Problema de Valor de Contorno com Dois Pontos via Equação
Integral de Fredholm em Teoria de Domı́nios
Antonio Espósito Junior
Instituto Politécnico da UERJ,
28630-050, Nova Friburgo, RJ
E-mail: [email protected],
Juarez Assumpção Muylaert
UERJ - Departamento de Modelagem Computacional
Campus Instituto Politécnico
28630-050, Nova Friburgo, RJ
E-mail: [email protected].
1
Introdução
Neste artigo, damos continuidade ao programa
iniciado por Edalat e Pattinson em [EP04b,
EP04a, EP06] onde os autores aplicam Teoria
de Domı́nios para estudar problemas de valor
inicial e o método de Euler. Além de aplicarmos suas técnicas, as trazemos mais perto
ainda da Teoria de Domı́nios pois lançamos
mão das medições de Martin como relatadas
em [Mar00] para medir a complexidade dos algoritmos envolvidos na solução de problemas
de valor de contorno com dois pontos através
da equação de Fredholm.
As técnicas apresentadas servem como uma
alternativa, ou complemento, para a Análise
Funcional Clássica quando utilizada como ferramenta matemática da Análise Numérica. A
grande diferença entre Teoria de Domı́nios e
Análise Funcional, dentro deste contexto, reside no fato da noção de convergência pertencer aos próprios espaços enquanto que isso geralmente não ocorre classicamente. Como conseqüência, o estudo de convergência é feito a
partir de uma medição do espaço de funções
intervalares contı́nuas à la Scott que, diferentemente da matemática clássica, independe da
norma. Desta forma, podemos adaptar as
mesmas técnicas a vários problemas diferentes como relatado em [EJ03, EJM04b, EJM05,
EJM04a].
A equação integral de Fredholm pode estar
relacionada com certos tipos de equações diferenciais e suas condições de contorno. Es-
ses problemas de valores de contorno são de
uma classe grande de problemas importantes
em Matemática Aplicada como na investigação
de fenômenos de caráter difusivo.
Considere o problema de valores de contorno
em fronteira com dois pontos da forma
f ′′ (x) = v(x, y), f (0) = f (1) = 0
que pode ser escrito
R 1 na forma de uma equação
integral f (x) = 0 k(x, y)v(y, f (y))dy onde
k(x, y) =
y(x − 1), y ≤ x
x(y − 1), y > x
Considerando a equação integral como um
operador integral que a cada função contı́nua
f sobre o intervalo [0, 1] produz uma outra
função baseado na propriedade da contração,
seu processo iterativo converge, implicando na
existência e unicidade de solução. Definindo em
Teoria de Domı́nios um funcional integral intervalar que mapeia o espaço de funções contı́nuas
de Scott intervalar de variável real, com a ordem parcial ponto a ponto para função, produzimos uma solução aproximada com o grau de
acurácia pretendido. Em particular, as aproximações das soluções encontradas na Análise
Intervalar como cota inferior e cota superior
são, respectivamente, as funções semi-contı́nua
inferiormente e semi-contı́nua superiormente
que compõem uma função contı́nua de Scott
intervalar.
Munindo, em Teoria de Domı́nios, o espaço
de funções contı́nuas de Scott intervalar de
direcionado completo se todo subconjunto direcionado de P tem supremo. Os posets com
essa propriedade são chamados de domı́nios ou
dcpo’s do inglês “directed complete posets”.
Sejam X e Y domı́nios. Uma função f : X →
Y é contı́nua de Scott, se para todo conjunto direcionado D em X, ⊔(f [D]) existe e é igual a
f (⊔D), ou seja, o supremo do conjunto imagem
de D existe e é igual à imagem do supremo do
conjunto D. Um domı́nio de Scott é um dcpo
contı́nuo com menor elemento ⊥ tal que cada
par de elementos cotado superiormente tem supremo.
