Sócioepistemologia:
Nota sobre a Construção Social do
Conhecimento Matemático Avançado
Dr. Ricardo Cantoral – Uriza
Departamento de Matemática Educativa – Cinvestav IPN
Centro de Investigación en Matemática Educativa – Cimate UAG
Miembro regular de la
Academia Mexicana de Ciencias
Sistema Nacional de Investigadores, Nivel II
La sensibilité à la contradiction...
Recherches en Didactiques des Mathématiques
• SOCIOÉPISTÉMOLOGIE: Approche
théorique systémique qui permet de traiter
les phénomènes de production et de
diffusion de la connaissance à partir d’une
perspective multiple, en incorporant l’étude
des interactions entre l’épistémologie de la
connaissance, sa dimension socioculturelle,
les procédés cognitifs associés et les
mécanismes d’institutionnalisation via
l’enseignement. (Cantoral, Farfán, 2003).
2
The Teaching and Learning
of Mathematics at University Level
Kluwer Acadmic Publishers, 2001
• The history ... has also been looked at from a
socioepistemological perspective by research
group ... at Cinvestav in Mexico... starts with the
assumption that the present structure of
theoretical mathematical discourse in analysis
obscures the essential emprirical sources of the
development of the field... Thus, looking at
historical development provides alternative
ways to introduce and develop knowledge in the
field.
3
Kluwer Acadmic Publishers, 2001
• This is especially necessary if one has in mind not
the training of future mathematicians but the training
of scentific students and engineers. Such a
perspective has been used by Cinvestav in order to
study the learning and teaching of variation, from
high school to studies in advanced analysis of the
way variation is dealt with in different professional
and social contexts, the cognitive analysis of
learning processes, and didactic engineering designs
(see Cantoral, Farfán, 1998)” In Robert, p. 285.
4
Albert Einstein, 1940
• Todos os impérios do futuro virão a ser
impérios do conhecimento, e somente
terão êxito os povos que entendam como
gerar conhecimento e como protegê-los,
como buscar os jovens que tenham a
capacidade para fazê-lo e assegurar que
estes fiquem no país.
5
Albert Einstein, 1940
• Os outros países litorâneos bonitos com
igrejas, minas, com uma história
fantástica; pois provavelmente não
ficarão com as mesmas bandeiras, nem
com as mesma fronteiras, nem tão
pouco êxito econômico.
6
En el siglo XXI
• Nos encontramos en una sociedad
que depende cada vez más de sus
avances científicos y tecnológicos.
• Lo nuevo de la evolución reciente de
la modernidad es que, cada vez más,
la ciencia y particularmente la
tecnología afectan la vida cotidiana.
7
En el siglo XXI
• Esta influencia es observable en la
creciente demanda de conocimiento
científico y tecnológico para tomar
decisiones comunes, ya sean individuales,
como dietas alimenticias que afectan la
presión arterial, la diabetes, o sociales,
como la de optar por fuentes de energía
más limpias que las tradicionales basadas
en combustión de petróleo.
8
En el siglo XXI
• La ciencia y la tecnología han dejado de
ser parte del discurso de unos pocos
académicos para formar parte de la
“canasta básica” del ciudadano de a pie, de
hecho, para interpretar las noticias diarias
se requiere de un conocimiento mínimo en
matemáticas ciencia y tecnología.
9
Sociedades del conocimiento
• La del futuro será una sociedad del
conocimiento. Éste será el recurso clave en
el desarrollo de las personas, y los
trabajadores del conocimiento serán fuerza
dominante. Aunque la escuela ha dejado de
ser el canal único mediante el cual se entra
en contacto con el conocimiento
10
Se estima que...
• la educación en general, pero la educación
básica y media en particular, dejarán de
estructurarse en torno de materias
tradicionales para hacerlo en función de
temas, asuntos, problemáticas o
competencias
• Se busca que el alumno sea capaz de
aprender a aprender, a hacer, a ser, a
participar...
11
Que motivo tais mudanças?
Natureza social do estudante
Se passou da ...
• concepção
biológica
universal dos
seres humanos
para ...
