→
u.
Aplicações do produto vetorial
7.5.1
Cálculo do vetor perpendicular
−
→
Como vimos na introdução inicial de produto vetorial, o produto →
u ×−
v
−
→
−
→
→
−
define um novo vetor w que é perpendicular tanto a u , quanto a v .
Exemplo 7.12 : a) determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores
−
→
→
u = (2, −6, 3) e −
v = (4, 3, 1);
−
→
→
u e−
v.
b) verifique que o novo vetor obtido é realmente ortogonal aos vetores
Exemplo 7.13 : determine um vetor unitário, simultaneamente orto- gonal aos
→
− →
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
→
vetores −
u =2 i −6j +3k e −
v =4 i +3j +zk.
53
−
→
−
→
−
→
→
→
Exemplo 7.14 : dados os vetores −
v1 = (2, −1, 4) e −
v2 = i + 5 j − 3 k , calcule
−
→
−
v1 × →
v2 e interprete o resultado obtido.
7.5.2
Cálculo da área do paralelogramo
→
→
Geometricamente, o módulo do produto vetorial −
u ×−
v mede a área
−→
→
do paralelogramo ABCD, cujos lados são formados pelos vetores −
u = AB
−→
→
e −
v = AC, conforme mostra a figura (7.4 a). A partir dessa expressão, também
Figura 7.4:
podemos determinar a área do triângulo ABC, pois ele representa a metade do
paralelogramo, conforme mostrado na figura (7.4 b).
→
→
Exemplo 7.15 : dados os vetores −
u = (1, 2, −1) e −
v = (0, −1, 3), determine:
−
−
a) a área do paralelogramo determinado por →
u e→
v;
→
→
→
b) a área do paralelogramo definido pelos vetores 3−
u e−
v −−
u;
−
→
c) a área do triângulo determinado pelos vetores →
u e−
v;
−
→
d) a área do triângulo determinado pelos vetores →
u e −−
v.
Exemplo 7.16 : calcule a área do triângulo de vértices A(1, −2, 1), B(2, −1, 4) e
C(−1, −3, 3).
→ →
−
→
−
→ −
→ −
−
→
→
Exemplo 7.17 : sejam os vetores −
u =3i + j − k e−
v = a i + 2 k , calcular o
−
→ −
→
valor
√ de a para que a área do paralelogramo determinado por u e v seja igual a
2 6.
54
7.5.3
Verificando se os vetores são paralelos
→
→
Dois vetores −
u e−
v são paralelos, ou colineares, se obtivermos
−
→
→
u ×−
v = 0.
Exemplo 7.18 : determine se os vetores a seguir são ou não colineares:
→
→
a) −
v = (2, −3, 0) e −
u = (−1, 4, −2)
→
→
b) −
v1 = (2, −1, 0) e −
v2 = (3, 1, 2)
−
→ −
−
→
−
→ −
→
−
→ −
→
→
c) −
u =3 i + j +2k e →
v =7 i − j +2k
7.6
Propriedades do produto vetorial
Algumas dessas propriedades já vimos anteriormente, no entanto, vamos apenas formalizá-las nessa seção. Observemos, também, que algumas propriedades do produto vetorial estão intimamente relacionadas com propriedades dos
determinantes.
→
→
→
1. −
u ×−
u = 0, para qualquer que seja o vetor −
u.
→
→
→
−
u ×−
v = −−
v ×→
u.
2. −
→
→
−
→
−
→
−
3. −
u × (−
v +→
w) = −
u ×→
v +−
u ×→
w.
→
→
−
→
4. (m−
u)×−
v = m(→
u ×−
v)
→
−
5. −
u ×→
v = 0 se, e somente se, um dos vetores é nulo, ou se os vetores
são colineares.
→
→
→
→
6. −
u ×−
v é ortogonal simultaneamente aos vetores −
u e−
v.
7.7
Produto Misto
−
→
Dados os vetores →
u = (x1 , y1 , z1 ), −
v =
→
−
−
→
−
→
definimos o produto misto dos vetores u , v , w por
x1 y1 z1
→
→
→
(−
u ,−
v ,−
w ) = x2 y2 z2
x3 y3 z3
→
(x2 , y2 , z2 ) e −
w = (x3 , y3 , z3 ),
.
−
−
→
O produto misto é um número e também podemos denotá-lo por →
u .(→
v ×−
w ).
55
7.8
7.8.1
Aplicações do produto misto
Verificando se os vetores são coplanares
→
→
→
Os vetores −
u = (x1 , y1 , z1 ), −
v = (x2 , y2 , z2 ) e −
w = (x3 , y3 , z3 ) são
coplanares se obtivermos
→
→
→
(−
u ,−
v ,−
w) = 0
−
→ −
→
−
−
→
→
→
Exemplo 7.19 : dados os vetores −
u = (2, 3, 5), −
v = − i +3j +3k e →
w =
−
→
−
→
−
→
4 i − 3 j + 2 k , determine:
→
−
a) −
v ×→
w
→
→
−
b) −
u .(−
v ×→
w)
c) se os vetores são coplanares.
7.8.2
Cálculo do volume do paralelepı́pedo
→
→
→
Geometricamente, o produto misto (−
u ,−
v ,−
w ) é igual, em módulo, ao
−→
→
volume do paralelepı́pedo cujas arestas são determinadas pelos vetores −
u = AB,
−−→ → −→
−
→
v = AD e −
w = AC, conforme mostra a figura a seguir
Figura 7.5:
A partir dessa expressão, também podemos calcular o volume do tetraedro, pois todo paralelepı́pedo equivale a dois prismas triangulares iguais e cada
prisma equivale a três pirâmides (que são os tetraedros).
56
Assim
Figura 7.6:
Exemplo 7.20 : calcular o volume do tetraedro e do paralelepı́pedo cujos vértices
são os pontos A(1, 2, 1), B(7, 4, 3), C(4, 6, 2) e D(3, 3, 3).
−
→
−
→
→
− →
−
→
−
→
−
Exemplo 7.21 : dados →
u =x i +5j , −
v = 3i − 2j
+ k e
−
→
w = (1, 1, −1), calcular o valor de x para que o volume do paralelepı́pedo, determi→
→
→
nado por −
u, −
v e−
w , seja 24.
7.9
Exercı́cios propostos
→
1. Achar um vetor −
x , sabendo-se que ele é perpendicular aos vetores
−
→
−
→
a = (2, 3, −1), b = (1, −2, 3)
e
que ele
verifica a relação
−
−
→ −
→ →
−
→
x .(2 i − j + k ) = −6.
2. Dados os pontos A(−2, 3, 4), B(3, 2, 5), C(1, −1, 2) e D(3, 2, −4), de−→
−→ AB.
terminar proje−
CD
→
3. Qual o comprimento da projeção do vetor −
v = (−1, −2, 2)
o eixo z?
−
→
→
a = (1, −m, −3), b = (m + 3, 4 − m, 1)) e
4. Dados os vetores −
−
→
−
→ −
−
→
→
→
c = (m, −2, 7), determine m para que −
a . b = (−
a + b ).→
c.
sobre
→
−
5. Calcule o trabalho realizado pela força F quando seu ponto de aplicação
move-se de P a Q , nos seguintes casos:
−
→
−
→
−
→
−
→
a) F = 2 i − 5 j + 3 k , P (1, 2, −2), Q(3, −1, 1)
→
−
→
−
−
→
→
−
b) F = 3 i + 2 j − 3 k , P (−1, 2, 3), Q(1, 2, −1).
57
−
→
→
→
6. Decomponha o vetor −
v = (−1, 2, −3) em dois vetores −
a e b , tais que
→
−
−
→
→
→
→
w , com −
w = (2, 1, −1).
a //−
w e b ⊥−
−
→
−
→
→
→
7. Determine o vetor −
v que satisfaça as condições −
v .(3 i + 2 j ) = 6 e
−
→
−
→
−
→
−
→
v × (2 i + 3 k ) = 2 i .
8. Encontrar a área do triângulo de vértices P (2, −1, 3), Q(1, 2, 4) e R(3, 1, 1).
→
→
−
9. Dados os vetores −
u = (2, −1, 1), −
v = (1, −1, 0) e →
w = (−1, 2, 2)
calcular:
→
→
→
a) −
v × (−
w −−
u)
→
→
→
→
b) (−
u +−
v ) × (−
u −−
v)
→
→
c) (2−
u ) × (3−
v)
→
→
−
→
d) (−
u ×−
v ).(→
u ×−
v)
→
−
−
→
−
→
−
→
e) ( u + v ).( u × w )
→
→
10. Sejam os vetores −
v = (a, 5b, −c/2) e −
w = (−3a, x, y), encontrar x e y
→
→
para que −
v ×−
w = 0.
11. Verificar se são coplanares os seguintes vetores:
−
→
→
→
a) −
a = (2, 1, 0), b = (1, 1, −3) e −
c = (−2, 1, 4)
−
→
−
→
b) →
a = (2, −1, 0), b = (3, 1, 2) e −
c = (7, −1, 2).
−→ −→ −−→
12. Determine o volume do paralelepı́pedo de arestas AB, AC e AD, sendo
A(2, 1, 3), B(2, 7, 4), C(3, 2, 3) e D(1, −2, 3).
13. Determinar o valor de k para que os vetores sejam coplanares:
→
→
→
a) −
u = (2, 1, 0), −
v = (1, 1, −3) e −
w = (k, 1, −k)
−
→
→
b) →
u = (2, k, 1), −
v = (1, 2, k), −
w = (3, 0, −3).
−
→
14. Calcular m para que os vetores →
v1 = (2, −1, −3), −
v2 = (−1, 1, −4) e
−
→
v3 = (m + 1, m, −1) determinem um paralelepı́pedo de volume 42 u.v.
7.10
Respostas dos exercı́cios propostos
→
1. −
x = (−3, 3, 3)
2. 1/49(2, 3, -6)
→
−
→
−
→
→ v = (0, 0, 2/9); | w | = 2/9
3. −
w = proje−
OZ
4. m = 2
5. a) 28 u.t.
b) 18 u.t.
58
−
→
→
6. −
a = (1, 1/2, −1/2); b = (−2, 3/2, −5/2)
7. (2, 0, 3) ou (14/9, 2/3, 7/3)
√
3 10
8.
2
9. a) (-1, -1, 0)
b) (-2, -2, 2)
c) (6, 6, -6)
d) 3
e) 1
10. x = -15b;
y = 3c/2
−
→ →
→
11. a) (−
a , b ,−
c ) = 16, portanto não são coplanares
−
→ →
→
b) (−
a , b ,−
c ) = 0, portanto são coplanares
12. V = 2 u.v.
13. a) k=3/2;
14. m = 2
b) k = 2 0u k = -3
59
8
A RETA
A partir dessa unidade, estamos interessados em estudar a geometria
analı́tica de retas, planos e superfı́cies no espaço tridimensional, ou seja, estudarmos
suas representações analı́ticas, geométricas e suas propriedades.
Começamos com o estudo das retas. Uma reta do espaço pode ser dada
geometricamente de três maneiras:
• como o suporte do segmento que une dois pontos (figura 8.1 a)
• como a intersecção de dois planos (figura 8.1 b)
• ou como a reta que passa por um ponto e tem uma direção especificada
(figura 8.1 c).
Figura 8.1:
A terceira maneira é a mais importante para nós. Suponha que r seja
a reta no espaço que passa pelo ponto A(a1 , a2 , a3 ) e é paralela a um dado vetor
→
não-nulo −
v = (v1 , v2 , v3 ).
Para que um outro ponto P (x, y, z) pertença a esta mesma reta é preciso
−→ →
−→
que os vetores AP e −
v sejam colineares, ou seja, que AP seja um múltiplo escalar
→
de −
v:
−→
→
AP = t−
v.
Esta é a equação vetorial da reta, o número t é chamado parâmetro e quando
varia de − ∝ a ∝, o ponto P descreve toda a reta.
60
Exemplo 8.1 : determine a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto
→
−
→
−
→ −
→
A(3, 0, −5) e tem a direção do vetor −
v =2 i +2j − k.
→
Exemplo 8.2 : a) determine a equação vetorial da reta que tem a direção −
u =
(−2, 1, 1) e passa pelo ponto B(1, 0, 1);
b) verifique se o ponto P (−3, 2, 3) pertence a esta reta;
c) determine quais são os pontos dessa reta quando t = 0, t = −1 e
t = 4.
8.1
Equação paramétrica da reta
Partindo da equação vetorial da reta e usando a igualdade entre vetores,
obteremos as equações paramétricas da reta (equações que descrevem as ordenadas
em cada eixo).
−→
→
Assim, escrevendo a equação vetorial AP = t−
v ⇒ P = A + tv ⇒
(x, y, z) = (a1 , a2 , a3 ) + t(v1 , v2 , v3 ) e igualando as ordenadas, obtemos