A medição sobre um domı́nio X é uma
função contı́nua de Scott µ : X → [0, ∞)∗ sobre os reais não-negativos na sua ordem reversa
que dá forma definitiva a noção de “conteúdo
de informação” para os elementos de X. Se
x ≪ r, então |µ(x) − µ(r)| é uma medida de
quão próximo x está de r. Já µ(x) é a medida
2 Domı́nios
de
Scott
e da incerteza contida em x. Em Martin [Mar00],
Medições: alguns conceitos encontramos µ → PX para indicar quando a
medida induz a topologia de Scott em todo X,
e resultados fundamentais
de modo que o conjunto {µǫ (x) | x ∈ X e ǫ > 0}
As nossas referências para Teoria de Domı́nios forma uma base para a topologia µ sobre X,
onde µǫ = {y ∈ X | y ⊑ x e |µ(x) − µ(y)| < ǫ}.
é [AJ94] e para medições [Mar00].
As propriedades de medida mais úteis em
Um conjunto P parcialmente ordenado é chamado de “poset” do inglês partially ordered set. aplicações são as seguintes:
Escreve-se P para o poset (P, ⊑), onde ⊑ é uma
Se D é um domı́nio
relação binária. O menor elemento de um po- Proposição 1. ([Mar00])
P
set (P, ⊑) é um elemento ⊥ ∈ P tal que ⊥ ⊑ x com medida µ → X , X ⊆ D, então:
para todo x ∈ P . Um elemento x ∈ P é maxi1. Para todo x ∈ D e y ∈ X ⊆ D , x ⊑
mal se para todo y ∈ P , x ⊑ y ⇒ x = y. O
y e µ(x) = µ(y) ⇒ x = y;
conjunto dos elementos maximais de um poset
é representado por maxP.
2. Para todo x ∈ D , µ(x) = 0 ⇒ x ∈ max
Seja um poset (P, ⊑). Um ponto a em P
D;
é uma aproximação de um ponto x, escreve-se
a ≪ x, se, e somente se, para todo subconjunto
3. Para todo x ∈ X e qualquer seqüência (xn )
direcionado D ⊆ P que tem supremo, x ⊑ ⊔D
em D com xn ⊑ x, se µ(xn ) ≪ µ(x) então
F
implica em existir d ∈ D tal que a ⊑ d. No
(xn ) = x e esse supremo converge na tocaso disso ocorrer para a = x, chamamos a de
pologia de Scott.
isolado. Um subconjunto A de um poset P é
aberto de Scott se
Nota-se que {x ∈ D | µ(x) = 0} ⊆ max(D).
Isso significa que um elemento com nenhuma
• A é um conjunto superior: x ∈ A e x ⊑
incerteza é maximal na ordem de informação.
y ⇒ y ∈ A, e
Uma separação sobre um poset P é uma
auto–função s : P → P com x ⊑ s(x) para
• para todo conjunto
F direcionado D ⊆ P que todo x ∈ P . Seu conjunto de pontos fixos é
possui supremo, D ∈ A ⇒ D ∩ A 6= ∅
f ix(s) = {x ∈ P : s(x) = x}
A coleção de todos os conjuntos abertos de
A relação f entre conjuntos X e Y , escrita
Scott do poset P é P
chamada de topologia de f : X → Y , é dita função parcial quando para
Scott, denotada por P . Um poset P é dito todo x ∈ X existe no máximo um único y ∈ Y
uma medição que estabelece a ordem de informação, isto é, o quão boa uma aproximação
é em relação a solução, temos o estudo da convergência, de forma mais simples, através do
cálculo da derivada informática do funcional integral intervalar em seu ponto fixo.
Este artigo está dividido da seguinte maneira. Na próxima seção, encontram-se alguns dos conceitos e resultados fundamentais
da Teoria de Domı́nios. Em seguida, temos a
seção que apresenta a modelagem da solução da
equação integral como ponto fixo do seu operador associado em Teoria de Domı́nios. Na
seção seguinte, temos o estudo da convergência
em Teoria de Domı́nios através do cálculo da
derivada informática do operador intervalar associado a equação integral. Finalmente, concluı́mos o trabalho.
tal que f (x) = y. Fazendo a restrição da função então ⇒ sn (x) ⊑ q e | µ(sn (x)) − µ(q) |< ε
contı́nua f : D → D para o conjunto
desde que x 6= q e n ≥ 1.
