UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
Fundamentos de Matemática B
Professores: Alvino e Luísa
Critérios de divisibilidade
e Congruência
Andréa Ritter,
Belissa Schönardie
Porto Alegre, 05 de outubro de 2009.
& Camila Rodrigues
Definição
Se a e b são inteiros, dizemos que a divide b,
denotando por a|b, se existir um inteiro c tal
que b = ac.
Se a não divide b escrevemos a b.
Proposições
1.1) Se a, b e c são inteiros, a|b e b|c, então
a|c.
Como a|b e b|c, existem inteiros k1 e
com b= k1a e c=k2b. Substituindo o valor
de b na equação c=k2b teremos c=k2 k1a o que
implica que a|c.
1.2) Se a, b, c, m e n são inteiros, c|a e c|b
então c|(ma + nb).
Se c|a e c|b então a = k1c e b = k2c.
Multiplicando-se estas duas equações
respectivamente por m e n teremos
ma = m k1c e nb = n k2c. Somando-se
membro a membro obtemos
ma+nb=(mk1c+nk2c), o que nos diz que
c|(ma + nb).
Divisibilidade por 9
Vamos considerar um número N com 5
dígitos abcde, na base 10.
Sendo assim, podemos reescrevê-lo na
forma:
n = a x 104 + b x 103 + c x 10² + d x 10 + e
Façamos as seguintes substituições:
10=9+1
100=99+1
1000=999+1
10000=9999+1
Obtemos então:
N= a(9999+1) + b(999+1) + c(99+1) + d(9+1) + e=
=(9999a +999b +99c +9d) + (a+b+c+d+e) =
=9(1111a + 111b + 11c + d) + (a + b + c + d + e).
Disto concluímos que se 9|n, como
9|9(1111a + 111b + 11c + d), então 9 deve
dividir (a + b + c + d + e) pela proposição
1.2 . Reciprocamente se
9| (a + b + c + d + e) , então 9|n, uma
vez que 9|9(1111a + 111b + 11c + d).
Provamos desta maneira o critério de
divisibilidade por 9:
“ Um número é divisível por 9 se, e somente
se, a soma de seus algarismos é divisível por
9.”
Outra forma de demonstrarmos a divisibilidade
por 9 é fazendo a utilização do critério de
congruência.
Dados os naturais a, b e c, dizemos que “a é
congruente a b módulo c”, que denotamos por
a  b (mod c), se e somente se b – a é divisível
por c. No nosso caso,a  b (mod 9)b-a é
divisível por 9.
Seja {xN/x=anan-1...a1a0}
Podemos também escrever x como
x=an.10n + an-1.10n-1 + ... + a1.101 + a0.100
Como 10n1(mod9),temos,
x=an.1(mod9),+an-1.1(mod9),+...+a1.1(mod9)+a0.1(mod9)
 x=[an+an-1+...+a1+a0](mod9)
Desta forma, 9|x  an+an-1+...+a1+a0=0,ou seja,
9|x  9|(an+an-1+...+a1+a0)
Divisibilidade por 11
Para obter um critério de divisibilidade por 11,
vamos analisar o valor posicional dos algarismos.
1: para cada unidade, haverá SOBRA de uma unidade
ao dividirmos por 11
10: para cada dezena, haverá FALTA de uma unidade
para completar 11 (pois 10+1=11)
100: para cada centena, haverá SOBRA de uma
unidade ao dividirmos por 11 (pois 100-1=99=11x9)
1000: para cada milhar haverá FALTA de uma unidade
para completar 11 (pois 1000+1=1001 = 11x91)
e assim por diante...
Ou seja, 102n 1(mod11) e 102n+1 -1(mod11), nN
)
Antes de generalizar, vamos ver um exemplo:
O número 58322 é divisível por 11?
58322 = 5x104 + 8x103 + 3x102 + 2x101 + 2x100
= 5(104-1) + 8 (103+1) +3(102-1) + 2(101+1) + 2 (100-1)+5-8+3-2+2
É divisível
por 11
Portanto, é preciso que este
número também seja
divisível por 11
Assim, para saber se um número é
divisível por 11, somamos os algarismos
de ordem par e subtraímos os
algarismos de ordem ímpar. Se o
resultado for múltiplo de 11, o número
original será múltiplo de 11.
Lembrete: a ordem das unidades é zero, das dezenas é
1, etc.
