Força conservativa
Já vimos que a energia gravitacional entre duas partículas de massas m1 e m2 ,
com vetores posição em r1 e r2 , respectivamente, é dada por
= −
U12
Gm1 m2
.
|r2 − r1 |
Vimos também que o trabalho da força gravitacional em um caminho fechado
é sempre nulo, em qualquer caminho fechado, mesmo um que não possa ser
percorrido sempre no mesmo plano. Quando uma força qualquer tem trabalho
nulo em qualquer caminho fechado, dizemos que é uma força conservativa, pois é
sempre possível definirmos uma energia potencial para essa força. Para vermos
isso, consideremos uma força conservativa. Então,
˛
F · dr = 0,
C
para qualquer caminho fechado C. Tomemos dois pontos de um caminho fechado,
A e B. Então, o caminho fecha do C pode ser escrito como a união de dois outros
caminhos, C1 e C2 , ambos abertos, como mostra a figura abaixo.
Logo,
˛
ˆ
F · dr
C
ˆ
B
A
F · dr +
=
A
F · dr = 0.
B
C1
1
C2
Como toda integral de Riemann, as de caminho também obedecem certas propriedades comuns; por exemplo, temos
ˆ A
ˆ B
F · dr = −
F · dr
B
A
C2
C2
e, portanto,
ˆ
ˆ
B
F · dr
ˆ
A
= −
A
B
F · dr =
B
F · dr.
A
C2
C1
C2
Ora, como a curva C é completamente arbitrária, os caminhos do ponto A até
o ponto B, C1 e C2 , também são completamente arbitrários. O que a igualdade
acima,
ˆ B
ˆ B
F · dr,
F · dr =
A
A
C2
C1
nos diz é que, quando a força é conservativa, o trabalho para ir do ponto A até
o ponto B não depende do caminho. Se o trabalho não depende do caminho,
então do que depende? Ora, depende dos pontos inicial e final. Por exemplo,
tomemos os pontos A e B dos caminhos C1 e C2 acima. Podemos tomar um
terceiro ponto, Q, como referência e escrever:
ˆ B
ˆ Q
ˆ B
F · dr =
F · dr +
F · dr,
A
A
Q
onde nem mesmo precisamos especificar o caminho, já que essas integrais independem de caminhos. Mas,
ˆ Q
ˆ A
F · dr = −
F · dr
A
Q
e, assim,
ˆ
ˆ
B
F · dr
=
A
ˆ
A
−
B
F · dr +
Q
F · dr.
Q
Fixando o ponto de referência, Q, podemos definir a função U do ponto P
qualquer como
ˆ P
U (P ) = −
F · dr
Q
e, finalmente, vemos que o trabalho da força conservativa é a diferença entre a
mesma função calculada nos pontos inicial e final do caminho:
W (A → B)
= U (A) − U (B) .
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Essa função U, cuja diferença entre dois pontos dá o trabalho da força por
qualquer caminho entre esses mesmos pontos, é batizada de energia potencial e
a razão para esse nome está ilustrada no caso da força gravitacional.
Podemos também definir uma função de r, para cada ponto A do espaço,
como segue:
ˆ r
fA (r) =
F (r0 ) · dr0 ,
A
por qualquer caminho que escolhamos, já que o resultado dessa integral independe dessa escolha. Calculemos, então, o gradiente de fA (r):
ˆ r
ˆ r
ˆ r
∂
∂
∂
0
0
0
0
F (r ) · dr + ŷ
F (r ) · dr + ẑ
F (r0 ) · dr0 .
∇fA (r) = x̂
∂x A
∂y A
∂z A
Calculemos, primeiramente, a derivada parcial com relação a x:
ˆ r
ˆ (xA ,y,z)
ˆ (x,y,z)
∂
∂
∂
0
0
0 0
0
F (r ) · dr =
F (xA , y , z ) · dr +
F (x0 , y, z) · dr0 ,
∂x A
∂x (xA ,yA ,zA )
∂x (xA ,y,z)
pois a força F é uma função dos pontos do espaço:
F
= F (r) = F (x, y, z) = x̂Fx (x, y, z) + ŷFy (x, y, z) + ẑFz (x, y, z) ,
já que
r
= x̂x + ŷy + ẑz.
Tomamos o caminho de integração para a integral acima como ilustra a figura
abaixo.
3
Note que, como a integral não depende do caminho, podemos escolhê-lo
convenientemente. Observe também que os caminhos de integração convenientes
para os cálculos das outras derivadas parciais, com relação a y e a z, serão outros
e não o da figura. Na equação
∂
∂x
ˆ
r
F (r0 ) · dr0
A
=
∂
∂x
ˆ
(xA ,y,z)
F (xA , y 0 , z 0 ) · dr0 +
(xA ,yA ,zA )
∂
∂x
ˆ
(x,y,z)
F (x0 , y, z) · dr0 ,
(xA ,y,z)
a primeira integral do membro direito é calculada mantendo a coordenada xA ,
do ponto A, fixa e terminando em um ponto com as coordenadas y e z do ponto
r. A derivada parcial com relação a x dessa integral é, portanto, nula, pois essa
integral não depende de x. A segunda integral do segundo membro da equação
acima é calculada sobre uma reta paralela ao eixo x, mantendo as coordenadas
y e z do ponto r fixas. Assim, temos:
ˆ r
ˆ x
∂
∂
F (r0 ) · dr0 =
Fx (x0 , y, z) dx0
∂x A
∂x xA
= Fx (x, y, z) .
Repetindo raciocínios análogos para as derivadas parciais com relação a y e z,
usando caminhos de integração diferentes do anterior, mas que não alteram o
valor da integral do membro esquerdo, obtemos também:
ˆ r
∂
F (r0 ) · dr0 = Fy (x, y, z) ,
∂y A
ˆ r
∂
F (r0 ) · dr0 = Fz (x, y, z) .
∂z A
Assim, finalmente:
∇fA (r)
= x̂Fx (x, y, z) + ŷFy (x, y, z) + ẑFz (x, y, z) = F (x, y, z) = F,
independentemente da escolha do ponto A. Logo, se a força é conservativa,
sempre existe uma função cujo gradiente dá a força.
Qual a interpretação física da função fA (r)? Ora, por definição, essa função
é o trabalho da força F desde o ponto A até o ponto com vetor posição r. Mas
nós vimos que esse trabalho é a diferença entre as energias pontenciais nesses
pontos; mais precisamente,
fA (r)
=
W (A → r) = U (A) − U (r) .
Logo,
fA (r)
=
−U (r) + U (A)
e, portanto,
F =
∇fA (r) = −∇U (r) + ∇U (A) .
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Como o ponto A é fixo e não depende das coordenadas do ponto de vetor posição
r, segue que
∇U (A)
= 0.
Assim,
F
= −∇U (r) .
Com isso, provamos que a força será sempre igual ao negativo do gradiente da
energia potencial quando for uma força conservativa.
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