I(f ) = {x ∈ D : x ⊑ f (x)}
se produz uma separação com medida µ ◦ f .
Teorema 2.1. ([Mar00])
P Seja D um domı́nio
com a medida µ →
D e s : D → D é a
separação parcial. Se para qualquer seqüência
(xn ) em dom(s) (conjunto dos pontos de definição de s) temos
F
µ ◦ s( xn ) = lim µ ◦ s(xn ),
n→∞
F
n
então n≥0 s (x) ∈ f ix(s) para qualquer x ∈
dom(s). E mais, f ix(s) = dom(s) ∩ max(D)
se, e somente se, µ ◦ s(x) < µ(x) para todo
x ∈ dom(s) com µ(x) > 0.
A utilização da derivada informática permite
dar sentido à idéia de “taxa de variação” com
respeito a medida.
Definição 2.2. Seja f : X →
PX uma função
sobre o domı́nio X com µ → X . Se f : X →
X é uma função parcial e q ∈ X\K(X) , então
df
(q)
dµ
=
lim
x→q
µ◦
f (x) - µ◦f (q)
µ(x) - µ(q)
é chamada a derivada informática de f no
ponto q em relação a medida µ, onde K(X)
é o conjunto dos pontos isolados de X.
Representa-se a derivada informática,
também, por fµ (q), dfµ (q) e algumas vezes
como df (q).
Para modelar a idéia do cálculo da ordem de
convergência para a Teoria de Domı́nios estendida com a noção de medida, consideram-se as
sequências (xn ) como um algoritmo numérico
que converge para seu supremo q na topologia
µ sobre o domı́nio X, e troca-se | xn − q |
por | µ(xn ) − µ(q) | na definição do cálculo de
convergência na análise numérica clássica.
Proposição 2. ([Mar00])
P Seja X um domı́nio
com a medida µ →
X e s : X → X uma
função parcial que mapeia em dom(s). Se s
é contı́nua na topologia µ para o ponto fixo q
e 0 < dsµ (q) < 1, então para todo 0 < ε <
1 − dsµ (q), existe uma aproximação a ≪ q tal
que para todo x ∈ dom(s),
ε
)
log(
µ(x) − µ(q)
a⊑q en≥
log(dsµ (q) + ε)
Nós vamos trabalhar ao longo desse artigo
com funções de valores intervalares. Essas
funções produzem valores no domı́nio intervalar IR = {[a, b]|a, b ∈ R, a ≤ b} ∪ {R}
onde a ordem é dada pela inclusão reversa, a
relação de aproximação ≪ é caracterizada por
[a, b] ≪ [c, d] se, e somente, se a < c e d < b e
a medição é a função µ : IR → [0, ∞)∗ definida
por µ([a, b]) = b − a.
Para um intervalo compacto [a, b] denotamos
o domı́nio de intervalos contidos em [a, b] por
I[a, b]. Funções de valores intervalares podem
ser obtidas pela extensão de funções contı́nuas
f : [a, b] → R para o domı́nio intervalar, produzindo
fˆ : I[a, b] → IR, X 7→ [ inf f (x), sup f (x)]
x∈X
x∈X
onde X representa um intervalo compacto
X ⊆ R. Qualquer função contı́nua f :
[a, b] → IR pode ser definida por uma
função superior e uma função inferior, respectivamente f + : [a, b] → R e f − :
[a, b] → R, com f − ≤ f + ponto a
ponto. Escrevemos f = [f − , f + ] se f (x) =
[f − (x), f + (x)] para todo x ∈ X. Maiores
informações podem ser obtidas em [Esc97].