Logo, como +5-8+3-2+2 = 0 e este é
múltiplo de 11, 58322 é divisível por
11.
Generalizando...
11a se a soma alternada de todos os
algarismos de a é divisível por 11.
102n1(mod11) e 102n+1-1(mod11), nN.
Podemos reescrever assim:
10k(-1)k (mod11)  será 1 ou -1
dependendo da paridade de k.
Logo,
a  (-1) k ak +(-1) k-1 ak-1 +...+a2–a1 + a0 (mod 11)
Exemplos:
a) 11 divide 21428, pois
Soma dos algarismos de ordem par: 8 + 4 + 2 = 14
Soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 1 = 3
Diferença: 14 – 3 =11
De fato, 21428:11= 1948
b) 11 não divide 75893482, pois
Soma dos algarismos de ordem par: 2+4+9+5 = 20
Soma dos algarismos de ordem ímpar: 8+3+8+7=26
Diferença: 20 – 26 = -6
Como o resultado foi negativo, isso mostra
que faltam 6 unidades para o número ser
divisível por 11. Ou seja, o resto da divisão de
75398482 por 11 é 11-6 = 5.
Divisibilidade por 7
Um número é múltiplo de 7 se, e somente se,
o número obtido ao calcular a diferença
entre o dobro do último algarismo e o
restante do número original também o for.
Exemplo: 1757 é um múltiplo de 7, pois
175 − 2 × 7 = 161 = 16 – 2 = 14, que é divisível
por 7.Por outro lado, 9178 não é divisível por
7, pois 917 −2 × 8 = 901 = 90-2 = 88.
Demonstração:
Seja i o dígito das unidades do número n,
que pode ser escrito como 10k + i.
No procedimento anterior obtivemos um
número r do tipo k – 2i.
Será suficiente provar que os números
10k + i e K - 2i são tais que, se um deles é
múltiplo de 7, o outro também é.
10k + i é múltiplo de 7  k – 2i é múltiplo
de 7.
( ) Se 10k + i é múltiplo de 7, então existe
um inteiro m tal que 10k + 1 = 7m e, portanto,
k – 2i = k – 2(7m - 10k) =
k – 14m + 20k = 21k – 14m = 7(3k-2m) o que
implica k – 2i ser múltiplo de 7.
( ) Se k -2i é múltiplo de 7, então existe um
inteiro n, tal que k – 2i = 7n e portanto,
10k + i = 10(7n + 2i) + i = 70n + 20i + i =
70n + 21i = 7(10n + 3i)
o que implica 10k + i ser múltiplo de 7,
concluindo a prova.
Através de congruências temos:
10 =73; 10²=7 3x3 =72; 10³=73x2=76;
104 =72x2=74; 105 =72x6=75; 106=76x6=71
e, para as demais potências de 10, os
resultados se repetem:
3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, ...
Ex.: 21861 =72x 104+1x10³+8x10²+6x10+1=
=72x4+1x6+8x2+6x3+1 =71+6+2+4+1 =714=0 ou
ainda 21861 =7 21000+861 =7 700+161=
=7140+21==70+0 =70
Seja N= 3 045 258 329 506 e consideremos
n1 =506, n2=329, n3=258, n4=045 e n5=3,
obtidos pela separação dos algarismos de N,
em grupos de três algarismos da direita para
a esquerda.
Sejam r1, r2 , r3 , r4 e r5 os restos das
divisões desses números por sete,
respectivamente. Observa-se que esses restos
são facilmente determinados sem efetuar as
divisões, pela subtração de múltiplos de 70 ou 7,
do seguinte modo:
506-490=16, 16-14=2, logo r1=2;
329-280=49, 49-49=0, logo r2=0;
258-210=48, 48-42=6, logo r3=6;
45-42=3, logo r4=3 e r5=3
k
Seja agora N’= r1- r2+ r3- r4+ r5=  1 ak .
A regra é: N é divisível por 7 se e
somente se N’ é divisível por 7. No nosso
caso, N’= 2 – 0 + 6 – 3 + 3= 8, que não é
divisível por 7. Logo, N também não é
divisível por 7.
Demonstração da regra para um
número natural qualquer:
Para isso, usaremos, para os naturais a
e b, o conceito de congruência: dizemos
que “a é congruente a b módulo 7”, que
denotamos por a  b (mod 7), se e
somente se b – a é divisível por 7. Logo,
a  b (mod 7)  b-a é divisível por 7.