 x = a1 + tv1
y = a2 + tv2

z = a3 + tv3
que são as equações paramétricas da reta.
Exemplo 8.3 : considere
−
→
v = (−3, −2, 1):
o
ponto
P (3, −1, 2)
e
o
vetor
diretor
a) determine a equação vetorial da reta;
b) determine as equações paramétricas da reta;
c) determine o ponto da reta quando t = 3;
d) verifique se o ponto P1 (−9, −9, 6) pertence a reta;
8.2
Equações simétricas da reta
Partindo das equações paramétricas da reta, se isolarmos o parâmetro
t em cada uma das equações, obtemos
y − a2
z − a3
x − a1
=
=
.
v1
v2
v3
Estas equações são denominadas equações simétricas de uma reta que passa pelo
ponto (a1 , a2 , a3 ) e tem a direção do vetor (v1 , v2 , v3 ).
61
Exemplo 8.4 : uma reta L passa pelos pontos P0 (3, −2, 1) e P1 (5, 1, 0). Determine
as equações paramétricas, vetorial e simétricas dessa reta. Determine também os
pontos em que a reta intercepta os planos coordenados.
8.3
Equações reduzidas da reta
A partir das equações simétricas da reta, pode-se dar outra forma,
isolando as variáveis y e z, expressando-as em função de x:
- igualamos as expressões de x e de y e usamos as propriedades da proporção:
y − a2
x − a1
=
v1
v2
(x − a1 )v2 = (y − a2 )v1
y = ...........................................
(8.1)
- igualamos as expressões de x e de z e usamos as propriedades da proporção:
x − a1
z − a3
=
v1
v3
(x − a1 )v3 = (z − az )vz
z = ...........................................
(8.2)
Exemplo 8.5 : expresse as equações reduzidas da reta do exemplo anterior.
Exemplo 8.6 : apresente, analı́tica e geometricamente, a solução dos seguintes
sistemas lineares
{
x + 2y + z = −1
5y − 2z + 4x = −1

 2x + y + 11w = 2
x + 3w = 1

2x + z + 4w = −2
Exemplo 8.7 : como será a representação gráfica de um sistema em que
a) pa = pc = n = 2?
b) pa = pc = n = 3?
8.4
Condição de paralelismo de duas retas
−
Duas retas r e s são paralelas se
os vetores →
u = (u1 , u2 , u3 ) e
−
→
v = (v1 , v2 , v3 ), que definem suas direções, são paralelos:
62
Figura 8.2:
8.5
Condição de ortogonalidade de duas retas
→
Duas retas r e s são perpendiculares se os vetores −
u = (u1 , u2 , u3 )
−
→
e v = (v1 , v2 , v3 ), que definem suas direções, são perpendiculares:
Figura 8.3:
8.6
Condição de coplanaridade de duas retas
−→
→
→
Duas retas r e s são coplanares se os vetores −
u, −
v e AB, forem
coplanares, onde A é um ponto da reta r e B é um ponto da reta s. Assim, r
e s são coplanares se for nulo o produto misto:
Exemplo 8.8 : estude a condição das retas dadas:
a)

 x=1+t
y = −2 + 2t
r:

z=4

 x = −2t
y =1+t
s:

z = 1 + 4t
63
Figura 8.4:
b)
8.7
r:
x−4
2
=
y+1
3
=z e s:
x+1
4
=
y−2
6
=
z−4
2
Intersecção de duas retas
Consideremos as retas r e s. O ponto de intersecção dessas retas é o
ponto I(x, y, z) cujas coordenadas satisfazem as equações reduzidas das duas retas.
Exemplo 8.9 : Sabendo que a reta r passa pelo ponto (1, 0, 1) e tem a direção do
vetor (1, 0, −1) e que a reta s passa pelo ponto (0, 0, 2) e tem a direção do vetor
(3, 2, 1), mostre que as retas se interceptam e descubra seu ponto de intersecção.
8.8
Distância de um ponto a uma reta
Seja A(x1 , y1 , z1 ) um ponto e r uma reta no espaço tridimensional que
→
passa pelo ponto P e tem a direção de −
v . A distância d do ponto A até a reta r
será medida sobre a perpendicular baixada de A até a reta r e calculamos através
da expressão
Figura 8.5:
64
Exemplo 8.10 : determine a distância do ponto P (3, −1, 0) a cada uma das retas
abaixo, cujas equações paramétricas são
a)
8.9

 x = 1 + 2t
y = −t
r:

z =t−1

 x = 1 + 2t
y = −t
b) r :

z =t−1
Distância entre duas retas
Para determinarmos a distância entre duas retas, devemos levar em
consideração suas posições relativas. Assim, teremos três casos a considerar:
10 ) Se as retas são coincidentes ou concorrentes, a distância entre elas será nula.
Figura 8.6:
20 ) Se as retas forem paralelas, calculamos a distância entre um ponto qualquer de
uma reta em relação a outra reta:
Figura 8.7:
65
30 ) Se as retas forem reversas, constrói-se um paralelepı́pedo cujas arestas são os
−−−→
−
→
→
→
vetores →
u,−
v e A1 A2 , onde −
u e−
v são os vetores diretores de cada reta
−−−→
e A1 A2 é o vetor obtido tomando-se um ponto de cada reta. Portanto,
a distância entre as retas será a altura desse paralelepı́pedo.
Figura 8.8:
Exemplo 8.11 : calcule a
exemplo 6.
8.10
distância
entre as
retas
apresentadas no
Exercı́cios propostos
1. Escreva as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas para
a reta que passa pelo ponto (3, 0, −2) e é paralela:
−
→
−
→
−
→
a) ao vetor i + 4 j − 2 k ;
y+7
b) a reta x3 = −1 = z−3
6 ;
c) a reta x = 2t − 3, y = 3 − 2t, z = 5t − 4.
2. Escreva as equações simétricas da reta que passa pelos pontos
a) (2, −1, 3) e (5, 2, −2);
b)(7, 3, −1) e (3, −1, 3).
3. Se L é a reta que passa pelos pontos (−6, 6, −4) e (12, −6, 2), determine
os pontos onde L fura os planos coordenados.
4. Mostre que as retas se interceptam e descubra seu ponto de intersecção:
r:
s:
x = 1 + t,
x = 3s,
y = 2t,
y = 2s,
z = 1 + 3t
z = 2 + s.
(8.3)
66
5. Calcule a distância
entre as
retas
x + 1 = z+1
2 , y=2
x−2
−1
=
y−3
4
=
z
2
e
6. Calcule a distância D do ponto P0 (1, 2, 3) a reta x = 3 + t, y = 2 + t,
z =1+t .
7. Resolva os seguintes sistemas e represente graficamente sua solução:
8.11
a)

 3x + z = 0
x − 4y + z = −6

−2y − z = −7
b)

 4x + y + z − 9w = 5
6x + 3y − 15w = −3

2x + y + z − 5w = 3
Respostas dos exercı́cios propostos
1.a) (x, y, z) = (3, 0, −2) + t(1, 4, −2)

 x=3+t
y = 4t

z = −2 − 2t
x−3
y
z+2
= =
1
4
−2
{
y = 4x − 12
z = −2x + 4
1.b) (x, y, z) = (3, 0, −2) + t(3, −1, 6)

 x = 3 + 3t
y = −t

z = −2 + 6t
x−3
y
z+2
=
=
3
−1
6
{
x
y =− +1
3
z = 2x − 8
67
1.c) (x, y, z) = (3, 0, −2) + t(2, −2, 5)

 x = 3 + 2t
y = −2t

z = −2 + 5t
x−3
y
z+2
=
=
2
−2
5
{
y = −x + 3
5
19
z = x−
2
2
2. a)
x−2
y+1
z−3
=
=
3
3
−5
b)
x−7
y−3
z+1
=
=
−4
−4
4
x+6
y−6
z+4
=
=
; (6, -2, 0), (3, 0, -1), (0, 2, -2)
18
−12
6
(
)
3 1 5
4.
, ,
4 2 2
√
56
5. São retas reversas, d =
7
√
6. d = 2 2
3.
7. a) (-1, 2, 3)
b)

 x = 1 + 2t
y = −3 + t

z=4
68
9
O PLANO
Um plano pode ser determinado de várias maneiras: por três pontos
não-colineares (figura 9.1 a); por uma reta e um ponto que não pertença a essa reta
(figura 9.1 b) ou por um ponto e uma direção perpendicular a outra especificada
(figura 9.1 c). Novamente, a terceira abordagem é a mais conveniente para nós.
Figura 9.1:
Consideremos um plano que passa por um ponto A(x0 , y0 , z0 ) e é perpendicular a
→
−
−
→
−
→
−
um dado vetor não-nulo →
n = a i + b j + c k . Um outro ponto P (x, y, z) pertence
−→
→
a esse plano se, e somente se, o vetor AP for perpendicular ao vetor −
n , ou seja
Figura 9.2:
Essa é a equação geral ou cartesiana do plano. Note que, a partir
desta expressão, obtemos a equação do plano também escrita na forma
ax + by + cz + d = 0 .
69
−
→
−
→
−
→
→
O vetor −
n = a i + b j + c k = (a, b, c) é chamado vetor normal ao plano.
Observações:
• Se temos um ponto A(x0 , y0 , z0 ) do plano π e dois vetores linearmente
→
→
independentes −
v e−
w , neste plano, então determinamos o vetor normal
ao plano por
−
→
→
→
n =−
v ×−
w.
• Tamém podemos obter a equação vetorial do plano
→
→
P = A + h−
v + t−
w.
• A partir da equação vetorial, análogo ao estudo realizado com retas,
podemos obter as equações paramétricas do plano