Rb
Definimos
a integral dei f por a f (x)dx =
hR
Rb +
b −
a f (x)dx, a f (x)dx .
Lema 2.3. Sejam f e g funções contı́nuas de
valores intervalares de variável real x ∈ [a, b].
Rb
Rb
Se g(x) ⊑ f (x) então a g(x)dx ⊑ a f (x)dx.
Considerando a equação de operador da
forma f (x) = p(f )(x) onde o operador p pode
incluir derivadas e integrais da função f (x), vamos supor que p está definido para uma classe
M de funções reais contı́nuas f com domı́nio
comum [a, b] e que p : M → M .
Seja o operador intervalar P : D → D
contı́nuo de Scott sobre a classe D do modelo
computacional de M , com a imersão topológica
I : M → D definida por I(f ) = λx.[f (x), f (x)].
O seguinte teorema, cuja versão em Análise Intervalar é fornecido em [Moo66, Moo79], fornece uma base para procedimentos computacionais visando reconhecer a existência de
solução e de convergência do algoritmo iterativo para resolver a equação de operador.
Teorema 2.4. Seja P contı́nua de Scott. Se
Consideremos a equação integral como um
f0 ⊑ P (f0 ) então a seqüência definida por operador integral da forma f (x) = p(f )(x) que
fn+1 = P (fn ), n = 0, 1, 2, · · · no sub-domı́nio para cada função contı́nua f sobre o intervalo
↑ f0 possui as sequintes propriedades:
[0, 1] produz uma outra função p(f ). Então,
uma solução f de (1) é expressa como um
1. fn ⊑ fn+1 , n = 0, 1, 2, · · · ;
“ponto fixo” do operador integral p. Se p pos2. Para qualquer
x ∈ [a, b], o limite sui a propriedade de p(f ) pertencer ao espaço
F∞
f (x) = n=0 fn (x) existe como um inter- métrico M de todas as funções contı́nuas f sobre o intervalo [0, 1] com valores em [c, d] e se
valo fn (x) ⊑ f (x), n = 0, 1, 2, · · · ;
existe um c < 1 tal que para todo f1 , f2 ∈ M
3. Qualquer solução de f (x) = p(f )(x) que
k p(f1 ) − p(f2 ) k< c k f1 − f2 k
está em f0 também está em fn para todo
n e em f também, isto é, se f (x) ∈ f0 (x) temos as condições que implicam na existência
para x ∈ [a, b] então f (x) ∈ fn (x) para e unicidade do ponto fixo de f . Além do mais,
todo n e x ∈ [a, b].
se f1 ∈ M , a seqüência fn+1 = p(fn ) de funções
em M convergem para a função f de (1).
4. Se existe um número real c tal que 0 ≤
Intepretando este resultado temos que (1)
c ≤ 1 para o qual f0 ⊑ f implica µ(p(f ) ≤
terá uma única solução que é o limite da
cµ(f ) onde µ é a medição sobre D, então
seqüência de funções definida por:
f (x) = p(f )(x) possui uma única
F∞ solução
f0 (x)
= 0
f (x) em ↑ f0 dada por f (x) = n=0 fn (x).
R1
fn+1 (x) = 0 K(x, y)v(y, f (y))dy
3
O Problema
para n = 0, 1, 2, . . .. Vamos definir em Teoria de Domı́nios o operador intervalar para o
Considere o problema de valor de contorno com conjunto de funções contı́nuas para o domı́nio
dois pontos da seguinte forma:
D([0, 1]) definido por
f ′′ (x) = v(x, f (x)), f (0) = f (1) = 0
(1)
{f ∈ [0, 1] → IR | f é contı́nua de Scott}
com a imersão topológica I : C([0, 1]) →
D([0, 1]) definida por I(f ) = λx.[f (x), f (x)].
Qualquer função intervalar f : X ⊂ [0, 1] →
IR é dada por uma função superior e uma
0
0
função inferior. Escreveremos f = [f − , f + ] se
Da condição f (0) = 0 temos c1 = 0. R Obte- f (x) = [f − (x), f + (x)] para todo x ∈ X.
