Pasta 86
Métodos Matemáticos da Engenharia Quı́mica
IME/UERJ – 05-II
Notas de Aula
Equações não-lineares – o método da Bissecção
Conhecemos inúmeras situações práticas onde um valor numérico especı́fico está associado a um determinado fato: por exemplo, a água congela a 0o C, ferve a 100o C e sua densidade passa por um ponto de máximo a
4o C. É portanto um problema freqüente, real, buscar a solução de uma dada
equação, ou seja:
Determinar os valores de x para os quais f (x) = 0 .
(1)
Exemplos: Ache as raı́zes de cada uma das equações abaixo
sen(1/x)
cos(log(1 + |x|))
y 2 − 3y
q
2
z 5 − 3z 4 + [1/(3 + z 2 )]
4 − exp(5 − v 3 )
= 0
= 0
= 1
= 0
= −1
(2)
Vamos nos concentrar em determinar soluções reais, ou seja, não estaremos
interessados em soluções no plano complexo.
Considere uma função cujos zeros você está procurando e sobre a qual você
dispõe das informações que seguem:
f está definida em um intervalo que contém os pontos a 6= b
f (a) < 0
f (b) > 0
É natural deduzir que, entre os pontos a e b , podemos determinar ao
menos um zero da função f , pois “para passar do semiplano inferior
{ y < 0 } ao semiplano superior { y > 0 }, o gráfico dessa função tem de
cortar o eixo { y = 0 }”.
Este raciocı́nio está correto desde que se saiba que a função f é contı́nua.
Agora, como localizar no intervalo1 [a, b] esta tal raiz2 da equação
f (x) = 0?
Basta dividirmos o intervalo [a, b] em dois subintervalos [a, c] e [c, b] , é
claro que a raiz estará ou no primeiro dos dois, ou no segundo, ou em ambos,
quer dizer, no ponto c .
E como saber?
Vamos calcular f (c) . Se f (c) = 0, terminou a busca.
Mas se f (c) > 0, concluı́mos a existência de uma raiz entre a e c .
Em outras palavras, passamos do intervalo [a, b] para o intervalo [a, c]
que tem as mesmas propriedades. Esquecemos então o intervalo [c, b] e nos
concentramos portanto em [a, c] . Podemos mesmo rebatizá-lo como [a, b]
e recomeçamos o raciocı́nio da mesma forma que anteriormente.
E se tivéssemos obtido f (c) < 0?
Ora, trabalharı́amos em [c, b] , pois seria este o subintervalo que teria “herdado” as propriedades do intervalo inicial. Desprezarı́amos a outra parte e
batizarı́amos esse subintervalo de [a, b] , recomeçando como antes. (Observe que no primeiro caso, c vira b, enquanto no outro c vira a.)
1
2
supondo que a < b , sem perda de generalidade
ou uma das raı́zes
2
Como escolher o ponto c? Bem, se nenhuma informação temos sobre o que
ocorre dentro do intervalo, nada nos conduz a tomá-lo mais próximo de a ou
de b. Decidimos assim por
c :=
a + b
.
2
Uma vez feita essa escolha, podemos antecipar o nı́vel de precisão, de aproximação, o qual vai depender do número de vezes que tenhamos bipartido o
intervalo inicial. É imediato deduzir que existe uma raiz num subintervalo
de comprimento (b − a)/2N que teremos gerado, após aplicarmos o método
N vezes.
Por exemplo, se desejarmos uma precisão de 10−3 =0,001 no caso da figura
acima, onde a = −2, b = 3 , devemos escolher N de tal forma que
3 − (−2)
< 0, 001 ⇔ 2N > 5000 ⇔ N > log2 (5000) .
N
2
E, como
log2 (5000) = log2 5 + log2 (1000) < log2 8 + log2 (1024) = 3 + 10 = 13 ,
temos a garantia da precisão desejada com 13 iterações. Este é o chamado
critério de parada . Um processo numérico desse tipo, para aproximar a
resposta a um dado problema se denomima iterativo, cada um dos passos
que indicamos se chama iteração. Compare-o com o método chamado direto que discutimos para resolver um sistema linear algébrico de equações
lineares, o método de triangularização de Gauss. Este nos daria a solução
exata se fossem efetuados os cálculos corretamente, enquanto que no caso
da bissecção3 apenas chegamos a uma aproximação da resposta, ainda que
todos os cálculos sejam exatos.
Exercı́cios
f (x)
a
b
Precisão Resposta (mais precisa)
i
x ln x − 3, 2 2
3
10−2
2, 953125
2
−2
x + ln x 0, 5
1
10
0, 65625
ii
−x
−2
iii e − sen x 0 0, 62
10
0, 59375
x2 − 3
1
2
10−2
1, 734375
iv
3
e de todos os métodos iterativos
3