 x = x0 + hv1 + tw1
y = y0 + hv2 + tw2

z = z0 + hv3 + tw3
onde h, t ∈ R são chamados de parâmetros.
Exemplo 9.1 : determine: a) a equação do plano que passa por (5, −3, 1) e têm
vetor normal (4, 3, −2);
b) verifique se o ponto P (1, 1, −1) pertence a esse plano;
c) verifique se o ponto P1 (1, 0, 1) pertence a esse plano.
Exemplo 9.2 : determine a equação do plano que passa pelos três pontos P0 (3, 2, −1),
P1 (1, −1, 3) e P2 (3, −2, 4) .
Exemplo 9.3 : escrever a equação geral do plano π que passa pelo ponto A(3, 1, −4)
e é paralelo ao plano π1 : 2x − 3y + z − 6 = 0.
9.1
Condição de paralelismo de dois planos
Se temos dois planos π1 : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 e π2 : a2 x + b2 y +
c2 z + d2 = 0, eles serão paralelos se os seus vetores normais forem paralelos
Exemplo 9.4 : verifique se o plano do exemplo 1 é paralelo ao plano do exemplo
2 e ao plano do exemplo 3.
Exemplo 9.5 :
calcular os valores de m e n para que o plano
π1 : (2m − 1)x − 2y + nz − 3 = 0 seja paralelo ao plano π2 : 4x + 4y − z + d1 = 0.
70
Figura 9.3:
9.2
Condição de perpendicularismo de dois planos
Dados dois planos π1 : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 e
π2 : a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0, eles são perpendiculares se os seus vetores normais
são perpendiculares.
Figura 9.4:
Exemplo 9.6 : determinar m de modo que os planos
β1 : 2mx + 2y − z + d1 = 0 e β2 : 3x − my + 2z − 1 = 0 sejam perpendiculares.
71
9.3
Condição de paralelismo entre reta e plano
Consideremos uma reta r e um plano π definidos, respectivamente, por:
r:
x − x1
y − y1
z − z1
=
=
v1
v2
v3
π : ax + by + cz + d = 0.
→
A reta r é paralela ao plano π se o vetor −
v = (v1 , v2 , v3 ) for ortogonal ao vetor
−
→
n = (a, b, c) , conforme ilustra a figura (9.5).
Figura 9.5:
Exemplo 9.7 : mostrar que a reta r : x = 3t + 1, y = −2t − 1, z = t é paralela ao
plano π : x + 2y + z + 3 = 0.
9.4
Condição de perpendicularismo entre reta e plano
Uma reta r e um plano π definidos, respectivamente, por:
r:
x − x1
y − y1
z − z1
=
=
v1
v2
v3
π : ax + by + cz + d = 0.
−
serão perpendiculares entre si se o vetor diretor da reta →
v = (v1 , v2 , v3 ) for ortogonal
→
−
ao vetor normal do plano n = (a, b, c) , conforme ilustra a figura (9.6).
Exemplo 9.8 : verificar se a reta r :
π : 9x − 6y − 3z + 5 = 0.
9.5
x−2
3
=
y+1
−2
=
z
−1
é perpendicular ao plano
Condições para que uma reta esteja contida num plano
Uma reta r está contida num plano π se:
72
Figura 9.6:
→
→
I) o vetor diretor −
v da reta é ortogonal ao vetor normal −
v do plano π;
II) um ponto A pertencente a r também pertence ao plano.
Observação: outra forma de comprovar se uma reta está contida num plano π é
verificar se dois pontos A e B da reta pertencem também ao plano.
Exemplo 9.9 : determinar os valores de m e n para que a reta

 x=2+t
y =1+t
r:

z = −3 − 2t
esteja contida no plano π : mx + ny + 2z − 1 = 0.
9.6
Intersecção de reta e plano
Se I(x, y, z) é o ponto de intersecção da reta r com o plano π, suas
coordenadas devem verificar tanto a equação da reta, quanto a equação do plano.
Figura 9.7:
73
Assim, tomamos as equações reduzidas da reta, juntamente com a
equação geral do plano e resolvemos o sistema formado pelas três equações :

 y = mx + n
z = px + q

ax + by + cz + d = 0.
Exemplo 9.10 : determine o ponto de intersecção da reta r com o plano π,
y−5
x−1
z+1
definidos por r: 2 = 4 = 6 , π : 3x + 5y − 2z = 9.
9.7
Intersecção de dois planos
Consideremos dois planos não-paralelos:
π1 : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0
π2 : a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0.
A intersecção desses dois planos é uma reta r cujas equações se deseja determinar.
Vejamos uma forma de determinarmos a equação da reta intersecção dos dois planos
através do desenvolvimento de um exemplo.
Exemplo 9.11 : consideremos os planos
π1 : 5x − 2y + z + 7 = 0
π2 : 3x − 3y + z + 4 = 0.
A intersecção dos dois planos é obtida pela solução do sistema
{
5x − 2y + z + 7 = 0
3x − 3y + z + 4 = 0,
que resulta em
{
y = −2x − 3
z = −9x − 13,
que são as equações reduzidas da reta r que intersecciona os dois planos.
A partir das equações reduzidas da reta r, podemos obter as equações
paramétricas tomando x = 0 nas duas equações , obtendo um ponto A(0,
,
).
Usando outro valor de x, por exemplo x = 1, obtemos um outro ponto B( , , ).
Desses dois pontos, obtemos o vetor diretor da reta r:
−→
−
→
v = AB = B − A = (
,
,
)−(
,
,
e assim podemos escrever as equações paramétricas dessa reta:

 x=
y=
r:

z=
)
74
9.8
Exercı́cios propostos
1. Determine a equação do plano que passa pelo ponto A(1, 2, 3) e é perz
pendicular à reta r : x+1
= y − 1 = −1
.
2
2. Escreva a equação geral do plano que contém o ponto A(3, −1, 2) e a
reta r : x = t, y = 2 − t, z = 3 + 2t.
3. Encontre os valores de a e b, de modo que os planos π1 :
4z − 1 = 0 e π2 : 3x − 5y − 2z + 5 = 0 sejam paralelos.
ax + by +
4. Determinar m de modo que os planos π1 : 2mx + 2y − z = 0 e
π2 : 3x − my + 2z − 1 = 0 sejam perpendiculares.
5. Seja o paralelepı́pedo de dimensões 2, 3, 4, representado a seguir. Determinar:
a) as equações da reta que contém o segmento AC;
b) as equações da reta que contém a diagonal OA;
c) as equações dos planos que contém as faces ABCD e ABGF .
Figura 9.8:
6. Dado o plano π : 2x + 4y − z − 4 = 0, determine os pontos de intersecção do plano com os eixos coordenados e a reta intersecção com o
plano XOY .
9.9
Respostas dos exercı́cios propostos
1. π : 2x + y − z − 1 = 0
2. π : x + y − 2 = 0
3. a = -6; b) = 10
4. m = 1/2
75
5. a) x = 2t; y = 4t; z = 3
b) x = 2t; y = 4t; z = 3t
c) z = 3 e y = 4
6. (2, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, -4)
{
z=0
y = − 12 x + 1
76
10
ESPAÇOS VETORIAIS
Nosso estudo abrangeu até agora, matrizes, solução de sistemas lineares,
conjunto R , R3 e dentre eles, retas e planos. Embora estes conjuntos possuam caracterizações distintas, veremos que possuem muitas propriedades em comum e que
poderão ser reunidos num único conjunto, chamado espaço vetorial. Para chegarmos
a este entendimento, nesta unidade, desenvolveremos o conceito de vetor de uma
forma bem ampla, de modo que, por exemplo, soluções de sistemas de equações
lineares, matrizes, funções... também possam ser representados como vetores.
2
10.1
Vetores no Rn
Sabe-se que o conjunto R2 = {(x, y)/x, y ∈ R} é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano. Um par (x, y) pode ser encarado como
um ponto (figura 10.1 a) e, nesse caso, x e y são coordenadas, ou pode ser encarado
como um vetor (figura 10.1 b) e, nesse caso, x e y são componentes.
Figura 10.1:
Essa mesma idéia, em relação ao plano, estende-se para o espaço tridimensional que é a interpretação geométrica do conjunto R3 . Essa mesma extensão é
possı́vel para espaços de dimensão acima de 3, embora se perca a visão geométrica:
R4 , R5 , ..., Rn . Assim, por exemplo, quádruplas de números (x1 , x2 , x3 , x4 ) podem
ser vistas como pontos ou vetores no espaço R4 de quarta dimensão. Então, o espaço
de dimensão n (ou espaço n-dimensional) será constituı́do pelo conjunto de todas as
n-uplas ordenadas e representado por Rn , isto é:
Rn = {(x1 , x2 , x3 , x4 , . . . , xn ); xi ∈ R}.
A maneira de se trabalhar nesses espaços é idêntica a vista em R2 e R3 .
Por exemplo, se u = (x1 , x2 , x3 , x4 , . . . , xn ) e v = (y1 , y2 , y3 , y4 , . . . , yn ) são vetores
no Rn e α é um escalar, define-se:
77
a) u = v, se x1 = y1 ; x2 = y2 ; . . . ;xn = yn
b) u + v = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn )
c) αu = (αx1 , αx2 , αx3 , . . . , αxn )
d) u.v = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + . . . + xn yn
√
√
e) u = u.u = x21 + x22 + x23 + . . . + x2n .
Desde já é bom observar que o vetor u = (x1 , x2 , x3 , x4 , . . . , xn ) aparecerá, às vezes, com a notação matricial (matriz-coluna n × 1):




u=


x1
x2
x3
..
.







