Aula 09: Dinâmica da partícula: Força e Quantidade de Movimento. Impulso e
Quantidade de Movimento.
Força e Quantidade de Movimento
As leis de Newton do movimento foram formuladas para uma única
partícula. Se a massa m da partícula é multiplicada pela sua velocidade v, o produto
resultante é denominado quantidade de movimento linear, ou
p = mv .
(73)
A velocidade v é medida com relação a um sistema inercial de tal forma que,
se a posição da partícula é definida pelo seu vetor deslocamento r, a velocidade é
v = r& .
A segunda lei de Newton atesta que a taxa temporal de variação da
quantidade de movimento linear é igual à força aplicada à partícula, e a variação
ocorre no mesmo sentido de atuação da força.
F = p& .
(74)
Se m é constante então a Equação (74) pode ser escrita como
F = mv& = m&r& .
(75)
A primeira lei de Newton, que é a base da estática, é um caso especial da
segunda lei quando a força F é zero. Ela atesta que, se as forças que atuam sobre uma
partícula tem uma resultante nula ( F = p& = 0 ), a partícula permanece em repouso
( p = 0 ), ou continua a mover numa linha reta com velocidade (ou quantidade de
movimento linear) constante.
Impulso e Quantidade de Movimento
Se a força F é multiplicada pelo tempo dt e é integrada, obtém-se
∫
t2
t1
t2
Fdt = ∫ m
t1
dv
dt = mv 2 − mv 1 .
dt
(76)
Fig. 19 - Quantidade de movimento antes do impacto deve ser igual a quantidade de
movimento após o impacto.
27
A integral à esquerda da Equação (76) é chamada de impulso da força.
Assim, a Equação (76) nos diz que a variação na quantidade de movimento da
partícula é igual ao impulso da força atuando na partícula.
Quando dois corpos colidem, uma força de grande intensidade, f (t ) , atua
num curto espaço de tempo, e o impulso, ∫ f (t )dt , exercido sobre cada um dos corpos,
deve ser igual e oposto de acordo com a terceira lei de Newton. Uma vez que impulso
é igual a variação de quantidade de movimento, para os dois corpos considerados
juntos como um sistema, os impulsos da colisão se cancelam. Então, a variação da
quantidade de movimento do sistema é zero, e a quantidade de movimento antes do
impacto é igual a quantidade de movimento após o impacto. Energia, entretanto, é
geralmente dissipada durante o impacto, o que ocorre no caso da duração da fase de
relaxação ser menor que a duração da fase de compressão. Para um impacto central
vamos chamar essa relação de e, o coeficiente de restituição, e é possível mostrar que
e também se expressa em termos das velocidades como
e=
(∫ f dt )
(∫ f dt )
relax .
compr .
=
v 2 − v1
Velocidade de separação
=
,
V1 − V2 Velocidade de aproximação
(77)
onde a seqüência de eventos está ilustrada na Fig. 19. Então, quando a energia não é
dissipada, o impacto é elástico e e = 1, enquanto para o impacto completamente
plástico o impulso de relaxação é zero e e = 0. Em geral e depende do material, forma
e velocidades dos dois corpos♠.
♠
Exemplo. Um plástico de honeycomb tem uma tensão de compressão de σ c lb/in2. Se um pacote de
massa m é abandonado de uma altura h, sem exceder uma desaceleração de ng, determine a seção e a
espessura do plástico para suportar a queda.
Fig. 20
Referindo-se a Fig. (20), suponha que ξ seja o deslocamento de compressão do honeycomb. A
equação de força é
mξ&& = mg − σ c A = −m(ng ) ,
e sua integral é
σ A