Pelas propriedades das congruências temos:
Se a é um múltiplo de 7, entãoa  0mod 7 .
Se a  bmod7 , entãob  amod7 .
Se a  bmod7  e b  b' mod7 , entãoa  b' mod7 .
Se a  bmod7  e c  d mod7 , então
a  c  b  d mod7 , a  c  b  d mod7  e ac  bd mod7 .
Se a  bmod7 , entãoa k  b k mod7  para k  1 inteiro.
Usando os resultados anteriores, vamos
demonstrar a regra:
Seja N um número natural e n1, n2 , ..., nm
os números obtidos pela separação dos
algarismos de N, por pontos, em grupos de
três algarismos da direita para a esquerda,
como no exemplo. Sejam r1, r2, ..., rm os
restos da divisão desses números por sete,
respectivamente. Então,
N= n1 + n2x1000+ n3x1000²+...+ nm x1000m-1.
No exemplo inicial temos
N=506 + 329x1000+258x1000²45x1000³+3x10004.
Como 1000  -1(mod 7) , pois 1001 é
divisível por 7, temos 1000k  (-1)k (mod7),
com k=1,2,3,...
Assim, dado um número natural a, se b é o
resto da divisão de a por 7, temos
a  b (mod 7) , então
ax1000k  ax(-1)k(mod 7)  bx (-1)k(mod 7). Logo,
n1 + n2x1000+ n3x1000²+...+ nm x1000m-1 
[r + r (-1) + r (-1)²+...+ r (-1) m-1](mod 7), ou
1
2
3
m
N  N’(mod 7) .
Portanto N  0(mod 7) N’  0(mod 7)
N= 3 045 258 329 506 
[2 + 0(-1) + 6(-1)²+ 3(-1)³+ 3](mod 7) 
8(mod 7)  1(mod 7) e como 1 não é
divisível por 7, N também não é.
Sugestão de atividade...
• Jogo “Treinando os critérios...”
Objetivos: Que o aluno seja capaz de:
 reconhecer os critérios de divisibilidade;
 desenvolver a capacidade de fazer cálculos mentais;
 fixar conteúdos matemáticos;
 simplificar frações
 criar estratégias de resolução
Pré-requisitos:
- Simplificação de frações
- Critérios de divisibilidade.
N° de jogadores: 2 ou mais jogadores/as.
Materiais:
- Tabuleiro - Peões - 50 Fichas com números inteiros
- 50 Fichas / perguntas
Modo de Jogar:
É decidido através de sorteio o jogador que inicia a partida.
Este deve pegar uma carta do monte (perguntas) e tentar
respondê-la. Respondendo corretamente, o jogador tem o
direito de resgatar uma carta do segundo monte, para saber
quantas casas irá deslocar-se no tabuleiro. O número de
casas a deslocar-se é regido pelo número de divisores (apenas
segundo os critérios estudados. Deve ser lembrado ao aluno
que existem outros divisores além dos trabalhados)da carta
resgatada (ex.: se o jogador tirar a carta 10, poderá
deslocar-se 3 casas, pois 10 pode ser dividido por 2, 5 ou 10,
e estes critérios foram estudados...). Vence o
jogador que primeiro chegar no final do tabuleiro.
Material utilizado para confecção do jogo:
O baralho pode ser confeccionado em papel
cartaz e protegido com Papel Contact. O
tamanho de cada carta pode ser do tamanho do
baralho normal ou, aproximadamente, de
5cmx8cm.
Modelo do tabuleiro:
Modelo das cartas:
Congruência
Uma congruência é a relação entre dois números
que,divididos por um terceiro (módulo de
congruência) deixam o mesmo resto. Por exemplo,
o número 10 é congruente ao número 3, módulo 7,
pois ambos deixam resto 3, ao serem divididos por 7.
Representamos essa congruência do exemplo por
103  (mod7).
Diferentes códigos numéricos de identificação, como
códigos de barras, números dos documentos de
identidade, CPF, CNPJ, ISBN, ISSN, criptografia,
calendários e diversos fenômenos periódicos estão
diretamente ligados ao tema.
Aplicação na escola básica:
Banco de questões da OBMEP:
A, B, C, D, E, F, G e H são os fios de apoio que uma
aranha usa para construir sua teia, conforme
mostra a figura. A aranha continua seu trabalho.