xn
Vamos agora transmitir uma idéia nova. Se considerarmos os conjuntos
Rn e M (m, n), que é o conjunto das matrizes de ordem m × n, observaremos que
esses dois conjuntos apresentam uma ”estrutura” comum em relação as operações
de adição e multiplicação por escalar nele definidas.
Exemplo 10.1 : sejam u = (1, 2, 3, 4), v = (−1, −2, −3, −4) ∈ R4 . Verifique que:
a) u + v ∈ R4
b) u + v = v + u.
Exemplo 10.2 : sejam as matrizes A e B definidas abaixo. Verifique que:
a) A + B ∈ M (2, 2)
b) A + B = B + A.
Esse fato não só vale para esses dois conjuntos, mas para muitos outros,
razão porque vamos estudá-los simultaneamente. Esses conjuntos serão chamados
espaços vetoriais. Além disso, veremos que estas não são as únicas caracterı́sticas
que eles têm em comum.
10.2
Definição de espaços vetoriais
Seja um conjunto V, não-vazio, sobre o qual estão definidas as operações
adição e multiplicação por escalar, isto é:
78
∀u, v ∈ V, u + v ∈ V
∀α ∈ R, ∀u ∈ V, αu ∈ V .
O conjunto V com essas duas operações é chamado espaço vetorial real
(ou espaço vetorial sobre R), se forem verificados os seguintes axiomas:
A) Em relação à adição:
A1) (u + v) + w = u + (v + w)
A2) u + v = v + u
A3) ∃0 ∈ V, ∀u, tal que u + 0 = u
A4) ∀u ∈ V, ∃ − u ∈ V , tal que u + (−u) = 0
M) Em relação à multiplicação por escalar:
M1) (αβ)u = α(βu)
M2) (α + β)u = αu + βu
M3) α(u + v) = αu + αv)
M4) 1u = u.
Observações: 1) Os elementos do espaço vetorial V serão chamados
vetores, independentemente de sua natureza. Pode parecer estranho, e à primeira
vista não deixa de ser, o fato de se chamar de vetores os polinômios, as matrizes, os
números e assim por diante. A justificativa está no fato de as operações de adição e
multiplicação por escalar realizadas com esses elementos de natureza tão distintas se
comportarem de forma idêntica, como se estivéssemos trabalhando com os próprios
vetores do R2 ou do R3 .
2) Se na definição de espaços vetoriais tivéssemos tomado para escalares
o conjunto C dos números complexos, V seria um espaço vetorial complexo. Daqui
por diante, salvo referência em contrário, serão considerados somente espaços vetoriais reais.
3) Na definição de espaço vetorial, sempre temos três itens a considerar:
o conjunto, a operação de adição e a operação de multiplicação por escalar.
Exemplo 10.3 : O conjunto V = {(x, y); x, y ∈ R é um espaço vetorial com as
operações de adição e multiplicação por escalar usuais:
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + y1 , x1 + y2 )
α(x1 , y1 ) = (αx1 , αy1 )
79
Exemplo 10.4 : Os conjuntos R3 , R4 , ... , Rn são espaços vetoriais com as
operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Depois de verificados as
oito propriedades de espaço vetorial para o R2 , os mesmos ficam também evidentes
nos conjuntos acima citados.
Exemplo 10.5 : O conjunto M (m, n) das matrizes de ordem m × n, com as
operações usuais de matrizes, é um espaço vetorial. Em particular, o conjunto
M (n, n) das matrizes quadradas, de ordem n, é um espaço vetorial relativamente às
mesmas operações.
Exemplo 10.6 : O conjunto Pn = {an xn +an−1 xn−1 +ldts+a2 x2 +a1 x+a0 ; xi ∈ R}
dos polinômios com coeficientes reais, de grau ≤ n, em relação às operações usuais de
adição de polinômios e multiplicação por escalar é um espaço vetorial. Em particular,
o conjunto P2 = {a2 x2 + a1 x + a0 ; xi ∈ R} é um espaço vetorial relativamente às
mesmas operações.
Exemplo 10.7 : Verifique se o conjunto V = {(x, x2 ), x ∈ R com as operações
definidas por
(x1 , x21 ) ⊕ (x2 , x22 ) = (x1 + x2 , (x1 + x2 )2 )
α(x1 , x21 ) = (αx1 , α2 x21 )
(10.1)
(10.2)
é um espaço vetorial.
10.3
Subespaços vetoriais
Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não-vazio de V. O
subconjunto S é um subespaço vetorial de V se S é um espaço vetorial em relação à
adição e à multiplicação por escalar definidas em V.
Para mostrar que um subconjunto S é um subespaço vetorial de V, deverı́amos testar os oito axiomas de espaço vetorial relativos à adição e à multiplicação
por escalar. No entanto, como S é parte de V, que já se sabe ser um espaço vetorial, não há necessidade da verificação de certas propriedades. O teorema seguinte
estabelece as condições para que um subconjunto S de um espaço vetorial V seja
um subespaço vetorial de V.
Teorema: Um subconjunto S, não-vazio, de um espaço vetorial V é
um subespaço vetorial de V se estiverem satisfeitas as condições:
I) Para quaisquer u, v ∈ S, tem-se u + v ∈ S.
II) Para quaisquer α ∈ R, u ∈ S, tem-se αu ∈ S.
80
Exemplo 10.8 : Sejam V = R2 e S = {(x, y) ∈ R2 ; y = 2x}, isto é, S é o conjunto
dos vetores do plano que têm a segunda componente igual ao dobro da primeira.
Verifique que S é um subespaço vetorial de V e represente geometricamente esse
subespaço no plano (uma reta que passa pela origem).
Exemplo 10.9 : Verifique que o conjunto S = {(x, y) ∈ R2 ; y = 4 − 2x} não é um
subespaço vetorial do R2 .
Exemplo 10.10 : Verifique que o conjunto S = {(x, |x|) ∈ R2 ; x ∈ R}, não é um
subespaço vetorial do R2 .
Exemplo 10.11 : Sejam V o espaço vetorial das matrizes de ordem 2 × 2 e S o
conjunto das matrizes de ordem 2 × 2, cujos elementos da segunda linha são nulos.
Verifique que S é um subespaço vetorial de V.
10.4
Combinação linear
Vamos comentar agora, uma das caracterı́sticas mais importantes de
um espaço vetorial, que é a obtenção de novos vetores a partir de vetores dados.
Sejam os vetores v1 , v2 , v3 , . . . , vn do espaço vetorial V e os escalares
a1 , a2 , a3 , . . . , an . Qualquer vetor v ∈ V da forma:
v = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 + . . . + an vn
é uma combinação linear dos vetores v1 , v2 , v3 , . . . , vn .
Exemplo 10.12 : Considere os vetores v1 = (1, −3, 2) e v2 = (2, 4, −1). Escreva o
vetor w como combinação linear de v1 e v2 da seguinte forma
w = −2v1 + 3v2 .
Exemplo 10.13 : Considere os vetores v1 = (1, −3, 2) e v2 = (2, 4, −1). Escreva o
vetor w = (−4, −18, 7) como combinação linear dos vetores v1 e v2 .
Exemplo 10.14 : Considere os vetores v1 = (1, −3, 2) e v2 = (2, 4, −1). Determine
o valor de k para que o vetor u = (−1, k, 7) seja combinação linear de v1 e v2 .
10.5
Subespaços gerados
Fixado um conjunto de vetores {v1 , v2 , v3 , . . . , vn }, estamos interessados em fazer todas as combinações lineares possı́veis com estes vetores e determinar
81
o conjunto formado por estas combinações. Este novo conjunto será chamado subespaço gerado por esses vetores.
Exemplo 10.15 : determinar o espaço gerado pelos vetores (1, 0) e (0, 1).
Solução: como esses vetores são do plano (R2 ), vamos obter vetores da
forma (x, y) que serão resultado da combinação linear desses dois vetores
(x, y) = a(1, 0) + b(0, 1)
(x, y) = (a, b)
x=a
y=b
(10.3)
Conclusão: como a, b são números reais quaisquer, os vetores geram todo o R2 .
Exemplo 10.16 : Seja V = R3 .
v1 = (1, 2, 3).
Determinar o subespaço gerado pelo vetor
Solução: como esse vetor é do espaço (R3 ), vamos obter vetores da forma (x, y, z)
que serão resultado da combinação linear usando esse vetor
(x, y, z) = a(1, 2, 3)
Resolvendo esse sistema, encontramos as soluções
x =a
y = 2a
z = 3a.
Substituindo o valor de a = x, encontramos y = 2x; z = 3x. Assim o subespaço
gerado por v1 é da forma
[v1 ] = {(x, y, z) ∈ R3 ; y = 2xez = 3x}
ou
[v1 ] = {(x, 2x, 3x), x ∈ R}
Conclusão: o subespaço gerado por v1 é uma reta que passa pela origem.
Exemplo 10.17 : Seja V = R3 . Determinar o subespaço gerado pelos vetores
v1 = (1, −2, −1) e v2 = (2, 1, 1).
Resposta: o subespaço gerado por esses vetores é um plano que passa pela origem:
[v1 , v2 ] = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + 3y − 5z = 0}
Exemplo 10.18 : mostrar que o conjunto A = {(3, 1), (5, 2)} gera o R3 .
82
10.6
Dependência e independência linear
Observamos, nos exemplos anteriores, que alguns conjuntos podem ser
geradores de outros. Prosseguindo nosso estudo, temos interesse em encontrar conjuntos geradores que sejam o menor possı́vel. Para a determinação desse conjunto
gerador, que chamaremos de base, utilizaremos a noção de dependência e independência linear, já vistas anteriormente para vetores do R2 e do R3 .
10.6.1
Definição de independência linear
Sejam V um espaço vetorial e A = {v1 , v2 , v3 , v4 , . . . , vn } ⊂ V um
conjunto. Consideremos a equação a1 v1 +a2 v2 +a3 v3 +a4 v4 +. . .+an vn = 0. Se esta
equação tem como solução somente os valores a1 = a2 = a3 = a4 = . . . = an = 0,
dizemos que o conjunto A é linearmente independente (LI).
Se existir pelo menos um ai ̸= 0, dizemos então que o conjunto de
vetores é linearmente dependente (LD).
Exemplo 10.19 : No espaço vetorial R3 , os vetores v1 = (2, −1, 3), v2 = (−1, 0, −2)
e v3 = (2, −3, 1) formam um conjunto linearmente dependente. Verifique.
Exemplo 10.20 : Verifique se os vetores v1 = (2, 2, 3, 4), v2 = (0, 5, −3, 1) e
v3 = (0, 0, 4, −2) são linearmente dependentes ou linearmente independentes.
Exemplo 10.21 : verifique que no espaço vetorial R2 , os vetores e1 = (1, 0),
e2 = (0, 1) são linearmente independentes, mas os vetores e1 , e2 e v = (1, 1) são
linearmente dependentes.
Exemplo 10.22 : no espaço vetorial M (2, 2), verifique se o conjunto é linearmente
independente:
{[
A=
−1 2
−3 1
]
[
,
2 −3
3 0
]
[
,
3 −4
3 1
]}
Exemplo 10.23 : No espaço vetorial C[0, 1], das funções contı́nuas no intervalo
[0, 1], verifique se o conjunto {sen t, cos t} é LD ou LI.
10.6.2
Verificação de dependência linear no R3
Pode-se observar que se A é um conjunto linearmente dependente, então
um vetor de A é combinação linear dos outros. Esse resultado nos permite concluir
83
uma condição que nos ajuda a verificar se um conjunto de vetores é LD: ”um conjunto
A de vetores é LD se, e somente se, pelo menos um de seus vetores é combinação
linear dos outros”.
Para o caso particular de dois vetores, podemos dizer que eles são LD
se, e somente se, um vetor é múltiplo escalar do outro, ou seja, a razão entre suas
coordenadas dá sempre uma mesma constante.
Por exemplo, os vetores v1 = (1, −2, 3) e v2 = (2, −4, 6) são LD, pois
1
−2
3
=
= .
2
−4
6
Já para o caso de três vetores, eles são LD se forem coplanares, ou seja,
−
→
→
(→
u ,−
v ,−
w ) = 0.
Exemplo 10.24 : verifique se os conjuntos a seguir são LI ou LD:
a) {(2, −1), (1, 3)} ⊂ R2
b) {(12, −4, 3), (3, −1, 4/3)} ⊂ R3
c) {(−1, 3, 5), (2, −1, 3), (−2, 6, 10)}
Na figura a seguir, apresentamos uma interpretação geométrica da dependência linear de dois e três vetores no R3 . Observamos que dois vetores LD são
colineares, ou seja, estão representados na mesma reta que passa pela origem. No
caso de três vetores, se eles são LD, são coplanares.
Figura 10.2:
84
10.7
Base de um espaço vetorial
Estamos interessados em investigar se dado um conjunto, ele é suficiente
para gerar um espaço vetorial, ou seja, fazendo combinação linear desses vetores
podemos descrever todos os outros elementos que compõem esse espaço vetorial. Se
este conjunto tiver estas caracterı́sticas, dizemos que ele é uma base do espaço
vetorial. Assim um conjunto B = {v1 , v2 , v3 , . . . , vn } ⊂ V é uma base do espaço
vetorial V se:
I) Bé LI;
II) B gera V.
Exemplo 10.25 : Verifique se B = {(1, 1), (−1, 0)} é uma base do R2 .
Exemplo 10.26 : Verifique que B = {(1, 0), (0, 1)} é uma base do R2 .
Exemplo 10.27 : Verifique se B = (1, 2, 1), (−1, −3, 0) é uma base do R3 .
10.8
Dimensão de um espaço vetorial
Seja V um espaço vetorial. Se V possui uma base com n vetores, então
V tem dimensão n e denota-se dim V = n. Assim, a dimensão de um espaço vetorial
expressa o número de vetores que sua base possui.
Exemplo 10.28 : dim R2 = 2, pois toda base do R2 tem dois vetores. Expresse a
base canônica desse espaço e alguns vetores como combinação linear dessa base.
Exemplo 10.29 : dim Rn = n. Expresse a base canônica desse espaço vetorial.
Exemplo 10.30 : dim M(2, 2) = 4. Expresse a base canônica desse espaço.
Observações:
1. Se V não possui base, dizemos que dim V = 0.
2. Se V não é gerado por um conjunto finito, então dizemos que é de dimensão
infinita.
Exemplo 10.31 : O conjunto {1, t, t2 } é uma base para o espaço vetorial dos polinômios de grau 2, P2 . Já o espaço vetorial P, de todos os polinômios é de dimensão
infinita.
85
3. Se V é um espaço vetorial tal que dim V = n e se S é um subespaço de V, então
dim S deve ser menor ou igual a de v: dim S ≤ dim V. No caso de dim S = n,
tem-se S = V.
Exemplo 10.32 : para permitir uma interpretação geométrica, consideremos o
espaço tridimensional R3 . A dimensão desse espaço é três. Assim, qualquer subespaço dele só poderá ter dimensão 0, 1, 2 ou 3. Portanto, temos os seguintes casos:
I) dim S = 0, então S = {0} é a origem.
II) dim S = 1, então S é uma reta que passa pela origem.
III) dim S = 2, então S é um plano que passa pela origem.
IV) dim S = 3, então S é o próprio R3 .
Exemplo 10.33 : Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Então qualquer subconjunto de V com mais de n vetores é LD.
Observação: às vezes, temos a necessidade de identificar rapidamente
a dimensão de um espaço vetorial. E, uma vez conhecida a dimensão, obtém-se
facilmente uma base desse espaço. Uma forma prática para determinar a dimensão
de um espaço vetorial é verificar o número de variáveis livres de seu vetor genérico.
Esse número é a dimensão do espaço.
Exemplo 10.34 : determinar a dimensão e uma base
S = {(x, y, z) ∈ R3 ; 2x + y + z = 0}.
do
espaço vetorial
Solução: escrevendo z (poderia ser x ou y), em função de x ou y, temos
z = −2x − y
onde x e y são as variáveis livres. Então a dimensão desse espaço é dois.
Vamos agora determinar uma base para este espaço. Já sabemos que
esta base deve ter dois vetores (pois dim V = 2). Qualquer vetor (x, y, z) tem a
forma (x, y, −2x − y), que podemos escrever colocando em evidência cada variável
livre, nos caso, x e y:
(x, y, z) = (x, y, -2x - y) = x(1, 0, -2) + y(0, 1, -1)
assim, todo vetor de S é combinação linear dos vetores (1, 0, −2) e (0, 1, −1). Como
esses dois vetores geradores são LI (verifique!), esse conjunto de vetores forma uma
base do espaço S: B = {(1, 0, −2), (0, 1, −1)}.
86
10.9
Componentes de um vetor
Seja B = {v1 , v2 , v3 , . . . , vn } uma base de V . Tomemos v ∈ V sendo:
v = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 + . . . + an vn .
Os números a1 , a2 , a3 , . . . , an são chamados componentes ou coordenadas de v
em relação à base B e representamos por
vB = (a1 , a2 , a3 , . . . , an ).
Exemplo 10.35 : No R2 , consideremos as bases A = {(1, 0), (0, 1)}, B = {(2, 0), (1, 3)}
→
e C = {(1, −3), (2, 4)}. Escreva as coordenadas do vetor −
v = (8, 6) em relação a
essas bases.
10.10
Exercı́cios Propostos
Verificar quais dos conjuntos são espaços vetoriais. Para aqueles que
não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.
1. V = R3 = {(x, 2x, 3x); x ∈ R} com as operações usuais.
2. V = R2 = {(x, y); x, y ∈ R} com as operações de adição e multiplicação
por um número real definidas a seguir:
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 )
α(x1 , y1 ) = (α2 x1 , α2 y1 ).
3. V = R2 = {(x, y); x, y ∈ R} com as operações de adição e multiplicação
por um número real definidas a seguir:
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 , y1 )
α(x1 , y1 ) = (αx1 , αy1 ).
4. V = R2 = {(x, y); y = 5x} com as operações usuais.
Verificar quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais do R2 ,
relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
5. S = {(x, y); y = −x}
6. S = {(x, y); y = x + 1}
7. S = {(x, y); 3y + x = 0}
8. S = {(x, y); x = y 2 }
87
9. Sejam os vetores u = (2, −3, 2) e v = (−1, 2, 4) em R3 .
a) Escrever o vetor w = (7, −11, 2) como combinação linear dos
vetores dados u e v.
b) Para que valor de k o vetor (−8, 14, k) é combinação linear dos
vetores u e v.
10. Expressar o vetor u = (−1, 4, −4, 6) ∈ R4 como combinação linear dos
vetores v1 = (3, −3, 1, 0), v2 = (0, 1, −1, 2) e v3 = (1, −1, 0, 0).
11. Determinar os subespaços do R3 gerados pelos seguintes conjuntos:
a) A = {(2, −1, 3)}
b) A = {(−1, 3, 2), (2, −2, 1)}
c) A = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (−1, 1, 0)}
d) A = {(1, 2, −1), (−1, 1, 0), (−3, 0, 1), (−2, −1, 1)}
12. Mostrar que os vetores v1 = (2, 1) e v2 = (1, 1) geram o R2 .
13. Mostrar que os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (0, 0, 1) geram
o R3 .
14. Classificar os seguintes subconjuntos em linearmente independentes (LI)
ou linearmente dependentes(LD):
a) {(2, −1), (3, 5)}
b) {(1, 0), (−1, 1), (3, 5)}
c) {(1, −1, 1), (−1, 1, 1)}
d) {(2, −1, 0), (−1, 3, 0), (3, 5, 0)}
15. Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do
espaço R2 :
a) {(1, 2), (−1, 3)}
b) {(3, −6), (−4, 8)}
c) {(0, 0), (2, 3)}
d) {(3, −1), (2, 3)}
16. Verificar se os seguintes conjuntos de vetores formam uma base do R3 :
a) {(1, 1, −1), (2, −1, 0), (3, 2, 0)}
b) {(1, 0, 1), (0, −1, 2), (−2, 1, 4)}
c) {(2, 1, −1), (−1, 0, 1), (0, 0, 1)}
d) {(1, 2, 3), (4, 1, 2)}
88
17. Seja V = R3 e o conjunto B = {(0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 2, 1)} ⊂ R3 .
a) Mostrar que B não é base do R3 .
b) Determinar uma base do R3 que possua dois elementos de B.
18. No espaço vetorial R3 , consideremos a base B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, −1, 1)}.
Determinar o vetor coordenada de v ∈ R3 em relação à base B se
a) v = (2, −3, 4)
b) v = (3, 5, 6).
19. Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaçoes
vetoriais:
a) V = {(x, y) ∈ R2 ; x + y = 0}
b) V = {(x, y, z) ∈ R3 ; x = 3y e z = −y}
c) V = {(x, y, z) ∈ R3 ; 2x − y + 3z = 0}
20. Encontrar uma base e a dimensão do espaço-solução do sistema:
a)

