3ª LISTA DE EXERCÍCIOS – LEI DE GAUSS
1. Faz-se uma separação de cargas num condutor originalmente descarregado, pela
aproximação de um bastão carregado positivamente, como mostra a Fig. 1. Que se pode
dizer, partindo da Lei de Gauss, a respeito do valor do fluxo ΦE para cada uma das cinco
superfícies apresentadas? Suponha que a carga negativa induzida no condutor seja igual,
em módulo, à carga positiva existente no bastão.
Figura 1
Resposta: +q = carga no bastão; ΦS1 = q/ε0; ΦS2 = -q/ε0; ΦS3 = q/ε0; ΦS4 = 0;
ΦS5 = q/ε0
2. A intensidade do campo elétrico terrestre, perto da superfície, é ≈130N/C, apontando
para baixo. Qual é a carga da Terra, supondo que esse campo seja devido a ela?
Resposta: -6 × 105 C
3. A “Lei de Gauss para a gravitação” é dada por
1
1
Φg =
g ⋅ ds = − m
4πG
4πG ∫
onde m é a massa existente no interior da superfície Gaussiana e G é a constante
universal da Gravitação. Obtenha, no resultado acima, a Lei da Gravitação de Newton.
4. A equação E = σ/ε0 nos dá o valor do campo elétrico para os pontos próximos da
superfície de um condutor carregado. Mostre que essa equação nos leva a um resultado
bem conhecido, quando aplicada à uma esfera condutora de raio r e carga q.
Resposta: Ela leva a E = q / 4πε0r2
1
5. A Fig. 2 mostra uma carga puntiforme de 1,0 × 10-7 C no centro de uma cavidade
esférica de 3,0 cm de raio existente num pedaço de metal. Use a Lei de Gauss para obter
o valor do campo elétrico no ponto a, eqüidistante entre a carga e a superfície, e no ponto
b.
Figura 2
Resposta: 4,0 × 106 N/C; Zero
6. Uma casca esférica metálica, fina e descarregada, tem no seu centro uma carga
puntiforme q. Usando a Lei de Gauss, dê uma expressão para campo elétrico (a) dentro
da casca e (b) no seu interior. (c) Tem a casca metálica alguma influência no campo
produzido pela carga q? (d) A presença da carga q tem alguma influência sobre a casca
metálica? (e) Haverá alguma força atuando numa outra carga puntiforme colocada ao
lado de fora da casca? (f) Sentirá a carga q a presença desta carga externa? (g) Existe
alguma contradição com a terceira Lei de Newton?
Resposta: (a) E = q / 4πε0r2, radialmente para fora; (b) O mesmo que (a); (c) Não;
(d) Sim, porque serão induzidas cargas na superfície; (e) Sim; (f) Não; (g) Não
7. Uma esfera não condutora, de raio a, é colocada no centro de uma casca esférica
condutora, de raio interno b e raio externo c, como na Fig. 3. Uma carga +Q está
distribuída uniformemente através da esfera interior (densidade ρ em C/m³). A casca
interna tem carga -Q. Calcule E(r), (a) dentro da esfera ( r < a), (b) entre a esfera e a
casca (a < r < b), (c) dentro da casca (b < r < c) e (d) fora da casca (r > c). (e) Quais são
as cargas que surgem nas superfícies interna e externa da casca?
Figura 3
Resposta: (a) E = (Q / 4πε0a³)r ; (b) E = Q/ 4πε0r²; (c) Zero; (d) Zero; (e) Interna: -Q;
externa: zero
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8. Duas cascas esféricas condutoras concêntricas têm raios iguais a R1 = 0,145 m e R2 =
0,207 m. A esfera interior possui uma carga de -6,0 × 10-2 C. Um elétron escapa da
esfera interior com velocidade desprezível. Supondo que na região entre as esferas exista
o vácuo, calcular a velocidade com a qual se choca com a esfera exterior.
Resposta: 2,0 × 107 m/s
9. Uma esfera isolante maciça possui uma densidade de carga por unidade de volume,
uniforme, ρ. Seja r o vetor que liga o centro da esfera até um ponto qualquer P no seu
interior, (a) mostrar que o campo elétrico P é dado por E = ρr / 3ε0. (b) Uma cavidade
esférica é produzida na esfera acima, como mostra a Fig. 4. Usando conceitos de
superposição, mostrar que o campo elétrico em todos os pontos do interior da cavidade é
dado por E = ρr / 3ε0 (campo uniforme), onde a é o vetor que une o centro da esfera ao
centro da cavidade. Notar que ambos os resultados são independentes dos raios da esfera
e da cavidade.
Figura 4
10. A Fig. 5 mostra uma secção reta através de dois longos cilindros coaxias, de raios
respectivamente iguais a a e b. Os cilindros possuem cargas opostas, com o mesmo
módulo λ para a densidade por unidade de comprimento, como mostra a figura. Usando a
Lei de Gauss, mostre que: (a) E = 0, para r > b e r < a;
1 λ
(b) para a < r < b, E é dado por E =
2π ε 0 r
Figura 5
3
11. Duas extensas placas metálicas, paralelamente dispostas como mostra a Fig. 6, possuem
densidades superficiais de cargas uniformes +σ e -σ, respectivamente, localizadas em
suas superfícies internas. Qual o valor de E para os pontos (a) à esquerda das placas, (b)
entre elas e (c) à direitas das placas? Considere apenas pontos afastados das bordas e cuja
distância às placas é pequena, cm parada com as dimensões das mesmas.
Respostas: (a) Zero; (b) E = σ / ε0; (c) Zero
12. Duas placas externas isolantes, uniformemente carregadas com a mesma densidade
superficial σ, estão dispostas paralelamente uma à outra, como mostra a Fig. 7. Qual o
valor de E para os pontos (a) à esquerda das placas, (b) entre as placas e (c) à direita das
placas? Considere apenas pontos afastados das bordas e cuja distância às placas é
pequena, comparada com as dimensões das mesmas. (Sugestão: O valor de E num ponto
qualquer é a soma vetorial dos campos elétricos devidos a cada uma das placas
separadamente.)
Resposta: (a) E = σ / ε0, para a esquerda; (b) E = 0; (c) E = σ / ε0, para a direita
13. Um elétron é projetado com uma energia cinética de 100 eV, diretamente sobre uma
placa cuja densidade superficial de carga é igual a -2,0 × 10-6 C/m². A partir de que
distância deve ser projetado o elétron para que se consiga atingir a placa?
Resposta: 0,44 mm
14. Uma partícula α, ao aproximar-se de um núcleo de ouro, encontra-se separada da
superfície deste pela distância de um raio nuclear (6,9 × 10-15 m). (a) Qual a força
eletrostática sobre a partícula α? (b) Qual o valor da sua aceleração nesse ponto? A
massa da partícula, que aqui pode ser considerada como um ponto, é de 6,7 × 10-27 kg.
Resposta: (a) 190 N; (b) 2,9 × 1028 m/s²
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