ξ& =  g − c t + v 0 .
m 

Da Equação (78) sai a área requerida
mg
A=
(1 + n ) ,
σc
(78)
(79)
(80)
que substituída em (79) dá
ξ& = −ngt + v 0 .
A máxima compressão ocorre quando ξ& = 0 , ou
28
(81)
Aula 10: Dinâmica da partícula: Trabalho e Energia. Momento Angular.
Trabalho e Energia
Se a força F, atuando sobre uma partícula, move a mesma através de uma
distância dr, o trabalho realizado é igual ao produto escalar F • dr . O trabalho total
realizado para ir de r1 até r2 é então
r2
W = ∫ F • dr .
(84)
r1
Substituindo a força F e mudando a variável de integração para o tempo,
através de dr = vdt , tem-se
∫
r2
r1
t2
F • dr = ∫ m
t1
1 t2 d
dv
• vdt = ∫ m (v • v )dt
2 t1 dt
dt
1 t2 d
1
1
= ∫ m v 2 dt = mv 22 − mv12 .
t
2 1 dt
2
2
(85)
1 2
mv é chamada energia cinética da partícula. Dessa
2
forma, o trabalho realizado pela força sobre a partícula é igual a variação da
energia cinética da partícula.
Agora, vamos definir um sistema de forças conservativas no qual o trabalho
realizado é função apenas da posição e independe do percurso realizado pela força.
Segue, portanto, que o trabalho realizado por um sistema de forças conservativas ao
longo de qualquer trajetória fechada, é nulo
A quantidade escalar
∫ F • dr = 0 .
(86)
Vamos agora definir a energia potencial U (r1 ) como sendo o trabalho
realizado pela força conservativa para ir de qualquer ponto r1 até algum ponto de
referência r0 .
U (r1 ) ≡ ∫ F • dr .
r0
(87)
r1
t=
v0
.
ng
(82)
Integrando (81) e substituindo (82), a compressão do material é dada por
ξ =−
ng
2
2
 v0 
 v  1 v 02 h
  + v 0  0  =
= .
 ng 
 ng  2 ng n
29
(83)
Então, cada ponto do espaço pode ser associado com um potencial escalar
U (r ) que irá depender do potencial do ponto de referência.
Considere, agora, o trabalho realizado por uma força conservativa para ir de
r1 até r2 . Uma vez que o trabalho realizado independe da trajetória escolhida,
podemos ir de r1 até r0 e de r0 até r2 , como segue
∫
r2
r1
r0
r2
r1
r0
F • dr = ∫ F • dr + ∫ F • dr
= ∫ F • dr − ∫ F • dr = U (r1 ) − U (r2 ) .
r0
r0
r1
r2
(88)
Então, o trabalho realizado para ir de r1 até r2 é a diferença no potencial
escalar − [U (r2 ) − U (r1 )] , e é evidente que o resultado independe do ponto de
referência. Para um deslocamento infinitesimal tem-se que
F • dr = −dU ,
(89)
que expressa a relação entre a força conservativa e o potencial ou energia potencial.
Observe que essa discussão mostra claramente a razão da escolha arbitrária do ponto
de referência da energia potencial na elaboração das equações do movimento, que são
equações de força e torque.
Num sistema conservativo a energia total é constante. Se designarmos
energia cinética pela letra T, a Equação (85) pode ser escrita como
∫
r2
r1
F • dr = T2 − T1 = −(U 2 − U 1 ) .
(90)
Rearranjando, as energias totais em 1 e 2 podem ser vistas como
T2 + U 2 = T1 + U 1 ,
(91)
que ilustra o princípio da conservação da energia para um sistema conservativo.
Um exemplo de sistema de forças conservativo é a atração gravitacional da
Terra, que é inversamente proporcional ao quadrado da distância do centro da Terra,
2
R
F = mg   ,
r
(92)
onde g é a aceleração da gravidade na superfície da Terra e R é o raio da Terra. Se
usarmos a superfície da Terra como referência, a energia potencial, ou potencial de
uma massa m a uma altura h da superfície é
2
1 
1
R
U (h ) = ∫ − mg  • dr = mgR 2  −

R +h
R R+h
r
h
= mg
.
h

1 + 
R

R
30
(93)
Então, para alturas moderadas acima da superfície da Terra, h/R é pequeno, e
tem-se, para a energia potencial, a seguinte expressão
U (h ) ≅ mgh .
(94)
Momento Angular
O momento, em torno de um ponto arbitrário O, da quantidade de
& de uma partícula, ou momento angular, é
movimento linear p = mR
&,
h O = r × mR
(95)
& é a velocidade absoluta da partícula de massa m e r é o raio vetor indo de O
onde R
até a partícula, como está mostrado na Fig. 21. Diferenciando a Equação (95) obtémse
&& + r& × mR
&.
h& O = r × mR
(96)
& é r × mR
& .
Fig. 21 – O momento em torno de O da quantidade de movimento mR
& =R
& + r& na Equação (96) e sabendo que r& × r& = 0 , tem-se
Substituindo R
O
&& − R
& × mr& .
h& O = r × mR
O
(97)
&&
Para estabelecer a relação entre h& O e o momento M O das forças F = mR
que atuam sobre a partícula, devemos lembrar que
&& = r × m(R
&& + &r&)
M O = r × mR
O
d
&& × mr .
= (r × mr& ) − R
O
dt
(98)
&& na Equação (97), tem-se
Substituindo M O = r × mR
31
& × mr& .
M O = h& O + R
O
(99)
Várias conclusões interessantes podem ser tiradas das Equações (98) e (99),
como segue:
& , que resulta
& =R
&& = 0 e r& = R
a) Se o ponto O é fixo no espaço, então R
O
O
na equação simplificada
M O = h& O .
&& = 0 , e
b) Se o ponto O está movendo com velocidade constante, então R
O
MO =
d
(r × mr& ) ,
dt
que atesta que o momento é igual a taxa de variação do momento angular
aparente, que é expresso em termos da velocidade relativa r& .
&& e r ou R
& e r& são paralelos, de novo são válidas as equações
c) Se R
O
O
simplificadas.
d) Se o sistema consiste de mais de uma partícula, então o segundo termo da
&& × ∑ mr , que é zero (∑ mr = 0 ) quando o
Equação (98) torna-se − R
O
ponto O coincide com o centro de massa do sistema de partículas. A
equação do momento é a mesma do caso (b)*.
*
Exemplo. Uma haste rígida ideal de comprimento l, sem massa, com duas partículas de massa m nas
extremidades é abandonada sem rotação e a massa esquerda colide com um degrau com velocidade v.
Considerando o coeficiente de restituição e, determine a rotação angular da haste imediatamente após o
impacto.
Fig. 22
A Fig. 22 mostra a haste imediatamente após o impacto. A velocidade do centro de massa após o
impacto é ev − (l / 2 )θ& . Aqui se considera que a haste, após o impacto, sobe com velocidade ev e ao
mesmo tempo inicia um movimento de rotação em torno do centro da massa à esquerda. A variação na
quantidade de movimento do centro de massa é
l 

(100)
∫ fdt = 2m ev − 2 θ&  − (− 2mv ) .
O momento da força em torno do centro de massa é igual à variação no momento angular em torno do
centro de massa. Integrando a expressão do momento da força obtém-se o momento do impulso em
torno do centro de massa,
2
l
l
fdt = 2m  θ& .
∫
2
2
Eliminando a integral do impulso, a velocidade angular imediatamente após o impacto é
v
θ& = (1 + e ) .
l
32
(101)
(102)