 x + 2y − 2z − t = 0
2x + 4y + z + t = 0

x + 2y + 3z + 2t = 0
b)

 x − 2y − z = 0
2x + y + 3z = 0

x + 3y + 4z = 0
c)
10.11
{
x + y − 2z + t = 0
2x + 2y − 4z + 2t = 0
Respostas dos exercı́cios propostos
1. É um espaço vetorial.
2. Não é um espaço vetorial.
3. Não é um espaço vetorial.
4. É um espaço vetorial.
5. É subespaço vetorial.
6. Não é subespaço vetorial.
7. É subespaço vetorial.
89
8. Não é subespaço vetorial.
9. a) w = 3u − v
b) k = 12
10. u = −v1 + 3v2 + 2v3
11. a) [v1 ] = {(x, y, z) ∈ R3 ; x = −2y; z = −3y}
b) [v1 , v2 ] = {(x, y, z) ∈ R3 ; 7x + 5y − 4z = 0}
c) [v1 , v2 , v3 ] = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y − z = 0}
d) [v1 , v2 , v3 , v4 ] = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y + 3z = 0}
12. (x, y) = (x − y)v1 + (2y − x)v2
13. (x, y, z) = (x − y)xv1 + (y − x)v2 + (z − y)v3
14. a) LI b) LD c)LI d) LD
15. a) base; b) não é base; c) não é base; d) base
16. a) base;
b) base; c) base; d) não é base, tem dimensão dois.
17. a) Vetores são LD
b) Procurar w tal que w ̸= av1 + bv2 , por exemplo, w = (0, 0, 1)
18. a) vB = (−2, 1, 4)
b) vB = (−3, 11, 6)
19. a) dim = 1; B = {(1, −1)}
b) dim = 1; B = {( 3, 1, −1)}
c) dim = 2; B = {(1, 2, 0), (0, 3, 1)}
20. a) dim = 2; B = {(−2, 1, 0, 0), (−1/5, 0, −3/5, 1)}
b) dim = 1; B = {(−1, −1, 1)}
c) dim = 3; B = {(−1, 1, 0, 0), (2, 0, 1, 0), (−1, 0, 0, 1)}
90
11
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Agora que já entendemos um espaço vetorial como um conjunto que
possui determinadas propriedades, podemos pensar em relações, funções que associem os elementos desse conjunto, como por exemplo, uma função T : V → W , que
associa elementos de um conjunto vetorial V a elementos de um conjunto vetorial
W . De forma mais geral, veremos que tais funções determinarão o que chamaremos
de transformações e, dentre estas, estamos interessados, inicialmente, em estudar as
que poderão ser classificadas como transformações lineares.
11.1
Definição de Transformação Linear
Para introduzirmos esta definição, tomemos como exemplo, uma função
linear. As funções lineares descrevem o tipo mais simples de dependência entre
variáveis e muitos problemas podem ser representados por tais funções.
Exemplo 11.1 : Considerando que de um quilograma de soja são extraı́dos 0,2
litros de óleo, para uma produção qualquer de x kg de soja, podemos escrever, na
forma de função, que a quantidade Q de óleo extraı́do será de
Q = 0, 2x.
Neste exemplo simples, podemos analisar duas caracterı́sticas importantes, que são mostradas nos cálculos a seguir.
1a ) Calcule a produção de óleo fornecida por
a) x1 = 10 kg de soja;
b) x2 = 40 kg de soja;
c) x1 + x2 , ou seja, 50 kg de soja.
Para resolver o item (c), poderı́amos ter calculado de duas maneiras
diferentes, obtendo o mesmo resultado:
Q(50) = Q(10) + Q(40), ou seja
Q(x1 + x2 ) = Q(x1 ) + Q(x2 ).
2a ) Calcule a produção de óleo se x3 = 20 kg de soja.
Aqui também poderı́amos ter resolvido de duas maneiras:
91
Q(20) = 2Q(10), ou seja,
Q(kx3 ) = kQ(x3 )
Esse resultado nos mostra que se multiplicamos a variável por um fator k, a função
fica multiplicada por esse mesmo fator.
Estas duas propriedades, que neste caso são óbvias, servirão para caracterizar o que denominaremos transformações lineares entre espaços vetoriais.
Definição: Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação
linear (aplicação linear) é uma função de V em W , T : V → W , que satisfaz as
seguintes condições:
i) quaisquer que sejam u e v em V ,
T (u + v) = T (u) + T (v);
ii) quaisquer que sejam k ∈ R e v ∈ V ,
T (kv) = kT (v).
Exemplo 11.2 : A quantidade em litros de óleo extraı́da por quilograma de cereal,
segundo um determinado processo, pode ser descrita pela tabela
Soja
Óleo (l) 0,2
Milho
0,06
Algodão Amendoim
0,13
0,32
A quantidade total de óleo produzido por x kg de soja, y kg de milho,
z kg de algodão e w kg de amendoim é então dada por


x
[
]  y 


Q = 0, 2 0, 06 0, 13 0, 32
 z  = 0, 2x + 0, 06y + 0, 13z + 0, 32w.
w
Formalmente, estamos trabalhandocom a função Q : A ⊂ R4 → R




x
x
 y 
[
]  y 


 7→ 0, 2 0, 06 0, 13 0, 32

 z 
 z .
w
w
Verifique que Q(x) é uma transformação linear.
Tome u = (x1 , y1 , z1 , w1 ), v = (x2 , y2 , z2 , w2 ) e compare os resultados
de Q(u + v) e Q(u) + Q(v). Também compare Q(αu) e αQ(u)
92
Exemplo 11.3 : Seja F : R → R, definida por F (u) = u2 , ou u → u2 . Verifique se
F é uma transformação linear.
Exemplo 11.4 : Considere F : R2 → R3 ,

2

F (x, y) = 0
1
definida por

[ ]
0
x

0
y
1
ou seja, F (x, y) =
Verifique se F é uma transformação linear.
Exemplo 11.5 : Sejam V = W = Pn (polinômios de grau ≤ n) e D : Pn → Pn , a
aplicação derivada
f 7→ f ′
que a cada polinômio f associa a sua derivada, que é também um polinômio (com
um grau a menos). Como para quaisquer funções deriváveis,
D(f + g) = D(f ) + D(g)
D(kf ) = kD(f )
então D é uma tranformação linear.
Exemplo 11.6 : Seja V = Rn , W = Rm e A uma matriz m × n. Definimos
LA : Rn → Rm por



LA (v) = A. 

x1
x2
..
.