• concepção de
singularidade
psicológica e
genética (ADN)
12
Natureza social do estudante
• Del coeficiente
intelectual (IQ),
que caracteriza
al nivel de
inteligencia
• A la inteligencia
que progresa en
varias
dimensiones, que
además se
modifica y se
expande
13
Acumulación del progreso
• Atención a la
• Currículo
heterogeneidad
estandarizado
• Secuencia óptima • Los ritmos y las
secuencias
de
de aprendizaje
aprendizaje
varían
14
En el año 2010, se liberalizan las
profesiones básicas
• Un ingeniero formado en los EUA o en
Canadá, puede trabajar en México
• Un ingeniero formado en México puede
trabajar en EUA o en Canadá
• ¿Cuál será la dirección del flujo preferencial y
mayoritario y hacia qué clase de empleos?
15
La educación, pasa de ser ... a
• Un concepto teórico
del interés exclusivo
de los académicos
• El valor agregado en
la producción
• Una promesa de
mecanismo ideal para
la promoción social
• Un asunto de
competencia
comercial
• pero sobre todo, se
vuelve hoy día
• Un asunto de
Seguridad Nacional
16
Profesiones contenidas, TLC
•
•
•
•
•
•
Actuarios
Agrónomos
Contadores
Enfermeiras
Farmacéuticos
Advogados
•
•
•
•
•
•
Ingenheiros
Arquitetos
Odontólogos
Psicólogos
Médicos
Veterinarios
17
Número de alumnos por nivel
educativo en 1986 y en 1996
• Educación Básica: 21,685,100 en 1986
22,480,700 en 1996
24,599,000 en 2006
• Educación Media: 1,941,900 en 1986
2,438,700 en 1996
3,600,000 en 2006
• Educación Superior:1,157,600 en 1986
1,522,000 en 1996
2,600,000 en 2006
18
Matrícula por nível
19
Desertação ou expulsão?
100
Primaria
40
Frações
53
¿Cuánto es la mitad de ½?
Secundaria
13
Álgebra
6
25
3
Técnico medio
Bachillerato
Normal
4 20?
¿Cuánto es
10
1
2
9
2
técnicos
Licenciatura
maestros
4
Cálculo
5
n?
¿Cuánto vale el lím (1+1/n)
licenciados
n
20
Sistemas y Subsistemas
Sistema didáctico
S
P
S
A
P
A
Sistema de enseñanza
21
Sistema educativo
22
Questões ausentes na aprendizagem
• Como aprendem as pessoas? … da onde?
• Como podíamos aprender a analisar seus processos de
aprendizagem? … a onde?
• Como atender á diversidade social e cultural dos
estudantes e os sistemas educativos?
23
Conhecimento matemático
• Teórico – CMT
CMT
• Escolar – CME
TD
• Funcional – CMF
CMF
PT
CME
24
CMT – Somas com decimais
• 22,5  37  41,5  101 pues
• (2  101  2  100  5  101)  (3  101  7  100
 0  101)  (4  101  1  100  5  101)  (2 
3  4)  101  (2  7  1)  100  (5  0  5) 
101  (9  101)  (10  100)  (10  101)  (9 
101)  (1  101)  (1  100)  (9  1 )  101  (1 
100)  10  101  1  100  100 + 1  101
25
CME – Somas com decimais
Pedro vai á papelaria a comprar três
cadernos, um de desenho e outro de
matemática e música, cujo os preços são:
$ 22,50; $ 37,00 e $ 41,50
26
CME – Somas com decimais
Quanto deve pagar por sua compra?
11
22,50
+ 37,00
41,50
101.00
101,00
27
CMF – Sumas con decimales
Se comercian productos cuyos precios 22 pesos
con 50 centavos, 37 pesos y 41 pesos con 50
centavos, ¿Cuánto debo pagar por los tres?