Sobre qual fio de apoio estará o número 118?
Fios A
B
C
D
E
F
G
H
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
...
...
...
...
...
...
...
...
Observando que os fios se repetem a cada oito
números conclui-se que os números de cada fio
formam uma sequência que aumenta de oito em
oito. Sendo assim, cada fio pode ser representado
a partir dos múltiplos de 8. O fio A corresponde
aos números que são múltiplos de 8 (divididos por
8 deixam resto zero; 8.n, com n natural.). O fio B
corresponde aos números que são múltiplos de 8,
mais 1 (divididos por 8 deixam resto 1; 8.n + 1, com
n natural). O fio C corresponde aos números que
são múltiplos de 8, mais 2 (divididos por 8 deixam
resto 2; 8.n + 2, com n natural). Essa lógica se
mantém até o fio H, definido pelos números que
divididos por oito deixam resto 7.
No caso do 118, temos: 118 : 8 = 14. 8 + 6,
pertence à família dos números que estão no fio G.
Aplicações
Sistemas de identificação
1) ISBN -International Standard Book Number
Código numérico onde as publicações são identificadas
através de 10 algarismos, sendo que o último (dígito
de controle) é calculado através da aritmética
modular envolvendo operações matemáticas com os
outros nove dígitos. Esses nove primeiros dígitos são
subdivididos em 3 partes, de tamanho variável,
separadas por hífen, que transmitem informações
sobre o país, editora e sobre o livro em questão.
Ex: Língua inglesa:algarismo 0, Editora McGraw-Hill
código de 2 algarismos -07-restam 6 algarismos para
identificação de suas publicações, havendo pois a
possibilidade de 1 000 000 de títulos.
Vejamos como se processa o cálculo do dígito
final do ISBN (controle).
Representando por a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a
sequência formada pelos 9 primeiros dígitos,
devemos multiplica-los, nessa ordem, pela base
{10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} e somar os produtos
obtidos. O dígito que está faltando, que vamos
representar por a10 deve ser o menor valor
possível, tal que ao ser acrescentado à soma
obtida, deve gerar um múltiplo de 11, isto é, se a
soma obtida é S, o número S + a.10 deve ser
múltiplo de 11, ou seja, S+a.10  0 (mod11)
Código do livro A Matemática do Ensino Médio,
Volume 1, da Coleção Professor de Matemática:
ISBN: 85-85818-10-7
Cálculo do dígito de controle que, como estamos
observando, é igual a 8.
8
5
8
5
8
1 8
1 0
10 9
8
7
6
5 4
3 2
Efetuando as multiplicações correspondentes e
somando os produtos obtidos, teremos:
8x10 + 5x9 + 8x8 + 5x7 + 8x6 + 1x5 + 8x4 + 2x3+
9x2 = 80 + 45 + 64 + 35 + 48 + 5 + 32 + 3 + 0=
312. E 312 :11 = 28.11+4, ou seja, apresenta
resto 4.
Para acrescentarmos o décimo algarismo
deveremos encontrar um múltiplo de 11.
O menor valor que atende a condição
estabelecida, será o número 7, pois 11–4=7.
Assim, com o valor apresentado no código,
temos 312 + 7 = 319 é um múltiplo de 11, ou
ainda, que 319  0 (mod 11).
No ISBN, se o dígito for igual a 10 (resto da
divisão por 11 ser igual a 1), é usada a
representação do 10 em algarismos romanos, ou
seja usa-se um X.
A partir de janeiro de 2007 os códigos do ISBN
estão sendo representados com 13 dígitos. No caso
dos livros editados no Brasil há um acréscimo dos
dígitos 978 antes do 85.
2) CÓDIGO DE BARRAS EAN-13
Código de barras constituído de 13 algarismos sendo
que o último é o dígito de controle. Nesse caso é
usada a congruência módulo 10 e os fatores que
compõem a base de multiplicação são os dígitos 1 e 3,
que vão se repetindo da esquerda para a direita.
Se a1a2a3a4a5 a6a7a8a9a10a11a12 a seqüência
formada pelos 12 primeiros dígitos, devemos
multiplicá-los, nessa ordem, pela base
{1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3} e somar os
produtos obtidos. Vamos representar por S a
soma obtida. O dígito que está faltando, que
vamos representar por a13 deve ser tal que ao
ser somado com S, deve gerar um múltiplo de
10, isto é, ou seja, S+a13  0(mod 10).