=

xn
y1
y2
..
.





ym
Das propriedades de matrizes, segue-se que LA é uma transformação
linear. Como caso particular, tomemos


2 −1
A =  0 1 .
1 0
Assim, LA (v) = (2x − y, y, z) é uma transformação linear.
93
OBSERVAÇÃO: Decorre da definição, que uma transformação linear T : V → W
leva o vetor nulo de V no vetor nulo de W , isto é, T (0) = 0.
Isto nos ajuda a verificar se as transformações não são lineares, pois se
T (0) ̸= 0, então T não é linear.
CUIDADO:
T (0) ̸= 0 ⇒ T não é linear
T (0) = 0 ⇒ T pode ou não ser linear
Exemplo 11.7 : Verifique se T : R3 → R2 , é uma transformação linear, onde
T (x, y, z) = (x + 1, y, z).
11.2
Transformações do Plano no Plano
Aqui vamos apresentar algumas transformações lineares T : R2 → R2 ,
por isso denominados transformações do plano no plano.
11.2.1
Expansão (ou contração) uniforme
São transformações da forma T (v) = αv, que levam cada vetor do plano
num vetor de mesma direção de v, mas de módulo maior.
Figura 11.1:
Exemplo 11.8 : T (x, y) = 2(x, y).
Observe que, escrevendo na forma de vetores-coluna,
[ ]
[ ]
x
x
7→ 2
y
y
94
ou
[
x
y
]
[
7→
2 0
0 2
][
x
y
]
.
1
Se tomássemos F (x, y) = (x, y), F seria ma contração.
2
11.2.2
Reflexão em torno do eixo x
Neste caso, T (x, y) = (x, −y)
Figura 11.2:
e na forma matricial, terı́amos
[ ]
x
y
11.2.3
[
7→
][
x
y
]
.
Reflexão em torno da origem
Temos T (x, y) = (−x, −y) (observe figura 11.3), ou na forma matricial
[ ]
[
][ ]
x
x
7→
.
y
y
11.2.4
Rotação de um ângulo
Observamos na figura 11.4 que inicialmente, o vetor v, de coordenadas
(x, y), forma um ângulo α com o eixo x. Se realizarmos uma rotação nesse vetor
de um ângulo θ, no sentido anti-horário, o vetor forma um ângulo α + θ com o
eixo x e fica agora com novas coordenadas (x′ , y ′ ). Estas novas coordenadas é que
determinam a transformação realizada.
95
Figura 11.3:
Figura 11.4:
Para chegarmos nas expressões que determinam x′ e y ′ , notamos que
x
⇒ x = r cos α e
r
y
senα = ⇒ y = r senα.
r
cos α =
Da mesma forma:
cos(α + θ) =
x′
⇒ x′ = r cos(α + θ),
r
y′
⇒ y ′ = r senα.
sen(α + θ) =
r
Usando as relações
cos(α + θ) = cos α cos θ − senα senθ,
sen(α + θ) = senα cos θ + cos α sen θ
e substituindo as expressões para x e y, obtemos finalmente que
x′ = x cos θ − y sen θ,
96
y ′ = y cos θ + x senθ
ou seja, essa transformação linear pode ser escrita como
Rθ (x, y) = (x cos θ − ysen θ, y cos θ + xsenθ),
ou na forma matricial
[
Rθ (x, y) =
cos θ −senθ
senθ cos θ
] [
x
y
]
.
π
Exemplo 11.9 : Para o caso particular onde θ = , determine a matriz da trans2
formação e a expressão para Rθ .
11.2.5
Cisalhamento horizontal
É uma transformação linear da forma T (x, y) = (x + αy, y), α ∈ R, ou
na forma matricial
[ ]
[
][ ]
x
x
7→
.
y
y
Figura 11.5:
Exemplo 11.10 : Considerando a transformação T (x, y) = (x + 2y, y), represente
graficamente T (1, 2) e T (2, 1).
Exemplo 11.11 : A translação T (x, y) = (x + a, y + b), para a, b ̸= 0, não é uma
transformação linear. Verifique, por exemplo, para o caso onde
T (x, y) = (x + 1, y + 2).
97
11.3
Conceitos e teoremas
Nesta seção, apresentaremos definições e resultados que estruturam o
estudo de transformações lineares.
Teorema: Sejam V e W dois espaços vetoriais reais e {v1 , v2 , . . . , vn } uma base
de V . Se w1 , w2 , . . . , wn são elementos arbitrários de W , então existe uma única
aplicação linear T : V → W , tal que T (v1 ) = w1 , T (v2 ) = w2 ,. . ., T (vn ) = wn . Esta
aplicação é dada por
T (v) = a1 T (v1 ) + a2 T (v2 ) + . . . + an T (vn )
= a1 w1 + a2 w2 + . . . + an wn
Exemplo 11.12 : Qual é a transformação linear T : R2 → R3 tal que
T (1, 0) = (2, −1, 0) e T (0, 1) = (0, 0, 1) ?
→
−
−
→
Temos neste caso, i = (1, 0) e j = (0, 1) base de R2 e w1 = (2, −1, 0)
e w2 = (0, 0, 1). Escrevemos o vetor arbitrário v = (x, y) como combinação linear
da base
v = x(1, 0) + y(0, 1)
e depois substituimos na transformada
T (v) = T (x(1, 0) + y(0, 1))
−
→
−
→
= xT ( i ) + yT ( j )
= x(2, −1, 0) + y(0, 0, 1)
= (2x, −x, y)
Então a transformação linear que toma vetores do R2 e os leva em
vetores do R3 , é da forma T (x, y) = (2x, −x, y).
Exemplo 11.13 : Qual é a transformação linear T : R2 → R3 tal que
T (1, 1) = (3, 2, 1) e T (0, −2) = (0, 1, 0) ?
Aqui, observamos que não estamos trabalhando com a base canônica,
então temos que determinar as componentes da combinação linear
(x, y) = a(1, 1) + b(0, −2),
de onde obtemos a = x e b =
x−y
.
2
98
Assim
x−y
(0, −2))
2
x−y
= xT (1, 1) +
T (0, −2)
2
= x(3, 2, 1) + y(0, 1, 0)
= (3x, 2x + y, x)
T (v) = T (x(1, 1) +
Então a transformação linear que toma vetores do R2 e os leva em
vetores do R3 , é da forma T (x, y) = (3x, 2x + y, x).
Definição: Seja T : V → W uma aplicação linear. A imagem de T é o conjunto
dos vetores w ∈ W tais que existe um vetor v ∈ V , que satisfaz T (v) = w, ou seja
Im(T ) = {w ∈ W ; T (v) = w, para algum v ∈ V }
Observe que Im(T ) é um subconjunto de W e, além disso, é um subespaço vetorial de W .
Definição: Seja T : V → W uma transformação linear. O conjunto de todos os
vetores v ∈ V tais que T (v) = 0 é chamado de núcleo de T , sendo denotado por
ker(T ):
ker(T ) = {v ∈ V ; T (v) = 0}.
O conjunto ker(T ) também é um subespaço vetorial de V .
Exemplo 11.14 : Determine o núcleo e a imagem da transformação linear
T : R2 → R, definida por
(x, y) → x + y.
a) Neste caso, temos
ker(T ) = {(x, y) ∈ R2 ; x + y = 0},
ou seja, são todos os pontos da reta y = −x e assim podemos também escrever
ker(T ) = {(x, −x); x ∈ R} = {x(1, −1); x ∈ R} = [(1, −1)].
b) Im(T ) = R, pois para w = x + y ∈ R, sempre existe um vetor em
R , digamos v = (w, 0) de forma que T (v) = w.
2
Exemplo 11.15 : Determine o núcleo e a imagem da transformação linear
T : R3 → R3 , definida por
T (x, y, z) = (x, 2y, 0).
99
a) A imagem de T é
Im(T ) = {(x, 2y, 0); x, y ∈ R}
= {x(1, 0, 0) + y(0, 2, 0); x, y ∈ R}
= [(1, 0, 0), (0, 2, 0)]
Observe que dimIm(T ) = 2.
b) O núcleo de T é dado por
ker(T ) =
=
=
=
=
{(x, y, z); T (x, y, z) = (0, 0, 0)}
{(x, y, z); (x, 2y, 0) = (0, 0, 0)}
{(0, 0, z); z ∈ R}
{z(0, 0, 1); z ∈ R}
[(0, 0, 1)]
Observe que dimKer(T ) = 1.
Definição: Dada uma transformação T : V → W , diremos que T é injetora se
dados u, v ∈ V , com u ̸= v, então T (u) ̸= T (v).
Definição: Dada uma transformação T : V → W , diremos que T é sobrejetora se
a imagem de T coincidir com W , ou seja T (V ) = W .
Definição: Quando uma transformação T : V → W for injetora e sobrejetora, ao
mesmo tempo, dá-se o nome de isomorfismo. Quando há uma tal transformação
entre dois espaços vetoriais dizemos que estes são isomorfos. Sob o ponto de vista
de Álgebra Linear, espaços vetoriais isomorfos são, por assim dizer, idênticos.
O próximo resultado será útil para identificarmos se uma transformação
é injetora.
Teorema: Seja T : V → W uma transformação linear.
Então ker(T ) = {0} se, e somente se, T é injetora.
Observação:
• Esse teorema afirma que a aplicação linear injetora só tem o vetor nulo
no seu núcleo.
• Uma consequência desse teorema é que a transformação linear injetora
leva vetores LI em vetores LI.
Exemplo 11.16 : Dada a transformação linear T : R → R2 , T (x) = (x, 0).
100
a) Verifique se T é injetora.
Teorema: Seja T : V → W uma aplicação linear. Então
dim ker(T ) + dim Im(T ) = dim V .
Decorre desta proposição dois resultados:
Corolário: Se dim V = dim W , então T é injetora se, e somente se, T é sobrejetora.
Corolário: Seja T : V → W uma aplicação linear injetora. Se dim V = dim W ,
então T leva base em base.
Exemplo 11.17 : A transformação linear T : R → R2 , definida por T (x) = (x, 0)
é injetora, mas não é sobrejetora.
De fato, para x, y ∈ R, de forma que x ̸= y, temos (x, 0) ̸= (y, 0), ou
seja, T (u) ̸= T (v). Mas T não é sobrejetora, pois Im(T ) = {(x, 0); x ∈ R} = [(1, 0)],
logo dim Im(T ) = 1 ̸= dim R2 = 2.
Exemplo 11.18 : Verifique que a transformação T : R2 → R, definida por
(x, y) → x + y, é sobrejetora, mas não é injetora.
Exemplo 11.19 : Verifique que a transformação linear T : R3 → R3 , definida por
T (x, y, z) = (x, 2y, 0), não é nem injetora, nem sobrejetora.
Exemplo 11.20 : Seja T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (x − 2y, z, x + y).
a) Mostre que T é um isomorfismo.
Como V = W = R3 , então dim V = dim W = 3 e assim, pelos resultados anteriores, para mostrarmos que T é um isomorfismo, basta mostrar que T é
injetora. Isto equivale a mostrar que ker T = {(0, 0, 0)}.
Mas ker T = {(x, y, z); T (x, y, z) = (0, 0, 0)} e
T (x, y, z) = (0, 0, 0) se, e somente se
(x − 2y, z, x + y) = (0, 0, 0).
Resolvendo o sistema linear resultante dessa igualdade de vetores, obtemos que x = y = z = 0 é a única solução e portanto T é injetora.
b) Verifique, utilizando a base canônica, que T leva base em base.
Calcule T (1, 0, 0); T (0, 1, 0); T (0, 0, 1) e verifique se os vetores resultantes formam uma base para o R3 .
101
11.4
Autovalores e autovetores
Dada uma transformação linear de um espaço vetorial nele mesmo,
T : V → V , gostarı́amos de saber que vetores seriam levados em um múltiplo
deles mesmos por esta transformação, isto é, quais são os vetores v ∈ V tais que
T (v) = λv?
As transformações lineares da forma T : V → V , ou seja, de um espaço
vetorial nele mesmo, são normalmente chamadas de operadores lineares, designação
que também utizaremos a partir de agora.
Definição: Seja T : V → V um operador linear. Se existirem v ∈ V , v ̸= 0 e
λ ∈ R tais que T v = λv, dizemos que λ é um autovalor de T e v um autovetor de T
associado a λ.
Como v = 0 satisfaz a equação para todo λ, estaremos interessados em
determinar vetores v ̸= 0 satisfazendo a condição acima. Observe, no entanto, que
λ pode ser o número zero.
Exemplo 11.21 : Seja F : R2 → R2 ; F (x, y) = (x, −y). Queremos determinar
vetores v = (x, y) e números λ, tais que
F (v) = λv
Assim, substituindo a expressão do operador linear e do vetor v, temos
(x, −y) = λ(x, y)
de onde obtemos
{
x = λx
−y = λy
que só é possı́vel se x = 0 e λ = −1. Então o autovalor é λ = −1 e o seu autovetor
associado é da forma (o, y).
11.5
Autovalores e autovetores de uma matriz
No exemplo anterior, se tivéssemos escrito a transformação linear
F : R → R , F (x, y) = (x, −y), na forma matricial, terı́amos uma matriz quadrada
A de segunda ordem
[
]
1 0
A=
0 −1
2
2
para o qual a equação A.v = λv, teria como solução o autovalor λ = −1 e os
autovetores da forma v = (0, y). Dizemos assim que λ é um autovalor e v um
autovetor de A.
102
De forma geral, dada uma matriz quadrada A, de ordem n, estaremos
entendendo por autovalor e autovetor de A, autovalor e autovetor da transformação
linear T : Rn → Rn , associada à matriz A em relação à base canônica, isto é,
TA (v) = A.v (na forma coluna).
11.6
Polinômio caracterı́stico
Observamos, nos exemplos da seção anterior, que se nos basearmos
nas definições de autovalor e autovetor para calculá-los, estaremos adotando um
procedimento muito complicado. Por isto vamos procurar um método prático para
encontrar autovalores e autovetores de uma matriz real A de ordem n. Façamos um
exemplo para o caso em que n = 3 e, em seguida, generalizemos para n qualquer.
Exemplo 11.22 :