… 22 + 37 es casi 22 + 38; 60 (es 60 – 1)
… 60 menos 1 + 40 más 1 es 60 + 40; 100
… 50 + 50 centavos es 1 peso
… la suma es entonces 101 pesos
28
Construa o gráfico de
Procedimiento usual:
Tabular + Puntear + Trazar
• ( 2) 2  4
• ( 1) 2  1
• 020
• 121
• 224
2
y=x
2
4
1
1
0
0
1
1
2
4
29
Puntear
2
4
1
1
0
0
1
1
2
4
30
A los mismos estudiantes
Se les propuso
2
4
bosquejar la
1
1
gráfica, pero
1
1
partiendo de otra
2
4
tabla de valores
0
0
31
Producen este dibujo
2
4
1
1
1
1
2
4
0
0
32
Presentação escolar da equação
de uma reta
(x, y)
(y – 3) (x – 2)
=
(3 – 1) (2 – 0)
(2, 3)
2y – 6 = 2x – 4
(0, 1)
2y – 2x = 2
y=x+1
33
Pendência e o teorema de Thales
C
D
CA
AB
=
>
<
DE
D
EB
A
E
E
B
34
Un ejemplo de enseñanza:
P a r a d i g m a s
del cálculo diferencial
•Enfoque algorítmico
•Enfoque formal
•Enfoque axiomático
Relaciones entre variables
• Este enfoque se caracteriza por su
centración en las variables y sus relaciones;
sus representantes principales son los libros
de texto de principios del siglo XX. Como
el libro de W. A. Granville, …
• Los conceptos: función, límite,
continuidad, derivada, integral, … se
estructuran sobre la idea paramatemática
de variable…
36
Relaciones entre funciones
• Este enfoque se caracteriza por su
centración en las funciones y sus
relaciones; sus representantes principales
son los libros como el de M. Spivak
• Los conceptos: función, límite,
continuidad, derivada, integral, … se
estructuran sobre la idea matemática de
función real de variable real …
37
Relaciones entre estructuras
• Este enfoque se caracteriza por su
centración en las estructuras numéricas; sus
representantes principales son los textos
como el de K. Kuratowsky
• Los conceptos: función, límite, continuidad,
derivada, integral, se estructuran sobre la
idea de estructura metamatemática de
número real
38
Derivada de uma função
Resposta de um docente
y = f (x)
y = f ´ (x)
39
Um exemplo de gestão de classe
• Problema: Seja V = ax2+ay2-2az2 o potencial
elétrico com a constante. Encontra o campo elétrico
e o valor de a para que o Trabalho W de levar uma
carga q=2C do ponto (0,0,2) ao ponto (0,0,0) seja
de –5105J.
• Professor: Qual é o Trabalho?
• Estudante: W=FD
• P: Pois, ... não é um produto vetorial...
• E: Então W= F  D
40
Um exemplo de gestão de classe
• P: Pois o D... é grande?, recordar que é uma
integral
• E: ¡Ah, sim!, W = F  d
• P: Pois se necessita o diferencial de longitude,
não?
• E: ¡Sim claro!, W=F  d dl
• P: Tiralo... uma d e usa vectores
• E: W = F  dl
R. Pulido
41
Onde ela é positiva (x)?
42
Onde ela é positiva (x)?
43
Onde ela é positiva (x)?
+
+
+
44
Onde ela é positiva (x)?
?
45
Linguaje e discurso escolar
•
•
•
•
Posição
Velocidade
Aceleração
…?
 f (x)
 f ( x )
 f ( x )
•
•
•
•
Ordenada
Pendência
Concavidade
…?
 f (x)
Quente – frio … morno / Grande - pequeno, ... médio
Bom - mau, ... regular / Longe – perto, ... “mais ou menos”
46
Relme
20
Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa
Camaguey, Cuba
47
Newton, 1676
48
Em onde ha mais polvos?,
encima ou embaixo
49
Qual o caminho mais curto?
50
Representação dos câmbios
51
O quê ? E como desloca?
52
Qual é a diferença?
53
Qual é a diferença?
54
Qual é a diferença?
55
CAS, visualização
56
Dispositivo experimental
Cinvestav IPN
Escritorio
CF
P. B
P. A
CM
E. III
E. I
E. II
E. IV
57
Língua natural e ícones
58
Trajetória e ícones
59
Trajetória das coordenadas
60
Segundos de demora nas vértices
da posição do móvel
61
Gráfica com elemento icónico para
expressar “ dar a volta ”
62
Modelo trajetória-numérico
63
Produção final
64
Dr. Ricardo Cantoral – Uriza
Centro de Investigación en Matemática Educativa – UAG
[email protected]
www.clame.org.mx
www.matedu.cinvestav.mx/rcantoral.html