Numa embalagem de chá instantâneo, da Polônia,
temos o seguinte código de barras:
Vamos efetuar os cálculos para a determinação do
dígito de controle (que estamos vendo ser o dígito
4).
5 9 0 0 9 0 9 0 0 0 0 2
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3
(esta é a base de multiplicação, nesse caso)
5+27+0+0+9+0+9+0+0+0+0+6= 56:10 = 5.10+6, ou
seja, apresenta resto 6.
Para acrescentarmos o décimo terceiro algarismo,
deveremos encontrar um múltiplo de 10.
Logo, o dígito de controle será igual a 4 (10 – 6).
Note que 56 + 4 = 60 (múltiplo de 10).
No código de barras com 13 algarismos, os três
primeiros dígitos do código representam o país de
registro do produto (produtos filiados no Brasil
apresentam os dígitos 9, 8 e 7); os quatro dígitos
seguintes identificam o fabricante; os próximos
cinco dígitos identificam o produto e o último é o
dígito verificador ou de controle.
3) Cadastro das pessoas físicas na Receita
Federal – CPF
O número de CPF de uma pessoa, no Brasil, é
constituído de 11 dígitos, sendo um primeiro bloco
com 9 algarismos e um segundo, com mais dois
algarismos, que são os dígitos de controle ou de
verificação . No CPF, o décimo dígito ( primeiro
dígito verificador) é o resultado de uma
congruência, módulo 11 de um número obtido por uma
operação dos primeiros nove algarismos.
Se a1a2a3a4a5 a6a7a8a9 é a seqüência formada pelos
9 primeiros dígitos, devemos multiplicá-los, nessa
ordem, pela base {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e somar os
produtos obtidos. O dígito que está faltando, que
vamos representar por a10 deve ser tal que ao ser
subtraído da soma obtida S, deve gerar um múltiplo
de 11 (o número S - a10 deve ser múltiplo de 11),
S - a10  0 (mod 11).Este número será o
próprio resto da divisão por 11 da soma obtida.
O CPF de uma pessoa tem os seguintes 9 primeiros
dígitos: 661 386 120 , o primeiro dígito de controle
será obtido da seguinte maneira:
Escrevemos os nove primeiros e, abaixo deles, a base
de multiplicação com os dígitos de 1 a 9.
6 6 1 3 8 6 1 2 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Efetuando as multiplicações correspondentes,
teremos:
6x1 + 6x2 + 1x3 + 3x4 + 8x5 + 6x6 + 1x7 + 2x8 + 0x9 =
=153. 153:11 = 13x11 + 10
Se o resto da divisão for 10 (número obtido é
congruente a 10, módulo 11) utiliza-se, o dígito zero.
Dessa forma, o primeiro dígito de controle será o
algarismo zero.
A obtenção do segundo dígito de controle é similar a
anterior. Agora o décimo dígito é acrescentado e
utiliza-se uma base de multiplicação de 0 a 9.
6 6 1 3 8 6 1 2 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
6x0 + 6x1 + 1x2 + 3x3 + 8x4 + 6x5 + 1x6 + 2x7 + 0x8 +
+0x9= 99. 99:11=9x11 + 0 .
Sendo assim, o segundo dígito de controle é zero.
O CPF será então 661 386 120 00.
Referências
DANTE, Luiz R. Restos , congruências e divisibilidade, In:RPM,
n.10, 1º semestre de 1987.
FREIRE,Benedito T. V. Congruência, divisibilidade e adivinhações,
In:RPM, n. 22, 1992.
JURKIEWICZ, Samuel. Divisibilidade e Números Inteiros: Introdução à
Aritmética Modular. Iniciação Científica OBMEP 2006. Rio de Janeiro:
Imprinta Express Gráfica e Editora Ltda, 2006.
SÁ, Ilydio P. de. Aritmética modular e algumas de suas aplicações,
p. 1 a 16. Disponível em :
http://www.magiadamatematica.com/diversos/eventos/20-congruencia.pdf
Acesso em 24 set. 2009.
SANTOS, José P. O. Introdução a teoria dos números. Rio de Janeiro:
IMPA, 2006.
UMBELINO JR., Arnaldo. Divisibilidade por 7, In: RPM, n.43, 2000.