4 −2 0
A =  −1 1 0 
0
1 2

Procuramos vetores v ∈ R3 e escalares λ ∈ R tais que A.v = λv. Observe que se
I for a matriz identidade de ordem 3, então a equação acima pode ser escrita na
forma A.v = (λI)v, ou ainda
(A − λI)v = 0.
Escrevendo

4 2
 −1 1
0 1
explicitamente


  
0
λ 0 0
x





0
y 
− 0 λ 0
2
0 0 λ
z
Temos então a seguinte equação matricial

  
4−λ
2
0
x
 −1 1 − λ


0
y 
0
1
2−λ
z


0
=  0 .
0


0
=  0 .
0
Aqui usaremos um resultado que associa o cálculo de determinantes com a solução
de um sistema linear homogêneo: ”se o determinante da matriz dos coeficientes for
diferente de zero, o sistema de ordem n × n, terá uma única solução, que é a solução
nula: x = y = z = 0”. Mas estamos interessados em calcular autovetores v ̸= 0.
Assim, procuramos autovalores que anulem o determinante, ou seja
det(A − λI) = 0, que corresponde a
4−λ
2
0
−1 1 − λ
0
0
1
2−λ
calcular
= 0.
103
A partir dessa equação obtemos
−λ3 + 7λ2 − 16λ + 12 = 0.
Vemos que det(A − λI) é um polinômio em λ, chamado polinômio
caracterı́stico da matriz A. Continuando a resolução, temos
(λ − 2)2 (λ − 3) = 0.
Logo λ = 2 e λ = 3 são as raı́zes do polinômio caracterı́stico da matriz
A e, portanto, os autovalores da matriz A são 2 e 3. Conhecendo os autovalores,
podemos encontrar os autovetores correspondentes, substituindo-os na equação

  
 
4−λ
2
0
x
0
 −1 1 − λ
0   y  =  0 .
0
1
2−λ
z
0
Assim, para n = 2:

 x=0
y=0

z
Então os autovetores associados a λ = 2 são do tipo (0, 0, z), ou seja, pertencem ao
subespaço [(0, 0, 1)].
Para n = 3:
{
x = −2y
z=y
Então os autovetores associados ao autovalor λ = 3 são do tipo (−2y, y, y), ou seja,
pertencem ao subespaço [(−2, 1, 1)].
RESUMINDO: Dada uma matriz A, de ordem n × n, determinamos
seus autovalores e autovetores da seguinte forma
1o ) Encontramos as raı́zes do polinômio caracterı́stico (que serão os autovalores)
det(A − λI) = 0.
2 ) Encontramos os autovetores associados a cada autovalor λ, substituindo-os
na equação abaixo e resolvendo-a
o
(A − λI)v = 0.
104
Exemplo 11.23 : Determine os autovalores e autovetores associados a cada uma
das matrizes definidas a seguir
[
]
−3 4
a) A =
−1 2
]
[ √
3 √
−1
b) B =
1
3
11.7
Exercı́cios propostos
1. Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
a) f : R2 → R2
(x, y) 7→ (x + y, x − y)
b)f : R2 → R
(x, y) 7→ xy
c) h : M2 → R
[
a b
c d
]
[
7→ det
a b
c d
]
d) N : R → R; N (x) = |x|.
2. Encontre a transformação T do plano no plano que é uma reflexão em
torno da reta x = y e escreva-a na forma matricial.
3. No √
plano, uma rotação anti-horária de 45 é seguida por uma dilatação
de 2. Encontre a aplicação A que representa esta transformação no
plano.
1
4. Qual é a aplicação A que representa uma contração de √ seguida por
2
uma rotação horária de 45?
5. Considere a transformação linear T : R3 → R2 .
a) Encontre a transformação T tal que T (1, 0, 0) = (2, 0),
T (0, 1, 0) = (1, 1) e T (0, 0, 1) = (0, −1).
b) Encontre v de R3 tal que T (v) = (3, 2).
105
6. Seja T : R2 → R3 .
a) Qual é a transformação linear T tal que T (1, 1) = (1, 2, 1) e
T (0, −1) = (0, 1, 1) ?
b) Encontre T (1, 0) e T (0, 1).
7. Encontre a transformação linear S : R3 → R2 , tal que S(3, 2, 1) = (1, 1),
S(0, 1, 0) = (0, −2) e S(0, 0, 1) = (0, 0).
[
]
−1 −2
2
2
8. Seja T : R → R , tal que [T ] =
. Encontre os vetores u e
0
1
v tal que
a) T (u) = u.
b) T (v) = −v.
9. Considere a transformação linear T : R3 → R3 , dada por
T (x, y, z) = (z, x − y, −z).
a) Determine uma base do núcleo de T .
b) Determine a dimensão da imagem de T .
c) T é sobrejetora? Justifique.
d) Faça um esboço de ker T e Im T .
10. Seja P3 = conjunto dos polinômios com grau menor ou igual a 3, e
T : P3 → P3
′
f 7→ f
a) Mostre que P3 é um espaço vetorial de dimensão 4.
b) Mostre que T é uma transformação linear.
c) Determine ker T e Im T e encontre uma base para cada um destes
subespaços vetoriais.
Encontre os autovalores e os autovetores correspondentes das transformações lineares ou das matrizes dadas:
11. T : R2 → R2 , definida por T (x, y) = (y, 2y)
12. T : R2 → R2 , definida por T (x, y) = (x + y, 2x + y)
13. T : R4 → R4 , definida por T (x, y, z, w) = (x, x+y, x+y+z, x+y+z+w)
[
14.
A=
15.

1 2
0 −1
]

