Capítulo 4.
Amostragem de Sinais Contínuos no
Tempo
• 4.1 A/D Notações e Sistemas
• 4.2 Teorema da Amostragem
• 4.3 Conversão Analógico-Digital (A/D)
• 4.4 Conversão Digital-Analógica (D/A)
1
Capítulo 2.
Amostragem de Sinais Contínuos no Tempo
• Amostragem periódica.
• Representação de sinais periódicos no domínio da frequência.
• Reconstrução de sinais de banda limitada.
• Processamento de sinais discretos.
• Mudança da taxa de amostragem: decimação e interpolação.
2
Notações de D/A e A/D
Sinais:
Contínuos
Discretos
Domínio do tempo
xc (t )
x[n]
Domínio da frequência
X c ()
X( )
Contínuos
Discretos
Sistemas:
Domínio do tempo
hc (t )
Domínio da frequência
H c ()
t
n
= Tempo contínuo
= Tempo discreto
j
h[n]
j
H (e )
 = Frequência contínua

= Frequência discreta
Neste capítulo será estudado como aproximar um sistema
linear analógico por um sistema digital.
3
Amostragem Periódica
Um método típico de obter um sinal discreto é através da amostragem
de um sinal contínuo no tempo, isto é:
x(n)  xc (nTs )
4
Sistemas A/D e D/A
• Considere o seguinte digrama de blocos mostrando um sistema com
um filtro discreto, mas com entrada e saída contínuas no tempo.
yd (n )
xd (n )
xc (t )
A/D

H d (e j )
D/A
yc (t )
digital filter
H c (
)
• O sistema descrito por H c () pode ser aproximado por uma
função de transferência de um sistema linear contínuo?
•
Se a entrada: xc (t )  X c () e a saída: yc (t )  Yc ()
j
e dado H d (e ) , podem ser projetados os sistemas A/D, D/A, e H c ()
tal que
Yc ()
 H c ( )
X c ( )
5
Teorema da Amostragem
• Teorema da Amostragem descreve precisamente quanta informação é
retida quando uma função é amostrada ou, se uma função de banda
limitada pode ser exatamente reconstruída a partir de suas amostras.
• Demonstração: Suponha que xc (t )  X c () é um sinal de banda
limitada no intervalo de frequência  c , c  ou X ()  0 for   c
X ()

 c
0
c
Então x(t) pode ser exatamente reconstruída das amostras eqüidistantes
x(n)  xc (nTs )  xc (2n / s )
s  2c
onde Ts  2 / s é a amostra periódica, f s  1 / Ts é a frequência de
amostragem (amostras/segundo), s  2 / Ts é para radianos/seg.
6
Representação Matemática da Amostragem
s(t )
xc (t )
xs (t )
Conversão de trem
de impulsos para
seqüência discreta
x(n)  xc (nT )
n  
s (t )    (t  nT ) (Trem de impulsos)


xs (t )  xc (t ) s (t )  xc (t )   (t  nT )

n  
xs (t )   xc (nT ) (t  nT )
n  
(modulação)
(propriedade do deslocamento)
2 
S ( j ) 
  (  k s ) onde  s  2 / T é a taxa de amostragem.
T k 
1
1 
X s ( j) 
X c ( j) * S ( j)   X c  j (  ks ) 
2
T k 
1 
   2k  
j
X
(
e
)

X



c  j
j
jT
T k    T
T 
X s ( j)  X (e )
 X (e ).
 T
7
Espectro de xc(t)
Trem de impulso
no domínio da frequência
Espectro do sinal
amostrado, quando
s  2 / T  2 N
Espectro do sinal
amostrado, quando
s  2 / T  2  N
8
Reconstrução exata de um sinal contínuo a partir de
suas amostras usando um filtro passa-baixa.
9
O efeito da aliasing na amostragem de uma função coseno
Aliasing : sobreposição de espectros
xc (t )  cos(o )
10
Exemplo: Amostragem do sinal contínuo xc (t )  cos(4000t )
com período de amostragem T = 1/6000 e taxa de amostragem
s  2 / T  12000
11
Função de Reconstrução
A função Sinc
sin(ct )
sin c(t ) 
c t
X ()

 c
0
c
A função Sinc é a resposta impulso de um filtro passa baixa ideal
com frequência de corte igual à metade da taxa de amostragem.
c : Frequência de Nyquist.
2c : taxa de Nyquist.
12
Reconstrução de um Sinal
Se a condição s  2c é satisfeita, então a fórmula de
reconstrução é dada por:
sen(t / T )
hr (t ) 
t / T
sin( / Ts )(t  nTs )
xr (t )   x[n]
( / Ts )(t  nTs )
n

c : Frequência de Nyquist.
2c : Taxa de Nyquist.
Reconstrução do sinal x(t) de suas amostras x[n]=[….,0,1,1,1,1,1,0,…].
13
Processamento discreto de sinais contínuos no tempo
Entrada
sinal contínuo
Saída
sinal reconstruído
1 
X s ( j)   X c  j (  k s ) 
T k 
x(n)  xc (nTs )
j
X s ( j)  X (e )
 T
 X (e
jT
).
1 
   2k  
X (e )   X c  j  

