5a . LISTA DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Turma: 2o . perı́odo de Licenciatura em Matemática
Profa . Andréa Cardoso
Data: 20/02/2013
1. Verifique quais dos conjuntos abaixo são bases de R3 . Encontre as matrizes de mudança
de base para as bases.
(a) B1 = {(3, 2, −1), (1, −1, 1), (4, 3, 0)}
(b) B2 = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}
(c) B3 = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)}
2. Utilizando as bases do exercı́cio anterior determine as coordenadas dos seguintes vetores
dados na base canônica.
(b) v = (3, −5, 4) (c) w = (3, 4, −1)
(
)
2 5
3. Determine as coordenadas do vetor
∈ M2 (R) em relação às bases:
−8 7
(a) u = (4, 2, 1)
{(
1
(a) B =
0
{(
1
(b) C =
0
) (
0
1
,
0
0
) (
0
0
,
0
0
) (
1
1
,
0
1
) (
0
1
,
1
0
) (
1
1
,
0
1
) (
0
0
,
0
0
)}
1
1
)}
0
1
4. Determine as coordenadas do vetor f (x) = 2senx − 3cosx ∈ C(R, R) em relação às bases:
(a) A = {senx + cosx, cosx}
(b) B = {senx + cosx, senx − cosx}
(c) C = {senx, cosx}
5. Rotacione os eixos coordenados xy por um ângulo θ = 60o no plano, no sentido antihorário, para obter novos eixos coordenados x′ y ′ . Encontre as novas coordenadas x′ y ′ do
ponto cujas coordenadas xy são A = (3, 2) e B = (4, −4)
2
6. Sejam A e B bases
[ de R .] Se B = {(1, 2), (2, 3)} e a matriz de mudança de base de A
1 −1
para B é MBA =
determine a base A.
−1 2
7. Quais das aplicações são Transformações Lineares? Justifique.
(a) T : R3 → R, T (x, y, z) = x + y − z
(b) T : R3 → R, T (x, y, z) = x + y − z + 1
(c) T : R3 → R, T (x, y, z) = x2 + y − z
(d) T : R2 → R2 , T (x, y) = (x − y, x + y)
(e) T : R2 → R, T (x, y) = xy
(f) T : R → R, T (x) = |x|
(g) T : R3 → R3 , T (x, y, z) = (z, x − y, −z)
(h) T : R3 → R3 , T (x, y, z) = (2x − y + z, 0, 0)
5a . Lista de Exercı́cios de Álgebra Linear - Licenciatura em Matemática
2
(i) T : R3 → R3 , T (x, y, z) = (x, x, x)
(j) T : R3 → R3 , T (x, y, z) = (2x2 + 3y, x, z)
(k) T : P2 (R) → P4 (R), T (ax2 + bx + c) = ax4 + bx2
(l) T : R3 → R4 , T (x, y, z) = (x − y − z, x + y + z, 2x − y + z, −y)
([
])
a
b
(m) T : M2 (R) → R2 , T
= (a + d, b + c)
c d
[
]
1 1
(n) T : M2 (R) → M2 (R), T (X) = M X + X, onde M =
0 0
8. No plano, uma rotação anti-horária de 45o é seguida por uma dilatação de
uma T.L. T que representa esta transformação.
√
2. Encontre
9. Decida se a afirmação é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando
uma argumento lógico ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se V é um espaço vetorial de dimensão finita então V admite apenas uma base.
(b) ( ) Toda matriz de mudança de base é quadrada.
(c) ( ) Se A e B são duas bases de um espaço vetorial de dimensão finita então a matriz
de mudança de base MAB é inversı́vel.
T
(d) ( ) Se MAB é a matriz de mudança da base B para A então MBA = MAB
.
BOM TRABALHO!!!
Data da provinha: 28/03/2013