1 2 3
B= 0 1 2 
0 0 1
106
11.8
Respostas dos exercı́cios propostos
1. a) Sim
b) Não
c) Não
d) Não
2. T (x, y) = (y, x). Na forma matricial:
[
] [ ]
0 1
x
(x, y) 7→
1 0
y
3. T (x, y) = (x − y, x + y)
1
4. T (x, y) = (x + y, y − x)
2
5.
a) T (x, y, z) = (2x + y, y − z)
b) v = (x, 3 − 2x, 1 − 2x)
6.
a) T (x, y) = (x, 3x − y, 2x − y)
b) T (1, 0) = (1, 3, 2); T (0, 1) = (0, −1, −1)
x 5
7. T (x, y, z) = ( , x − 2y)
3 3
8. a) u = (x, −x); b) v = (x, 0)
9.
a) kerT = [(1, 1, 0)], base = {(1, 1, 0)}
b) dim Im T = 3dim ker T = 2
c) Não, pois dim T = 2.
d)
10.
a) base desse espaço: {1, x, x2 , x3 }
b) ker T = {P (x) = k; k constante}; base = {1}
Im T = {P (x) = ax2 + bx + c; a, b, c ∈ R}; base = {1, x, x2 }
107
11. λ = 2, v = (x, 2x); λ = 0, v = (x, 0)
√
√
√
√
12. λ1 = 1 + 2, v1 = (x, 2x); λ2 = 1 − 2, v2 = (x, − 2x)
13. λ = 1, v = (0, 0, 0, w)
14. λ1 = 1, v1 = (x, 0); λ2 = −1, v2 = (−y, y)
15. λ = 1, v = (x, 0, 0)
108
12
CÔNICAS E QUÁDRICAS
Vimos, na unidade anterior, que a intersecção de dois planos resulta em
uma reta. Assim, a intersecção de duas superfı́cies pode dar origem a curvas com
propriedades interessantes.
As cônicas, que estudaremos nesta unidade, são curvas planas que se
originam da intersecção de um cone circular por um plano. As diversas posições desse
plano, em relação ao cone, dão origem a cônicas particulares muito importantes que
estudaremos a seguir: parábola; elipse; circunferência e hipérbole.
12.1
Cônicas como secções planas do cone
Considere um cone circular de vértice V e eixo r, cujas geratrizes formam ângulo θ com o eixo do cone (figura 12.1). Lembremos que um cone circu-
Figura 12.1:
lar pode ser obtido rotacionando uma reta (geratriz) em torno de uma outra reta
(eixo de rotação), sendo que a geratriz e o eixo devem se interceptar num ponto
(vértice do cone, V ). Essa forma de obter o cone transforma o cone circular numa
superfı́cie de revolução.
Seja π o plano que secciona o cone. Temos então os seguintes casos
para a intersecção do cone com o plano:
1. Se o plano π é paralelo a uma geratriz do cone e não contém o vértice
V , então a curva de intersecção é uma parábola (figura 12.2a).
109
2. Se o ângulo entre o plano π e o eixo r é maior que o ângulo θ entre
o eixo e a geratriz, não passando pelo vértice V , a intersecção é uma
elipse (figura 12.2b).
3. Se o plano π é perpendicular ao eixo do cone, mas não passa pelo vértice
V , então a secção é uma circunferência (figura 12.2c).
4. Se o ângulo entre o plano π e o eixo r é menor que o ângulo θ e não
contém o vértice V , então a curva resultante é uma hipérbole (figura
12.2d).
Figura 12.2:
Essas cônicas foram obtidas no espaço, mas como são curvas planas, isto
é, contidas num plano, vamos passar ao estudo analı́tico das cônicas como curvas do
plano, isto é do R2 .
12.2
Estudo da parábola
A parábola é uma curva plana caracterizada pela seguinte propriedade
geométrica:
Os pontos de uma parábola são equidistantes de um ponto F e de uma
reta d, que não contém F (figura 12.3.
O ponto F é o foco e a reta d, a diretriz da parábola.
Na parábola, temos ainda outros elementos:
• eixo - é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz;
• vértice - é o ponto V de intersecção da parábola com o seu eixo.
110
Figura 12.3:
12.2.1
Equação da Parábola
Para que um ponto P (x, y) pertença a parábola, devemos ter ou seja,
Figura 12.4:
′
ele deve estar a mesma distância de F e P (eqüidistantes desses pontos) (figura
12.4). Analisemos os seguintes casos:
Caso 1 - Vértice na origem do sistema e o eixo da parábola é
o eixo dos y: nesse caso, temos
111
Figura 12.5:
Pela definição de parábola, tomando um ponto P (x, y) na parábola,
′
a distância desse ponto ao foco dever ser igual a distância ao ponto P que tem
coordenadas (x, − p2 ):
−−→′
−→
|P F | = |P P |
|(0, p/2) − (x, y)| = |(x, −p/2) − (x, y)|
de onde obtemos a equação reduzida
x2 = 2py .
Observemos que se p > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima (figura
12.6a) e se p < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo
(figura 12.6b).
Figura 12.6:
Caso 2 - Vértice na origem do sistema e o eixo da parábola é
o eixo dos x: nesse caso, temos
112
Figura 12.7:
Análogo ao caso anterior, obtemos a equação reduzida na forma
y 2 = 2px .
Conforme o sinal de p, teremos: concavidade voltada para a direita, se p > 0 (figura
12.8 a) e concavidade voltada para a esquerda se p < 0 (figura 12.8 b).
Figura 12.8:
Exemplo 12.1 : determinar o foco e a equação da diretriz das parábolas:
a) x2 = 8y;
b) y 2 = −2x.
Exemplo 12.2 : determinar a equação das parábolas, sabendo que tem:
a) vértice V (0, 0) e foco F (1, 0);
113
b) vértice V (0, 0) e diretriz y = 3;
c) vértice V (0, 0), passa pelo ponto P (−2, 5) e a concavidade é voltada
para cima.
Caso 3 - Vértice fora da origem e eixo paralelo a OY:
Figura 12.9:
′
′
′
Se imaginarmos um novo sistema X O Y com origem no vértice da
parábola, terı́amos uma equação da forma vista anteriormente
′2
′
x = 2py .
′
′
Mas x = x − h e y = y − k. Então obtemos
(x − h)2 = 2p(y − k) .
que é a forma padrão da equação de uma parábola de vértice V (h, k) e eixo paralelo
ao eixo dos y.
Exemplo 12.3 : determinar a equação da parábola de vértice V (3, −1), sabendo
que y − 1 = 0 é a equação de sua diretriz.
Caso 4 - Vértice fora da origem e eixo paralelo a OX:
Novamente, se imaginarmos um novo sistema X ′ O′ Y ′ com origem no
vértice da parábola (veja figura 12.10), terı́amos uma equação da forma:
′2
′
y = 2px .
′
′
Mas x = x − h e y = y − k. Então obtemos
(y − k)2 = 2p(x − h)
114
que é a forma padrão da equação de uma parábola de vértice V (h, k) e eixo paralelo
ao eixo x.
Figura 12.10:
Exemplo 12.4 : determine a equação da parábola de foco em F (1, 2), sendo x = 5
a equação da sua diretriz.
Observação 1: y = ax2 + bx + c ou x = ay 2 + by + c é a forma explı́cita
da equação da parábola.
Observação 2: uma propriedade importante da parábola é
a propriedade focal: uma reta paralela ao eixo de simetria, incidente num ponto
P da parábola, forma com a reta tangente à parábola em P um ângulo igual ao
ângulo que a reta tangente forma com a reta r. Girando a parábola em torno do
eixo de simetria, temos uma superfı́cie que é o formato das antenas parabólicas. A
propriedade focal acima é largamente utilizada em antenas parabólicas e refletores
(figura 12.11).
12.3
Estudo da elipse
Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das
distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante (figura 12.12).
Então, os dados geométricos essenciais de uma elipse são os pontos F1 e
F2 , chamados focos da elipse e uma medida fixa, que denotaremos por 2a. Assim
115
Figura 12.11:
Figura 12.12:
−−→
−−→
|P F1 | + |P F2 | = 2a.
Na elipse, ainda temos os elementos:
• distância focal: é a distância 2c entre os focos;
• centro: é o ponto médio do segmento F1 F2 ;
• vértices: A1 , A2 , B1 e B2 ;
• eixo maior: A1 A2 ⇒ |A1 A2 | = 2a;
• eixo menor: B1 B2 ⇒ |B1 B2 | = 2B.
Observação: em toda elipse vale a relação a2 = b2 + c2
que é o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo CB2 F2 .
116
Figura 12.13:
Figura 12.14:
12.3.1
Equação da elipse de centro na origem do sistema
Caso 1 - O eixo maior está sobre o eixo dos x
2
−−→ −−→
Partindo da definição de elipse |P F1 |+|P F2 | = 2a, obtemos x2
a
chamada equação reduzida da elipse.
2
+ yb2 = 1
117
Figura 12.15:
Exemplo 12.5 : determine a equação reduzida da elipse apresentada na figura
(12.16 a):
Figura 12.16:
Caso 2 - O eixo maior está sobre o eixo dos y
A equação reduzida da elipse de centro na origem e eixo maior sobre o
eixo dos y é dada por
x2
b2
2
+ ya2 = 1.
118
Figura 12.17:
Exemplo 12.6 : determine a equação reduzida da elipse apresentada na figura
(12.16 b).
Exemplo 12.7 : considere a elipse 9x2 + 25y 2 = 225 e determine:
a) a medida dos semi-eixos;
b) os focos;
c) os vértices;
d) um esboço do gráfico;
e) a excentricidade, que é calculada por e = c/a.
12.3.2
Equação da elipse de centro fora da origem do sistema
Consideremos uma elipse de centro C(x0 , y0 ) e semi-eixos de comprimento a, b. Se o eixo focal for paralelo a um dos eixos do sistema cartesiano, então
a equação da elipse fica na forma mostrada na figura 12.18
Exemplo 12.8 : determine a equação da elipse cujo eixo maior é paralelo ao eixo
dos y, tem centro C(4, −2), excentricidade e = 1/2 e eixo menor de medida igual a
6.
119
Figura 12.18:
Observação: Se P é um ponto da elipse de focos F1 e F2 , então as
semi-retas P F1 e P F2 formam ângulo iguais com a reta tangente à elipse em P .
Esta propriedade é utilizada em espelhos elı́pticos dos dentistas e outras aplicações
envolvendo ótica e acústica (figura 12.19).
Figura 12.19:
12.4
Estudo da circunferência
Se pensarmos numa elipse em que os focos F1 e F2 coincidem, então os
pontos P (x, y) estarão todos a mesma distãncia do foco. Isso define uma circunferência. Assim se a circunferência tiver seu centro na origem do sistema, teremos
120
Figura 12.20:
Se a circunferência não tiver o centro na origem do sistema e sim num
ponto C(x0 , y0 ), sua equação fica na forma
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 .
Exemplo 12.9 : escreva a equação da circunferência que tem centro na origem do
sistema e raio igual a 2. Esboce seu gráfico.
Exemplo 12.10 : determine a equação da circunferência cujo raio é 5 e o centro é
o ponto de intersecção das retas: r : 3 − 2y − 24 = 0 e 2x + 7y + 9 = 0.
Exemplo 12.11 : verifique se as equação representam ou não uma circunferência:
a) 2x2 + 2y 2 − 6x + 10y + 7 = 0;
b) 4x2 + 4y 2 + 28x − 8y + 53 = 0;
c) 16x2 + 16y 2 − 64x + 8y + 177 = 0.
12.5
Estudo da hipérbole
Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença
das distâncias, em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante
|d(P, F1 ) − d(P, F2 )| = 2a.
Como se vê, a hipérbole é uma curva com dois ramos (figura 12.21).
Alguns dos seus elementos são:
121
• ramo I e ramo II;
• focos F1 e F2 ;
• vértices V1 e V2 ;
• eixo focal, que contém os focos, os vértices e o centro da hipérbole;
• distância focal = 2c;
• eixo rela de comprimento 2a, distância entre os vértices;
• semi-eixo de comprimento b;
• assı́ntotas, que são as retas que contém a diagonal do retângulo de
centro em O e lados de comprimento 2a e 2b.
Figura 12.21:
12.6
Equação da hipérbole com centro na origem do
sistema
Caso 1 - O eixo real está sobre o eixo dos x: é o exemplo mostrado
na figura (12.21). Neste caso, a equação da hipérbole é da forma
x2
a2
2
− yb2 = 1,
122
onde b é calculado através da relação
c2 = a2 + b2 .
Caso 2 - O eixo real está sobre o eixo dos y: nesse caso, a
hipérbole é da forma mostrada na figura 12.22 e sua equação reduzida é da forma
y2
a2
2
− xb2 = 1.
Figura 12.22:
Exemplo 12.12 : determine a equação reduzida das seguintes hipérboles:
Figura 12.23:
123
Exemplo 12.13 : considere a hipérbole 9x2 − 7y 2 − 63 = 0 e determine: a) a
medida dos semi-eixos a, b, c; b) os vértices os focos; c) um esboço do gráfico.
12.7
Quádricas
Uma quádrica no R3 é um conjunto de pontos cujas coordenadas, em
relação à base canônica, satisfazem a equação
Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Eyz + F xz + Gx + Hy + Iz + J = 0
com pelo menos um dos coeficientes, A, B, C, D, E ou F diferentes de zero.
A equação geral de uma quádrica pode também ser expressa na forma
±
x2
y2
z2
+
±
+
±
=1
a2
b2
c2
ou
x2
y2
+
±
= cz
a2
b2
y2
z2
± 2 + ± 2 = ax
b
c
x2
z2
± 2 + ± 2 = by,
a
c
±
onde os sinais dos termos quadráticos definem o tipo de quádrica, como veremos nos
exemplos a seguir.
PARABOLÓIDE ELÍPTICO
124
PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO
ELIPSÓIDE
Neste caso, todos os termos quadráticos são positivos. Observe que se
a2 = b2 = c2 , teremos uma superfı́cie esférica, ou simplesmente, uma esfera.
125
HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA
HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS
12.8
Exercı́cios propostos
1. Faça um esboço bem caprichado das cônicas, indicando claramente os
eixos, vértices, assı́ntotas (se houver), etc, e obtenha a equação nos
seguintes casos:
a) hipérbole de centro (0, 0), focos (4, 0), (−4, 0) e vértices (3, 0) e
(−3, 0);
b) parábola de vértices (4, 3) e diretriz x = 2;
c) elipse de vértices (−5, 0), (5, 0), (0, 4), (0, −4);
d)circunferência de centro (3, −2) e raio 4.
126
2. Obtenha a equação da elipse que tem dois vértices em (−2, 0), (2, 0) e
comprimento focal mı́nimo igual a 6.
3. Obtenha a eq. da parábola que tem foco (2, 0) e reta diretriz x + 2 = 0.
4. Classifique as cônicas a seguir, esboce seu gráfico e indique seus elementos:
y2
x2
a) 100
− 64
=1
b) 4x2 + 4y 2 = 16
c)
(x−2)2
16
−
(y+3)2
9
=1
d) y 2 + 6y − 8x + 1 = 0
5. Determine a equação de cada parábola sabendo que:
a) vértice (−4, 3) e foco F (−4, 1)
b) vértice V (1, 3), eixo paralelo ao eixo dos x, passando pelo ponto
P (−1, −1).
6. Classifique as seguintes qudricas e esboce o seu gráfico:
a) x2 + y 2 + z 2 − 7 = 0
b) x2 + y 2 − z 2 = 7
c) 4x2 + 16y 2 + 2z 2 = 4
d) 2x2 − y + z 2 = 0
e) x + 3y 2 + 2z 2 = 0
7. Descreva a curva interseção do parabolóide Ω com o plano π e determine, quando for o caso, centro, focos, vértices, assı́ntotas, raio, etc.
12.9
a) Ω : z + x2 + 3y 2 = 0
π :z+9=0
b) Ω : x + y 2 + 2z 2 = 0
π :x−1=0
Respostas dos exercı́cios propostos
1. a)
x2 y 2
−
= 1; focos: (-4, 0) e (4, 0)
9
7
1. b) x =
y 2 − 6y + 41
; vértice: (4, 3); diretriz: x= 2
8
1. c) a = 5; b = 4; centro: (0, 0);
1. d) (x − 3)2 + (y + 2)2
x2 y 2
+
=1
25 16
127
2.
x2 y 2
+
=1
4
13
3. y 2 = 8x
4. a) hipérbole: a = 10, b = 8
b) circunferência: C(0, 0) e r = 2
c) elipse: C(2, -3), a = 4; b = 3
d) parábola: V(1, -3); (y + 3)2 8(x − 1)
5. a) 8(y − 3) = (x + 4)2
b) 8(x − 1) = (y − 3)2
√
6. a) esfera, raio = 7
b) hiperbolóide de uma folha, eixo central z
c) elipsóide
d) parabolóide elı́ptico, eixo central z
e) parabolóide elı́ptico, eixo central x
√
√
7. a) elipse de centro (0, 0, -9); F(± 6, 0, −9), V(±3, 0, 9), V(0, ± 3, −9)
b) parábola, V(0, 1/4, 1), F(0, 1/2, 1), p = 1/4, diretriz: (x, y,
z)=(0, 0 ,1) + t(1, 0, 0)