T k    T
T 
j
sin( / Ts )(t  nTs )
yr (t )   y[n]
( / Ts )(t  nTs )
n

Sinal reconstruído:
jT

TY
(
e
),    / T
jT
Yr ( j)  H r ( j)Y (e )  
0, para outros valores
14
Sistemas Discretos LTI
Y (e j )  H (e j ) X (e j )
Yr ( j)  H r ( j)Y (e jT )
Yr ( j)  H r ( j) H (e jT ) X (e jT )
Yr ( j)  H r ( j) H (e
jT
1 
2k
)  X c ( j ( 
))
T k 
T
jT

H
(
e
) X c ( j),    / T
jT
Yr ( j)  H r ( j)Y (e )  
0,
   /T

 H (e jT ),    / T
H eff ( j)  
   /T
 0,
15
Exemplo: Filtro
Passa-baixa Ideal
  c
1,
H (e )  
 0,c    
j
1, T  c
H eff ( j)  
0, T  c

16
Invariância ao Impulso
• Pode-se mostrar que o sistema em cascata mostrado na figura é
equivalente a um sistema invariante no tempo para sinais com entrada
com banda limitada com resposta em frequência H c ()
Hd (e j )  Ha ( / Ts ) for   
H c ( j)  0,    / T
Considerando que: h(n)  hc (nT ) , então a transformada de
Fourier de h[n] é dada por:
1

j
1 
 2k
j
H
(
e
)

H
(
j
),   
c
H (e )   H c ( j ( 
))
T
T
T k 
T
T
Agora se:

h(n)  Thc (nT ) , então H (e )  H c ( j ),   
j
h[n] é uma versão amostrada e escalada de hc[t]
T
17
Processamento Contínuo de Sinais Discretos
Conversor D/C, converte
x[n] em xc(t).
Hc(f) (hc(t))processa
o sinal contínuo xc(t).
O conversor C/D converte
yc(t) em y[n].
sin (t  nT ) / T 
xc (t )   x[n]
 (t  nT ) / T
n

sin (t  nT ) / T 
yc (t )   y[n]
 (t  nT ) / T
n
X c ( j)  TX (e jT ),    / T

Onde:
x[n]  xc (nT )
y[n]  yc (nT )
Yc ( j)  H c ( j) X c ( j),    / T
1

Yc (e )  Yc ( j ),   
T
T
j
j

H c (e )  H c ( j ),   
T
18
Conversão da Taxa de Amostragem Usando
Processamento Discreto
Um sinal amostrado xc(nT) pode ser representado por uma sequência
x[n]. É possível obter uma nova sequência x´[n]= xc(nT´),com T  T '.
Redução da Taxa de Amostragem: Decimação (T< T´)
Seja x[n] uma sequência cuja transformada de Fourier é dada por:
1 
 2k
X (e )   X c ( j ( 
))
T k 
T
T
j
Definindo xd[n]=x[nM]=x[nMT].
A transformada de Fourier de xd[n]:
1 
 2r
X d (e ) 

))
 X c ( j(
MT r 
MT MT
j
19
Redução da Taxa de Amostragem: Decimação
O índice r pode ser expresso como: r=i+kM,    k  , 0  i  M  1
1 
 2r
X d (e ) 

))
 X c ( j(
MT r 
MT MT
j
1 M 1 1 
 2k 2i
X d (e ) 
[
X
(
j
(


))]

 c
M i 0 T k 
MT
T
MT
j
O termo entre parêntesis pode ser escrito como:
X (e
j ( 2i ) / M
1 
  2i 2k
)   X c ( j(

))
T k 
MT
T
Assim, X d (e j ) pode ser expresso como:
 2i


j
1
j
X d (e ) 
 X  e M 
M i 0 

M 1
20
Decimação
Representação no
domínio da frequência
xc (t )  X c ( j)
x[n]  X (e j )
21
Sub-amostragem com aliasing
a, b, c.
Sub-amostragem com
pré-filtragem para evitar
aliasing, d, e, f.
22
Aumento da Taxa de Amostragem: Interpolação
Seja x[n]= xc(nT) uma sequência obtida pela amostragem de um sinal
contínuo xc(t). Deseja-se aumentar a taxa de amostragem, por um fator
L, tal que o novo período de amostragem seja T’=T/L, usando somente
processamento discreto. Então:
xi[n]= xc(nT’)= xc(nT/L)= x[n/L], para todo n inteiro.
Demonstração: Considere um sistema expansor definido por:
n[n / L], n  0, L,2 L,...
xe [n]  
 0, para outros valores