1
mos da condição f (1) = 0 que c2 = − 0 (1 −
A extensão canônica do integrando do proz)v(z, f (z))dz. Podemos agora reescrever o blema (1) para uma função intervalar gb : [0, 1]×
problema da seguinte forma:
[0, 1] × IR → IR é definida por
R1
f (x) = −xR 0 (1 − y)v(y, f (y))dy
gb(x, y, Z) = [ inf g(x, y, z), sup g(x, y, z)]
x
z∈Z
z∈Z
+ o (x − y)v(y, f (y))dy
Notemos que [[0, 1] × [0, 1] × IR → IR], o conAnalisando o núcleo das integrais podemos junto das funções contı́nuas de Scott com a orreescrever a equação acima da seguinte forma: dem ponto a ponto, é um domı́nio contı́nuo de
Z 1
Scott.
f (x) =
K(x, y)v(y, f (y))dy,
Frequentemente, identificamos a função com
0
sua extensão canônica se está clara sua conotação dentro do contexto.
onde
Sendo g(x, y, f (y)) = K(x, y)v(y, f (y)) defi
y(x − 1), y ≤ x
nida
na equação integral, podemos reescrevê-la
K(x, y) =
x(y − 1), y > x
por
Essa equação integral é equivalente à equação
gI (x, y, f (y)), y ≤ x
g(x,
y,
f
(y))
=
(1) e incorpora as condições de contorno.
gS (x, y, f (y)), y > x
A dupla integração de (1) nos fornece
Z xZ y
v(z, f (z))dzdy.
f (x) = c1 + c2 x +
onde gI (x, y, f (y)) = y(x − 1)v(y, f (y)) e temos
gS (x, y, f (y)) = x(y − 1)v(y, f (y)). Em Teoria
∓
u±
I (x, y, f0 (y)) = y(x − 1)v (y, f0 (y))
de Domı́nios temos a extensão canônica de g
±
∓
uS (x, y, f0 (y)) = x(y − 1)v (y, f0 (y))
definida por:
Seja o intervalo B = [B, B] ∈ IR tal que B ⊑
gI (x, y, Z), y ≤ x
g(x, y, Z) =
v(y, f0 (y)) para todo y ∈ [0, 1]. Então, B ≤
gS (x, y, Z), y > x
v − (y, f0 (y)) ≤ v + (y, f0 (y)) ≤ B. Segue daı́
onde
gI (x, y, Z)
=
[inf z∈Z y(x − que:
1)v(y, z), supz∈Z y(x− 1)v(y, z)] e gS (x, y, Z) =
R1
Rx
[ y(x − 1)Bdy + x x(y − 1)Bdy,
[inf z∈Z x(y − 1)v(y, z), supz∈Z x(y − 1)v(y, z)].
R1
R x0
Agora, então, definimos o operador inter0 y(x − 1)Bdy + x x(y − 1)Bdy]
⊑ Pu (f0 )(x)
valar para uma função contı́nua arbitrária
u : [0, 1] × [0, 1] × IR → IR e mais tarde
x
focamos sobre o caso especial quando u é a Calculando, temos 2 (x− 1)B ⊑x Pu (f0 )(x) para
todo x ∈ [0, 1]. Se f0 (x) ⊑ 2 (1 − x)B para
extensão canônica de uma função clássica.
todo x ∈ [0, 1], então pela transitividade temos
Definição 3.1. Seja u : [0, 1] × [0, 1] × IR → f0 ⊑ Pu (f0 ). Nessas condições, a seqüência
IR contı́nua. Define-se o operador intervalar definida por fn+1 = Pu (fn ) para n = 1, 2, . . .
