Energia potencial e energia total
Na postagem sobre força conservativa, vimos que quando o rotacional da força F
for nulo, então F será conservativa e será possível denir uma energia potencial
U (r) tal que
−∇U.
F =
Dessa forma, o trabalho dessa força realizado quando a partícula sai do ponto
A e chega ao ponto B é dado por
ˆ
WA→B
ˆ
rB
rB
dr · ∇U,
F · dr = −
=
rA
rA
independente da trajetória de A até B. Mas note que, em coordenadas cartesianas, por exemplo,
dr · ∇U
∂U
∂U
∂U
(x̂dx + ŷdy + ẑdz) · x̂
+ ŷ
+ ẑ
∂x
∂y
∂z
∂U
∂U
∂U
= dx
+ dy
+ dz
= dU.
∂x
∂y
∂z
=
Logo,
ˆ
WA→B
rB
= −
dU = U (rA ) − U (rB ) = UA − UB ,
rA
onde
UA
= U (rA )
UB
= U (rB ) ,
e
para simplicar a notação.
Na postagem sobre energia, momentum e momentum angular, demonstrei
que
WA→B
=
TB − TA ,
com
TA
=
1
2
m |v (tA )|
2
TB
=
1
2
m |v (tB )| .
2
e
1
Portanto,
TB − TA
=
UA − UB ,
TB + UB
= TA + UA ,
isto é,
ou seja, a quantidade T +U será sempre conservada durante o movimento de uma
partícula sob a ação de uma força conservativa. Essa constante de movimento
é a chamada energia E total da partícula e é denida como a soma da energia
cinética com a energia potencial:
E
=
T + U.
2