Ou equivalentemente:
xe [n]   x[k ] [n  kL]
k  
23
Aumento da Taxa de Amostragem: Interpolação
Tomando-se a transformada de Fourier de xe[n]:
j


X e (e )   (  x[k ] [n  kL])e  jn
n   k  
j

X e (e )   x[k ]e  jLk  X (eiL )
k  
Assim, a transformada de Fourier da saída de um expansor é uma
versão escalada na frequência da transformada de Fourier da entrada.
Diagrama de blocos
de um sistema típico
de interpolação
24
Ilustração do procedimento
de interpolação no domínio
da frequência.
Seja X c ( j) a transformada
de Fourier de xc(t), da
forma:
25
Variação da taxa de amostragem por um fator não inteiro
26
Considerações Práticas
Filtragem discreta de sinais contínuos no tempo
Diagrama de blocos. a) Modelo geral b) Modelo mais realístico.
27
Conversão Analógico-Digital
• Digrama de um sistema de conversão analógico-digital
Amostrador ideal
xc (t )
Fa ()
Filtro anti-aliasing
(passa-baixa)
Q[]
Ts
A/D
x[n]
Quantizador
de Amplitude
• Amostragem é o processo de conversão de sinais contínuos para
sinais discretos no tempo.
• Anti-aliasing é uma técnica usada para reduzir os erros de
amostragem devido a sobreposição de espectros na frequência.
• Quantização é o processo de conversão de amplitude contínua
para amplotude discreta.
28
4.3.2 Ideal Sampler
• Frequency-domain analysis of ideal sampler with sampling
1 2
Ideal
period Ts  
fs
s
sampler
xa (t )
• It can be proven that X d (e ) 
j

xd (n)

 x (n)e
n  

 jn
d
 x (nT )e
n  
1

Ts
a


n  
 jn
s
Xa(
  2m
Ts
)
• Here we have made the explicit relationship (regardless of the
bandwidth) between the spectrum of the continuous-time signal
and the spectrum of the sampled, discrete-time version.
• The discrete spectrum is equal to a periodic repetition of the
continuous spectrum, with period 2 (radians).
29
4.3.3 Oversampled
Suppose that xa (t )  X a () is band-limited:
X a ()
A
0
 c
Then if
Ts

c
is sufficiently small,
X d (e j ) appears
X d ( e j )
A
Ts
as:
Oversampled

 2

Condition:
 cTs
0
cTs

2  cTs  cTs or cTs  
2
or s  2c
30
4.3.4 Critically Sampled
Critically sampled: cTs   or s  2c
A
Ts
X d ( e j )

 2

0

2
According to the Sampling Theorem, in general the signal
cannot be reconstructed from samples at the rate Ts   / c.
This is because of errors will occur if X a (c )  0 , the folded
frequencies will add at    .
Consider the case: xa (t )  Asin(ct )  Aj  (  c )   (  c )
and note that for Ts   / c .
xa (nTs )  Asin(cnTs )  Asin(n )  0 (for all n)
31
4.3.5 Undersampled (aliased)
If sampling theorem condition is not satisfied cTs   or s  2c
A
Ts
X d ( e j )

 2

0

2
• The frequencies are folded - summed. This changes the shape of
the spectrum. There is no process whereby the added frequencies
can be discriminated - so the process is not reversible.
• Thus, the original (continuous) signal cannot be reconstructed
exactly. Information is lost, and false (alias) information is created.
• If a signal is not strictly band-limited, sampling can still be done
at twice the effective band-limited.
32
4.3.6. Anti-aliasing: Ideas
• There are only two approaches to avoiding aliasing
– Sample at a faster rate - perhaps not possible (why?).
– Use an anti-aliasing filter.
• An anti-aliasing filter is a low-pass analog filter (LPF) that is
applied to the continuous signal prior to sampling.
Ideal sampler
Fa ()
xa (t )
Anti-aliasing filter
(low-pass)
xd (n)
Ts
– Idea is sample: remove the high frequencies (   s / 2 ).
– The ideal frequency response of the anti-aliasing filter is an idea low
pass filter as
1;    c , where the cut off
1

F  
0;
  c
c 
2
s 
Ts
– Even the LPF destroys information, it is better than the aliasing effect.
33
4.3.6 Anti-aliasing: Formulation
• With anti-aliasing, the sampled signal becomes
xd (n)  xa (nTs ) * f a (nTs )
1
X d (e ) 
Ts
j
   2m     2m 
Fa 

X

a
 T
m  
s

  Ts


• The repeated spectra X a ()Fa () will not fold or overlap.
• If Fa () is an ideal LPF with cutoff c , then
1
X d (e ) 
Ts
j
   2m 