Pu : D([0, 1]) → D([0, 1]) para f = [f + , f − ] possui as seguintes propriedades:
por
1. fn ⊑ fn+1 para n = 1, 2, . . .;
Rx
Pu (f )(x) = [ 0 u− (x, y, f (y))dy
R1 −
2. F
Para todo x ∈ [0, 1], existe f (x) =
+
R x x +u (x, y, f (y))dy,
x∈N fn (x) tal que fn (x) ⊑ f (x) para
0 Ru (x, y, f (y))dy
n
= 1, 2, . . .;
1
+ x u+ (x, y, f (y))dy]
3. qualquer solução de (1) que se encontra
no caso das integrações serem definidas e
em f0 também é encontrada em fn para
Pu (f )(x) = R caso contrário.
todo n ∈ N, bem como em f de acordo
com o Teorema 2.4. Segue daı́ um processo
Uma vez que u e f são contı́nuas
de construção da solução do problema (1),
−
de Scott, segue que λ(x, y).u (x, y, f (y)) e
lembrando que f0 é o menor elemento de
λ(x, y).u+ (x, y, f (y)) são, respectivamente, seD.
micontı́nua inferiormente e superiormente e
também mensuráveis. Daı́ Pu ser bem definida.
O teorema a seguir pode ser visto como a
alternativa
em Teoria de Domı́nios para o TeoLema 3.2. ([EP04b]) Se u : [0, 1] × [0, 1] ×
rema
do
Ponto
Fixo de Banach, cuja demonsIR → IR é contı́nua de Scott então Pu também
tração pode ser encontrada em [EP04b].
o é.
Em Teoria de Domı́nios inciamos as aproximações da solução do problema (1) com a
função que contém a menor quantidade de informação, denotada aqui por f0 . Associado a
ela, o conjunto superior ↑ f0 = {f ∈ D([0, 1]) |
f0 ⊑ f }, denotado por D corresponde ao subdomı́nio de D([0, 1]) no qual as soluções são
aproximadas e f0 é o menor elemento. Seja f0
tal que o valor de contorno 0 pertença a f0 (0)
e f0 (1). Supondo que Pu (f0 ) é definida para f0
e tomando, em particular, a extensão canônica
de v em (1) para a função intervalar
v
: [0, 1] × IR → IR
v(x, Y ) = [inf y∈Y v(x, y), supy∈Y v(x, y)]
Teorema
F 3.3. Supondo fn+1 = Pu (fn ) temos
que f = n∈N fn satisfaz Pu (f ) = f .
A relação entre a solução da equação integral
em Teoria de Domı́nios e o problema (1) é dada
pelo seguinte lema:
Lema 3.4. ([EP04b]) Suponha que f =
[f − , f + ] ∈ D([0, 1]) satisfaz Pu (f ) = f e que
f − = f + . Então f − = f + resolve (1).
Com isso, a seqüência de funções intervalares definida pelo operador intervalar Pu sobre
o sub-domı́nio D converge para uma função
real contı́nua. Portanto, para obter a solução
clássica do problema (1) em Teoria de Domı́nios
é necessário encontrar o ponto fixo de Pu
Pela estimativa anterior, temos µ(Pu (g)) ≤
µ(Pu (g))
u
L
que corresponde a sua imersão topológica em 8 µ(g).
≤
Daı́ dP
dµ (f ) = limg→f
µ(g)
D([0, 1]), ou seja, uma função intervalar com lim
L
L
g→f 8 = 8 . Portanto, µPu (g)) − µ(f ) ≤
medida nula.
L
8 (µ(g) − µ(f )). Interpretando esta fórmula,
Considerando o domı́nio D([0, 1]) definimos temos
que o operador intervalar Pu oferece
a seguinte medição µ : D([0, 1] → [0, ∞)∗ :
uma redução da incerteza a cada aplicação. A
condição adicional L8 < 1 nos permite calcuµ(f ) = sup{f + (x) − f − (x) | x ∈ domf }
lar a estimativa para o número de iterações a
−
+
serem feitas antes de atingir a precisão ǫ > 0:
para f = [f , f ] ∈ D([0, 1]).
log
ǫ
µ(g)
Construimos um ponto fixo de Pu com me- n ≥
log( L
+ǫ)
8
dida nula impondo a seguinte condição de Lipschitz sobre v: existe L > 0 tal que 0 < L8 < 1 e
|| v(x, y1 ) − v(x, y2 ) ||≤ L | y1 − y2 | para todo 4 Exemplo
(x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1].