X

a
 T
m  
s



 X a ();   c
where X a  
  c
 0;
• Usually, an ideal LPF cannot be realized and must be
approximated, as shown latter.
34
4.3.6 Anti-aliasing: Example1
X a ()
Analog Signal Spectrum

0
X a () Fa ()
Anti-aliased Spectrum

Sampled Signal Spectrum
(without aliasing)
 c
c
0
X d ( e j )

 2
   cTs
0
cTs 
2
35
4.3.6 Anti-aliasing: Example2
Original Image
Subsampled image
Anti-aliasing filtering
36
4.3.7 Anti-aliasing: Digital Filter Output
• Recall the overall system of interest:
yd (n )
xd (n )
xa (t )
A/D
H d ( e j )
D/A
ya (t )
digital filter
H a ()
• The response Yd (e j ) of the digital filter H d (e j )
1
Yd (e ) 
Ts
   2m 
j


X
H
(
e
)

a
d

m  
 Ts

1
Yd (e j ) 
Ts
   2m     2m 
 Fa 
H d (e j ) with anti-aliasing
X a 

m  
 Ts
  Ts

j

without anti-aliasing

37
4.4 Digital-to-Analog Conversion
• The analog system is well-approximated digitally only if
the digital output is carefully transformed into analog form.
Zero-order hold
or
idel reconstructor
yd (n )
Gd ( e j )
Digital
compensation filter
• Comments:
g a (t )
Ga ()
ya (t )
Analog
compensation filter
D/A
– Compensation with either Gd (e j ) or Ga () - not both.
– The D/A block g a (t ) is not filtering - it is weighting.
– No compensation is needed if g a (t ) is the ideal reconstructor.
38
4.4.1 D/A Reconstruction
• Time-domain: reconstruction is defined by using the digital
signal to be converted as linear weights of shifted, summed
version of the continuous function
Reconstruction
ya ( t ) 

y
n  
d
(n) gd (t  nTs )
yd (n )
g a (t )
ya (t )
• Frequency-domain: the Fourier Transform of the reconstruction:
 
  jt
Ya ()     yd (n) gd (t  nTs )e dt

R n  


 jt
y
(
n
)
g
(
t

nT
)
e
dt
 d  d
s
n  


R
 jnTs
y
(
n
)
G
(

)
e
 d a
n  
 Ga ()Yd (e jTs )
39
4.4.2 Ideal Reconstruction
• Ideal Reconstructor: sinc function
– Time-domain:
sin(t / Ts )
g a (t ) 
t / Ts

ya ( t ) 

 yd ( n )
n  
sin( / Ts )(t  nTs )
( / Ts )(t  nTs )
– Frequency-domain:


jTs
Ts ;    / Ts  s
Y
(

)

H
(
e
)Ga ()
Ga ()  
a
d
2 

else
 0;
– Properties: It is an ideal low-pass filter (not realizable), and selects
only one of the repeated copies of the original (filtered) analog spectra.
Ga ()
Ts
Yd ( e jTs )

 s

s
2
 c
0
 c  s
2
s
40
4.4.4 Reconstruction by Zero-Order Hold
• This is what is usually done in practice, here
ya ( t ) 
where

y
n  
d
(n) gd (t  nTs )
g a (t )
1
1; 0  t  Ts
g a (t )  
else
0;
0
Ts
• It holds yd (n) at a constant level over each sampling period.
yd (n)
ya (t )
Z.O.H
1
-3
-2 -1
0 1
1
2
3
n
-3
-2 -1
0 1
2
3
Note: Z.O.H. introduces high frequencies, see sharp edges.
n
41
4.4.5 Compensation for Zero-Order Hold
• The high frequencies introduces are side-lobes from the
approximation discontinuities
G ()
a
Ga () 
Ideal
sin(Ts / 2)  jTs / 2
e
(Ts / 2)
Z.O.H


2
Ts


Ts

Ts
2
Ts
Frequency response of Z.O.H
Ga ()
 (Ts / 2) jT / 2
e
;

Ga ()   sin(Ts / 2)

0;



1
Ts
else


2
Ts


Ts

Ts
2
Ts
Ideal compensation reconstruction filter
42
4.4.6 Analog/Digital Compensation
• Analog Compensation for Z.O.H (build-in in the D/A):
yd (n)
Ga ()
Z.O.H
ya (t )
Analog compensation filter
– Magnitude:
– Phase: not realizable.
 (Ts / 2)
;

Ga ()   sin(Ts / 2)

0;



Ts
else
• Digital Compensation for Z.O.H (less often used):
yd (n)
Gd (e j )
Z.O.H
ya (t )
Digital compensation filter
 ( / 2)
;  

Gd (e j )   sin( / 2)

0;
else

Note: It follows from Gd (e jT ) 
s
1
Ga ()
43