Dado o problema de valores de contorno em
Assumindo a condição de Lipschitz, temos
fronteira com dois pontos
a seguinte estimativa que garante ao menor
ponto fixo de Pu a medida nula.
f ′′ (x) = 2f (x) + 1, f (0) = f (1) = 0
Lema 3.5. Suponha f0
µ(Pu (f )) ≤ L8 µ(f ).
⊑
f.
Então, vejamos a computação das quatro primeiras
aproximações de sua solução. Passando para
a forma de uma equação integral temos:
Demonstração. Usando a condição de LipsRx
f (x) = 0 y(x − 1)(2f (y) + 1)dy
chitz, calculamos (abaixo, supx∈[0,1] é abreviR1
ado por S):
+ x x(y − 1)(2f (y) + 1)dy
µ(PuR(f ))
x
= S[ 0 y(1 − x)(v + (y, f (y)) − v − (y, f (y))dy+
R1
+
−
x Rx(1 − x)(v (y, f (y)) − v (y, f (y))dy]
x
= S[ 0 y(1 − x)(supz∈[f − ,f + ] v(y, z)
− inf
− + v(y, z)dy)+
R 1 z∈[f ,f ]
x(1
−
x)(supz∈[f − ,f + ] v(y, z)
x
− inf
R x z∈[f − ,f + ] v(y, z)dy]
= S[ 0 y(1 − x)(v(y, f + (y)) − v(y, f − (y))dy+
R1
+
−
x Rx(1 − x)(v(y, f (y)) − v(y, f (y))dy]
x
≤ S[ 0 y(1 − x)L | f + (y)) − f − (y) | dy+
R1
+
−
x Rx(1 − x)L | f (y) − f (y) | dy]
x
≤ S[ 0 y(x − 1)Lµ(f )dy+
R1
x x(y − 1)Lµ(f )dy]
2
= Lµ(f )S[− x2 + x2 ]
= L8 µ(f )
Tomando a extensão canônica
v(x, Y ) = [inf y∈Y 2y + 1, supy∈Y 2y + 1]
Obtemos o funcional intervalar
Rx
Pv (f )(x) = [ 0 y(x − 1)v + (y, f (y))dy
R1
+ (y, f (y))dy,
+
R x x x(y − 1)v
−
y(x − 1)v (y, f (y))dy
0 R
1
+ x x(y − 1)v − (y, f (y))dy]
Seja f0 (x) = [−1, 1] a aproximação inicial tal
que 0 ∈ f0 (0) e 0 ∈ f0 (1). Logo, v(x, f0 (x)) =
[−1, 3]. Então x2 (x − 1)[−1, 3] ⊑ Pv (f0 )(x) para
x ∈ [0, 1]. Como [− 38 , 18 ] ⊑ [ 32 x(x − 1), − 21 x(x −
1)] para x ∈ [0, 1] segue que f0 ⊑ Pv (f0 ). Segue
daı́ que a solução pertence ao sub-domı́nio D =
{f : [0, 1] → IR | f0 ⊑ f }. Temos as seguintes
L
aproximações:
Portanto, µ(Pu (f )) ≤ 8 µ(f ). Segue daı́ que
2
existe 0 < c < 1 tal que L8 < c < 1 e f
= [ 32 x2 + 23 x, − x2 + x2 ]
1
µ(Pu (f )) ≤ cµ(f ).
v(x, f (x)) = [3x2 − 3x + 1, −x2 + x + 1]
1
Essa estimativa nos permite mostrar que o
menor ponto fixo de Pu possui medida zero,
isto é, é a solução do problema (1).
Proposição 3. ([EP04b]) Seja fn+1 = Pu (fn )
para n ∈ N. Então
µ(fn ) ≤ cn µ(f0 ). Em
F
particular, f = n∈N fn satisfaz Pu (f ) = f
e µ(f ) = 0.
7
1 4
x + 61 x3 + 12 x2 − 12
x,
= [− 12
1 3
1 2
x
1 4
−4x − 2x + 2x − 4 ]
v(x, f2 (x)) = [− 61 x4 + 31 x3 + x2 − 76 x + 1,
1
1 4
3
2
2 x − x + x − 2 x + 1]
1 6
1 5
1 4
f3
= [ 60
x − 20
x + 12
x
1 2
7
1 3
x,
− 12 x + 2 x − 15
1 5
1 4
1 6
x −
− 180 x + 60 x + 12
1 2
2
7 3
x
+
x
−
x]
36
2
5
f2
Do fato de L = 2 ser a constante de Lipschitz [EJM04a] A. Espósito Jr and J. A. Muylav (f )
ert. Método intervalar em teoria
≤ 14 como
v(x, y) = 2y + 1. Temos que dPdµ
de domı́nios para equação integral.
estimativa de taxa de convergência e para uma
Anais IX Encontro de Modelagem
aproximação com precisão ǫ = 0.01 temos a seComputacional, 1, 2004.
guinte estivmatica para o número de iterações:
n≥
5
log( 0.01
2 )
≅ 3.9332
1
log( 4 + 0.01)
Conclusões
[EJM04b] A. Espósito Jr and J. A. Muylaert.
Modelando métodos numéricos com
domı́nios potência. Anais VII Encontro de Modelagem Computacional, 1:50–55, 2004.
Neste artigo atacamos um problema de valor de [EJM05]
contorno com dois pontos via equação integral
formulado no âmbito da Teoria de Domı́nios de
Scott. Foi feita a inclusão do cálculo da taxa
de convergência no processo de aproximações
sucessivas para obtenção da solução do problema, algo que ainda não tinha sido feito, [EP04a]
mesmo no trabalho original de Edalat e Pattinson [EP04b].
A exemplo do que foi feito em [EP04b], podemos através da seqüência de partições do intervalo [0, 1] e sua utilização na representação
de funções intervalares do problema em funções [EP04b]
passo, obter um algoritmo para o cálculo das
integrais das extremidades dos intervalos que
convergem para a solução. Posteriormente,
esse algoritmo deve ser comparado com outros
métodos iterativos não intervalares.
Agradecimentos
Abbas Edalat and Dirk Pattinson.
A domain theoretic account of picard’s theorem. In ICALP, volume
3142 of Lecture Notes in Computer Science, pages 494–505. Springer, 2004.
Abbas Edalat and Dirk Pattinson.
Domain theoretic solutions of initial value problems for unbounded
vector fields. Electr. Notes Theor.
Comput. Sci., 155:565–581, 2006.
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M. H. Escardó. PCF extended with
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approach to higher-order exact real
number computation. PhD thesis,
Imperial College of Science, Technology and Medicine, 1997.
Referências
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problems. In PARA, volume 3732 of
Lecture Notes in Computer Science,
pages 112–121. Springer, 2004.
[EP06]
Antônio Espósito Jr agradece a Universidade
Federal Fluminense pela licença para cursar o
doutorado na UERJ.
[AJ94]
A. Espósito Jr and J. A. Muylaert.
Estudo da convergência do operador de picard em teoria de domı́nios.
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Handbook of Logic in Computer Sci[Mar00]
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Antônio Espósito Jr.
Cálculo
[Moo66]
numérico via teoria dos domı́nios
- uma aplicação da derivada informática. Instituto Politécnico - [Moo79]
Universidade do Estado do Rio de
Janeiro, dissertação de Mestrado,
2003.
Keye Martin. Foundation for Computation. PhD thesis, Tulane University, 2000.
R. E. Moore. Interval Analysis.
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R. E. Moore. Methods and Applications of Interval Analysis. Siam,
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